二次函數(shù)解析式-2024年中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題

專題02二次函數(shù)解析式

一、知識導航

知識點整理：

一般式y(tǒng)=ax1-\-bx+c(aw0)

頂點式y(tǒng)=〃(％—0)2+左(〃。0)頂點坐標為(hg

交點式y(tǒng)w。)與x軸的交點為(x1?0),(x2,0)

二、典例精析

一、a也c中有一個未知量

例一已知二次函數(shù)y=a/。o)的圖象過點(1,3),求該二次函數(shù)的表達式.

解：將點(1,3)代入y=+。o)

得:3=QX]2+〃X1+Q解得a=l

所以y=%2+%+l

例二已知二次函數(shù)y=〃(％+5)(%—2)(〃。0)的圖象的頂點坐標為(-3,5),求該二次函數(shù)的表達式.

解：將點(-3,5)代入y=a(x+5)(x-2)(aw0)

得：5=a(—3+5)x(—3—2)解得〃=_；

113

所以y=-—(x+5)(x-2)=--%2--x+5

二、a,A,c中有兩個未知量

例三若拋物線y=%2+法+。(〃。0)經(jīng)過點a,Q)和(3,o)兩點，求該拋物線的表達式.

解：將點(1,0)和(3,0)代入y=%2+匕％+0(〃。0)

0=l2+/?xl+cb=-4

得:解得＜

O=32+Z?X3+Cc=3

所以y=-4%+3

例四已知拋物線y=ar?+5%的對稱軸為直線尤=1,且函數(shù)圖象經(jīng)過點(3,-3),求該拋物線的表達式.

解：將點(3,-3)代入

得2/1解得1

-3=9a+3b1

所以y=-x2+2x

三、a,b,c均為未知量

類型(一般式y(tǒng)=++b%+c(aw0)

例五已知拋物線y=a/+法+。(〃。o)經(jīng)過(2,0),(-1,0),(0,1)三點，求該拋物線的表達式.

解：將點(2,0),(-1,0),(0,1)代入y=a/+"+c(〃w0)

1

0=QX22+6x2+。2

91

得:<0=4x(—1)+6x(—l)+c解得<b=—

l=cC=1

所以y=一工X2+!工+1

.22

類型二(頂點式丫=。(%—/1)~+左(。20)頂點坐標為(h,k))

例六已知拋物線的頂點坐標為(2,3),且拋物線經(jīng)過點(3,0),求該拋物線的表達式.

解：設拋物線解析式為y=a(x-/i)2+k(a^0)

?.?頂點坐標為(2,3)y=a(x-2)2+3

將點(3,0)代入得0=a(3—2y+3

解得a=-3

所以y=—3(x—2?+3=-3/+12x-9

類型三(交點式y(tǒng)=Q(x-%J(x-%2)(Qw。)與％軸的交點為(4。),(x2,0))

例七已知拋物線的對稱軸為直線%=1,與無軸交于點(-1,0),若點(-2,5)在拋物線上，求該

拋物線的表達式.

解：：對稱軸為直線％=1,與x軸交于點(-1,0)

與％軸另一交點為(3,0)

設拋物線解析式為y=<7(X+1)(X-3)

將點(-2,5)帶入得5=〃(-2+1)(-2-3)解得〃=1

所以拋物線解析式為+1)(%-3)=x2-2%-3

三、中考真題演練

1.(2023?遼寧丹東?中考真題)拋物線>=加+次一4與x軸交于點A(TO),*2,0),與y軸交于點C.

備用圖

⑴求拋物線的表達式；

【詳解】(1)解：由題意得

J16a-4Z?-4=0

[4a+2Z?-4=0

解得，2,

b=l

2

故拋物線的表達式y(tǒng)=^x+x-4;

2.(2023?四川巴中?中考真題)在平面直角坐標系中，拋物線丫=加+陵+。(。40)經(jīng)過點4-1,0)和8(0,3),

其頂點的橫坐標為1.

⑴求拋物線的表達式.

【詳解】(1)解：???拋物線的頂點橫坐標為1

對稱軸為x=l

11?A(-l,0)

???與x軸另一交點為(3,0)

???設拋物線為y=a(%+D(x-3)

QB(0,3)

a——1

「.)=一(%+1)(%-3)

???拋物線的表達式為y=-V+2x+3

3.(2023?浙江金華?中考真題)如圖，直線y=^x+石與x軸，V軸分別交于點4'拋物線的頂點尸在

2

直線A3上，與x軸的交點為C,。，其中點C的坐標為(2,0).直線3c與直線尸。相交于點E.

⑴如圖2,若拋物線經(jīng)過原點O.

①求該拋物線的函數(shù)表達式；

【詳解】(1)解:①：OC=2,

頂點P的橫坐標為1.

.?.當x=l時，>=2+6=述，

22

???點P的坐標是,手］

設拋物線的函數(shù)表達式為y=。盤-1)2+半，把(0,0)代入，

得0=。+逕，

2

解得°=_地.

2

該拋物線的函數(shù)表達式為>=-述(》一1)2+遞，

22

即y=_3fX?_|_3小x.

