高考數(shù)學(xué)解答題提高一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列求通項（構(gòu)造法、倒數(shù)法）（典型題型歸類訓(xùn)練）（學(xué)生版+解析）

專題03數(shù)列求通項（構(gòu)造法、倒數(shù)法）（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍........................................................1

二、典型題型........................................................2

題型一：構(gòu)造法...................................................2

題型二：倒數(shù)法...................................................3

三、數(shù)列求通項（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項訓(xùn)練...........................5

一、必備秘籍

1.構(gòu)造法

類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列

形如%+1=心〃+，（太。為常數(shù)，叱0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為

an+i+ni=k（an+m）（其中：m=-^-）,由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列先求出的通項，從而

k-1

求出數(shù)列｛見｝的通項公式.

標準模型：an+1=kan+p（k,P為常數(shù)，kpM）或%=kan_]+p（k,p為常數(shù),kp$O）

類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列

（1）形如即+1=網(wǎng)”+°4"+1（"€"*）,可通過兩邊同除4'用，將它轉(zhuǎn)化為智=^+P,從而構(gòu)造數(shù)列件

Qq

為等差數(shù)列，先求出的通項，便可求得｛4｝的通項公式.

n+ln+l

（2）形如an+i=kafl+q（〃eN*）,可通過兩邊同除q,將它轉(zhuǎn)化為名■="之+1,換元令：〃=之,

qqqq

k

則原式化為：2+i=-2+i,先利用構(gòu)造法類型1求出切，再求出｛凡｝的通項公式.

Q

（3）形如即-%+1=切用即（女工。）的數(shù)列，可通過兩邊同除以即+遮〃，變形為-左的形式，從而

冊+1an

構(gòu)造出新的等差數(shù)列[十，，先求出的通項，便可求得｛凡｝的通項公式.

2.倒數(shù)法

用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列

類型1：形如%+1=上「（。應(yīng)為常數(shù)，pq#o）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為一匚=2+'，

pan+qan+lanq

即：從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列[2],先求出;工[的通項，即可求得％.

aaa

4+1nQ[n][n\

ka

類型2：形如為+i=——n（PM為常數(shù)，pwO,左。0）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變

p%+q

q1pan

形為——1=，一+：，可通過換元：儲.=一1,化簡為：b（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待

ka

%nkankk

定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如%+1=笈〃+，（太。為常數(shù)，切*0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原

等式變形為即+1+7"=%3"+〃。（其中：m=,由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列｛a“+〃”，先求出｛%+*的

通項，從而求出數(shù)列｛見｝的通項公式.）

二、典型題型

題型一：構(gòu)造法

例題1.（2023秋?江西宜春?高三?？奸_學(xué)考試）已知正項數(shù)列｛q｝中，q=2,a,M=2a“+3x5”,則數(shù)列｛凡｝

的通項%=（）

A.-3X2"TB.3x2'1-'

C.5"+3x2"-1D.5"-3X2"T

例題2.（多選）（2023秋?廣東深圳?高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前w項和為S1,，且滿足S.=2%-2",

weN*,則（）

A.%=2B.%=6C.數(shù)列[祟;為等差數(shù)列D.｛4+1｝為等比數(shù)列

例題3.（2023春?山東淄博?高二?？计谥校┮阎?｝數(shù)列滿足卬=2,a用-2%=2向，則數(shù)列｛q｝的通項

公式為_________

例題4.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足%=l,a“+i-a“=2%<2用，則數(shù)列｛a“aa+J的前〃項和

為.

例題5.（2023?全國,高三專題練習(xí)）在數(shù)列｛。“｝中，％=1,且%=2%_]+1（〃>1）,求

例題6.（2023?四川綿陽?四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”,

Sn=2q,+2〃-6（“eN"）.

（1）求證數(shù)列也-2｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式明.

例題7.（2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且S“=2%+〃-3（〃eN*）.

