不等式（4題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版+解析版）

專題03不等式4題型分類

彩題如工總

題型4：不等式的求解題型1:不等式的性質(zhì)

專題03不等式4題型分類

題型3：基本不等式題型2：比較大小

彩先祗寶庫(kù)

1.不等式的性質(zhì)

（1）對(duì)稱性：a>b0b<a.

（2）傳遞性：a>b,b>c=^a>c.

（3）可加性：a>b^a+c>b+c.

（4）可乘性：a>b,oO^aobc；a>b,c<0^ac<bc.

（5）同向可加性：a>b,c>d^a+c>b+d.

（6）同向同正可乘性：a>b>0,c>d>00ac>bd.

nn

（7）同正可乘方性：a>b>0^a>b（n^N9n^2）.

2.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a-b>0^a>b,

a—b=O0a=b,(a,b￡R).

{a-b<0^a<b.

3.基本不等式

（i）基本不等式：

（2）基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

（3）等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

（4）其中審叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，而叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

4.幾個(gè)重要的不等式

（1）a2+b2^2ab（a,b?R）.

,、ba-1

（2）-+^2（a,b同號(hào)）.

（3）（a,b?R）.

/人。2+胡"+6丫

（4）一一可2J（。，b?R）.

5.三個(gè)“二次”的關(guān)系

判別式//>0J=0J<0

小X2/尸

二次函數(shù)的圖象V

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

有兩個(gè)不相等的實(shí)

方程的根沒有實(shí)數(shù)根

根X1=X2=一七

數(shù)本艮九1,X2(X1<X2)

不等式的解集{x\x<X\,或無>%2}R

6.分式不等式與絕對(duì)值不等式

(1)^>0(<0)0f(x)g(x)>0(<0).

(2)怒》O(WO)e/(x)g(x)》O(WO)且g(x)WO.

(3)|x|>a(a>0)的解集為(一8,—a)u(a,+8),|x|<a(a>0)的解集為(一a,a).

彩他題海籍

(―)

不等式的性質(zhì)

1.常用結(jié)論

11

(1)若ab>0,且a>b<4不狂

，、#bb+m

(2)右a>b>0,m>0^~<-r~.

bb+m

（3）若b>a>0,m>O=>a>a+m.

2.判斷不等式的常用方法.

（1）利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證.

（2）利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng).

（3）作差法.

（4）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

題型1:不等式的性質(zhì)

1-1.（2024高三上?廣東?期末）已知一6<3,3<a+b<l,則5a+6的取值范圍為（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

1-2.(2024?全國(guó))若a>b,則

A.\n(a-b)>0B.3a<3b

C.a3-b3>0D.|tz|>|Z?|

1-3.(2024?山東)若a>b>0,且ab=l,則下列不等式成立的是

1b7\1

A.a+-<——<log(tz+Z?)B.<log2(〃+b)<4+/

b2a2

C.a+1<log(a+&)<^[/7、1b

2D.log2(〃+Z?)<a+z<

彩他題海籍

（二）

比較大小

1.不等式大小比較的常用方法

（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果.

（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)募的代數(shù)式）.

（3）分析法.

（4）平方法.

（5）分子（或分母）有理化.

（6）利用函數(shù)的單調(diào)性.

（7）尋找中間量或放縮法.

（8）圖象法.其中比較法（作差、作商）是最基本的方法.

題型2:比較大小

2-1.（2024?全國(guó)）已知9"'=10,a=10'"-ll,b=8"'-9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

hZ7

2-2.（2024IWJ二,全國(guó),課后作業(yè)）（1）已知〃>b>0,cVdVO,求證：----<----

a-cb-d

（2）設(shè)X,yeR,比較（/—y2『與xy（x—y）2的大小.

23（2024高一上?江蘇南京?階段練習(xí)）（1）試比較（％+1）（%+5）與（％+3）2的大?。?/p>

（2）已知-<4->求證：ab>0.

ab

彩做題祕(mì)籍（=）

基本不等式

1.基本不等式

（1）基本不等式：-\/ab<^y^（a>0,b>0）.

