復(fù)數(shù)及其應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單

專(zhuān)題10復(fù)數(shù)及其應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤(pán)點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

維構(gòu)建?耀精向紿

復(fù)數(shù)的定義：形如a+bi（a,b￡R）的敷叫做復(fù)數(shù)

其中實(shí)部是a,虛獻(xiàn)b

詡(b=0))題型復(fù)數(shù)的基本概念及應(yīng)用

復(fù)數(shù)的分類(lèi)01

K0知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)的基本癡四（bw0）（a:0時(shí)為純虛數(shù)））題型02根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)

題型03復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)計(jì)算

題型04共匏復(fù)數(shù)及其應(yīng)用

1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念〉<共姬復(fù)數(shù)）

1■（復(fù)數(shù)的模）

復(fù)

數(shù)「:空酗盛］I：耍直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面

題型01復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點(diǎn)一對(duì)應(yīng)

及

O知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義；實(shí)軸與虛軸娜U做實(shí)軸，y軸叫做虛軸題型02復(fù)數(shù)與復(fù)平面向量——對(duì)應(yīng)

其題型03復(fù)數(shù)的模的幾何意義及應(yīng)用

蔓的幾何薪

應(yīng)

用.一._—,二、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則一力口、減、乘、題型01復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算題型02復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算

Y、__o_______:____________________，/?復(fù)數(shù)運(yùn)…算的幾二個(gè)重要~結(jié)-論-----

題型03復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程

轆的定義

蔓的輻角T）八、

-----------輻角主值

T：。知識(shí)點(diǎn)四復(fù)數(shù)的三角形式題型01復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式互化

一復(fù)數(shù)的三角旃C：亙cos0+isine）題型02復(fù)數(shù)三角形式乘除法運(yùn)算

復(fù)數(shù)的三角吩及運(yùn)氟―卜；贏的乘法霞：）題型03復(fù)數(shù)的新定義問(wèn)題

復(fù)數(shù)的除法^

口識(shí)盤(pán)點(diǎn)?置翡非煤

知識(shí)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的基本概念

1、復(fù)數(shù)的定義：形如。+歷3，6GR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是“，虛部是從

2、復(fù)數(shù)的分類(lèi)：

實(shí)數(shù)6=0,

復(fù)數(shù)z=a+歷

「純虛數(shù)a=0,

a,Z?￡R虛數(shù)厚（）-

.非純虛數(shù)存0.

3、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

復(fù)數(shù)相等a+Z?i=c+diu^a=c且Z?=d(a,b,c,d￡R)

共粗復(fù)數(shù)a+Ai與c+di共輛0a=c且Z?=—d(a,b,c,d￡R)

向量無(wú)的模叫做復(fù)數(shù)z=a+歷的模，記作|z|或|a+bi|,

復(fù)數(shù)的模

即|z|=|〃+歷尸r=7W+后(rK),a,bWR)

知識(shí)點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義

1、復(fù)平面的概念：建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面;

2、實(shí)軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)以外，虛軸上

的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；

3、復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)z=a+6i?一一對(duì)應(yīng)》復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)<.?對(duì)應(yīng)》平面向量次.

知識(shí)點(diǎn)3復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則

設(shè)Z]=a+bi,z2-c+di(a,b,c,dGR),貝！I

(1)zi+z2=(a+歷)+(c+di)=(a+c)+(b+(Z)i；

(2)zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(6—d)i；

(3)zi-Z2=(a+6i)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

z,a+bi(a+6i)(c-di)ac+bdbc-ad,、、

(4)」=----=----------——7+-=——-l(C+6/17^0).

z2c+di(c+di)(c-di)c+d'c+d'

2、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾個(gè)重要結(jié)論

(1)|Z1+Z2『+|Z1—Z2|2=2(|Z1F+|Z2『).

(2)z-z=|z|2=|z|2.

(3)若Z為虛數(shù),則|z|2先2.

(4)(l±i)2=±2i.

4n4,,+14n+2

(5)i=l；i=i；i=-i；i4?+3=-i.

知識(shí)點(diǎn)4復(fù)數(shù)的三角形式

1、復(fù)數(shù)的輔角

(1)輔角的定義：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi的對(duì)應(yīng)向量為近，以久軸的非負(fù)半軸為始邊，向量成所在的射線(xiàn)(射

線(xiàn)。Z)為終邊的角。，叫做復(fù)數(shù)z的輔角.

(2)輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)輔角有無(wú)限多個(gè)值，且這

些值相差2兀的整數(shù)倍.

