高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：極值點偏移與拐點偏移問題【七大題型】解析版

極值點偏移與拐點偏移問題【七大題型】

?題型歸納

【題型1極值點偏移：加法型】................................................................2

【題型2極值點偏移：減法型】.................................................................7

【題型3極值點偏移：乘積型】................................................................14

【題型4極值點偏移：商型】..................................................................20

【題型5極值點偏移：平方型】...............................................................27

【題型6極值點偏移：復(fù)雜型】...............................................................33

【題型7拐點偏移問題】......................................................................38

?命題規(guī)律

1、極值點偏移與拐點偏移問題

極值點偏移是指函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對稱性，極值點偏移問題

常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中，是高考考查的熱點內(nèi)容，這類題往往對思維要求較高，過程較為煩瑣，

計算量較大，解決極值點偏移，稱化構(gòu)造函數(shù)法和比值代換法，二者各有千秋，獨具特色.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1極值點偏移問題及其解題策略】

1.極值點偏移的概念

(1)已知函數(shù)＞=/(元)是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間(。力)內(nèi)只有一個極值點Xo，加1)=/(必)，且X。在X1與M之間，由

%+X23玷

于函數(shù)在極值點左右兩側(cè)的變化速度不同，使得極值點偏向變化速度快的一側(cè)，常常有—己一，這種

情況稱為極值點偏移.

(2)極值點偏移

若上/于沏，則極值點偏移，此時函數(shù)人乃在x=xo兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢不同，如圖(2)(3).

%)

夕㈤

圖⑵圖⑶

（左陡右緩，極值點向左偏移）若次修）=/（必），貝L1+冷>2汽；

（左緩右陡，極值點向右偏移）若若"1月3），貝U修+工2<2工0.

2.極值點偏移問題的一般題設(shè)形式

（1）函數(shù)段）存在兩個零點X”必且修#、2，求證：修+'2>2劭（工0為函數(shù)外）的極值點）；

（2）函數(shù)人X）中存在修，％2且修#%2，滿足加1戶/（%2），求證：修+'2>2%0（工0為函數(shù)“r）的極值點）；

（3）函數(shù)/（%）存在兩個零點為，％2且X1Wx2，令x°=29求證：/（x（））>0；

（4）函數(shù)段）中存在修，歷且X1W%2，滿足/（%1月。2），令Xo=X1,求證：/（Xo）>o.

3.極值點偏移問題的常見解法

（1）（對稱化構(gòu)造法）：構(gòu)造輔助函數(shù)：

①對結(jié)論XI+X2>2X0型，構(gòu)造函數(shù)尸（X）=/（X）—/（2xo—X）.

②對結(jié)論而刈>工衣型，方法一是構(gòu)造函數(shù)尸（x）=/（x）—/（y），通過研究尸（X）的單調(diào)性獲得不

等式；方法二是兩邊取對數(shù)，轉(zhuǎn)化成lnjq+lnjr2>21iixo，再把Inxi，I11X2看成兩變量即可.

（2）（比值代換法）：通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用

函數(shù)單調(diào)性證明.

【知識點2指數(shù)、對數(shù)均值不等式解決極值點偏移問題】

極值點偏移問題是近幾年高考的熱點問題，求解此類問題的一個重要工具就是指數(shù)均值不等式和對數(shù)

均值不等式.

1.對數(shù)均值不等式

結(jié)論1對任意的a,b>O（a^b）,有\(zhòng)[ab<也：_益<

2.指數(shù)均值不等式

加+〃

曖一即em-\-en

結(jié)論2對任意實數(shù)小,"（機(jī)有廠<<

m—n2

?舉一反三

【題型1極值點偏移：加法型】

【例1】(2024?江蘇揚州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(X)=ln(m久)一>0).

(1)若/'(x)W。恒成立，求小的取值范圍；

(2)若/(%)有兩個不同的零點犯,令，證明Xi+孫>2.

【解題思路】(1)直接用導(dǎo)數(shù)求出f(x)的最大值即可；

(2)構(gòu)造p(t)=/(I+t)-/(l—t)并證明t>0時f(l+t)>/(I-t),并對該不等式代入特殊值即可得

證.

【解答過程】(1)首先由m>0可知/'(X)的定義域是(0,+8),從而/'(X)=ln(m無)一x=Inx-x+Imn.

故/'(x)=ln(mx)—x=^—l-從而當(dāng)。<x<1時/''(x)>0,當(dāng)x>1時尸(x)<0.

故/(%)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，所以/(久)具有最大值/(I)=Inm-1.

所以命題等價于Inrn—1<0,即zn<e.

所以小的取值范圍是(0,e].

(2)不妨設(shè)/<%2,由于f(x)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，故一定有0<Xi<1<外.

在一1<t<1的范圍內(nèi)定義函數(shù)p(t)=/(I+t)-/(I-t).

