等比數(shù)列性質(zhì)歸類（14題型提分練）-2025年高考數(shù)學一輪復習知識清單

專題15等比數(shù)列性質(zhì)歸類

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目錄

題型一：等比數(shù)列定義............................................................................1

題型二：等比數(shù)列通項公式........................................................................2

題型三：等比數(shù)列In與Sn的關(guān)系................................................................3

題型四：構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式..................................................................4

題型五：等差等比“糾纏數(shù)列”....................................................................5

題型六：等比數(shù)列“指數(shù)型中點”特性..............................................................6

題型七：等比數(shù)列單調(diào)性.........................................................................7

題型八：不定方程型計算.........................................................................8

題型九：等比數(shù)列不等關(guān)系“平衡點”..............................................................9

題型十：前n項和的“等距”性...................................................................10

題型十一：等比數(shù)列最值型.......................................................................10

題型十二：性質(zhì)求范圍型........................................................................11

題型十三：數(shù)列與導數(shù)...........................................................................12

題型十四：等比數(shù)列綜合.........................................................................13

^突圍?檐;住蝗分

題型一：等比數(shù)列定義

指I點I迷I津

等比數(shù)列判定方法

(1)定義法："欲證等比，直接作比"，即證白衛(wèi)=式4^0的常數(shù))。數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)歹U；

(2)等比中項法：即證忌+1=斯?斯+2(斯。"+1斯+2彳0,"GN*)Q數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列.

1.(23-24高三上?山東?階段練習)記非常數(shù)數(shù)列｛%｝的前"項和為5“，設(shè)甲：｛%｝是等比數(shù)列；乙：s“=網(wǎng),+C

(BwO,1,且CwO),貝U()

A.甲是乙的充要條件B.甲是乙的充分不必要條件

C.甲是乙的必要不充分條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

2.（22-23高二下?遼寧鞍山?階段練習）數(shù)列｛4｝的前w項和S"=3"+1,則｛%｝（）

A.是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列也是等比數(shù)列

C.是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列

3.（2023?河南鄭州?二模）已知正項數(shù)列｛%｝的前凡項和為S“，且4=2,S?+1（S"+「3"）=（邑+3”）,則S2023=

（）

&2023.1Q2022I

A.32O23-1B.32023+lC.-——D.-——

22

4.（2023?新疆喀什?模擬預測）已知等比數(shù)列｛〃"｝的前"項和為S〃，且S“=33"-l,則%=（）

A.54B.93C.153D.162

5.（21-22高三下?北京?開學考試）若數(shù)列｛4｝滿足4=-1,貝〃\/機，“eN*,4“+“=44"是"｛%｝為等比

數(shù)列”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

題型二：等比數(shù)列通項公式

;指I點I迷I津

;等比數(shù)列公式

（1）通項公式：斯=2應二1；

nay9q=1,

（2）前"項和公式：S?=-〃i（l一"a\~aq

[Lql-qn

1.（24-25高三上?廣東?階段練習）已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,前”項和為S”，a”+「a“=2"（weN*）,貝等

于（）

A.22024-1B.3x21012-1C.3X21012-2D.3X21012-3

2.（23-24高二下?內(nèi)蒙古呼和浩特?階段練習）數(shù)列｛5｝滿足％=1,a?=3a?_1+l,n>2,則%=（）

+1

3"1n3"1°3"T1c3"1

22222222

3.（23-24高三?遼寧遼陽?模擬）若等比數(shù)列｛即｝滿足4口角=左'（左＞1）,則其公比為（）

A.kB.-s]kc.&D.+4k

4.（24-25高三?全國?模擬）在公比4為整數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，S“是數(shù)列｛%｝的前〃項和.若％%=32,

%+%=12,則下列說法不正確的是（）

A.q=2B.數(shù)列｛5〃+2｝是等比數(shù)列

C.58=510D.數(shù)列｛母為｝是公差為2的等差數(shù)列

5.(23-24高二下?山東青島?階段練習)已知數(shù)列｛風｝滿足4=2,a2=-l,數(shù)列｛3%+%+J是公比為2的等

比數(shù)列，則4=()

A.3"-1+(-2)"-1B.3"+(-2)"C.2"-123+(-3)"-1D.2"+(-3)"

題型三：等比數(shù)列與Sn的關(guān)系

T旨I點I迷I津

涉及到an與sn組合型遞推，一般情況下，可以借助通項an與前n項和Sn的關(guān)系再寫一個做差，消去

；sn再遞推求解。

:通項an與前n項和Sn的關(guān)系是：

[SLn=l,

!an=1

[Sn—Sn—1,n22.

