概率與其他知識(shí)的交匯02025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

率與其他知識(shí)的交匯

題型分析以能力立意是數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題是今

后高考的新特點(diǎn)和大方向，與概率交匯的試題正是在這種背景下“閃亮登場”，

頻頻出現(xiàn)在各類考試題中，下面介紹幾種常見的概率與其他知識(shí)的交匯題型.

題型一概率與統(tǒng)計(jì)

角度1統(tǒng)計(jì)圖與概率

例1（12分）為了解決家長接送孩子放學(xué)的問題，教育部提出推行課后服務(wù)“5+

2”模式，即學(xué)校每周5天都要開展課后服務(wù)，每天至少開展2h,結(jié)束時(shí)間要與

當(dāng)?shù)卣Ｏ掳鄷r(shí)間相銜接，且不得利用課后服務(wù)時(shí)間講新課.為了課后服務(wù)的有序

開展，某教育局就課后服務(wù)的時(shí)長在網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行意見征集，并從中隨機(jī)抽取了100

份調(diào)查表，以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）從樣本中隨機(jī)抽取2份調(diào)查表，若其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長超過

200min,求另一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長也超過200min的概率；

⑵為了進(jìn)一步了解課后服務(wù)時(shí)長的需求情況，從樣本中建議課后服務(wù)時(shí)長超過

180min的人中分層抽取10人，再從這10人中任取3人，記建議課后服務(wù)時(shí)長

在［180,200）的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

［思路分析］（1）先根據(jù)頻率分布直方圖求出課后服務(wù)時(shí)長超過200min的調(diào)查表

份數(shù)，再設(shè)出相關(guān)事件并求概率，最后根據(jù)條件概率的概率計(jì)算公式求解即可；

（2）先根據(jù)題意及分層隨機(jī)抽樣的知識(shí)求出X的所有可能取值，然后求解相應(yīng)的概

率，列出分布列，求得數(shù)學(xué)期望.

［規(guī)范解答］解（1）依題意，課后服務(wù)時(shí)長超過200min的調(diào)查表共有

100X（0.0075+0.0025）X20=20（份）①，（1分）

設(shè)事件A為其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長超過200min,事件3為另一

份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長也超過200min,

,CloC&o+C%C3o②八

則尸5）=C%o，P（A3）=而，G分）

故P（3H）=p（4）=c30ao+C%=1600+190=前、（5分）

（2）根據(jù)題意及分層隨機(jī)抽樣的知識(shí)可知，抽取的10人中，建議課后服務(wù)時(shí)長在

［180,200）內(nèi)的有6人,則X的所有可能取值為0,1,2,3?,（7分）

且P（X=0）=尋=右,"=1）=警/，

P（X=2）=瞽=；,P（X=3）=急=3（10分）

所以X的分布列為

X0123

1311

P

301026

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0X^+lX^+2x|+3x|=|?.（12分）

［滿分規(guī)則］

?得步驟分：

①②⑤每列一個(gè)式子并計(jì)算正確可得1分；

?得關(guān)鍵分：

③是條件概率公式得2分，④隨機(jī)變量取值不要多寫也不能漏寫；

?得計(jì)算分：

⑥正確計(jì)算期望可得2分.

訓(xùn)練12021年7月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于進(jìn)一步減輕義

務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》（簡稱“雙減”政策）.某校為了

落實(shí)“雙減”政策，安排了25名教師參與課后服務(wù)工作，在某個(gè)星期內(nèi)，他們參

與課后服務(wù)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.

參與人數(shù)

(1)求這25名教師在該星期參與課后服務(wù)的平均次數(shù);

(2)從這25名教師中任選2人，設(shè)這2人在該星期參與課后服務(wù)的次數(shù)之差的絕

對值為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

解(1)由統(tǒng)計(jì)圖可知，25名教師中，參與課后服務(wù)2次的有4人，參與課后服務(wù)

3次的有5人，參與課后服務(wù)4次的有10人，參與課后服務(wù)5次的有6人,

2X4+3X5+4X10+5X6

所以這25名教師在該星期參與課后服務(wù)的平均次數(shù)為

25

=3.72.