則p'(t)=r(i+1)+r(i一。=*+E=咨j>o,所以p(t)單調(diào)遞增.

這表明t>o時p(t)>p(0)=/(I)-/(I)=o,gp/(l+t)>/(I-t).

又因為f(2—Xi)=f(l+(1—Xl))>/(I—(1—%1))=/(%1)=0=f(x2)>且2—Kl和久2都大于1，

故由f(x)在(1,+8)上的單調(diào)性知2—Xi<%2，即+冷>2.

【變式1-1](2024?遼寧?三模)已知/(x)=Q—l)d+5a%2.

(1)討論函數(shù)久支)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>。時，證明：函數(shù)/■(%)有且僅有兩個零點卬,無2，且尤1+x2<0.

【解題思路】(1)對f(x)求導(dǎo)，對a分類討論，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；

(2)先用零點存在性定理證明結(jié)論，再構(gòu)造新函數(shù)討論八/)與/(―冷)大小關(guān)系，利用f(x)在(0,+8)上單

調(diào)性，證明結(jié)論即可.

【解答過程】(1)尸(%)=xe*+ax=x(e*+a),

當(dāng)a20時，令((x)>0,得久>0,令廣(%)<0,得x<0,

所以,(乂)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(—8,o)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a<0時，令/(x)=0,得x=0或％=ln(—a),

當(dāng)皿-a)<0,BP-1<a<0時，由f(x)>。得xe(-oo,ln(-a))u(0,+oo),f'(x)<0得xG(ln(-a),0),

所以f(乃在(-oo,ln(—a))和(0,+8)上單調(diào)遞增，在(皿一a),0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)In(—a)=0,即a=—1時，r(x)20恒成立，f(%)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)ln(—a)>0,即a<—l時，由廣(x)>0得％e(—8,0)U(In(—a),+8),由尸(x)<0得xe(0,ln(-a)),

所以,(切在(一8,0)和(ln(-a),+8)上單調(diào)遞增，在(0,ln(—或)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)a20時，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(一8,0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)一1<a<0時，/(X)在(一8,ln(—a))和(0,+8)上單調(diào)遞增，在(ln(—a),0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a=—1時，久久)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<—l時，/'(%)在(一8,0)和Qn(—a),+8)上單調(diào)遞增，在(0,ln(—a))上單調(diào)遞減.

(2)由第(1)問中a>0時，/(久)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(一8,0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)%>0時，因為a>0,/(0)=—1<0,/1)=5>0,

由零點存在性定理可得：函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點X2,且X26(0,1),

使得/%2)=0；

當(dāng)尤<0時，x—1<0,0<ex<1,則(％—l)eX>久一1,

則/'(%)=(%—l)ex+|ax2>(%—1)+|ax2=|ax2+x—l,

顯然一元二次方程+x_i=0的兩個不等實根為：上叵江和土叵藥，

Naa

其中T+6痂>0,土叵紅<0,

aa

取b=土叵藥<0,

a

f(b)=(b—l)efo+|ab2>|afa2+b—1=0,

即f(b)>0,且f(0)=-1<0,

由零點存在性定理可得：函數(shù)/(久)在區(qū)間(一8,o)上存在唯一零點卬，且小6(仇0),

使得/■(3)=0；

所以當(dāng)a>0時，函數(shù)/(X)有且僅有兩個零點；

X2

因為X2為零點，所以=(X2-l)e+|axl=0,

X2

所以)好=(1-x2)e,

-X2X2Xz

所以/'(一無2)=(一冷-l)e++|a%2=(一％2~l)e~+(l-x2)e,

令g(x)=(-x-l)e-x+(1-x)ex,g'(x)=x(e-x-ex),

當(dāng)x>0時,e~x—ex<0,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

因為9(0)=。，%2>0,所以。(%2)<0，

所以(一到一l)efz+(l—乂2九、2<0,所以八一萬2)<0,所以f(Xi)=0>/(—冷)，

因為f(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減，

所以刀1<—%2?所以XJ.+刀2<0.

1

【變式1-2](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=xe；-a(x>0),且/'(%)有兩個相異零點久上冷.

(1)求實數(shù)。的取值范圍.

(2)證明：+%2>

【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)八乃的最小值，再分段討論并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，結(jié)合

零點存在性定理推理即得.

(2)由(1)的結(jié)論，結(jié)合函數(shù)零點的意義可得xlnx-lna-x+1=0有兩個相異的解巧,%2，再構(gòu)造函數(shù),

借助單調(diào)性確定%1，冷的取值區(qū)間，再結(jié)合分析法推理證明即得.

1111

【解答過程】(1)函數(shù)/(%)=%所一Q,求導(dǎo)得廣(%)=(1=?晨，

當(dāng)0VXV1時，廣(久)〈0；當(dāng)%>1時，/(%)>0,/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增，

則/(%)min=/⑴=e-a.

