導數(shù)的綜合應用 專項訓練模擬練習-2025屆高三數(shù)學一輪復習

2025高考數(shù)學一輪復習-323-導數(shù)的綜合應用-專項訓練模擬練習

【A級基礎鞏固】

1.當x>l時，^x2+lnx<|j?.

2.設函數(shù)兀月二。%2—Inx—a,a2]

(1)求人x)在[1,+8)上的最小值；

(2)證明：當時式x)+=—eir》o恒成立(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)).

Ji

3.已知函數(shù)"x)=ex,當％>—2時，求證：?x)>ln(%+2).

4.當x>y>e—l時，求證：e-^lnCy+1)>e4n(^+1).

【B級能力提升】1.已知函數(shù)

1.已知函數(shù)

(1)求曲線y=/(x)在點(1,汽1))處的切線方程；

(2)當［0,2］時，求證：人為三一2f+8x—5.

2.已知函數(shù)兀v)=ax+xlnx在x=e-2處取得極小值.

⑴求實數(shù)a的值；

(2)當x>l時，求證：y(x)>3(x—1).

3.函數(shù)火x)=e%—%—a,

(1)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；

(2)若%i,九2是函數(shù)y=/(%)的兩個不同零點，求證：①尤1+X2<0；②XI+X2>2(1

—a).

參考答案

【A級基礎鞏固】

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1.［證明］設g(x)=］%3—時―inx,

則g'(x)=2x2—x—\

人

(X—1)(2X2+X+1)

當%>1時，g'(%)=--------------------->0,

所以g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

當x>l時，g(x)>g(l)=t>0,

所以當x>l時，^,x2+lnx<1%3.

,1(y［lax-\-l)(yj2ax-1)

2.［解析］(I)/(x)=2ax--=^---------------------

當時，/x+l>0,在X—1N0,所以(x)>0,因此Hx)在［1,+8)

上單調(diào)遞增，所以1X)M/Q)=O,/Cx)min=0.

一1x—e'］

(2)證明：原不等式等價于_/(x)NeLx—;,即—Li'令g(^)=x—ex~1,x^l,

g'(X)=l—ex-1<0,所以g(X)在［1,+8)上單調(diào)遞減，g(x)Wg(l)=O,g(X)max=

%—e'i1

211-JC

0.結(jié)合(1)可知ax—Inx—aNOF，忙「1恒成立，即ax—^x+~—e—tz^O恒成

立.

3.［證明］設g(x)=/(x)—(x+l)=ex—x—l(x>—'2).

則屋(x)=e*—1,

當一2<x<0時,g'(x)<0；

當x>0時，g'(x)>0,

即g(x)在(一2,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

于是當X=0時,gQ)min=g(0)=0,

因此1x)>x+l(當且僅當x=0時取等號)，

令h(x)=x+1-ln(x+2)(x>-2),

【卡殼點】利用x+1作為中間量，進行放縮

,1%+1

川'(x)=l-X+2=X+2,

則當一2<x<一1時，/?'(x)<0,

當x>—1時，h'(x)>0,

即有力。)在(一2,—1)上單調(diào)遞減，在(一1,+8)上單調(diào)遞增，

于是當％=—1時，A(X)min=/l(—1)=0,

因此x+121n(x+2)(當且僅當x=—1時取等號)，所以當x>—2時，?>ln(x

+2).

【易錯點】注意取等號的條件

4.［證明］%>y>e—1,/.x+1+1>e,

ln(x+l)>ln(y+l)>l,

欲證ex\n(y+l)>e4n(x+1).

即證明>J］

ln(x+l)ln(y十1)

令g(w=ln(x+l)'

e，ln(x+l)-^j

則g'a尸—w+T)—，

顯然函數(shù)/1。)=111(%+1)—^7在(6—1，+8)上單調(diào)遞增，

h(x)>1—->0,即g'(x)>0,

e

，g(x)在(e—1,+8)上單調(diào)遞增,

：x>y>e—1時，g(x)>g。)，

即ln(x+l)>ln(y+iy

當x>y>e-1時，e，ln(y+l)>eyln(x+1)成立.

【B級能力提升】1.［解析］(1/Q)=2ek2(升+無)，/(i)=4,加)=1,則

曲線尸危)在點(1』)處的切線方程為y—l=4(x—1),即y=4x~3.

1.［解析］(1/(X)=2e2x-2(f+x),f(1)=4,-1)=1,則曲線y=/a)在點

(1,1)處的切線方程為j-l=4(x-l),即y=4x~3.

(2)證明：當x?［0,2］時，令gQuj？e為-2+2X2—8X+5,則g'(x)=2e2%-2(x2

+x)+4x-8,

令h(x)=g'(x),則今(x)=2e2x~2(2x2+4x+1)+4>0,

所以屋Q)在［0,2］上單調(diào)遞增,且/(1)=0,

所以g(x)在［0,1］上單調(diào)遞減，在(1,2］上單調(diào)遞增，

所以g(x)的最小值為g(l)=0,所以g(x)N0,

即HjON—zd+Sx—s.

2.［解析］(1)因為?x)=ax+xlnx,

所以，(x)=a+lnx~\~1,

因為函數(shù)?x)在x=b2處取得極小值，

所以77(e，)=0,即a+lne-2+l=0,

所以a=l,所以，(x)=lnx+2,

當f(x)>0時，x>-2,當f(x)<0時，0<%<-2,

所以人X)在(0,52)上單調(diào)遞減，在(［2,+8)上單調(diào)遞增，

所以八%)在》=b2處取得極小值，符合題意.

所以0=1.

(2)由(1)知a=l,所以/(x)=x+xlnx.

令g(x)=?x)—3。-1),即g(x)=xln—2x+3(x>0).

g'(x)=lnx—1,由g'(%)=0得％=6.

由g'(x)>0得x>e,由g'(x)<0得0<x<e,

所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)在(1,+8)上的最小值為g(e)=3—e>0.

于是在(1,+°0)±,都有g(x)>g(e)>0,所以兀0>3(無一1).

3.［解析］(l)Hx)=ex—x—a定義域為R,，(x)=e》一1,

令/(x)>0,則x>0,令/(x)<0,則x<0,

.7/(九)遞減區(qū)間為(一8,0),遞增區(qū)間為(0,+°°),

，火x)極小值=AO)=1—a,無極大值.

(2)證明：由(1)知兀一一8時，+8;%—+8時，人防一+8,

要使兀x)有兩個不同零點xi,Xi,則人0)=1—戰(zhàn)0即a>l,

不妨設Xl<0<X2,

①令g(x)=fix)—i/(一力=eA—ex—2x(x>0),

則g'(x)=f(x)+/'(—x)=e，+er—2,

由于ex+er>2(xW0),故g'(x)>0,

g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，而X2>0,，g(X2)>g(0)=0,

一人—X2)>0即?T2)次—X2),

?.?%1)=%2)=0,..?危1)次一尤2),

Vxi,一X2?(—8,0)且五X)在(一8,0)上單調(diào)遞減，

.".Xl<—X2,即XI+%2<0.

②令F(x)=x-e1~2x+x(x>l),

下面先證明尸(x)>2,F'(x)=(l-2x)e2-2x+l,令力(x)=(l—2x)e2，+i,

'：x>l,勿(x)=(4x—4)e2-2x>0,.?.尸(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

：.F'(x)>F/(1)=0,，R(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，.\F(X)>F(1)=2,

即x-e2~2xJrx>2在尤>1總成立,

,//(X2)=