(2)由題可知，X的所有可能取值為0,1,2,3,

C5+C?+C?O+CB19

P(X=0)=

C?575'

CiCHdClo+CloCi13

P(X=1)=

C%30'

CiClo+CiCi7

P(X=2)=

C2530'

cicj,2

P(X=3)=~^~259

所以X的分布列為

X0123

191372

P

75303025

所以X的數(shù)學(xué)期望

19137257

￡'(X)=0X—+1X—+2X—+3X—=—

/JJDI///JJI/

角度2回歸分析與概率

例2(2023?石家莊模擬)設(shè)某幼苗從觀察之日起，第x天的高度為y(cm),測得的一

些數(shù)據(jù)如下表所示：

第X/p>

高度y(cm)0479111213

作出這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：y(cm)與式天)之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=b^+a,其

中。，6均為大于0的常數(shù).

(1)試借助一元線性回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用最小二乘法對a,b作出估計(jì)，

并求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

⑵在作出的這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，甲同學(xué)隨機(jī)圈取了其中的3個(gè)點(diǎn)，記這3個(gè)點(diǎn)

中幼苗的高度大于上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3其中(為表格中所給的幼苗高度的平均數(shù)，

試求隨機(jī)變量f的分布列和均值.

附：對于一組數(shù)據(jù)(01,〃1),(02,〃2),…，(Vn,Un),其經(jīng)驗(yàn)回歸方程〃=4+飽的

n

AY.Vifli—nV//A-A-

斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為夕=三「一a=fi-pv.

Y,VT—nv2

解(1)令〃=5,則;=冊十d根據(jù)已知數(shù)據(jù)表得到下表：

/p>

1234567

y0479111213

-1+2+3+4+5+6+7

〃一7一4,

0+4+7+9+11+12+13

y—7—8，

7——

、司」L*、，e283-7X4X859

通過上表計(jì)算可付6一/—MO—7X16.28'

因?yàn)榛貧w直線過點(diǎn)(u,y),

八一A—3

所以

故y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為/

(2)7天中幼苗高度大于y=8的有4天，小于等于8的有3天，從散點(diǎn)圖中任取3

個(gè)點(diǎn)，即從這7天中任取3天，所以這3個(gè)點(diǎn)中幼苗的高度大于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)

的所有可能取值為0,1,2,3,

0)——35'PQ—D—C3—35'

P(”2)_b—35,/(?！?)一0-35-

所以隨機(jī)變量^的分布列為

e0123

112184

P

35353535

隨機(jī)變量4的均值

￡(a=0X^+lx!|+2x||+3X^=^.

角度3獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率

例3(2022.臨沂一模)2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧

會(huì)經(jīng)濟(jì)遺產(chǎn)報(bào)告(2022)》顯示，北京冬奧會(huì)已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會(huì)贊助成

為一項(xiàng)跨度時(shí)間較長的營銷方式.為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上

銷售時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺(tái)對45家贊助企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中每天線上

銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家，余下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬

元的企業(yè)占率統(tǒng)計(jì)后得到如下2X2列聯(lián)表：

銷售額

線上銷售時(shí)間合計(jì)

不少于30萬元不足30萬元

不少于8小時(shí)1720

不足8小時(shí)

合計(jì)45

(1)請完成上面的2X2列聯(lián)表，并依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為贊助企業(yè)

每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān);

(2)①按銷售額進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，在上述贊助企業(yè)中抽取5家企業(yè)，求銷售額不

少于30萬元和銷售額不足30萬元的企業(yè)數(shù)；

②在①條件下，抽取銷售額不足30萬元的企業(yè)時(shí)，抽取2家企業(yè)，設(shè)抽取每天線

上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)數(shù)是X,求X的分布列及期望值.

附：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

H(ad—be)2

參考公式：/=(小)(c+d)(a+c)(?),其中〃―+"+"?

解(1)

銷售額

線上銷售時(shí)間合計(jì)

不少于30萬元不足30萬元

不少于8小時(shí)17320

不足8小時(shí)101525

合計(jì)271845

零假設(shè)為Ho：贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間無關(guān).

.,45X(15X17-10X3)2

?一匯二20X25X27X18=L)375>6,635,

...依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷Ho不成立，認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷

售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān).

27

(2)①由分層隨機(jī)抽樣知，銷售額不少于30萬元的企業(yè)數(shù)是5X^=3,

1O

銷售額不足30萬元的企業(yè)數(shù)是5X方=2.