當(dāng)aWe時，八久)NO恒成立，/(%)至多有一個零點，不符合題意，

當(dāng)a>e時，/(I)<0,/(a)=ae?—a=a(e?-1)>0,BP3x2€(l,a)，使/(久2)=0，

f(，)=^ea—a=e,令g(a)=ea—a2,求導(dǎo)得g'(a)=ea—2a,

令『(a)=ea—2a,求導(dǎo)得夕(a)=ea—2>0,即9(a)在(e,+8)上單調(diào)遞增，(p(a)>9(e)=ee—2e>0,

于是，(a)>0,函數(shù)g(a)=e?！狹在仁,+8)上單調(diào)遞增,g(d)>,g(e)=ee—e2>0,

因此G(^1),使/(%i)=0,

所以實數(shù)a的取值范圍為(e,+8).

11

(2)由(1)知，=a有兩個相異的解％力久2，即方程ln%+1=Inaoxln%—lna—+1=0有兩個相異的

解,

令函數(shù)h(%)=x\nx—Ina-%+1,求導(dǎo)得"(%)=Inx+1—Ina在(0,+8)上單調(diào)遞增，且h'玲=0,

當(dāng)0V%V?時，"(%)V0,h(%)在(0,￡)單調(diào)遞減，當(dāng)久時，/iz(x)>0,%(%)在(?,+8)單調(diào)遞增，

不妨設(shè)/<%2>顯然向e(0,f),x2e(f,+oo),

要證久1+尤2>§，即證尤2>>?即證八(尢2)>h(^-Xi).

又31)=九3)，則即證九(卬)>h(g—句)，令函數(shù)F(x)=h(x)—八片―%)，%e(o,；),

則F，(x)=h'(x)+〃(三一%)=Inx+1—Ina+ln(^—x)+1—Ina=ln(^x—x2)+ln^1,

而§刀-%2=-(%-f)2+§<§>則尸'(久)<Ing+lng=0,

因此函數(shù)F(x)在(0總上單調(diào)遞減，即尸。)>尸。)=0,貝阿的)>九片一翅)，

所以X1+%2>

【變式1-31(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(尤)=—/+21nx,gQ)=a(x2+2X).

(1)若曲線/(x)在點(1,—1)處的切線與曲線g(x)有且只有一個公共點，求實數(shù)a的值.

(2)若方程。(久)一/'(X)=1有兩個不相等的實數(shù)根打,久2，

①求實數(shù)a的取值范圍；

②求證：+%2>2.

【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)，得到9(—1)=一。=一1,即可得解.

(2)①構(gòu)造函數(shù)，令九(%)=21n%-(a+1)久2一2口％+1,則叔%)有兩個零點工力冷，進(jìn)行求解即可;

②由①得一l<a<0,則白>2,分析得出：需證僅血)一從后一冷)>。，進(jìn)行證明即可.

【解答過程】(1)函數(shù)/(%)的定義域為(0,+8)/(%)=—2%+$/(1)=-1/(1)=0,

所以曲線f(%)在點(1,—1)處的切線方程為y=-1.

因為切線y=-1與曲線9。)=a(%2+2%)有且只有一個公共點，

所以9(—1)=一。=—1，故Q=l.

(2)①方程g(%)-/(x)=1有兩個不相等的實數(shù)根%i,%2，即方程21n%—(a+I)%2-2ax+1=0有兩個不

相等的正根%1，%2.

令h(x)=21nx-(a+l)x2-2ax+1,則九(%)有兩個零點%132.

_2”,_2(x+l)[(a+l)x-l]

n(x)=--2(a+1)%—20a=---------------,

因為x>0,x+1>0,所以〃(尤)的正負(fù)取決于(a+l)x-l的正負(fù).

(i)當(dāng)aW—1時，"(x)>0恒成立，故版x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,函數(shù)九(x)不可能有兩個零點;

(ii)當(dāng)a>—l時，由〃(x)>0,解得久?0,左)，由"(x)<0,解得xe(左，+8),

故函數(shù)九(x)在(0,擊)上單調(diào)遞增，在(三,+8)上單調(diào)遞減.

因為函數(shù)3)有兩個零點，所以心三)>0,

即21n六一(a+1)?(左丫-2a.白+1>0,化簡得21n(a+l)+^T<0.

x21

令血(%)=21n(x+1)+二p%>—1,貝ljzn'(%)=排+(%+1尸>°，則函數(shù)血(久)在(一1,+8)上單調(diào)遞增，

又zn(0)=0,則不等式21n(a+1)+信<。的解集為{可—1<a<0}.

因為八(%)=21nx—(a+l)x2—2ax+1<21n久—2ax+1,所以八仁—2)<21ne-2—|y+l=—3—|y<0.

又白>L所以僅%)在(e-2,今)內(nèi)存在一個零點.