：等比數(shù)列前n項和

S=.（＞,"）=三——生八r-rq”?

（2）數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，Sn=】一。1一“，Sn為「一國型線性指數(shù)函數(shù)。

1.（2024,全國?模擬預測）記S“為數(shù)列也,｝的前〃項和，貝〃｛4｝為等比數(shù)歹！J"是"（S”+「Sj2=S“（S“+2-Sj”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

2.（21-22高三重慶沙坪壩?模擬）設(shè)等比數(shù)列｛《，｝的前〃項和為S“，5“=。一（_；],若不等式KWS.WN

對任意的“eN*恒成立，則N-K的最小值為（）

317

A.1B.-C.2D.—

412

3.（22-23高三?浙江紹興?模擬）已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，則點歹在同一坐標平面

內(nèi)不可能的是（）

4.（21-22高三?黑龍江綏化?模擬）已知數(shù)列｛q｝的前"項和為S“，q為常數(shù)，貝V數(shù)列｛%｝是等比數(shù)歹!J"為

“5用=恭”+%"的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

5.（21-22高三河南?階段練習）設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若S”=2a“-2〃+1,貝監(jiān)產(chǎn)（）

A.2"-23B.210-19C.3x210-23D.3x29-19

題型四：構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式

指I點I迷I津

等比數(shù)列求通項公式：

1.如果sn有，則Sn為r—rq”型線性指數(shù)函數(shù)。

2.an+^Aa?+B（A,8為常數(shù)）型遞推式可構(gòu)造為形如%+彳=4（4+4）的等比數(shù)列.

3.倒數(shù)變換法，適用于紇+1=口1（A,B,C為常數(shù)）可以取倒數(shù)，構(gòu)造新的遞推公式，CD

8a+c1\yD

n---=——+—

a〃+iA

即▲=c—+P型,解法回歸到構(gòu)造等比數(shù)列技巧中

a〃+lan

4.如果是前n項積

可以類比前n項和求通項過程來求數(shù)列前n項積：

（1）.n=l,得at

憶，（n=l）

⑵.n22時，a'=’所以a"=<￡小〉力

1.（21-22高三?浙江臺州?模擬）已知數(shù)列｛%｝滿足：at=a,a?+1=^~,,則下列說法正確的是（）

A.｛%｝一定為無窮數(shù)列B.｛%｝不可能為常數(shù)列

n-1

C.若"=g，則為可能小于1

D.若〃=2,貝+

2.(24-25高三全國?模擬)已知數(shù)列｛氏｝滿足遞推公式%=3〃3，且％=1，貝!jQiX/x/x…*。99*%00=)

3.(23-24高三?云南大理?階段練習)已知數(shù)列｛%｝滿足：an+leR,?eN*),且則下列說

法錯誤的是()

A.存在aeR,使得數(shù)列為等差數(shù)列B.當。=-1時，a200=3

C.當a=2時，％<%<%<…<%<0D.當a=4時，數(shù)列［""+；］是等比數(shù)列

4.(2024?全國?模擬預測)已知數(shù)歹U｛?！埃凉M足4=1,%=La“+i=2a,,+3an_,(n>2),數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S“,

則/23=()

5.(20-21高三?海南?？?階段練習)已知函數(shù)y=/(x)的定義域為(0,+8),當x>l時，fW>0;對任意

的x,ye(0,+s),f(x)+f(y)=/(x.y)成立.若數(shù)列｛《｝滿足％=〃1)，且f(%)=f(2a.+l)(〃eN*),則劭加

的值為()

1009101020192020

A.fl-lB.a-lC.2-1D.2-1

題型五：等差等比“糾纏數(shù)列”