②在①條件下，X的可能取值為0,1,2,

C2C?535C，Cb5C3C?51

P(X=0)=-^FP(X=I)=PTFP(X_2)=P7F，

??.X的分布列為

X012

3551

P

511751

則E(X)=0x||+lX^4-2X^-=1-.

感悟提升高考常將獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，由頻率分布直

方圖解決相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵是正確理解頻率分布直方圖，能利用頻率分布直

方圖正確計(jì)算出各組數(shù)據(jù).

訓(xùn)練2(2023?沈陽模擬)在冬奧會(huì)的志愿者選拔工作中，某高校承辦了冬奧會(huì)志愿

者選拔的面試工作，面試成績滿分100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績

分五組，第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),

第五組［85,95］,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右前三個(gè)組

的頻率成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同.

⑴求a,6的值，并估計(jì)這80名候選者面試成績的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)(中位數(shù)精確到0.1)；

(2)已知抽取的80名候選人中，男生和女生各40人，男生希望參加張家口賽區(qū)志

愿服務(wù)的有10人，女生希望參加張家口賽區(qū)志愿服務(wù)的有20人，補(bǔ)全下面2X2

列聯(lián)表，依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為參加張家口賽區(qū)志愿者

服務(wù)的候選人與性別有關(guān)？

性別

參加志愿者服務(wù)合計(jì)

男生女生

希望去張家口賽區(qū)1020

不希望去張家口賽區(qū)

合計(jì)4040

(3)冰球項(xiàng)目的場地服務(wù)需要5名志愿者，有4名男生和3名女生通過該項(xiàng)志愿服

務(wù)的選拔，需要通過抽簽的方式?jīng)Q定最終的人選，現(xiàn)將5張寫有“中簽”和2張

寫有“未中簽”字樣的字條隨機(jī)分配給每一位候選人，記男生中簽的人數(shù)為X,

求X的分布列及均值E(X).

參考數(shù)據(jù)及公式：廣(小)(―)，n=a+b+c+d.

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

解(1)由題意知

20)=10。+0.45,(2a+》+0.065)X10=l,

解得。=0.005,6=0.025,

所以平均值為50X0.05+60X0.25+70X0.45+80X0.2+90X0.05=69.5,

中位數(shù)為65+舒=吟"694

(2)補(bǔ)全2X2列聯(lián)表：

性別

參加志愿者服務(wù)合計(jì)

男生女生

希望去張家口賽區(qū)102030

不希望去張家口賽

302050

區(qū)

合計(jì)404080

零假設(shè)為Ho：參加張家口賽區(qū)志愿者服務(wù)的候選人與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的

“卬2、,幺/日門,80X(10X20-20X30)2

數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到r=------/CY/CY/CY/C------^5.333>3.841=XO.O5,

4UA4UzxJUADU

所以依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷Ho不成立，即認(rèn)為參加張家

口賽區(qū)志愿者服務(wù)的候選人與性別有關(guān).

(3)X的所有可能取值為2,3,4,

2C?C34cr41

P(X=2)=p-=],P(X=3)=p-=],P(X=4)=p-3

所以X的分布列為

X234

241

P

777

24120

所以E(X)=2Xy+3X-+4Xy=—

題型二概率與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

例4（2023?福建四市檢測）某次圍棋比賽的決賽，由甲、乙兩人爭奪最后的冠軍.

決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三盤兩勝制，即先贏兩盤者獲得該天勝利，此時(shí)該天

比賽結(jié)束.若甲、乙中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天雙方各

贏一天，則第三天只進(jìn)行一盤附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍.設(shè)每盤比賽

甲獲勝的概率為以0＜夕＜1）,每盤比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨(dú)立.

⑴記第一天需要進(jìn)行的比賽盤數(shù)為X.

①求E(X),并求當(dāng)E(X)取最大值時(shí)p的值；

②結(jié)合實(shí)際，談?wù)劉僦薪Y(jié)論的意義.

⑵當(dāng)尸=；時(shí)，記總共進(jìn)行的比賽盤數(shù)為匕求PH5).

解(1)①X可能的取值為2,3,

P(X=2)=p2+(l—p)2=222—2p+1,

P(X=3)=2p(1—p)=—2p2+2P.