以下證明在(今,+8)內(nèi)也存在一個零點，

11

設(shè)0(%)=Inx—x+l,x>0,則@3=--1=—,

當(dāng)OVxVl時,。(%)>0,當(dāng)％>1時，二(%)V0,即函數(shù)9(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

故0(%)在％=1處取得極大值，也是最大值，0(X)max=0(1)=0，

所以InxWx—1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成工，故lnx<x—天

即％(x)=21nx—(a+l)x2—2ax+1<2(x—g)—(a+l)x2—2ax+1—x[2(l—a)—(a+l)x],

x

取“0>￡：)>左,則h(xo)<o[2(l-a)-(a+l)x0]<0.

所以h(x)共有兩個零點.

綜上，實數(shù)a的取值范圍為(一1,0).

②由①得一l<a<0，則U三>2,不妨設(shè)0<%1(有<亞，

99

要證明％1+4>2,只需證明刀1+久2>=，即證明

因為叔X)在(0,左)上單調(diào)遞增，且X1C(O,今)，捻一冷e(。島)

所以只需證明假右)>從高一比2)又八。1)=102)，所以需證%(%2)一無(亮一.2)>。?

記F(x)=h(x)-%(4-x),xe島,+00),

2

則尸(%)=〃(幻+-X)=-+喬-4(a+1)=(a+1).二島T)-4(a+1)>(a+1).(_J_)-4(a+1)=0,

所以尸(x)在(今,+8)上單調(diào)遞增，又當(dāng)X-今時，F(xiàn)(%)->0,

則F(x)>0,所以F(x2)>。，即%(%2)—%(今一乂2)>0，所以刀1+%2>后，故打+久2>2.

【題型2極值點偏移：減法型】

【例2】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=必—(2+a)%+Qin%,aER.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(%)=亍一/(%)+/一缶+1)%-2。+(a-l)ln%,若g(%)存在兩個不同的零點％1，%2，且%]V%2.

(i)證明：2a>e+1；

(ii)證明：%2—%]<

乙CL一1

【解題思路】(1)先確定定義域，求出導(dǎo)函數(shù)并進(jìn)行通分和因式分解后根據(jù)開口方向、根的大小關(guān)系、根

與定義域的位置關(guān)系等信息進(jìn)行分類討論得出導(dǎo)數(shù)正負(fù)情況，從而得出函數(shù)的單調(diào)性.

(2)考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題，(i)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值情況，確保函數(shù)零點個數(shù)為2即

可證明2a>e+l；(ii)根據(jù)零點的分布和大小情況進(jìn)行考慮入手即可.

【解答過程】(1)由題f(x)的定義域為(0,+8),f(%)=2x—(2+a)+三=2/-(2；a)*+a=

①若aWO,貝i|2%—a>0,當(dāng)0<x<l時，f'(x)<0；當(dāng)x>l時，尸(x)>0,

所以八%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

②若a>0,令尸(%)=0,得5=1,及=(

當(dāng)0<a<2時，0<微<1,

當(dāng)。<x<微或無>1時，/,(x)>0；當(dāng)5<刀<1時，f'(x)<0,

所以八比)在(0,9，(1,+8)上單調(diào)遞增，在停,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>2時，->1,

當(dāng)0V%VI或%>弓時,尸(%)>0；當(dāng)1<%V|時，((%)<0,

所以八%)在(0,1),停,+8)上單調(diào)遞增，在(1,()上單調(diào)遞減;

當(dāng)a=2時，/(%)=組產(chǎn)20,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，

所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)(i)由題意知g(x)=——Inx+x—2a,

(%—l)ex1,(%—l)ex+x(x—1)

+41=o-De+w

所以g<x)=———X------9------%2:

當(dāng)0<%Vl時，g'[x)<0；當(dāng)%>1時，g'[x}>0,

所以g(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增，

則9(%)min=。(1)=e+1—2a,

因為函數(shù)9(%)存在兩個不同的零點，故e+l-2a<0,BP2a>e+1.

(ii)下面找出兩個點m,n(0<m<1<n),使得g(zn)>0,g(n)>0,

注意到吟罕=2a—白，且0<小<l<2a,于是考慮找點2a,

2a—1Za—1Za—1Za—1

下面我們證明：g(2a)>0,0(上)〉。,

①g(2a)>0=導(dǎo)一ln(2a)>0,設(shè)血(%)=亍-In%(x>2),下證zn(%)>0,

方法1：設(shè)八(%)=1—52—%(%>o),則"(%)=ex—x—1,故九〃(%)=e"—1>0,

所以加(%)在(2,+8)上單調(diào)遞增，得h，(x)>"(2)=e2—3>0,

所以h(%)在(2,+8)上單調(diào)遞增，

故h(%)>ft(2)=e2—4>0,即e*>1%2+x(x>2),

因此771(%)=——Inx>-%+1—Inx,

iIiY—7

設(shè)〃(%)=-x+1—lnx(x>2),貝加(%)=---=—>0,

所以〃(%)在(2,+8)上單調(diào)遞增,所以葭(％)>u(2)=2—ln2>0,

因此m(%)=亍-In%>0,X2a>e+1>2,故會一ln(2a)>0,即g(2a)>0,

又f(l)<0,所以1<x2<2a.