（2）等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

2.幾個(gè)重要的不等式

（1）a2+b2^lab（a,b@R）.

（2）^+^2（a,b同號(hào)）.

（3）（a,b?R）.

22

z.sa+bra+b^\.,CD.

（4）一一’2J（a，b?R）.

3.基本不等式求最值

（1）前提：“一正”“二定”“三相等”.

（2）要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.

（3）條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代

換的方法；三是消元法.

題型3:基本不等式

3-1.（2024高一下?廣西柳州?期末）若x>-2,則〃月=尤+-^的最小值為.

32（2024高三?河北?學(xué)業(yè)考試）若x,yeR+，且x+2y=3,則芍的最大值為.

3-3.（2024高三上?湖南婁底?期末）已知a,6為正實(shí)數(shù)，且2a+%=l,則2+三的最小值為.

3-4.（2024?天津南開,一模）已知實(shí)數(shù)a>0,〃>0,Q+b=l,則2a+2"的最小值為.

41

35（2024高三上?江蘇常州?開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)。力滿足--+—=1,則〃+2萬的最小值為________.

a+bb+\

3-6.（2024?上海浦東新?二模）函數(shù)y=logzX+1—1在區(qū)間（5+8）上的最小值為

log4（2x）2

3-7.（2024?上海長(zhǎng)寧?二模）某小學(xué)開展勞動(dòng)教育，欲在圍墻邊用柵欄圍城一個(gè)2平方米的矩形植物種植園，

矩形的一條邊為圍墻，如圖.則至少需要米柵欄.

彩健題海籍

（四）

不等式的求解

1.含參一元二次不等式的解法

（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.

（2）根據(jù)判別式/與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù).

（3）有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.

2.一元二次不等式恒成立問題

（1）弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù).

（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式/；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立,

不能用判別式4，一般分離參數(shù)求最值或分類討論.

題型4:不等式的求解

4-1.（2024?全國(guó)）已知集合4={淚尤_3吁4<0},8={-4,1,3,5},則4仆8=（）

A.HM}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

4-2.（2024IWJ—^下,廣東陽(yáng)江,期末）不等式加-（。+2）%+220（?！?）的解集為（）

a_

「2

u［l,+oo）D.（-cc,l］u—,+oo

a

4-3.（2024IWJ三,全國(guó),專題練習(xí)）解下列關(guān)于1的不等式方?+（々+2）X+1>。（々wO）.

44（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若不等式2x-l>m（dT）對(duì)任意〃好［T/恒成立，實(shí)數(shù)x的取值范圍

是—.

4-5.（2024高二下?吉林?期末）若上《1,2］使關(guān)于x的不等式尤2一6+120成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

4-6.（2024廣西?模擬預(yù)測(cè)）若不等式依2>尤2一》_］對(duì)xe（F,0）恒成立，則。的取值范圍是.

4-7.（2024高三上?北京?期中）若關(guān)于x的不等式辦2一2x+aW0在區(qū)間［0,4］上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

煉習(xí)與稷升

一、單選題

1.（2024高一上?吉林延邊?期末）已知-l</?<4,則a-2Z?的取值范圍是（）

A.—7<a—2Z?<4B.—6<a—2b<9

C.6<a-2b<9D.-2<a-2b<S

2.（2024?遼寧?二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖所示圖形，在

等腰直角三角形金。中，點(diǎn)。為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)Z）為斜邊上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AD=a,BD=b,

用該圖形能證明的不等式為（）.