故E(X)=2(2p2—2p~\-1)+3(l2p2-\~2p)=—2p2-\~2p-\~2.

即E(X)=—2(j?一§+1，則當(dāng)P=T時(shí)，

E(X)取得最大值.

②結(jié)合實(shí)際，當(dāng)p=T時(shí)雙方實(shí)力最接近，比賽最激烈，則一天中進(jìn)行比賽的盤數(shù)

會(huì)更多.

⑵當(dāng)p=T時(shí)，雙方前兩天的比分為2：0或0：2的概率均為比分為2：1

或1：2的概率均為

當(dāng)YW5,則y=4或y=5.

Y=4即獲勝方兩天均為2：0獲勝，故P(y=4)=2X^x1=|；

Y=5即獲勝方前兩天的比分為2：0和2：1或2：0和0：2再加附加賽，

故P(y=5)=2X(^X^X2+^x|x2x|)=|.

131

所以p(y<5)=p(r=4)+p(y=5)=g+g=2.

感悟提升在概率與統(tǒng)計(jì)的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率.

決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，

這往往借助于函數(shù)、不等式、數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)去實(shí)現(xiàn).

訓(xùn)練3(2023?八省八校聯(lián)考)冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不斷，出

現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀(jì)念

品在專賣店進(jìn)行售賣.已知這款紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為80元/件，為了確定其銷售價(jià)

格，調(diào)查了對這款紀(jì)念品有購買意向的消費(fèi)者(以下把對該紀(jì)念品有購買意向的消

費(fèi)者簡稱為消費(fèi)者)的心理價(jià)位，并將收集的100名消費(fèi)者的心理價(jià)位整理如下：

心理價(jià)位（元/件）90100110120

人數(shù)10205020

假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)這款紀(jì)念品的銷售價(jià)格小于或等于某位消費(fèi)者的心理價(jià)位時(shí)，該消

費(fèi)者就會(huì)購買該紀(jì)念品.公司為了滿足更多消費(fèi)者的需求，規(guī)定每位消費(fèi)者最多只

能購買一件該紀(jì)念品.設(shè)這款紀(jì)念品的銷售價(jià)格為x（單位：元/件），90<x<120,

且每位消費(fèi)者是否購買該紀(jì)念品相互獨(dú)立用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，頻

率視為概率.

（1）若x=100,試估計(jì)消費(fèi)者購買該紀(jì)念品的概率；已知某時(shí)段有4名消費(fèi)者進(jìn)店,

X為這一時(shí)段該紀(jì)念品的購買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）.

（2）假設(shè)共有知名消費(fèi)者，設(shè)該公司售賣這款紀(jì)念品所得總利潤為￥（單位：元），

當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價(jià)格X定為多少時(shí)，r的數(shù)學(xué)期望E（y）達(dá)到最大值?

解（l）x=100時(shí)，消費(fèi)者購買該紀(jì)念品的概率

。=里=09

L100J,力

由題意X?3（4,0.9）,

P(X=D=CZ09(l—0.9)4—，，/=0)1,2,3,4,

19

4

P(X=0)=0,1=10000,P(X=1)=2500,

243729

P(X=2)=5000,P(X=3)=2500,

P(X=4)=10000)

X的分布列為：

X01234

192437296561

P

1000025005000250010000

E（&=4X0.9=3.6.

90

（2）由（1）知90<x<100時(shí)，E（y）=MX而X（x—80）Wl8M（x=100時(shí)等號(hào)成立）,

70

100〈尤WUO時(shí)，E（y）=MX—X（x-80）^21M（x=110時(shí)等號(hào)成立），

20

110〈尤W120時(shí)，E（y）=MX—X（x-80）^8M（x=120時(shí)等號(hào)成立），

M>0,因此E（D=21M最大，此時(shí)x=no.

所以當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價(jià)格定為110元時(shí)，y的數(shù)學(xué)期望E（y）達(dá)到最大值21M.

題型三概率與數(shù)列

例5(2023?鄭州模擬)一款游戲規(guī)則如下：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面向

前跳2步，若出現(xiàn)反面向前跳1步.

