甘肅省慶陽(yáng)市2025屆高三年級(jí)上冊(cè)階段性調(diào)研測(cè)試（一模）數(shù)學(xué)試題（含答案）

甘肅省慶陽(yáng)市2025屆高三上學(xué)期階段性調(diào)研測(cè)試（一模）

數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若集合4={5,6,9,10,14},B={6,9,12,15,16],則An8中元素的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

2.已知復(fù)數(shù)z=-5-2G則Z2的實(shí)部為（）

A.20B.21C.-21D.-20

3.若雙曲線卷-5=1的右支上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為9,貝UP到左焦點(diǎn)的距離為（）

A.3B.12C.15D.3或15

4.已知某圓臺(tái)的上底面半徑為1,下底面半徑為2,高為2平,則該圓臺(tái)的體積為（）

岑%

A,6^71B.C.7國(guó)D.yTT

5.函數(shù)外嗎=lg（10-2/的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-oo,l]B.(0,1]c（。尚D.(-嗎

6.在平行四邊形4BCD中,AB=2AE,BF=2FC,則麗=()

A.2AB+^ADQ.^AB+^ADC.^AB+2ADD.2AB+2AD

7.若銳角。滿足sinJcos。+cos20=則tan36=()

4D—Z

A-7B-3C-Hu.11

8.已知函數(shù)/'（%）的定義域?yàn)镽,/（/（X+y））=/（%）+/（y）,/（I）=1,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A./（0）=0B.f。）是奇函數(shù)

C./（2024）=2024D./㈤的圖象關(guān)于點(diǎn)&0）對(duì)稱(chēng)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知橢圓M：%2+^-=1,則（）

A.M的焦點(diǎn)在%軸上B.M的焦距為10

C.M的離心率為甯D.M的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的5倍

10.設(shè)函數(shù)/'（久）=2sin（2"x-§（72eN*）的最小正零點(diǎn)為an,貝！|（）

第1頁(yè)，共10頁(yè)

A）（久）的圖象過(guò)定點(diǎn)（0,—避）B./Q）的最小正周期為券

C.{a,J是等比數(shù)列D.{4}的前10項(xiàng)和為需

11.刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容用曲率刻畫(huà)空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀

與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正

四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為全故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為2兀-3x?7T.如圖，在正方體

中，AB=逆,貝!］（）

A.在四面體ABC/中，點(diǎn)4的曲率為號(hào)

B.在四面體ABCDi中，點(diǎn)的曲率大于答77T

C.四面體4BCD1外接球的表面積為127r

D.四面體ABCDi內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為4e+3"

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.己知一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,5,1,6,8,則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為；若從這組數(shù)據(jù)中任意

抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，則這2個(gè)數(shù)據(jù)不相等的概率為.

13.為了讓自己漸漸養(yǎng)成愛(ài)運(yùn)動(dòng)的習(xí)慣，小明10月1日運(yùn)動(dòng)了5分鐘，從第二天開(kāi)始，每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)比前

一天多2分鐘，則從10月1日到10月的最后一天，小明運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)為分鐘.

14.若過(guò)圓。/+0-2）2=產(chǎn)&>0）外一點(diǎn)「（2,-2）作圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B,且|4切=胃，則

r=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.（本小題13分）

在"BC中，AB—5,AC=4^/3,A=，.

（1）求BC的長(zhǎng)；

第2頁(yè)，共10頁(yè)

(2)設(shè)。為4C邊上一點(diǎn)，且8。=3,求sin/BD4.

16.(本小題15分)

如圖，AEl^ABCD,平面力BCD,四邊形力BCD為正方形，E,F位于平面48CD的兩側(cè).

(1)證明：平面BDF1平面4ECF.

(2)若CF=2,AE=3,AD=4,求平面ABF與平面4ECF夾角(銳角)的余弦值.

17.(本小題15分)

貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區(qū)的一種水果，其果實(shí)個(gè)大似鵝蛋，外表呈橙黃色，陽(yáng)面有暈.貴妃杏

口感甜美，肉質(zhì)實(shí)心鮮嫩多汁，營(yíng)養(yǎng)豐富，是河南省的知名特產(chǎn)之一.已知該地區(qū)某種植園成熟的貴妃杏

(按個(gè)計(jì)算)的質(zhì)量M(單位：克)服從正態(tài)分布Nd，/)，且p(96<M<106)=0.7,P(94<M<96)=0.1.從

該種植園成熟的貴妃杏中選取了10個(gè)，它們的質(zhì)量(單位：克)為101,102,100,103,99,98,100,99,97,101,這

10個(gè)貴妃杏的平均質(zhì)量恰等于〃克.