;指I點I迷I津

'等差等比“糾纏數(shù)列”：等差數(shù)列某些項成等比，或者等比數(shù)列某些項成等差。

1.一般情況下，等差中“糾纏等比”，設(shè)等差首項和公差列方程。

2.一般情況下，等比中“糾纏等比”，設(shè)等比首項和公比列方程。

1.(2023?四川南充?模擬預測)若sin2x,sinx分別是sin。與cos。的等差中項和等比中項，則cos2x的值為

A1+后R1-733_1±733「［-逝

8884

2.（21-22高三?黑龍江齊齊哈爾,模擬）S“是公比不為1的等比數(shù)列｛%｝的前"項和，Sg是S3和$6的等差中

項，S⑵是%,和幾九“的等比中項，則力的最大值為（）

3.（14-15二?廣東東莞?模擬）已知a=sin60。，b=cos60°,A是a、6的等差中項，正數(shù)G是。、b

的等比中項，那么“、b、A、G的從小到大的順序關(guān)系是（）

A.b<A<G<aB.b<a<G<A

C.b<a<A<GD.b<G<A<a

4.（10-11高三?福建三明?階段練習）國ABC中，角A,民C成等差，邊a1,c成等比，貝峋A3C一定是

A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.（21-22高三寧夏銀川?階段練習）若四個正數(shù)Gd成等差數(shù)列，x是。和d的等差中項，V是6和c的

等比中項，則x和丫的大小關(guān)系為（）

A.B.無2yc.D.%<y

題型六：等比數(shù)列“指數(shù)型中點”特性

；指I點I迷I津

:等比數(shù)列“指數(shù)型中點”性質(zhì)：

（1）”指數(shù)型中點”技巧：若p+q=?j+",則踴?%=加?斯,特別地，若p+q=2A,則a。??=加；

（2）“跳項”等比：數(shù)列斯，a,l+k,an+2k,斯+3%，…為等比數(shù)歹U，公比為/

（3）“和項”等比：數(shù)列S”S2n-Sn,S3”一S2"仍成等比數(shù)列，其公比為q".

1.（23-24高三?北京?模擬）等比數(shù)列｛4｝的公比為％%>0,貝>%"是"4>1"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

2.（22-23高三?江蘇蘇州?模擬圮知等差數(shù)列｛%｝公差dH0,數(shù)列也｝為正項等比數(shù)列，已知4=%%=%，

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a2>b2B.a6cb6

C.ag>b8D.Oj2>bn

3.（21-22高三?全國,模擬）已知等比數(shù)列｛即｝中，公比q=2,若%gy..%o=2%則,佝...%）等

于（）

A.210B.220C.216D.215

4.（2021?浙江杭州?模擬預測）已知等差數(shù)列｛叫公差不為0,正項等比數(shù)列｛〃,｝,a2=b2,al0=bt0,則以

下命題中正確的是（）

A.>b[B.a5>b5C.a6Vb$D.?17>b?

5.（20-21高按?浙江?模擬）已知數(shù)列｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，例｝是正項等比數(shù)歹U，若％=仿，%=%

則（）

A.%=&B.as<bsC.g>"D.a9<b9

題型七：等比數(shù)列單調(diào)性

指I點I迷I津

等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

⑴數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，斯=研已通項斯為指數(shù)函數(shù)：即斯

sn=^￡l=^i——生礦=.可“

（2）數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，Sn=………,Sn為「一國型線性指數(shù)函數(shù)。

（3）借助函數(shù)性質(zhì)（或者不等式均值等性質(zhì)）求等比數(shù)列最值時，要注意自變量n是離散型

1.（23-24高三山西晉城模擬）已知等比數(shù)列｛%｝滿足4>。，公比4>1,且log,q+log,%+…+log,a2O24<0,

n

log2tZ]+log2a2+.??+log2a2025>0,則當q4…4最小時，=（）

A.1012B.1013C.2022D.2023

2.（23-24高三?北京順義模擬）數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，則對于"對于任意的7〃EN*,4+2>4"是"他“｝是遞增

數(shù)歹『’的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.不充分也不必要

3.（23-24高三湖北?開學考試）已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，則"存在正整數(shù)左，對于VfeN*,恒成立”

是："｛〃"｝為遞減數(shù)列"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（23-24高三下?山東?開學考試）已知數(shù)列｛g｝是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，則"q（1-q）>。"是"｛%｝

是單調(diào)遞減數(shù)列"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（23-24高三上?安徽合肥?階段練習）已知數(shù)列｛叫是無窮項等比數(shù)列，公比為4,則"4>i是"數(shù)列｛%｝單

調(diào)遞增"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

題型八：不定方程型計算

指I點I迷I津

設(shè)首項與公比，作為變量列方程，構(gòu)造比例轉(zhuǎn)化關(guān)系。

求解時，涉及到前n項和時，要注意討論公比是否為1特殊情況

————————.———―?—————————————————————.——————————————————―——————————?———J

1.（23-24高三?廣東揭陽?階段練習）已知數(shù)列｛廝｝為等比數(shù)列，3為數(shù)列的前"項和.若3%，。，5%成等

差數(shù)列，則10-（)