方法2：易知=。-?:f,設(shè)u(%)=(x—l)ex—x,則t/(%)=xex—1>0,

所以u(%)在(2,+8)上單調(diào)遞增，得“(%)>v(2)=e2—2>0,

2

所以7H(X)在(2,+8)上單調(diào)遞增，故血(%)>m(2)=y—ln2>0,

,,__2a

又2a>e+l>2,從而元一ln(2a)>0,即g(2a)>0,

又f(l)<0,所以1<x2<2a.

②—)=3—l)eR-In圭+5T-2a,

1y

設(shè)力(%)=Inx—x+1,則〃(%)=—,

易知K%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減，

所以1(%)<t(l)=0,即In%<%—1,

又2a>e+1,即0V---<一，

2a—1e

111

所以1,且函二一1>0,

因此。導(dǎo)0>(2a-1)3-(2a-1)=(2a-l)(e--1)>0,

11

又/(1)<0,所以五二T<%i<1,即一1V—%i<—r,

4a2—2a—1

于是％2-x1<2a--^―

2a—1

【變式2-1](2024?湖南株洲?一模)已知函數(shù)/(%)=(%+砌靜，在(1/(1))處的切線方程為y=e(x—1),其

中e為自然常數(shù).

(1)求a、b的值及/(x)的最小值；

(2)設(shè)巧，久2是方程—久)=丘2-2(fc>2)的兩個不相等的正實根，證明：|巧一％2|>ln￡

【解題思路】(1)借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得r(l)=e,/(I)=0,計算即可得a、b,結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性

后即可得/(x)的最小值；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x—l)e，一k/+2,借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性后結(jié)合函數(shù)零點的存在性定理，可得1與21n

2在函數(shù)g(x)的兩個零點之間，即可得證.

【解答過程】(1)10)=ebx+b(x+d)ebx=(bx+ab+l)e6x,

由題意有f'(l)=(b+ab+l)eh=e及f(1)=(1+d)eb=e(l—1)=0,

由(1+a)e&=0可得a=—1,則/(1)=(b—b+l)e。=e,即b=1,

故a=-1、b-1,則/(%)=(x—l)e”,

f'(x)=(%-1+l)ex=xex,

當(dāng)%>。時，f(x)>0,當(dāng)％<0時，r(x)<0,

故/(久)在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故f(x)有最小值/(0)=(0-l)e°=-1；

(2)令g(x)=/(X)—kN+2=(%_i)e*—k/+2,x>0,fc>2,

則。'(久)=xeX—2kx=x(ex—2k),

則當(dāng)e*>2k,即x>In2k時，g'(x)>0>

當(dāng)0<e工<2k,即0<x<ln2k時，g'(x)<0,

故g(x)在(0,ln2k)上單調(diào)遞減，在(ln2k,+8)上單調(diào)遞增，

故g(ln2k)=(In2k-l)eln2k-fc(ln2fc)2+2=2k(In2k-1)-fc(ln2fc)2+2

=-fc[(ln2/c)2-21n2k+21+2=-fc[(ln2/c-l)2+l]+2,

由k>2,故gQn2k)=-/c[(ln2fc-l)2+l]+2<-fc+2<0,

又9(0)=(0—l)e0+2=1>。，當(dāng)x—+8時，g(x)—+8,

故9(x)有兩個零點，不妨設(shè)兩零點％1<%2，有。<Xi<In2k<冷，

又9(1)=(1一l)e1-k+2--k+2<0,

由1<21n2<21nfc,故g(ln2k)<g(21n2)<g(l)<0,

4

則<1<21n2<x2,故—冷|>21n2—1=In-.

【變式2-2](2024?北京朝陽?二模)已知函數(shù)/(x)=ax—ln(l—x)(aeR).

(1)求曲線y=久久)在點(0/(0))處的切線方程；

(2)若/'(X)>0恒成立,求a的值；

(3)若/'(%)有兩個不同的零點燈32,且|應(yīng)一打1>e—1，求a的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；

(2)求導(dǎo)可得「(無)=等等0<1),易知當(dāng)a20時不符合題意；當(dāng)a<0時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(x)的單

調(diào)性可得/'(x)min=a+1+ln(-a)>0,設(shè)(jp(x)=x+l+ln(-x)(x<0),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)s(x)的性質(zhì)

即可求解；

(3)易知當(dāng)a20時不符合題意，當(dāng)a<0時，易知巧<功<1不符合題意；若犯<%1，由(2)可知只需

f(l-e)<0,解之即可.