4.(2023?四川遂寧?中考真題)在平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線〉=工/+bx+c經(jīng)過點。(0,

4

0),對稱軸過點8(2,0),直線/過點C(2,-2),且垂直于y軸.過點8的直線4交拋物線于點V、N,交

直線/于點Q,其中點M、。在拋物線對稱軸的左側.

（圖1）（圖2）

（1）求拋物線的解析式；

【詳解】（1）解：：拋物線y=工/+云+。經(jīng)過點。（0,0）,對稱軸過點8（2,0）,

4

（1,

-X22+2Z?+C=0

.,.14

c=0

[b=-1

解得：

（c=0n

拋物線解析式為y=1Y一x；

4

5.（2023?四川廣安?中考真題）如圖，二次函數(shù)>=爐+法+。的圖象交x軸于點AB,交V軸于點C,點、B

的坐標為（L0）,對稱軸是直線行-1,點尸是x軸上一動點，PMLx軸，交直線AC于點交拋物線于

⑴求這個二次函數(shù)的解析式.

【詳解】（1）解：；二次函數(shù)y=V+6x+c的對稱軸為直線尤=-1,

：.b=2,

???二次函數(shù)經(jīng)過點8（1,0）,

***I2+b+c=0f即l+2+c=0,

???二次函數(shù)解析式為y=x2+2x-3；

6.(2023?四川宜賓?中考真題)如圖,拋物線y=&+法+c與x軸交于點A(T,O)、8(2,0),且經(jīng)過點C(-2,6).

(1)求拋物線的表達式;

【詳解】(1):拋物線y="2+6x+c與x軸交于點A(-4,0)、3(2,0),

；?設拋物線的解析式為y=a(x+4)(x-2),

???經(jīng)過點C(-2,6),

6=a(-2+4)(-2-2),

3

解得Q=

4

3

.**y=—工(尤+4)(x—2),

.33j

??y=-x2—x+o.

42

7.(2023?四川南充?中考真題)如圖1,拋物線y=o?+6x+3(axO)與天軸交于A(-l,0),3(3,0)兩點,

(1)求拋物線的解析式;

【詳解】(1)解：,拋物線了=62+嬴+3(。/0)與無軸交于A(-LO)，3(3,0)兩點,

a—b+3=0

9a+3b+3=0

a=-1

解得

b=2

故拋物線的解析式為》=--+2了+3.

8.（2022?山東淄博?中考真題）如圖，拋物線y=-x2+6尤+c與無軸相交于A,8兩點（點A在點B的左側）,

（備用圖）

（1）求這條拋物線對應的函數(shù)表達式;

【詳解】（1）解：：拋物線的頂點為。（1,4）,

根據(jù)頂點式，拋物線的解析式為y=-（x-1）2+4=+2》+3；

9.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）一次函數(shù)了=3+1的圖像與x軸交于點A,二次函數(shù)了=加+樂+<?（"0）的

⑴求這個二次函數(shù)的表達式；

【詳解】（1）令y=。，則白+1=0,解得x=—2,

???A（-2,0）,

將點^［九：］代入y=；x+l中，解得m=g,

點B的坐標為d）.

24

將A(-2,0),,C(0,0)代入了=依2+為+《。N0)可得：

4。—2b+c=0(-[

a-\

{—a+—&+c=—,解得：＜b=2,

424

八c=0

c=0i

，二次函數(shù)的表達式為y=V+2x.

10.(2022?山東東營?中考真題)如圖，拋物線y=d+6x-3(aw0)與龍軸交于點A(-l,0),點8(3,0),與y

軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式;

【詳解】(1)解：???拋物線y=ad+法一3(4X0)與無軸交于點A(T0),點8(3,0),

.\a-b-3=0

"\9a+3b-3=0,

；?拋物線解析式為y=V-2x-3；

11.(2022?四川資陽?中考真題)已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為AQ,4),且與x軸交于點8(-1,0).

⑴求二次函數(shù)的表達式;

【詳解】（1）???二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為AQ,4）,

/.設二次函數(shù)的表達式為y=+4,

XVB(-1,O),,\0=a(-l-l)2+4,

解得：a=-\,

y=-(x-l)2+4(或y=-/+2x+3)；

12.（2022.遼寧朝陽?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y="2+2x+c與x軸分別交于點A（l,

（1）求拋物線的解析式及點B的坐標.

【詳解】（1）解：把點A（l,0）,C（0,-3）代入＞=內(nèi)2+2.*+。得：

c=-3

,解得:

a+2xl+c=0

2

???拋物線解析式為y=x+2x-3;

令y=0,則f+2x-3=0,

解得：%=1,Z=一3,

二點8的坐標為（-3,0）；

13.（2022?遼寧鞍山?中考真題）如圖，拋物線y=+c與x軸交于A（-l,0）,3兩點，與，軸交于

點C（0,2）,連接3C.

（1）求拋物線的解析式.

【詳解】(1)將A(―1,0),C(0,2)代入y=—萬九？+"+。,

c=2

：.\1，

------b+c=0

I2

\3

b——

解得2,

。=2

y——尤2H—x+2