(1)若甲、乙二人同時(shí)參與游戲，每人各擲硬幣2次，

①求甲向前跳的步數(shù)大于乙向前跳的步數(shù)的概率；

②記甲、乙二人向前跳的步數(shù)和為X,求隨機(jī)變量X的分布列和均值.

(2)若某人擲硬幣若干次，向前跳的步數(shù)為〃(“?N*)的概率記為口，求力的最大值.

解(1)①設(shè)甲向前跳的步數(shù)為K乙向前跳的步數(shù)為Z,

則P(y=2)=P(Z=2)=1,

P(y=3)=P(Z=3)=|,

P(y=4)=P(Z=4)=|,

所以p(y>z)=|x1+1x|j+^=^,

所以甲向前跳的步數(shù)大于乙向前跳的步數(shù)的概率為尚.

②由①知X的所有可能取值為4,5,6,7,8,

所以P(X=4)=七，P(X=5)=；,

P(X=6)=|,P(X=7)=(,P(X=8)==

隨機(jī)變量X的分布列為

X45678

11311

P

1648416

E(X)=4XA+5x]+6XJ+7XJ+8X3=6.

Io4o4lo

⑵由題意得pi=T，投1次或投2次都可能出現(xiàn)向前跳的步數(shù)為2,則

_1,ll_3

02—2+2v*2—不

當(dāng)〃23時(shí)，〃”=委7〃一1+委7〃一2,

1

-=

Pn-pn-14

利用累加法,所以「尸家一y+1心3),

13

因?yàn)閜i=],P2=Z，滿足上式，

所以P"=1(-y+|(〃WN*),

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí),1(-3)V。'P〃<|；

2

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí),P2=)[-3\\+§2=34>2],且數(shù)列｛P"｝為遞減數(shù)列,

3

所以小的最大值為不

感悟提升高考有時(shí)將概率、統(tǒng)計(jì)等問題與數(shù)列交匯在一起進(jìn)行考查，因此在解

答此類題時(shí)，準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問題所屬的事件類型

是關(guān)鍵.

訓(xùn)練4(2023?南京模擬)最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗(yàn)結(jié)果為成功或不成功，且試驗(yàn)

成功的概率為以.現(xiàn)對該產(chǎn)品進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功，試驗(yàn)結(jié)束;

若試驗(yàn)不成功，則繼續(xù)試驗(yàn)，且最多試驗(yàn)10次.記X為試驗(yàn)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)

次數(shù)，且每次試驗(yàn)的成本為a(a>0)元.

(1)①寫出X的分布列；

②證明：E(X)<"

⑵某公司意向投資該產(chǎn)品.若尸=0.25,且試驗(yàn)成功則獲利5a元，則該公司如何決

策投資，并說明理由.

解(1)①當(dāng)1WXW9時(shí)，P(X=i)=(l—p)Ep,1=1,2,9.

當(dāng)X=10時(shí),P(X=10)=(l—p)9p+(l—p)io=(l—p)9.

所以X的分布列為

(1—/?)iXp,z=l,2,…，9,

P(X=)=

、(1—P)99I—10.

99

②證明E(X)=區(qū)Z(1—2)廠Ip+10(1—p)9=R歲(1—p)E+10(1—p)9.

9

令S=&(1—p)E,則E(X)=pS+10(l-p)9,

S=1+2(1—p)+3(l—p)2T----卜8(l—p)7+9(l—p)8,

(1—p)S=(1—p)+2(1—p)2H----1-7(1—p)7+8(1—p”+9(1—p)9,

兩式相減，得pS=l+(l—p)+(l—p)2-|-----F(1—p)1+(1—p)8—9(1—p)9

1-(1-/7)9

=---丁J—9Q—p)工

所以E(X)=——丁」+(l—p)9=，l—(1一2嚴(yán)］.

因?yàn)?cp<1,所以ovi—(I—

所以E(X)<".

(2)當(dāng)p=025時(shí)，由(1)得E(X)<4,

則aE(X)<4a<5a,

即試驗(yàn)結(jié)束后的平均成本小于試驗(yàn)成功的獲利，

所以該公司可以投資該產(chǎn)品.