規(guī)定：其中在0W8<2兀范圍內(nèi)的輔角8的值為輔角的主值，通常記作argz.

【注意】因?yàn)閺?fù)數(shù)0對(duì)應(yīng)零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輔角是任意的.

2、復(fù)數(shù)的三角形式及運(yùn)算

(1)定義：任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成z=r(cos8+is譏8)的形式，其中r是復(fù)數(shù)的模，。是復(fù)數(shù)的輔角.

【注意】復(fù)數(shù)的三角形式必須滿(mǎn)足：模非負(fù)，角相同，余正弦，加號(hào)連.

(2)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示：已知Z】=r1(cos01+isin%),z2=r2(cos62+isin")，

則z1Zi=r1r2[cos(01+02)+isin?+02)]-

這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輔角等于各復(fù)數(shù)的輔角的和.

(3)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示:已知Zi=々(cos%+is三。1),z2=r2(cos02+isin02)

則迫=斐。s7+is譏黑=3_+is譏(88)].

z2r2(cos02+^in02)r2

這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，

商的輔角等于被除數(shù)的輔角減去除數(shù)的輔角所得的差.

點(diǎn)突破?春分好?檢

重難點(diǎn)01與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題

求復(fù)數(shù)模的范圍與最值問(wèn)題的解題策略

(1)把復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)處理，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，求

模的范圍與最值問(wèn)題來(lái)解決；

(2)發(fā)掘問(wèn)題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來(lái)解答，把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)解答；

(3)利用三角函數(shù)解決.

【典例1】(2024?山東煙臺(tái)?三模)若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足忖=|z-2-2i|,則目的最小值為()

A.1B.&C.若D.2

【答案】B

【解析】若復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足忖=|z-2-緯

則由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，其中0(0,0),4(2,2),

所以忖的最小值為=；亞三兩=忘.故選：B.

【典例2】(2024?云南?二模)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z-l|=|z+i|,貝的最小值為()

A.正B.gC.-D.0

223

【答案】A

設(shè)z=x+yi,(x,jwR),ffu|z-l|=|z+i|,所以(x-lj+/+(y+l『,即y=T,

所以—=Jx?+(y_])2=yjx2+(-x-l)2=也/+2x+l=[[x+g]+\~,

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)y=-x=；,

綜上所述，|z-i|的最小值為它.故選：A.

重難點(diǎn)02共軌復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合問(wèn)題

共輾復(fù)數(shù)問(wèn)題的求解技巧：

1、若復(fù)數(shù)Z的代數(shù)式已知，則根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義，可以寫(xiě)出I,再進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.

2、己知關(guān)于z和I的方程，而復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式位置，求解z.解決此類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)思路是：設(shè)

z=a+bi（a,bqR）,則三=a-為，代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解.

【典例1】（2024?福建泉州?一模）（多選）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z=l-‘，則（）

Z

A.2.2=1B.22=zC.z+z=—1D.\z—'z\=

【答案】AD

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)Z=4+歷,3,4R）,nT^z2=a2-b2+2abi

因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿(mǎn)足z=l—,可得z?=z—1，貝!I〃一〃+2〃歷=〃+人i—1,

z

可得"—=a—1且2ab=b,

由2ab=Z?時(shí)，可得〃=—或b=0,

2

當(dāng)時(shí)，可得/7=止匕時(shí)Z=L±Y^i；

當(dāng)6=0時(shí)，方程/_〃+1=0,無(wú)解;

2222

對(duì)于A中，當(dāng)z='+3i,可得％=,—1i,可得zG=l;

2222

當(dāng)z=4—走i,可得1='+且4,可得z；=l，所以A正確;

2222

對(duì)于B中，當(dāng)z=；+#i,可得」；+爭(zhēng)，且白；一爭(zhēng)，則所以B不正確；

對(duì)于c中，當(dāng)2=工+3i,可得胃=1■一Yii,可得z+』=i,所以c不正確;

2222

對(duì)于D中，當(dāng)z,+《L,可得I」一立i,可得z二=",貝止-非也;

222211

當(dāng)z,一也i,可得且i,可得z-三一后，貝加-4=6,所以D正確.故選：AD.