（1）求證：數(shù)列｛4-1｝是等比數(shù)列；

例題8.（2023春?江蘇鹽城?高二鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知正項數(shù)列｛4｝滿足4=1,且%-。用=",//.

⑴求數(shù)列｛見｝的通項公式；

題型二：倒數(shù)法

例題1.（多選）（2023春?云南玉溪?高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,%=號丁（”eN*）,則（）

A.為等比數(shù)列

B.｛見｝的通項公式為%=1二

C.｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列

D.卜勺前〃項和7；=27

、2a—1

例題2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列（%｝滿足囚=2,。，血=不廣，則”“=_____.

%十一

-4x

例題3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式。3=亡丁，且首項卬=5,求數(shù)列｛（%｝的通項

公式.

例題4（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知見+1==7，4=1,求巴的通項公式.

an7

、44〃”

例題5.（2023春?遼寧錦州?高二?？计谥校┮阎獢?shù)列｛（%｝的首項%=,,%+1=五二=，"eN*.

⑴設(shè)”;-—1,求數(shù)列也｝的通項公式；

an

（2023?全國?高三專題練習(xí)）若q>0,a“+i=：^-（〃=l,2,…）.

例題6.

（1）求證:〃”+產(chǎn)%；

,、72。

例題7.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的首項%=（,且滿足?！?1=卓

（1）求證:數(shù)列為等比數(shù)列:

三、數(shù)列求通項（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023春?河南許昌?高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足〃角=2%+1嗎=1,則｛q｝的通項公式（）

-1

A.an=2"B.an=2"-'-1C.an=2"D.an=2"-1

二、填空題

2.（2023秋?陜西商洛高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛氏｝滿足%=3%+2,%+%=22,

則滿足4>160的最小正整數(shù)w=.

3.（2023?全國?高三對口高考）數(shù)列｛q｝中，%+1=號1，％=2，則%=.

4.（2023春?江西南昌?高二南昌二中校考階段練習(xí)）數(shù)列｛4｝中，q=1,an=3an_x+2（n>2）,則此數(shù)列

的通項公式4,=.

5.（2023?全國?高二專題練習(xí)）數(shù)列｛劭｝滿足%+1=5%+3、5用，4=6,則數(shù)列｛助｝的通項公式為.

,、1〃+1n…

6.（2023?全國?高二專題練習(xí)）設(shè)S”為數(shù)列｛4｝的前幾項和，已知弓=彳，——=一+2",貝丘"=_______

2an+\an

三、解答題

7.（2023秋?江蘇?高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足：q=2,q,=蠟■（心2）,求通項％.

8.（2023秋,江蘇,二專題練習(xí)）已知：4=1,時，an=-an_x+In—1,求｛4｝的通項公式.

（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足卬=；,

9.6+1=]+（〃y，.若丸=1,求數(shù)列｛?！ǎ?/p>

通項公式.

10.（2023全國高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛〃〃｝中，4=3,%=3%+2X3D,求數(shù)列｛4｝的通項公式;

四、雙空題

17.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝滿足?！?i=+2x3"+l(p￡H),若〃=1,%=4,則

a4=;若P=2,%=5,貝U4及—.

專題03數(shù)列求通項（構(gòu)造法、倒數(shù)法）（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍........................................................1

二、典型題型........................................................2

題型一：構(gòu)造法...................................................2

題型二：倒數(shù)法...................................................3

三、數(shù)列求通項（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項訓(xùn)練...........................5

一、必備秘籍

1.構(gòu)造法

類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列

形如%+1=心〃+，（太。為常數(shù)，叱0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為

an+i+ni=k（an+m）（其中：m=-^-）,由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列先求出的通項，從而

k-1

求出數(shù)列｛見｝的通項公式.