1

【解答過程】(1)由/'(%)=ax—ln(l—％),得((x)=a+匚4%<1),

因為f(0)=0/(0)=a+l,

所以曲線y=/(%)在點(0/(0))處的切線方程為y=(a+l)x；

/一、〃，，、1—ax+a+1zy、

(2)f(%)=a+—=1-x(x<1),

①當(dāng)aNO時，/(—1)=—a—ln2<0,不符合題意.

②當(dāng)a<0時，令/。)=0,解得x=i+3

當(dāng)％6(—8,1+9時，f'(x)<0,/(x)在區(qū)間(一8,1+9上單調(diào)遞減，

當(dāng)％6(1+：,1)時，f'(x)>0,/(%)在區(qū)間(1+11)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)X=1+5時，f(X)取得最小值/'(1+亍)=a+1+ln(—a)；

若/'(%)>。恒成立，則a+1+ln(-a)>0,

設(shè)0(%)=X+1+ln(—x)(x<0),則。(%)=1+-=—,

當(dāng)丁￡(—oo,—l)時，(p<x)>0,0(%)在區(qū)間(—8,—1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)％w(-L0)時,“0)<0,9(無)在區(qū)間(一1,0)上單調(diào)遞減，

所以9(%)<9(-1)=0,即a+1+ln(—a)>0的解為a=-1.

所以a=-1；

(3)當(dāng)aNO時,f(x)>0,/(%)在區(qū)間(—8,1)上單調(diào)遞增，

所以/(%)至多有一個零點，不符合題意；

當(dāng)a<0時，因為/(0)=0,不妨設(shè)久1=0,

若0<%2<1，則|%2—%il<1Ve—1,不符合題意；

若％2V則V1—e,

由(2)可知，只需/(l—e)<0,BPa(l—e)—1<0,解得/^Va<0,

即。的取值范圍為(±,o).

【變式2-3](2024?河南?模擬預(yù)測)已知b>0,函數(shù)/(久)=(x+a)ln(x+b)的圖象在點(1)(1))處的切線

方程為%ln2—y—ln2=0.

(1)求a,b的值；

(2)若方程/(無)=：(e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個實數(shù)根小,尤2,且X1<冷，證明：*2—X1<1+9+焉

【解題思路】(1)求導(dǎo)得f'(x)=毒+足0+6),結(jié)合((1)=ln2,f(1)=0可列出方程組求解；

(2)由題意得%1V0V%。V1V%2,構(gòu)造函數(shù)證明不等式(％—l)ln(%+1)之(％—1)?ln2,當(dāng)且僅當(dāng)％=1

時，等號成立；(x-l)ln(x+l)>-%,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立；從而可分別得到應(yīng)'=1+焉>冷，

=—|<%i，由此即可得證.

【解答過程】(1)因為r(x)=鬻+m。+6),所以廣(1)=鬻+ln(l+b)=ln2,

由題意知/(I)=0,所以/(I)=(1+a)ln(l+b)=0,

f(1+a)\n(b+1)=0

聯(lián)立方程組+in(i+》)21n2,解得a=一1力=L

(2)由(1)可知/(%)=(%-/(0)=0,/(1)=0,

2

f(x)=1一十+ln(x+1)，設(shè)尸(x)=U(x)，

所以“(X)即(0：)在(一1,+8)上單調(diào)遞增.

又((0)=-1<0/(1)=ln2>0,所以存在&e(0,1),使得/(配)=0,

且久e(-l,%o)時,f'(x)<0,%eg,+8)時,f(x)>0,

故/(X)在(一1,%0)上單調(diào)遞減，在(尤0,+8)上單調(diào)遞增，

設(shè)h(%)=(x—1)1ln2,令F(x)=f(x)—h(x)=(x—l)ln(x+1)—(%—1)-ln2,

貝1jF'(x)=言+In(久+1)-ln2=ln(x+1)—京+1-ln2,

因為廣(%)在(一1,+8)上單調(diào)遞增，

所以F〈x)在(一1,+8)上單調(diào)遞增.

又F'(l)=o,所以當(dāng)一1<X<1時，F(xiàn)(x)<0,當(dāng)x>l時，F(xiàn)(x)>0.

所以尸(功在(—1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

故F(x)2/(1)=0,即(乂一l)ln(x+l)2(%—1)Jn2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立.

因為方程/'(%)=：有兩個實數(shù)根％132，且久1<犯，

-1

也就是f(X2)=/(%1)=7>/(I)=/(0)=0,且注意到/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

x

所以乂1<0<X0<1<2>

所以(%2—l)ln(x2+1)>(x2-l)ln2,即/(x2)>/i(x2).

11

設(shè)僅%)=&的根為：X2'，則X2'=1+—,

又h(x)在(一1,+8)上單調(diào)遞增,所以/l(x2-)=/(%2)>九(尤2),

故久2,>*2①.

易知/(%)的圖象在坐標(biāo)原點處的切線方程為0(%)=-%,

令T(x)=/(x)—g(%)=(x—l)ln(x+1)+%,

2x2

則r(x)=—+In(x+1)=2-—+ln(%+1),

因為廣(久)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

所以7(%)在(一1,+8)上單調(diào)遞增.