〃5十。6

1211131211

A.----B.—C.—D.——

94436

2.（23-24高三?吉林松原?模擬）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前”項和為S”,且鼻=3邑+S-則｛4｝的公比q為

（）

A.1或一3B.1或3C.—1或-3D.-1或3

3.（23-24高三?河南省直轄縣級單位?階段練習）等比數(shù)列｛。,｝的前”項和為S“，且率=4,則［=（）

（高三上?河南三門峽?階段練習）已知正項等比數(shù)列｛｝的前"項和為若一岳。成等差

4.23-244S"，3,S5,

數(shù)列，則幾的最小值為（）

A.8B.9C.10D.12

5.（23-24高三上?四川成者卜階段練習）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且數(shù)列｛%-｝*=1,2,3）是等差數(shù)

41414

A.1或7B.1或彳C.2或7D.彳或彳

33333

題型九：等比數(shù)列不等關(guān)系“平衡點”

"旨I點I迷I津

:等比數(shù)列“平衡點”型不等式

;等比數(shù)列“平衡點”型不等式，主要從以下幾個性質(zhì)思考：

1.若p+q=m+〃，則dp?%=而?an,特別地，若p+q=2k,貝U0V?%=〃/

2.如果等比數(shù)列是正項遞增數(shù)列，則若p+q>m+〃，則&?%>麗?斯.

?__________________________________________________________________________________________________

1.（21-22高三?湖北?階段練習）設(shè)等比數(shù)列｛〃.｝的公比為小其前〃項和為前幾項積為7；,并滿足條件

%>1,%021%022>1，%<0,下列結(jié)論不正確的是（）

“2022T

A.*^2021<§2022B.%020%022—1<。

C.或21是數(shù)列區(qū)｝中的最大值D.數(shù)歹|J｛TJ無最小值

2.（22-23高三廣東深圳?模擬）設(shè)等比數(shù)列也,｝的公比為4,其前〃項和為S“，前”項之積為1,且滿足%>1,

出020?%）21>°，（%）20—則下列結(jié)論中正確的是（）

A.B.。廠。4041-1>。

C.心切是數(shù)列｛瑁中的最大值D.S2020>S2021

3.（22-23高三?遼寧?模擬）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,其前〃項和為S“，前〃項積為T.，且滿足條件%>1,

“2022'a2023>1，（^2022—0'（^2023—,則下列選項不正確的是（）

A.｛4｝為遞減數(shù)列B.S2022+l<52023

C.弓22是數(shù)列｛1｝中的最大項D.7；045<1

4.（20-21高三河南鄭州?模擬）設(shè)等比數(shù)列5｝的公比為模其前〃項和為s”,前〃項積為胃,并且滿足條

件4>1,a6a7>1,忙!<。，則下列結(jié)論正確的是（）

%一I

A.a6as>1B.0<q<lC.S”的最大值為S?D.的最大值為刀

5.（2021高三?全國?專題練習）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為分前w項和為S.，前〃項積為空，并滿足條件

a；>l,a2021.a2022>1,（火回T>（%）22T）<°，則下列結(jié)論中不正確的有（）

A.q>l

B.S2022>S2021

C.%021，%023<l

D.乙21是數(shù)列｛瑁中的最大項

題型十：前n項和的“等距”性

指I點I迷I津

“等距”等比：數(shù)列S”S2LSn，S3”一S2”仍成等比數(shù)列，其公比為等.

1.（20-21高三嘿龍江哈爾濱?開學考試）設(shè)等比數(shù)列｛q｝的前"項和為%若芟=4,則於（）

%d6

2.（21-22高三?河北唐山?模擬）設(shè)S,是等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，若柒=3,貝!]*=（）

73

A.2B.-C.—D.1或2

310

3.（23-24高三河南?開學考試）已知等比數(shù)列｛叫的前〃項和為%若$5=12,兀=48,則S?。=（）

A.324B.420C.480D.768

4.（21-22高三下?江西?開學考試）設(shè)等比數(shù)列｛g｝的前〃項和為S,，若兀：§5=1:2,則幾：工等于（）

A.3:4B.2:3C.1:2D.1:3

5.（2023?云南昆明?模擬預測）已知正項等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S〃，若S4=4,則S2+56的最小值為（）

A.8B.8^-4C.8應D.10

題型十一：等比數(shù)列最值型

:指I點I迷I津

判斷數(shù)列的單調(diào)性，常用的方法有作差比較法、作商比較法和函數(shù)圖象法：

（1）作差比較法：當%+「為>0時，｛%｝遞增；當%+「4<0時，｛4｝遞減.