標準模型：an+1=kan+p（k,P為常數(shù)，kpM）或%=kan_]+p（k,p為常數(shù),kp$O）

類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列

（1）形如即+1=網(wǎng)”+°4"+1（"€"*）,可通過兩邊同除4'用，將它轉(zhuǎn)化為智=^+P,從而構(gòu)造數(shù)列件

Qq

為等差數(shù)列，先求出的通項，便可求得｛4｝的通項公式.

n+ln+l

（2）形如an+i=kafl+q（〃eN*）,可通過兩邊同除q,將它轉(zhuǎn)化為名■="之+1,換元令：〃=之,

qqqq

k

則原式化為：2+i=-2+i,先利用構(gòu)造法類型1求出切，再求出｛凡｝的通項公式.

Q

（3）形如即-%+1=切用即（女工。）的數(shù)列，可通過兩邊同除以即+遮〃，變形為-左的形式，從而

冊+1an

構(gòu)造出新的等差數(shù)列[十，，先求出的通項，便可求得｛凡｝的通項公式.

2.倒數(shù)法

用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列

類型1：形如%+1=上「（。應(yīng)為常數(shù)，pq#o）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為一匚=2+'，

pan+qan+lanq

即：從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列[2],先求出;工[的通項，即可求得％.

aaa

4+1nQ[n][n\

ka

類型2：形如為+i=——n（PM為常數(shù)，pwO,左。0）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變

p%+q

1.1

形為——=，q一1+：p，可通過換元：儲=一,化簡為：ban（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待

ka

%nkankk

定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如%+1=笈〃+，（太。為常數(shù)，切*0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原

等式變形為即+1+7"=%3"+〃。（其中：m=,由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列｛a“+〃”，先求出｛%+*的

通項，從而求出數(shù)列｛見｝的通項公式.）

二、典型題型

題型一：構(gòu)造法

例題1.（2023秋?江西宜春?高三?？奸_學(xué)考試）已知正項數(shù)列｛q｝中，q=2,a,M=2a“+3x5”,則數(shù)列｛凡｝

的通項%=（）

A.-3X2"TB.3x2'1-'

C.5"+3x2"-1D.5"-3X2"T

【答案】D

【詳解】解法一：在遞推公式*=2凡+3x5"的兩邊同時除以5"。得需]①,

5555

令則①式變?yōu)?=|2+|,即%-1="2一1）,

所以數(shù)列｛2-1｝是等比數(shù)列，其首項為4-1=1■-1=-|,公比為高，

所以以-1=-|同，即…3（1），

所以3=i-gx2.二

5,55〃

所以%=5"-3x2"'

解法二：設(shè)。用+左x5m=24+左x5"）,貝！2。*—3-x5",

與?！?1=2%+3x5"比較可得k=-l,

所以。用一5向=2（%,-5"）,

所以數(shù)列｛。,-5"｝是首項為囚-5=-3,公比為2的等比數(shù)列，

所以%-5"=-3x2"i,所以a,=5"-3x2"T,

故選：D

例題2.（多選）（2023秋?廣東深圳?高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前n項和為Sn,且滿足S.=2%-2",

weN*,則（）

A.4=2B.%=6C.數(shù)列］m為等差數(shù)列D.｛凡+1｝為等比數(shù)列

【答案】ABC

【詳解】由S“=2%-2"得Si=2%-2"T（n>2）,兩式相減得a?=2al+2"一（?>2）,

曳一?1-％「1

2"2"T22"2"T2'

又當”=1時，d=2q-2,則q=2,故松，為首項是1,公差為的等差數(shù)列，

顯然A、C正確；

%=3x2=6,故B正確；

由通項公式易得4+1=3,2+1=7,%+1=17,三者不成等比數(shù)列，故D錯誤.

故選：ABC.

例題3.（2023春?山東淄博,高二?？计谥校┮阎袛?shù)列滿足囚=2,。用-2氏=2"+|,則數(shù)列｛%｝的通項

公式為_________

【答案】an=n-2"

【詳解】由--2a“=2向得|鬻喙=1，

故，墨，為等差數(shù)列，公差為1,首項為1,

所以崇=1+(〃-1)=〃

所以a”="2.