AODB

A.之《^(a>0,b>0)

Ca+b<Q(a>0,0〉0)D.a1+b2>2A/^(<7>0,Z?>0)

?2

3.（2024,黑龍江哈爾濱?三模）已知工,y都是正數(shù)，且xwy,則下列選項(xiàng)不恒成立的是（）

xy

A.三>而B.-+->2

yx

D.xy+—>2

孫

4.（2024高二上?寧夏?期中）下列運(yùn)用基本不等式求最值，使用正確的個(gè)數(shù)是（）

①已知自。，求片的最小值；解答過程：ab

—x—=2；

ba

②求函數(shù)丁=j的最小值;解答過程：可化得了=&+4c2；

③設(shè)x>l,求丁=龍+:7的最小值；解答過程：y=x+^->2,2x

x—1x—1x-1

2把x=2代入4戶得最小值為4.

當(dāng)且僅當(dāng)戶口即修時(shí)等號(hào)成立，

Vx-1

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

5.（2024高三下?重慶渝中?階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a,b滿足歷+2。-2=0,貝!|4a+b的最小值是（

A.2B.4A/2-2C.4.73-2D.6

6.（2024高三下,浙江?期中）設(shè)a>0,b>0,若a1+b2-乖ab=1,則6a2-仍的最大值為（）

A.3+73B.2A/3C.1+行D.2+73

7.（2024高三上?河北承德?階段練習(xí)）已知集合A=41},集合8={*|》2-(4+2)X+2°<0},若“X右4”

是“xe8"的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍（

11

A.—oo,------B.—oo,------C.--2D.,2

222'4

8.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于尤的不等式龍2-（機(jī)+2）x+2〃?<0的解集中恰有4個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)相的取值

范圍為（）

A.(6,7]B.[—3,—2)

C.[-3,-2)U(6,7]D.[-3,7]

9.（2024高一下,浙江湖州?開學(xué)考試）已知關(guān)于x的不等式*+fox+c<0的解集為{x|x<-L或x>4},則下

列說法正確的是（）

A.a>0B.不等式加+cx+Z?>0的解集為{X|2-\/7<X<2+\/7}

C.a+b+c<0D.不等式ov+Z?>0的解集為{小>3}

10.（2024高一上?上海浦東新期中）已知實(shí)數(shù)關(guān)于％的不等式%2-（〃+?%+而+1<0的解集為（看,%）,

則實(shí)數(shù)。、b、巧、巧從小到大的排列是（）

A.a<xx<x2<bB.xx<a<b<x2

C.a<x{<b<x2D.xx<a<x2<b

安徽省合肥一六八中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）關(guān)于x的不等式依?+法+。<。的解集為

（-3,1）,則不等式加+分+,<0的解集為（）

A.（1,2），B.（-1,2）UD.,T,l）

12.（2024?北京海淀?模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式一+以+方>0（〃>0）的解集是{x|xwd},,則下列四個(gè)結(jié)

論中錯(cuò)誤的是（）

A.a2=4b

1

B.6Z9+->4

b

C.若關(guān)于x的不等式爐+辦—b<0的解集為（不入2），貝也無2>。

D.若關(guān)于X的不等式f+ox+z?vc的解集為（不，%2），且上一百=4,貝ljc=4

13.（2024高三上?江蘇南通?期中）已知關(guān)于x的不等式加+2區(qū)+4<0的解集為（九其中根<0,則

b；4的最小值為（）

4〃b

A.-2B.1C.2D.8

14.（2024?山東）已知二次函數(shù)y=Q/+"+。的圖像如圖所示，則不等式加+云+°>。的解集是（）

A.(-2,1)B.田)C.[-2,1]D.(^0,-2]|J[1,+oo)

15.（2024?全國(guó)）已知集合4=同尤2-無一2>0},則=

A.{+l<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|x<-1}口卜|無”}D.{x|x〈-l}u{x|xN2}

14

16.（2024?四川成都?三模）設(shè)S"為正項(xiàng)等差數(shù)列{q}的前，項(xiàng)和.若$2023=2023,則一+——的最小值為

“442020

（）

59

A.-B.5C.9D.-

22

17.（2024?北京房山?二模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且有最小值的是（）

A./（x）=X2-2XB./（%）=|lnX

C.f（x）=xsinxD.f（x）=2X+2~x

121

18.（2024海南海口?模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)光，丁滿足x+3y=l.則一+一的最小值為（）