（2）作商比較法：若%>0,則當—>1時，｛q,｝遞增；當―<1時，｛%｝遞減.

anan

（3）函數(shù)圖象法：設(shè)a”"“），則可用函數(shù)y=的圖象來研究數(shù)列｛〃“｝的單調(diào)性

_—————————_—_——______————————————————————————_—__

1.（2023?江西贛州?一模）若等比數(shù)列｛4｝的公比為4,其前〃項和為S“，前〃項積為并且0<佝<1<%，

則下列正確的是（）

A.q>iB.0<%<1

C.S”的最大值為&D.1的最大值為n

2.（21-22高三四川成都?階段練習）在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛““｝中，已知%=512,其前“項積為1，

且G=",則1取得最大值時，〃的值是（）

A.9B.8或9C.10或11D.9或10

3.（2023高三?全國?專題練習）設(shè)首項為正且大于1的無窮等比數(shù)列｛q｝的公比為4（q<0）,前〃項和為S.，

若>0，貝U（）

A.數(shù)列電｝無最大項B.數(shù)列6｝有最小項為S?

C.數(shù)列電｝是遞增數(shù)列，D.數(shù)列電｝最大值為言

4.（23-24高三?福建漳州?模擬）已知正項等比數(shù)列｛斯｝的前〃項積為且％>1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若北=黑，則幾>1B.若丁6="，則（《北

C.若”<[,則”<〈D.若《<4，則

5.（22-23高三江西萍鄉(xiāng)?階段練習）已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，函數(shù)

/⑺二耳左一%乂%-%）。-%）…（尤一/97）（無一佝8）的導函數(shù)為/'lx），/'（。）=1，若4>0>｛??｝的公比”1,

則當｛q｝的前〃項乘積最小時，〃的值為（）

A.499B.500C.498或499D.499或500

題型十二：性質(zhì)求范圍型

指I點I迷I津

等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

（1）數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，斯=〃嗎叫通項斯為指數(shù)函數(shù)：即斯=〃1/；

S=%（1-心=掃——生q"=r-rq"?

（2）數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，Sn=………,Sn為「一國型線性指數(shù)函數(shù)。

（3）借助函數(shù)性質(zhì)（或者不等式均值等性質(zhì)）求等比數(shù)列最值時，要注意自變量n是離散型

1.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）已知等比數(shù)列｛4｝的公比為Q,前”項積為Tn,若q=256,

且VnGN*,幾w8,均有Tn<Ts,則q的取值范圍是（）

_4、

A.2327B.-?-27u27,-

I77\2J

「/1、4A

C.23,-D.3

27->27\2J

2.（2023?全國?模擬預測）已知等比數(shù)列㈤｝的前5項積為32,1<q<2,則q+乎全的取值范圍為（）

A.卜[JB.（3,+s）C.[3,+4口.卜總

3.（22-23高三?河南南陽?模擬）已知正項數(shù)列｛。,｝是公比為;的等比數(shù)列，數(shù)列｛〃｝的通項公式為￡=|.若

滿足%>bn的正整數(shù)n恰有3個，則卬的取值范圍為.

4.（2023上海嘉定?三模）已知｛4｝是遞增的等比數(shù)列，且％+a3=T，那么首項的取值范圍是.

cd

5.（21-22?河南?模擬）己知x>。，y>0,x,a,b,成等差數(shù)列，x,c,d,'成等比數(shù)列，則7一幣"

的最大值是（）

A.0B.1C.2D.-

4

題型十三：數(shù)列與導數(shù)

1.(22-23高三下?河北石家莊?階段練習)已知函數(shù)“尤)是定義在(F,O)U(O,y)上的奇函數(shù)，且當x>0時,

/(x)=e'-依+d.若存在等差數(shù)列X],x2,%，x4(xl<x2<x｝<x4),且占+%=0,使得數(shù)列

｛/(招)｝("=1,2,3,4)為等比數(shù)列，則。的最小值為()

13331

A.-e+-eB.-e3J+-e

4444

3

_e+e231

C.----D.-eJ