又r(o)=o,

所以當(dāng)一i<x<o時，r(%)<o,當(dāng)尤>o時，r(x)>o,

所以r(x)在(—1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

所以7(x)2T(0)=0,(x-l)ln(%+l)>-%,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立.

因為刀1<0,所以(%i—+1)>—xi，即/'(小)>

11

設(shè)=%的根為xj則卬,=一了

又。0)在(-1,+8)上單調(diào)遞減，

所以=/(%i)>9(x0，所以X1<Xi，

從而—xT>—巧②.

由①②可知：X2—X1<X2—%1"=1++1.

【題型3極值點偏移：乘積型】

【例3】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(X)=ax2—Qnx)2(aeR).

(1)當(dāng)a=1時，討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

(2)若/(久)有兩個極值點久1，久2.

①求實數(shù)a的取值范圍；

②求證：%1%2>e.

【解題思路】(1)求得/'(*)=2x—竽，設(shè)g(x)=2x—萼，得到g，(x)=2(飛尸),再令“幻=/十足

X-1,求得九(%)為(0,+8)上的增函數(shù)，且九(1)=0,進(jìn)而求得/(%)單調(diào)區(qū)間；

(2)①求得r(%)=2ax—等，令((久)=0,解得a=詈，設(shè)p(x)=譬，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為直線y=a與函

數(shù)p(W的圖象有兩個不同的交點，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)P(x)的單調(diào)性與極值，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即

可求解；

②由函數(shù)了(%)有兩個零點％1逐2,得到2a/=lnxp2a%2=坨必，令〃=妊工2=②轉(zhuǎn)化為證明。以>e2,

不妨令施>上，只需證明lnti+lnt2>2,化簡得到ln}>隼"，令m=￡,轉(zhuǎn)化為證明lnm>筆答

c

L2_L-|-12771+1

C2

(m>1),令s(m)=lmn—'箸(巾>1),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

【解答過程】(1)解：當(dāng)a=l時，可得f(x)=/—(In無/，其中;ce(0,+8),則/，(%)=2萬一詈,

設(shè)g(x)=2x-竿，則)⑺=2(七廠％

令九(%)=N+Inx—1,可得"(x)=2%+1>。恒成立，

所以h(x)為(0,+8)上的增函數(shù)，且九(1)=0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以g(x)min=g(l)=2,

所以r(x)min=2>0,所以廣(X)>0,所以/(X)在(0,+00)上單調(diào)遞增.

(2)解:①因為函數(shù)/'(x)=ax2—(Inx)2,可得/(無)=2ax—等，

令尸(x)=。，解得。=臀，

設(shè)p(x)=臀，可得p，(x)=W￡x>0,

因為f(X)有兩個極值點X1,X2,則直線y=a與函數(shù)p(x)=詈的圖象有兩個不同的交點,

當(dāng)xe(0,正)時，p,Qx)>0；當(dāng)％€(泥,+8)時，p'(x)<0,

所以p(x)在(0,點)上單調(diào)遞增，在(碗,+8)上單調(diào)遞減，所以P(X)max=P(、何=(.

又當(dāng)久>1時，p(x)>0,故可作出p(x)的大致圖象，如圖所示，

結(jié)合圖象可得，0<a(卷，即實數(shù)a的取值范圍為(0,5).

②由函數(shù)((%)有兩個零點%i,%2，所以2a好=\nxl，2ax2=In成，

令G=好工2=/，則等價于關(guān)于t的方程2砒=有兩個不相等的實數(shù)根A%

只需證明￡住2>e2,

Inti—lnt

不妨令力1>以，由2ati=Inti,2at2=1口以得2a2

f2

2

要證力送2>e,只需證明Inti+lnt2>2,

即證Inti+lnt=2a（打+t）=（打+t）**二7>2,

222

即證Inq-lnt2>半守，即證In?>華D,

C1+C2。2-±+1

￡2

令m=菅，則7H>1,只需證明Inzn>>1),

令s(m)=lnm—爺=(爪>1),則頻峭=熟多>0，

所以s(m)在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以s(m)>Ini—華滬=°，

綜上所述，原不等式成立.

【變式3-1](2024?四川眉山?三模)已知函數(shù)/(%)=%ln%—a/一2%.

(1)若過點。0)可作曲線y=/(%)兩條切線，求。的取值范圍；

(2)若/'(%)有兩個不同極值點%L%2.

①求a的取值范圍；

②當(dāng)％1>4令時，證明：%i^2>16e3.

【解題思路】(1)求出函數(shù)“乃的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點坐標(biāo)，求出切線方程，結(jié)合切線過的點構(gòu)造函數(shù)

g(%)=ax2—2ax-%+Inx-1,探討函數(shù)g(%)有兩個零點的a的值范圍.