(1)求〃.

(2)求P(100<MS104).

(3)甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機(jī)選取1個(gè)，若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于100克且不大于104克，

則贈(zèng)送1個(gè)貴妃杏；若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于104克，則贈(zèng)送2個(gè)貴妃杏.記甲和乙獲贈(zèng)貴妃杏的總個(gè)數(shù)

為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

18.(本小題17分)

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在拋物線C:y2=2px(p>0)上，(2(-2,3),點(diǎn)P到C的準(zhǔn)線的距離為d,且d+|PQ|的最小值為

5.

(1)求C的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線，與C交于48兩點(diǎn)，且直線Q4的斜率與直線QB的斜率之積為-今求珀勺斜率.

第3頁(yè)，共10頁(yè)

19.(本小題17分)

定義：對(duì)于函數(shù)f(%),g0),若Va,b,ce(0,+8),f(a)+/(b)>g(c),則稱(chēng)“人嗎一g(x)”為三角形函數(shù).

(1)已知函數(shù)/'(X)=x-lnx,若g(x)為二次函數(shù)，llg(2-x)=g(x),寫(xiě)出一個(gè)g(x),使得“f(x)-g(x)”為

三角形函數(shù)；

(2)已知函數(shù)/(%)=言e(0,+8),若“/(%)—/(%)”為三角形函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(、)=ln(%++%,證明："/(%)-gQO”為三角形函數(shù).(參考數(shù)據(jù)：ln|

X0.405)

第4頁(yè)，共10頁(yè)

參考答案

1.5

2.B

3.C

4.B

5.D

6.C

7.C

8.D

9.BC

IQ.ACD

11.ABD

12.3；g

13,1085

14.2或4

15.⑴

在"BC中，AB=5,AC=4圾4=*

由余弦定理得：BC=y)AB2+AC2—2.AB-ACcosA=[52+(4避尸—2x5x4避x宇=

(2)

在“8。中，由正弦定理得一廣怒，

所以sin/BDA=叱川)=2=|.

B

ADC

16.(1)

第5頁(yè)，共10頁(yè)

因?yàn)榱l平面ABCD,CFJ.平面ABCD,

所以AE〃CF,

所以點(diǎn)4片。尸四點(diǎn)共面，

因?yàn)?E1平面4BCD,BDu平面4BCD,

所以BD1AE,

因?yàn)樗倪呅?BCD為正方形，

所以BD1AC,

又4EnA。=A,AE,ACu平面4ECF,

所以BD_L平面AECF,

因?yàn)锽Du平面BDF,

所以平面BDF1平面AECF；

(2)

因?yàn)?E1平面ABC。，AB,ADu平面ABC。，

所以4E1AB,AE1AD,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB1AD,

以點(diǎn)4為原點(diǎn)，以說(shuō)，前,版為居％z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镃F=2,AE=3,AD=4,

則4(0,0,0),5(4,0,0),F(4,4,-2),

所以同=(4,0,0),而=(4,4,一2),

設(shè)平面4BF的法向量為何=(a,b,c),

-AB-0,,f4cz-0

則n(方?而=O'故(4a+46—2c=0，

令c=2,可得b—1,<2=0,

故帚=(0,1,2)為平面力BF的一個(gè)法向量，

因?yàn)锽D_L平面4ECF,

所以而=(-4,4,0)為平面2ECF的一個(gè)法向量，

設(shè)平面4BF與平面4ECF夾角為仇

所以cos。=|cosBD,m|=|瑞扁卜百山=手

所以平面4BF與平面力ECF夾角(銳角)的余弦值為相.

第6頁(yè)，共10頁(yè)

17.⑴

101+102+100+103+99+98+100+99+97+101.??

〃=-------------Yd-------------------------=10°：

(2)

因?yàn)椤?100,所以P(104<M<106)=P(94<M<96)=0.1,

所以P(100<M<104)=0,7-01=0.3.