故答案為：an=n-T

例題4.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,%+1-凡=2%乙+1，則數(shù)列｛q,%+J的前"項和

為.

—n

【答案】

2n-l

【詳解】解：因為％=1,%-4=2%%，

所以丁“，即:==2,即六-4-2,

所以是以1為首項，-2為公差的等差數(shù)列，

所以53一2"，所以%=六'則的用=（2〃-3；（2”1）=[止一

令數(shù)列｛anan+l\的前n項和為,，

11111]

----1—----1-----+???+白）=小一土

則m113352n—3

故答案為：$

2n-l

例題5.（2023,全國?高三專題練習(xí)）在數(shù)列｛〃"｝中，q=l,且q,=2%_]+1（">1）,求

【答案】an=T-\

【詳解】由4=2%+1（〃>1）,得4+1=2（%_]+1）（鼠>1）,

所以數(shù)列｛4+1｝是以首項為％+1=2,公比為2的等比數(shù)列.

所以。“+1=2x2”,即凡=2-1.

當〃=1時，Gj=2'-1=1,此式也滿足為,

故4=2-1.

例題6.（2023?四川綿陽?四川省綿陽南山中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項和為S”,

S1,=2a?+2〃-6（〃eN"）.

（1）求證數(shù)列｛4-2｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項公式％.

【答案】⑴證明見解析,%=2"+2

【詳解】（1）因為S"=2a“+2〃-6,所以當〃=1時，品=2卬-4,解得4=4.

當〃22時，S"_i=2a+2/1—8,則Sn—=2an—2a“一+2,

ci—2

整理得4=2%_「2,故-^=2,q-2=2,

an-\~2

所以數(shù)列｛氏-2｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，所以a“-2=2x2"T=2".所以%=2"+2

例題7.（2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記數(shù)列｛%｝的前〃項和為%且S,=2%+〃-3（〃eN*）.

⑴求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

【答案】①證明見解析

【詳解】（1）由于S“=2a“+〃-3,故S,T=24T+（，-1）—3,（〃N2,〃eN*）,

a

n=S,-Sn_x=2an-2a+1,

二%=2%-l,

o?-l=2（a?_1-l）,（"N2,〃eN*）,

q=S[=2q—2,可得4=2,

所以數(shù)歹U｛%-1｝是一個首項為1,公比為2的一個等比數(shù)列；

例題8.（2023春?江蘇鹽城?高二鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知正項數(shù)列｛風｝滿足4=1,且%-。用=",//.

⑴求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

【答案】（1）q=」

n

「、II1

【詳解】（1）數(shù)列｛%｝中，”“>0,由4-4+1=4"?！?1，可得-------=1

an+lan

又;=;=1,則數(shù)列[,是首項為1公差為1的等差數(shù)列，則

a'1[a?]%

則數(shù)列｛%｝的通項公式為

題型二：倒數(shù)法

例題L（多選）（2023春?云南玉溪?高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列｛%｝滿足q=1，。,+1=號]（”eN*）,則（）

A.為等比數(shù)列

B.｛%｝的通項公式為

jn—2

c.｛q｝為單調(diào)遞減數(shù)列

D.卜勺前〃項和7；=叫了

【答案】BCD

11+3%1。f11

【詳解】因為一=——-=—+3,所以一是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，故選項A錯誤；

aa

〃用nn[an\

?.?'=1+3（〃_1）=3〃_2,即—--,故選項B正確；

an3n-2

根據(jù)函數(shù)y=3x-2在[1,+S）上單調(diào)遞增，且3x-2>0,則函數(shù)y=J二在[1,+8）上單調(diào)遞減，

又因為?！?」式，”eN*,則數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項C正確；

3〃一2

[:卜勺前〃項和T,=*；-1）=2m,故選項D正確，

故選：BCD.

2a—1

例題2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛見｝滿足4=2,=丁匕，則%=_____.