%y

A.12B.25C.27D.36

19.（2024?湖北荊門?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a/滿足Iga+lgb=lg（a+26）,則2a+b的最小值是（）

A.5B.9C.13D.18

20.（2024?湖南長(zhǎng)沙?一模）已知2加=3〃=6,則加，〃不可熊滿足的關(guān)系是（）

A.m+n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.（根—1）2+（〃->2

21.（2024?浙江杭州?二模）已知a>l,b>\,且log?&=logz,4,則。。的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

22.（2024?河南安陽(yáng)?三模）已知〃>03>0,則下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若ubVI,則—I—之2

ab

19

B.若a+b=4,則一+7的最小值為4

ab

C.若〃2+/=4,則次?的最大值為2

D.若2a+b=l,則浦的最大值為正

2

23.（2024?廣東湛江二模）當(dāng)x,ye（O,y）時(shí)，￡±鑒匕孥<與恒成立，則優(yōu)的取值范圍是（）

x+2xy+y4

99

A.（25,+oo）B.（26,+oo）C.干+8D.（27,+oo）

二、多選題

24.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知ac>Q,則下列關(guān)系式一定成立的是（）

A.c2>be

cbA

C.a-\-b>cD.-+->2

bc

25.（2024?山東?二模）已知實(shí)數(shù)。也c滿足且a+b+c=0,則下列說法正確的是（）

11?

A.------->-------B.a—c>2bC.a2>b2D.abbe>0

ci—cb—c

26.（2024高三上?山東泰安?期末）若a>0>6>c,則下列結(jié)論正確的是（）

aa

A.—>—B.b2a>c2a

cb

_a—bb

C.------->—D.a-c>

c

27.（2024IWJ二上?江蘇,階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,y滿足-3<x+2y<2,-1<2x-y<4,則（）

A.x的取值范圍為（-1,2）B.>的取值范圍為（-2,1）

C.彳+^的取值范圍為（-3,3）D.x-y的取值范圍為（-1,3）

4151

28.（2024高三下?河北衡水?階段練習(xí)）已知a>0,Z?>0,且滿足。>一+7，/?>-+-.貝!JQ2+〃的取值

abba

可以為（）

A.10B.11C.12D.20

29.（2024高三?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知/（尸+1）=1,則（）

21

A.xy<lB.x2y>——

2

25

C.x+xy<\D.x+xy<—

b滿足3>—j=,則（

30.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a,）

A.l°g0.2023a<l0g0.2023'B.a3<b3

bb+1D-"+￡的最小值為i

C.->------

aa+1

（2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）已知bg糖水中含有"g糖（方>a>0）,若再添加mg糖完全溶解在其中，則糖水

變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大），根據(jù)這個(gè)事實(shí)，下列不等式中一定成立的有（）

aa+m、a+ma+2m

A.-<--------B.--------<----------

bb+mb+mb+2m

2]

C.(?+2m)(6+m)<(tz+m)(Z7+2m)D.——<

3—13

32.（2024?全國(guó)）若％,y滿足/+J?一孫=i,貝|j（）

A.B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

33.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)。，Z?滿足/+〃=必+1,則（）

B.a-b<^-

A.a-b>—l

3

71

C.ab>——D.ab<-

33

（2024高三下?湖北?階段練習(xí)）已知。>0力>0,且；=貝I］（）

34.

b

A.工+b的最小值為4

B./+記的最小值為了

a

c泊最大值對(duì)D.gb-。的最小值為血-1

35.（2024?云南紅河?一模）已知%>0,y>0,且無+y-孫+3=0,則下列說法正確的是（）

D.。J+3

A.3<xy^12B.x+y>6C.x2+y2^18

xy3

36.(2024?山西?一，模)設(shè)u>0,b>0,a+b=\,則下列結(jié)論正確的是（)