222211

【典例2]（23-24高三下?湖南婁底?階段練習(xí)）（多選）已知復(fù)數(shù)4*2的共軌復(fù)數(shù)分別為工,福，下列結(jié)論正

確的是（）

A.若4為純虛數(shù)，則4+1=0

B.若2；+2；=。，則Z]=Z?=。

C.若[Z]_z?|=0,則Z]—z2=0

D.若|z-l|=|z+l|,貝”在復(fù)平而內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線(xiàn)

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,設(shè)4=歷，Z]=—bi,故4+4=0成立，故A正確，

對(duì)于B,設(shè)z=i,z2=lf則滿(mǎn)足z；+z；=0,但4WZ2。0,故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,設(shè)4=〃+〃，z2=c+di,則Zi=a-bi,z2=c-di,

故Zi—Z2=(a—c)+(b—d)i,.-z2]=J(a-c)2+(Z?-d)2=0,

解得a=c,b=d,則Z]—z2=(a—c)+(d_Z?)i=0,故C正確，

對(duì)于D,設(shè)z=x+W,因?yàn)閨z—l|=|z+l|,|z-l|=7(^-l)2+/?

|z+l|=J(X+l)2+y2,所以J(x+l)2+y2=J(%_])2+y2,

化簡(jiǎn)得x=0,故Z在復(fù)平而內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線(xiàn)，故D正確.故選：ACD.

法技巧?1g塞學(xué)霸

一、復(fù)數(shù)的分類(lèi)

對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi,

（1）當(dāng)且僅當(dāng)6=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；

（2）當(dāng)且僅當(dāng)a=b=O時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；

（3）當(dāng)厚0時(shí)，叫做虛數(shù)；

（4）當(dāng)a=0且以0時(shí)，叫做純虛數(shù).

【典例1】（2024.廣東東莞.模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（5+0（l+i）=4,則復(fù)數(shù)z的虛部是（

A.2B.-2C.3D.-3i

【答案】C

【解析】設(shè)z=a+6i,根據(jù)題意，可得（a-歷+。（1+。=4,

化簡(jiǎn)為（a+6-1）+（。-b+l）i=4,

[a+b—1=4[a=2

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，得,,解得八.

[a-0+11=n0[6=3

所以z=2+3i,即復(fù)數(shù)z的虛部是3.故選：C

【典例2]（23-24高三上.甘肅慶陽(yáng)?階段練習(xí)）（多選）下列各式的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)的是（

A.z=i(l-i)2B.z=(l+i)2

C.z=(l+i)(l+2i)(l+3i)D.z=*

【答案】AC

【解析】A項(xiàng)中，z=i(l-i)2=i(-2i)=-2i2=2,故A正確;

B項(xiàng)中，z=(l+i)2=2i,故B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)中,z=(l+i)(l+2i)(l+3i)=(-l+3i)(l+3i)=-10,故C正確；

6i86i34i50i

D項(xiàng)中，z=8z=(ZKZl=Z=_2i,故D錯(cuò)誤.故選：AC.

3+4i2525

二、求復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式形式的兩種方法

1、直接法：將復(fù)數(shù)用已知復(fù)數(shù)式表示出來(lái)，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式；

2、待定系數(shù)法：將復(fù)數(shù)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)式，代入己知的等式中，利用復(fù)數(shù)相等的條件列出關(guān)于復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部的

方程(組)，通過(guò)解方程(組)求出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.

【典例1】(2024?新疆?三模)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z+2iRz|,則z的虛部為()

A.—iB.iC.-1D.1

【答案】c

【解析】設(shè)z=a+6i且,貝!|z+2i=a+bi+2i=a+(b+2)i,

因?yàn)閨z+2i|=|z|,所以/+0+2)2=〃+心解得：b=-l,則z的虛部為-1.故選：C

【典例2】(2024.福建泉州.模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足月=2,|z-2|=2,則z+W=()

A.2石B.2C.-2D.-2.y/3

【答案】B

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,a,b^R,

222

由|z-2|=|z|=2,得Q(a-2)+/=y/a+b=2,解得。=1,b=±5/3,

1'?z=1i5/3/，,1,z+z=2-故選：B.

三、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)任一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,5GR)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)是---對(duì)應(yīng)的.

(2)一個(gè)復(fù)數(shù)2=。+慶(°,AGR)與復(fù)平面內(nèi)的向量覆=(a,6)是——對(duì)應(yīng)的.

【典例1】(2024?四川自貢?三模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4，z?對(duì)應(yīng)的向量分別是況=(-2,3),礪=(3,-2),

則復(fù)數(shù)一^對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

Zi+Z?

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)句，z?對(duì)應(yīng)的向量分別是西=(-2,3),08=(3,-2),

所以Z1=-2+3i,z2=3—2i9

所以7_3-2i_(3-2i)(l-i)_l5

Z1+Z2-2+3i+3-2i(l+i)(l-i)22

所以復(fù)數(shù)一^對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(!，-：]，位于第四象限.故選：D

zi+z2(22)

【典例2】(2024?安徽馬鞍山.三模)己知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足zN=2(z+彳)=4,若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在第一象

限，則2=.