%十"

3

【答案】--1

n

【詳解】設(shè)〃x）=U，令=x得：缶=x，解得：%=-1;

4+1-（-1）=："+：-（T）,化簡得，a?+i+1=3m+：）,

an+44,+4

1

Rrrf1%+4UK（?！?1）+31,1

-

+1，從而----7=?7=Z+7，

%+i。用+13（〃,+1）3an+\

痂」______匚=!

aa+1

口n+l+1n3，

又一所以是首項和公差均為二的等差數(shù)列，

%+13[an+1J3

從而=4（九一口米弓二^，故見二——I.

3

故答案為：1

n

例題3.（2023?全國,高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式乙+1=在胃，且首項％=5,求數(shù)列｛凡｝的通項

4—1

公式.

【答案】4=33+2

3r1-2

【詳解】令。用=。〃=%.先求出數(shù)列的不動點％=三3九一不4，解得玉=馬=2.

x-1

將不動點為=%=2代入遞推公式，得*-2=即一-2,

%一1

—21(4-2)+1

整理得為「2二」^

a“T%一2

1

—+1

a2

n+i~an—2

111

令b〃=，則2+1=4+1，4=

a〃一2a.-!3,

數(shù)列｛2｝是以;為首項，以1為公差的等差數(shù)歹!J.

2

???帆｝的通項公式為2=4+（〃-1”=n----

3

112

將4=一代入，得一力=n——

2an-23,

A.

%一8

例題4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知6-〃+1，4=1,求〃〃的通項公式.

2

【答案】%=2+

1—3〃

【詳解】由題意,

一一2=一%+2?！ㄒ?1-a+5-(??-2)+3

%+「2=n

見一5%+1.2

1311113

所以T，則31｝而

〃+〃]_2%-2a4—222

n+i

1133

故一是以-:為首項，3為公比的等比數(shù)歹U.

%-22]22

1134-2-3"=2+二

于是---3n=

%—2222〃1—3"

例題5.（2023春?遼寧錦州?高二?？计谥校┮阎獢?shù)列｛4｝的首項4=g,區(qū)4%

n+\o]，〃￡N*.

3?！?1

⑴設(shè)％=--1,求數(shù)列｛〃｝的通項公式;

an

【答案】⑴印nGN

也,^=1^0,

【詳解】（1）因為4+1

3c1n+1

所以a,產(chǎn)0,

7111C

因為4=——1=7肛

q4

所以么=,Tw°（"eN*）,

an

所以也｝是伉=；,4的等比數(shù)列，

所以紇=/4dJ（”N）

a

例題6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若q>0,n+l=.（"=1,2,…）.

（1）求證：。什尸耳；

【答案】⑴證明見解析

2M2a

【詳解】⑴證明：假設(shè)。因“eN*，%=，則—=冊，解得

于是得4=0或6=1,與題設(shè)4>。且6片1矛盾,故假設(shè)不成立，所以見+產(chǎn)成立.

7.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的首項%=:且倆正“向一2%+「

⑴求證：數(shù)列［為等比數(shù)列：

【答案】（1）證明見解析

2凡12凡+1

【詳解】⑴證明：由％2，可得=;==1+—,

2。"+1an+l2an2azi

—--2=---l=-［—-21x--2=-^0,

a

n+i2a,t2｛anJ62

故數(shù)列2］為等比數(shù)列.

三、數(shù)列求通項（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023春?河南許昌?高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列｛見｝滿足。，用=2%+1嗎=1,則｛q｝的通項公式（

-1-1

A.an=2"B.an=2"-1C.an=TD.an=2"-1

【答案】D

【詳解】由“用=2%+1得a,+i+l=2(%+l),而q+1=2,

故｛““+1｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以4+1=2",即%=2”-1.

故選：D

二、填空題

2.（2023秋?陜西商洛?高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足。用=3%+2,%+%22,

則滿足%>160的最小正整數(shù)〃=.

【答案】5

a=32+2=5

【詳解】由3,解得

a3+a2=22=17

又％=3q+2,所以％=1.