A

-曲的最大值為:B.6+〃的最小值為3

41

C.2+；的最小值為9D.6+而的最小值為代

ab

37.（2024?山東）已知。>0,b>0,且o+b=L則（）

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log2tz+log2Z?>-2D.s/a+y/b<^2

38.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)〃，6滿足2人20,則下列說法正確的有（）

B.2"+42

A.>(2Z?)1

C.若Z?>0,貝！Jln〃一lnbNln2D.4Z3>7Z?3

39.（2024高一上?浙江溫州?期中）已知〃>0,b>0,且〃+b=4則下列結(jié)論一定正確的有（）

A.(a+2Z?)2>SabB.~~j=H—1=22Jab

14

C.H?有最大值4D.—+7有最小值9

ab

40.（2024高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.若且x+y>4,則x,y至少有一個(gè)大于2

B.VxeR,岳=x

C.若l<a<3,2<Z?<4,貝！J-2<2<7-b<4

yjx1+3+-^=

D的最小值為2

，尤2+3

41.（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)羽,滿足2、+2陽(yáng)=1，貝I（）

A.x<0且"TB.x+y的最大值為-3

C.&]+」的最小值為7D.同+出」2心<2

三、填空題

42.（2024高一?全國(guó)?單元測(cè)試）若0<a<瓦。+b=1,貝U將a/,J,lab,a1+b2從小到大排列為,

43.（2024高二?全國(guó)?單元測(cè)試）如果〃坊，給出下列不等式：

①②〃泌3；（3）J^2~；@2ac2>2b（^}（5）—>1；@a2+b2+l>ab+a+b.

ClUV>Yb

其中一定成立的不等式的序號(hào)是.

44.（2024高三上?上海普陀?期中）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c,當(dāng)c>0時(shí)，b<2a+3c且6c=H,則二的

b

取值范圍是.

45.（2024?浙江）已知實(shí)數(shù)。、b>c滿足a+Z?+c=0,a2+b2+c2=1,則。的最大值為.

46.（2024?山西?一模）我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會(huì)更甜.這句話用數(shù)學(xué)符號(hào)可表示為:

b〃+m854366239

廣占‘其中且據(jù)此可以判斷兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系，比如局時(shí)——

854366236（填〃>〃〃<〃）.

998763418

47.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）若，克不飽和糖水中含有人克糖，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為b士，這個(gè)質(zhì)量分?jǐn)?shù)決

a

定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，從而可抽象出不等式

>±（a>6>0,m>0）數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出logs?log1510

a+ma

（用，y〃或，，〉〃填空）；并寫出上述結(jié)論所對(duì)應(yīng)的一個(gè)糖水不等式.

48.（2024高三上?天津南開?階段練習(xí)）若"，b>Of且aZ?=a+Z?+3,則必的最小值是

4

49.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知%>0,則2%+^一；的最小值為_______.

2x+l

50.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若x>l,則x-+2x+2的最小值為

x-l

1-I-OA-I-4個(gè)

51.（2024高三下?上海浦東新?階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式/+"+。203>1）的解集為R,則71

b-\

的最小值為.

52.（2024高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）若龍,yeR+,0-“蟲孫）3,則工+工的最小值為.

53.（2024高二下?浙江?期中）已知x>0,y>0,滿足尤?+2孫-2=。，則2x+y的最小值是.

4ct+h

54.（2024?天津?一模）若〃>0,b>0,c>0,a+Z?+c=2,貝U---+----的最小值為_____.

a+bc

55.（2024高三上?浙江寧波?期中）已知a>0,b>0,a+2b=l,則“1，+」：取到最小值為_____.

3。+4人a+3b

56.（2024,安徽蚌埠二模）若直線土+；=1（4>0,6>0）過點(diǎn)（2,3）,貝U2a+b的最小值為____.

ab

4-2b1

57.（2024高三下?河北?階段練習(xí)）已知。>0,6>0,。+26=3,則-----+1■的最小值為________.

a2b

58.（2024高一上?山東煙臺(tái)?階段練習(xí)）已知x〉（，y>2,且3x+y=7,則——的最小值為____.