【答案】1-后

【解析】設(shè)2=。+歷,a,b￡R,則乞=。一歷，

因?yàn)閦N=2(z+z)=4,

z2=(〃+歷)(〃一歷)=/+/=4[?=1fa=l

則’2(z+Z)=2[(a+歷)+(a-歷)]=4a=4'解得=上或%=-后

又因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在第一象限，可知640,

4Z—1

可知V,=所以Z=l-后,

b=-yJ3

故答案為：1-".

四、虛數(shù)單位i的乘方

計(jì)算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，i"有如下性質(zhì)：

F=i,i2=-1,i3=ii2=—i,i4=i3i=—ii=1,

從而對(duì)于任何wGN+,都有i4,1+1=i4"-i=(i4)fl-i=i,

同理可證i4"+2=—1,i4"+3=—i,i4?+4=l.

這就是說(shuō)，如果"CN+,那么有i4"+i=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4?+4=l.

由此可進(jìn)一步得(l+i)2=2i,(1—i)2=—2i,1q4=—1,1=—i.

【典例1】(2024?湖北?二模)已知復(fù)數(shù)z=^(l+i),則z20241()

A.1B.-1C.—iD.i

【答案】A

【解析】因?yàn)閆=[(l+i),所以z2=g(l+2i+i2)=i,

所以22。24=卜2)皿2=(以?！?1.故選：A

【典例2】(2024?河北?三模)已知復(fù)數(shù)三滿(mǎn)足2(浮23+[2必)=i?如，貝匹的共輾復(fù)數(shù)的虛部是()

【答案】D

【解析】Efez(i2023+i2°24)-i2025,可得z(產(chǎn)5+產(chǎn)圻*1―,

i_i(l+i)_—l+i_1￡.

所以z(l-i)=i,所以l^i-(l-i)(l+i)-2~~221

_ii1

所以z=所以1的共輾復(fù)數(shù)的虛部是故選：D.

五、復(fù)數(shù)方程的解

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程a/+°久+c=0(a70)的求解方法：

(1)求根公式法：

①當(dāng)心0時(shí)，”=也"王②當(dāng)△<0時(shí)，x=M-i

2a2a

(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為汽=租+7ii(zn,HG/?),

將此代入方程a/+版+。=0缶。0),化簡(jiǎn)后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.

【典例1】(23-24高三下?西藏拉薩?階段練習(xí))已知Z=l-i是方程z2+2〃z-)=0伍力wR)的根，則4+2=()

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】A

【解析】由題意，得(1—i)2+2a(l—i)—b=0,即2?！猙+(—2—2a)i=0,

所以2a—Z?=0,且一2—2Q=0,解得a=-1/=-2,

所以。+6=—3.故選：A.

【典例2】(2024.江蘇鹽城.模擬預(yù)測(cè))(多選)已知4，Z2為方程％2+2%+3=0的兩根，則()

A.\zx-zy=2y[2B.—+—=-7

114Z23

C.團(tuán)+區(qū)|=26D.Z]—z2=Z]+z2

【答案】BC

【解析】方程d+2x+3=O的兩根分另II為一l+0i和一1一倉(cāng)，且Z[+Z[=-2,z/z=3,

所以不妨設(shè)Z[=-1+,z2=-l->/2i,

^=-l+V2i,所以卜-司=/1+6)-卜1+")|=。，故A錯(cuò)誤；

11z.+z92

—+—=---"=一1，故B正確；

Z[Z[Z[Z[3

22

|Z1|+|z2|=2^(-1)+(>/2)=273.故C正確；

Z]-Z2=_2夜i,Z]+z2=—l-V2i-l+V2i=-2,

所以ZI-z?/Z]+Z2,故D錯(cuò)誤.故選：BC.

六、復(fù)數(shù)的三角表示

將復(fù)數(shù)z=a+歷（a,be.R）化為三角形式z=r［cos9+is譏8）時(shí),要注意以下兩點(diǎn)：

（1）r=y/a2+b2,

（2）cosO=；,sin0=T，其中8終邊所在象限與點(diǎn)（a,6）所在象限相同，

當(dāng)a=0,b>0時(shí)，argz=

【注意】每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，

兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輔角的主值分別相等.