??比賽闖關(guān)與取球問題微點(diǎn)突破

在“更高更快更強(qiáng)”的體育精神感召下，或?yàn)榱嗽黾痈傎惖膽夷?，或增加比賽?/p>

精彩程度，或維護(hù)比賽的公平，概率在體育競賽賽制中有著重要的應(yīng)用和體現(xiàn).

一'比賽賽制問題

例1甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的

概率為0.4,那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利？

解法一若采用3局2勝制，甲最終獲勝有兩種可能的比分2：0或2：1,前

者是前兩局甲連勝，后者是前兩局甲、乙各勝一局且第3局甲勝.

因?yàn)槊烤直荣惖慕Y(jié)果是獨(dú)立的，甲最終獲勝的概率為7?I=0.62+C1X0.62X0.4=

0.648.

類似地，若采用5局3勝制，甲最終獲勝有3種比分3：0,3：1或3：2.

33

因?yàn)槊烤直荣惖慕Y(jié)果是獨(dú)立的，所以甲最終獲勝的概率為/?2=0.6+dX0.6X0.4

+C4X0.63X0.42=0.68256.

法二若采用3局2勝制，不妨設(shè)賽滿3局，用X表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，

則X?3(3,0.6).

甲最終獲勝的概率為pi=P(X=2)+P(X=3)=C3X0.62X0.4+C^X0.63=0.648.

若采用5局3勝制，不妨設(shè)賽滿5局，用X表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則X?

B(5,0.6).

甲最終獲勝的概率為pi=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=X0.63X0.42+Ci

X0.64X0.4+C^X0.65=0.68256.

因?yàn)镻2>pi,所以5局3勝制對甲有利.

實(shí)際上，比賽局?jǐn)?shù)越多，對實(shí)力較強(qiáng)者越有利.

二'取球問題

例2一袋中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球.

(1)不放回地依次取出3個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概

率；

(2)有放回地依次取出3個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概

率；

(3)有放回的依次取出3個(gè)球，求取到白球個(gè)數(shù)X的分布列、期望與方差.

解(1)設(shè)事件A為“不放回取球，第一次取出白球時(shí)，第三次取到黑球”，

65,362

..P(A)=gX-+-Xg=2.

(2)設(shè)事件3為“有放回取球，第一次取出白球時(shí)，第三次取到黑球”，

46,663

???=wxTo+ioxw=5-

42

(3)設(shè)“取一次球，取到的是白球”為事件c,P(O=75=5，

X的取值為0,1,2,3,

依題意可得X?5(3,|),

312

.-.P(x=o)=c(|)抬,P(X=1)=C(1(|)=急

213

P(X=2)=C(|)[|)=券P(X=3)=C(|)=券

???X的分布列為

X0123

2754368

P

125125125125

?劇3

/.E'(X)=3X-=-,P(X)=3X-rX-=—

JJJJ乙J

訓(xùn)練(2023?深圳模擬)為普及航天知識(shí)，某航天科技體驗(yàn)館開展了一項(xiàng)“摸球過

關(guān)”領(lǐng)取航天紀(jì)念品的游戲，規(guī)則如下：不透明的口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球,

這些球除顏色外完全相同.參與者每一輪從口袋中一次性取出3個(gè)球，將其中的紅

球個(gè)數(shù)記為該輪得分X,記錄完得分后，將摸出的球全部放回袋中.當(dāng)參與者完成

第〃輪游戲，且其前〃輪的累計(jì)得分恰好為2〃時(shí)，游戲過關(guān)，可領(lǐng)取紀(jì)念品，同

時(shí)游戲結(jié)束，否則繼續(xù)參與游戲.若第3輪后仍未過關(guān)，則游戲也結(jié)束.每位參與者

只能參加一次游戲.

(1)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)若甲參加該項(xiàng)游戲，求甲能夠領(lǐng)到紀(jì)念品的概率.

解(1)由題意得，隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,

則尸(X=l)=cg—。3,P(X=2)=~~=0.6,P(X—3)—=0.1,

則隨機(jī)變量X的分布列為

X123

P0.30.60.1

所以E(X)=1X03+2X0.6+3X0.1=1.8.

(2)由(1)可知，甲每輪得1分，2分，3分的概率依次為0.3,0.6,0.1.

記甲第，?輪的得分為X(i=l,2,3,…)，則其前〃輪的累計(jì)得分

Y=Xl+Xl-\-----VXn.