⑶

設(shè)1人獲贈(zèng)貴妃杏的個(gè)數(shù)為y,貝葉(丫=0)=0.5,P(y=1)=03,P(Y=2)=0.2.

依題意可得X的可能取值為0,1,2,3,4,

P(X=0)=0.5x0.5=0.25,

P(X=1)=0.5x0.3x2=0.3,

P(X=2)=0.32+0.5x0.2x2=0.29,

P(X=3)=0.3x0.2x2=0.12,

P(X=4)=0.2X0.2=0.04,

則X的分布列為

X01234

P0.250.30.290.120.04

所以E(X)=0x0.25+1X0.3+2x0.29+3X0.12+4x0.04=1.4.

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18.(1)

設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為尸出0),由拋物線的定義可得|PF|=d,

則d+\PQ\=\PF\+\PQ\>\FQ\,

當(dāng)Q,P,F三點(diǎn)共線且點(diǎn)P在線段QF上時(shí)，|PF|+|PQ|取得最小值5,

22

則|FQ|=J(E+2)+3=5,整理得(尹2)2=16,解得p=4或p=—12,

因?yàn)閜>0,所以p=4,故。的方程為y2=8x.

(2)

設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線=my+l,A(x1,y1),B(x2,y2).

聯(lián)立H二篇+1，消元得儼-8ay-8=0,則｛先:「二8嗎

小小I_yi_3丫2_3______(yi-3)(y2-3)______工

出也4?KQB=五不?豆”=(myi+3)(my2+3)=一了

2

得(m2+2)yiy2+(37n—6)(yi+y2)+27=—8(m+2)+8m(3m—6)+27=0,

代入韋達(dá)定理得：(加2+2)(-8)+(3m-6)(8m)+27=-8(m2+2)+8m(3m-6)+27=0,

化簡(jiǎn)得167n2-48血+11=0=>(4m-1)(4m—11)=0,

得m=3或坐

故/的斜率為4或

19.⑴

由/(%)=%—In%,xE(0,+8),

[y_1

得r(x)=1--=-,令f，(x)=0,解得久=1.

當(dāng)0<x<(時(shí),f'(x)<0,/'(X)在(0,1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)%>1時(shí),[(x)>0,/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以/(久)min=f(D=1.

因?yàn)間(x)為二次函數(shù)，且g(2—x)=g(x),所以g(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,

設(shè)9(久)=ax2-2ax+c(a40),

要使為三角形函數(shù)，只要2/Q)min>gQ)max，

取a=-l,c=0,則g(X)=一久之+2x=—(x—l)2+1,

第8頁(yè)，共10頁(yè)

gQ)max=g(l)=1，滿足2/(1)=2>1=5(1),

則Va,b,ce(0,+oo),y(a)+/(&)>2/(1)>g⑴>g(c),即/'(a)+f(b)>g(c)成立.

故若/(x)=x-lnx,取g(x)=-x2+2x,可使得久)”為三角形函數(shù).

(答案不唯一，參考函數(shù)g(x)=-a(x-l)2+c,a>0,c<2,寫(xiě)出任意一個(gè)滿足題意的g(x)都可以)

(2)

所)=厚=1+*-0,+8),

①當(dāng)t=2時(shí)，f(x)=1,

則任意Va/,cG(0,+oo),/(a)+f(b)=2>1=/(c),故af(x)-f(x)n為三角形函數(shù).

②當(dāng)t>2時(shí)，由久>。,2，+2>3,。<露

J</t—2<t—2tt—2t+1

^'OFT2-K/?<1+—=

要使“為三角形函數(shù)，

由2義12寄，解得t<5,

則有Va,6,cG(0,+8),/(a)+/(b)>22寄>/(c),

所以2<t<5；

③當(dāng)t<2時(shí)，則詈(就§<0，寄<八嗎<1，

要使"八久)一/(久)”為三角形函數(shù)，由2xg」Nl,解得t號(hào)，

則有Va,6,cG(0,+8),/(a)+/(6)>2(寄)21>/(c),

所以，Wt<2；

綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍為限,5].

(3)

/(%)=久一In%,x€(0,+8).

由⑴知,/(%)min=/(l)=1,

則任意a/6(0,+8),/(a)+/(6)>2/(1)=2；

下面證明gQ)max<2.

由g(%)=ln(x+1)—xlnx+x,xG(0,+oo),

則g'O)=^j^—lnx-1+1=^-