【典例1］（23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）（多選）任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+/?i（a,6eR,i為虛數(shù)單位）

都可以表示成2=/'（8$夕+15皿6）（廠20,6eR）的形式，通常稱(chēng)之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫

弗發(fā)現(xiàn)：［r（cose+isin6）］"=k（cos”e+isin〃）（"N’）,我們稱(chēng)這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理，則下列說(shuō)法正

確的有（）

A.復(fù)數(shù)2=1-7^的三角形式為z=2（cos］_isin|^

232024

B.當(dāng)廠=1,5時(shí)，z+z+Z+--+z-0

2

jr

C.當(dāng)廠=2,時(shí)，z^=—8

rr

D.當(dāng)r=3,:時(shí)，“〃為偶數(shù)”是“z"為純虛數(shù)”的充分不必要條件

4

【答案】BC

【解析】復(fù)數(shù)z=l-后的三角形式為z=21cosw+isinwj,故A錯(cuò)誤；

當(dāng)/=1,6=二時(shí),z=cos—+isin—=i,

222

因?yàn)閕4k+1+i袱+2+i#+3+i4K4=o,%ez,

所以Z+/+z3+…+Z2°24=0,故B正確;

TTz=2[cos]+isinj,

當(dāng)丁=2,§時(shí)'

j兀..兀

z2cos—+ism—=23(cos7t+isinK)=—8,故C正確;

I33

g,。三時(shí),z=J3cos—兀+「isi.n兀—,

I44

(兀..兀)

noc〃/mt..mt

z=3cos—+isin—3cos-----i-isin——

[I44JI44

幾兀八

cos——=0

AnjrTT

若z〃為純虛數(shù)，貝R，則多=g+E,所以?xún)?4k+2,左eZ,

.mt_42

sin——w0

I4

雖然〃=4左+2,ZeZ是偶數(shù)，但是偶數(shù)還有〃=軟，keZ的形式的數(shù)，

所以“〃為偶數(shù)”是“z"為純虛數(shù)”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.故選：BC.

【典例2】（2024?黑龍江哈爾濱.三模）復(fù)數(shù)z=a+6i（a,6eR,i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z,設(shè)

廠=|。4,。是以工軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線(xiàn)為終邊的角，則2=。+歷=r（cos6+isin，），把

r（cose+isin。）叫做復(fù)數(shù)。+歷的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，

(16

[廠(cos6+isine)]"=r"(cos〃e+isin“eX〃eN*),例如:----1-----1=cos2兀+isin27i=1,

227

復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足：z3=l+i，則Z可能取值為（

【答案】D

【解析】設(shè)z=r(cos6+isin。),

兀..兀

貝”3=1+仁0cos—+isin—=r3(cos36+isin30),

44

所以r=啦，36?=2far+-,^eZ,^0=—+—,keZ,

4312

2kn7i2E71

所以Z=3cos--+一+isin--+一,kcZ

312312

17兀17K..17K

故％=2時(shí)，。=五，故z可取------Fisin-----,故選：D

1212

混易錯(cuò)?睢券我期

易錯(cuò)點(diǎn)1忽視復(fù)數(shù)2=。+方是純虛數(shù)的充要條件

a=0

點(diǎn)撥：對(duì)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)理解不透徹，對(duì)于復(fù)數(shù)2=。+方為純虛數(shù)0分0,往往容易忽略虛部不等于。.

【典例1](24-25高三上?湖南?開(kāi)學(xué)考試)已知復(fù)數(shù)4=2-i,Z2=a+i(〃￡R),若復(fù)數(shù)49為純虛數(shù)，則實(shí)

數(shù)。的值為()

A-B-IC.-2D.2

【答案】A

【解析】由已知,復(fù)數(shù)21a=(2-D(a+i)=(%+l)+(2-a)i為純虛數(shù),

2a+1=0,1

所以2-"。，得"一5.故選：A-

【典例2](23-24高三上?廣西?開(kāi)學(xué)考試)已知i是虛數(shù)單位，若Z=?竺是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。=()

1-1

￡

A--2BC.1D.

-42

【答案】C

【解析】z-罟(l+ai)(l+i)1—<2a+1.

1-----77-----=----------1-------1,

(l-i)(l+i)22

-0

因?yàn)閦=￥是純虛數(shù)，所以<’,解得a=l.故選：C.

1-1a+1八

------W0

[2

易錯(cuò)點(diǎn)2錯(cuò)誤的理解復(fù)數(shù)比大小

a<c

點(diǎn)撥：兩個(gè)復(fù)數(shù)不能直接比大小，但如果。+