若甲取球1次后可領(lǐng)取紀(jì)念品，即甲得2分，則P(y=2)=0.6；

若甲取球2次后可領(lǐng)取紀(jì)念品，即甲獲得的分?jǐn)?shù)之和為4分，有“1+3”“3+1”

的情形，

則P(y=4)=2X0.3X0.1=0.06；

若甲取球3次后可領(lǐng)取紀(jì)念品，即甲獲得的分?jǐn)?shù)之和為6分，

有“1+2+3”“3+2+1”的情形，則「(￥=6)=2X0.3X0.6X0.1=0.036.

記”甲能夠領(lǐng)取紀(jì)念品”為事件A,則p(A)=p(y=2)+p(y=4)+p(y=6)

=0.6+0.06+0.036=0.696.

分層精練?鞏固提升

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.2022年2月4日至20日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京成功舉辦.某學(xué)校

統(tǒng)計(jì)了全校學(xué)生觀看北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式的時(shí)長情況(單位：分鐘)，并根

據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的85%分位數(shù)；

(2)采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方式，從觀看時(shí)長在［200,280］的學(xué)生中

抽取6人.若從這6人中隨機(jī)抽取3人在全校交流觀看體會(huì)，設(shè)抽取的3人中觀看

時(shí)長在［200,240)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解(1)由題意，40X(0.0005+0.002X2+2tz+0.006+0.0065)=1,解得。=0.004.

由頻率分布直方圖知，觀看時(shí)長在200分鐘以下占比為40X(0.0005+0.002+

0.004+0.006+0.0065)=0.76.

觀看時(shí)長在240分鐘以下占比為0.76+40X0.004=0.92.

Q85_Q76

所以85%分位數(shù)位于［200,240）內(nèi)，85%分位數(shù)為200+40><「”「”=2225

U.9Z—U./O

(2)由題意，觀看時(shí)長［200,240)、［240,280］對應(yīng)的頻率分別為0.16和0.08,

所以采用分層隨機(jī)抽樣的方式在兩個(gè)區(qū)間中應(yīng)分別抽取4人和2人.

于是抽取的3人中觀看時(shí)長在［200,240)中的人數(shù)X的所有可能取值為1,2,3.

所以尸(乂=1)=七*/P(X=2)=C!?=|,P(X=3)=||=|.

X的分布列為

X123

131

P

555

131

所以E(X)=lX^+2X-+3X-=2.

2.(2023?福州質(zhì)檢)某超市開展購物抽獎(jiǎng)送積分活動(dòng)，每位顧客可以參加〃(“GN*,

12

且G2)次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)的概率為點(diǎn)不中獎(jiǎng)的概率為昌且各次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立.

規(guī)定第1次抽獎(jiǎng)時(shí)，若中獎(jiǎng)則得10分，否則得5分.第2次抽獎(jiǎng)，從以下兩個(gè)方

案中任選一個(gè)：

方案①：若中獎(jiǎng)則得30分，否則得0分；

方案②：若中獎(jiǎng)則獲得上一次抽獎(jiǎng)得分的兩倍，否則得5分.

第3次開始執(zhí)行第2次抽獎(jiǎng)所選方案，直到抽獎(jiǎng)結(jié)束.

(1)如果〃=2,以抽獎(jiǎng)的累計(jì)積分的期望值為決策依據(jù)，顧客甲應(yīng)該選擇哪一個(gè)方

案？并說明理由.

(2)記顧客甲第，次獲得的分?jǐn)?shù)為X4=1,2,…，〃)，并且選擇方案②.請直接寫

出E&+1)與E(X?的遞推關(guān)系式，并求E(X8)的

值(精確到01，參考數(shù)據(jù)：住)-0.059)

解(1)若甲第2次抽獎(jiǎng)選方案①，兩次抽獎(jiǎng)累計(jì)得分為則^的可能取值為40,

35,10,5.

P(^=40)=|x|=|,P((f=35)=|x|=|,

122224

P(^=10)=2X2=9,尸(。=5)=可*9=§,

122415050

所以E(^)=40X-+35X-+10X-+5X-=—=—

若甲第2次抽獎(jiǎng)選方案②，兩次抽獎(jiǎng)累計(jì)得分為〃，則〃的可能取值為30,15,

10.