另一方面由??+i=3%+2,可得an+1+1=3(%+1),

所以｛an+1｝是首項為4+1=2,公比為3的等比數(shù)列,

所以%=2x3-1-1,易知｛4｝是遞增數(shù)列，

又々4=2x27—1=53,a5=2x81—1=161,

所以滿足4>160的最小正整數(shù)77=5.

故答案為：5.

3.（2023?全國?高三對口高考）數(shù)列｛q｝中，為+1=京丁’％=2，則%=

2

【答案】歷

【詳解】由。角=號丁，弓=2,可得1產(chǎn)0，

1l+3a?11c

所以——=-----=一+3,即--------=3（定值）,

4+1anan”〃+1an

故數(shù)列,以為首項，d=3為公差的等差數(shù)歹U,

%2

11/

所以一=不+"-1)x3=3n-—,

4272

1192

所以￡=萬，所以％產(chǎn)歷.

2

故答案為：—.

4.（2023春?江西南昌?高二南昌二中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列｛%｝中，％=1,a?=3a?_1+2（n>2）,則此數(shù)列

的通項公式.

【答案】2x3"--l

【詳解】因為4,=3a,T+2（〃N2）,所以+1=3（q_]+1）,又q=l,

所以4+1=2,所以｛。“+1｝是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，

所以a“+l=2x3-,貝l]a.=2x3i-L

故答案為：2X3"T-1

5.（2023,全國?高二專題練習(xí)）數(shù)歹（!｛加｝滿足4+1=5%+3x5"“，q=6,則數(shù)列｛劭｝的通項公式為.

9

【答案】

【詳解…—x5"i，所以翳=]+3,即翳一尹3,

,華｝是等差數(shù)列，而

所以會=抵+35-1）=3〃1，

9

所以q=（3"g>5〃.

故答案為：3-5〃.

,、1n+1nf

6.（2023?全國?高二專題練習(xí)）設(shè)S〃為數(shù)列｛〃,｝的前幾項和，已知4=不，=—+2,則〃〃=________

2凡H&

【答案】/

四=2+2=^±11n1

【詳解】-------1—

aa22%〃2

n+ln2Un

令/(〃)=n

2X

則/■5+i)-i=：(/⑺-i),

.??又〃1)T=；T=。，/(?)-1=0,

故答案為：—;

三、解答題

7.（2023秋?江蘇?高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足：q=2,q.=會■（“22）,求通項凡.

【詳解】取倒數(shù)：—=—+2^-----=2,故是等差數(shù)列，首項為'=1，公差為2,

a

n%4??-1[an\弓2

113

/.——=—+2（n—1）=2n——，

an22

2

??Q〃=.

An-3

8.（2023秋?江蘇?高二專題練習(xí)）已知：％=1,”22時，%=；4一+2〃-1,求｛4｝的通項公式.

3

［答案］an=^-+4n-6

=a

[詳角軍]設(shè)4++3~[_n_i+A（〃—l）+3],所以。/=3%-1一54〃一5人一不5,

乙乙乙乙乙

f=2，

A=-4

7,解得:

B=6

［22

又^-4+6=3,｛%-4〃+6｝是以3為首項，|為公比的等比數(shù)列,

n-\3,/

““=西+4”-6

:an-4n+6=3

皿

9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足q=；,?！?1“eN*.若4=1，求數(shù)列｛《｝的

1+（。）’

通項公式.

【答案】氏=，心*

【詳解】將4=1代入已知可得

因為q=g,所以a“片0,

-I〃+lI1I

所以有——二」-=一+l,所以一--=1

n+\an

又，=2,

ax

所以，數(shù)列4是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列,

所以,—=2+（n-l）xl=n+l,

an

1*

所以，a=--,neN.

nn+1

n+1

10.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛七｝中，al=3,an+1=3a?+2x3,neN*,求數(shù)列｛%｝的通項公式;

【答案】4=（21）.3”.

【詳解】解:由