(2)①由((%)=In%-2a%-1有兩個零點，結(jié)合零點的意義分離參數(shù)，求出直線y=2a與函數(shù)y=卓二圖

象有兩個公共點的a的值范圍；②由方程根的意義可得?。：1^^^,分析所證不等式，換元并證明Int—41n

2，W>0(t>4)即可.

【解答過程】(1)依題意，f'(x)=Inx—2ax—1,

設(shè)過點(1,0)的直線與曲線y=/(%)相切時的切點為。o，yo),斜率k=ln%0-2ax0-l，

切線方程為y-(xolnxo一。延-2x0)=(lnx0-2ax0一1)0—%o)，而點(1,0)在切線上，

nx

貝!)—xolo+2%o=(lnx0—2a%0—1)(1—%o),即有@久決—2ax0—%0+lnx0—1=0,

由過點(LO)可作曲線y=/(%)兩條切線，得方程-2ax0-x0+lnx0-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

令。(%)=ax2—2ax—x+Inx—1,則函數(shù)g(%)有2個零點，

求導(dǎo)得g，(x)=2ax-2a-l+|=2ax2-(2;+l)x+l=(2ax-?d),

1]1

①若a>5,由夕(X)>0,得Ovxv元或汽>1,由夕(x)<0,得五v%vl,

即函數(shù)g(x)在(05)，(L+8)上單調(diào)遞增，在點1)上單調(diào)遞減，

1

則當(dāng)％=五時，g(%)取得極大值；當(dāng)％=1時，g(%)取得極小值，

1121111

又)=CL,y(—J)—2a,----Fln--1=—In2a----2V0,

k2ay2a2a2a2a4a

當(dāng)XW1時，g(x)<0恒成立，因此函數(shù)g(x)最多1個零點，不合題意；

②若a=g'(x)>。恒成立，函數(shù)g(x)在(0,+°o)上單調(diào)遞增，

因此函數(shù)g(x)最多1個零點，不合題意；

③若0<a<5，由g，(x)>0,得0<x<l或%>/,由g，(x)<0,得1<x<盤

即函數(shù)9(%)在(0,1),(《,+8)上單調(diào)遞增，在(1,，上單調(diào)遞減，

則當(dāng)x=l時，g(x)取得極大值；當(dāng)X時，g(x)取得極小值，又g(l)=—a—2<0,

顯然當(dāng)x時，g(x)<。恒成立，因此函數(shù)g(x)最多1個零點，不合題意；

④若aWO,顯然2ax—l<0,當(dāng)0<x<1時，g'(x)>0,當(dāng)x>!.時，g'(x)<0,

函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，當(dāng)％=1時，g(x)取得最大值g(l)=—a—2,

要函數(shù)g(x)有2個零點，必有g(shù)(l)=-a-2>0,得a<-2,

當(dāng)0<x<1時，g(%)=a(%—l)2—x—a—1+Inx<—a—1+In%,

而函數(shù)y=-a-1+In%在(0,1)上的值域為(一8,一。一1),因此g(%)在(0,1)上的值域為(一8,一。一2),

1

當(dāng)久〉1時，令y=ln%—%,求導(dǎo)得y=1—1<0,函數(shù)y=In%—%在(1,+8)上單調(diào)遞減，

貝ijln%—%<—1,g(%)=a(x—l)2—a—1+Inx—x<a(x—l)2—a—2,

而函數(shù)y=a(x—l)2—a-2在(1,+8)上單調(diào)遞減，值域為(-oo,-a—2),

因此函數(shù)g(x)在(1,+8)上的值域為(一8,一a一2),

于是當(dāng)。<一2時，函數(shù)g(%)有兩個零點，

所以過點(1,0)可作曲線y=f(%)兩條切線時，。的取值范圍是(一8,—2).

(2)①由(1)知，f'(x)=Inx—2ax—1,

由函數(shù)/(x)有兩個極值點X1,X2,得/'(x)=o,即2a=嚀有兩個實數(shù)根盯,%2，

令u(x)=1,求導(dǎo)得M(x)=2=”,當(dāng)0cx<e?時，u'(x)>0,當(dāng)x>e2時，u"(x)<0,

函數(shù)u(X)在(0,e2)上單調(diào)遞增，(e2,+8)上單調(diào)遞減，a(X)max=5，

且〃(e)=0,當(dāng)%>e時，函數(shù)”(%)>0恒成立，因此當(dāng)0V2aV白時，2a=嚀^有兩個實數(shù)根

1

所以函數(shù)/(X)有兩個極點時，a的取值范圍是(0,點).

②由｛麒二畿二；即｛慎二生"，得2。=歿等，

要證明百成>16e3,只需證明ln%i+21n久2>41n2+3,

In2

而ln%i+21nx2=2a(打+2x2)+3=(5+2x2)?+3=(p+2)?4^+3,

%1~-%2