11121124

P(r1=30)=^X-=-,P(r]=15)=^X-+-X-=~,

224144130

P(7=10)=2><3=9'E(〃)=30X§+15X§+10X§=-^-,

因?yàn)镋(f)>E(〃)，所以應(yīng)選擇方案①.

(2)依題意得，Xi,X2,X3的分布列為

X1510

21

P1

33

X251020

22111

P233'33,3

X35102040

221211111

P333'33'3,33-3-3

E(Xi)=10.g+log,E(X2)=_y+|^10-1+10-1j,

E(X3)=^+|[10-1+|^10-1+10-￡)],

2in

故E(Xi+1)=^E(Xi)+-y,

20

又因?yàn)镋(Xi)=w，

所以E(Xi)—10=一￥，

2in

由E(Xi+i)=產(chǎn)?)+3得，

E(Xi+i)~10=|[E(X)-10],

102

所以｛E(X)—10｝為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為一至，公比為？

7

所以E(X8)—io=—竽*停),

故E(Xs)=—^-X+10心9.8.

3.（2023?大連模擬）某醫(yī)療用品生產(chǎn)企業(yè)對原有的生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí)，為了更好

地對比技術(shù)升級(jí)前和升級(jí)后的效果，其中甲生產(chǎn)線繼續(xù)使用舊的生產(chǎn)模式，乙生

產(chǎn)線采用新的生產(chǎn)模式.質(zhì)檢部門隨機(jī)抽檢了甲、乙兩條生產(chǎn)線的各200件該醫(yī)療

用品，在抽取的400件產(chǎn)品中，根據(jù)檢測結(jié)果將它們分為“4"上”"。三個(gè)等級(jí)，A,

3等級(jí)都是合格品，C等級(jí)是次品，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：

表一

等級(jí)ABC

頻數(shù)20015050

表二

技術(shù)升級(jí)合格率合計(jì)

合格品次品

升級(jí)前160

升級(jí)后10

合計(jì)

在相關(guān)政策扶持下，確保每件該醫(yī)療用品的合格品都有對口銷售渠道，但按照國

家對該醫(yī)療用品產(chǎn)品質(zhì)量的要求，所有的次品必須由廠家自行銷毀.

⑴請根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，完成上面的2X2列聯(lián)表（表二），依據(jù)小概率值a=0.001

的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級(jí)有關(guān)？

（2）在抽檢的所有次品中，按甲、乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的次品比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣抽取

10件該醫(yī)療用品，然后從這10件中隨機(jī)抽取5件，記其中屬于甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的

有X件，求X的分布列和均值；

（3）每件該醫(yī)療用品的生產(chǎn)成本為20元，A,3等級(jí)產(chǎn)品的出廠單價(jià)分別為加元、

40元.若甲生產(chǎn)線抽檢的該醫(yī)療用品中有70件為A等級(jí)，用樣本的頻率估計(jì)概率,

若進(jìn)行技術(shù)升級(jí)后，平均生產(chǎn)一件該醫(yī)療用品比技術(shù)升級(jí)前多盈利不超過9元，

則A等級(jí)產(chǎn)品的出廠單價(jià)最高為多少元？

n

附?/=----------Qd—bc）2----------苴中n=a+b+c+d

陽,才（。+。）（c+d）（a+c）（。+d）'八中

a0.050.0250.0100.0050.001

Xa3.8415.0246.6357.87910.828

解（1）根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，可得2X2列聯(lián)表:

合格率

技術(shù)升級(jí)合計(jì)

合格品次品

升級(jí)前16040200

升級(jí)后19010200

合計(jì)35050400

零假設(shè)為Ho：產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級(jí)無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到

,400X(160X10—190X40)144

=

X=200X200X350X50~220.571>10.828xo.ooi>

所以依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有充分的證據(jù)推斷冊不成立，即認(rèn)

為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級(jí)有關(guān).

(2)由于所有次品中，甲、乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的次品比例為4：1,

故抽取的10件中有8件甲生產(chǎn)線的，2件乙生產(chǎn)線的，

從中隨機(jī)抽取5件中屬于甲生產(chǎn)線的數(shù)量X的所有可能取值為3,4,5,

則中=3)=普J(rèn)P(X