33x-ly-2

59.（2024高三下.浙江?開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)a,b,c,a+b=3,則ac與+3—c+\3的最小值為___________.

babc+1

60.（2024?天津?yàn)I海新?模擬預(yù)測(cè)）已知x>0,y>。，則三簧產(chǎn)+3、的最大值是.

61.（2024?上海金山?二模）若實(shí)數(shù)無滿足不等式尤2-3元+2<0,則了的取值范圍是.

62.（2024高三?全國(guó)?課后作業(yè)）不等式/+^147胃Y的解集為.

63.（2024高一下?湖北省直轄縣級(jí)單位?期末）函數(shù)"X）=也x1+x-3+log?（3+2x-f）的定義域?yàn)?

64.（2024高三,全國(guó)?課后作業(yè)）不等式-2d+3x-孑之。的解集為.

65.（2024高一上?上海松江?階段練習(xí)）不等式二>0的解集為______.

尤+2

2-9

66.（2024,江西）不等式的Lr^>0的解集是

x—2

67.（2024?上海崇明?二模）若不等式則無的取值范圍是.

68.（2024?上海浦東新?三模）不等式,+2|+舊-2]<4的解集是.

69.（2024高三下?上海楊浦,階段練習(xí)）已知集合A=｛尤|X?-6x+8V。｝,2=同|無一31<2,尤ez｝,貝（]

AQB=_________

70.（2024高一上?全國(guó)?專題練習(xí)）方程燧2_（加_1卜+1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則”的取值范

圍為_.

71.（2024高一?全國(guó)?專題練習(xí)）若方程2x（履-4）-_?+6=。有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則上可取的最大整數(shù)值

是.

72.（2024高三?全國(guó),專題練習(xí)）已知。也ceR,a+b+c=l,a2+b2+c2=1,則c的取值范圍為..

73.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若不等式Y(jié)+x-l。/——"比對(duì)xeR恒成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍

是.

四、解答題

74.（2024高三?江蘇?專題練習(xí)）利用基本不等式證明：已知。也c都是正數(shù)，求證：（a+A）S+c）（c+a）28"c

75.（2024高三下?河南?階段練習(xí)）已知x,?z為正數(shù)，證明：

三rtI111X2+y~+z~

⑴右lr孫z=2,貝—+—+-V-----）-----；

xyz2

⑵若2x+y+2z=9,貝!JY+J+zZ29.

76.（2024?四川綿陽(yáng)?二模）已知函數(shù)〃x）=|2x+l|+|x+4,若〃x）<3的解集為[仇1].

⑴求實(shí)數(shù)。，》的值；

12

⑵已知加，〃均為正數(shù)，且滿足—I----F2Q=0,求證：16m2+n2>8.

2mn

77.（2024高二下?江蘇?期末）首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開，本屆大會(huì)以〃節(jié)能減排，綠色生態(tài)〃為主

題.某單位在國(guó)家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)

品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量X（噸）之間的函

數(shù)關(guān)系可近似的表示為y=200尤+80000,且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.

⑴該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

⑵該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則需要國(guó)家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位

不虧損？

78.（2024高一上?貴州安順?期末）某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的

化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，月處理成本/（大）（元）與月處理量x

（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為了（X）=J爐-200%+80000.

⑴該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使月處理成本最低？月處理成本最低是多少元？

⑵該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本最低是多少元？

79.（2024高一下?湖北孝感,開學(xué)考試）截至2022年12月12日，全國(guó)新型冠狀病毒的感染人數(shù)突破44200000

人?疫情嚴(yán)峻，請(qǐng)同學(xué)們利用數(shù)學(xué)模型解決生活中的實(shí)際問題.

⑴我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并己進(jìn)入二期臨床試驗(yàn)階段?已知這種新藥在

注射停止后的血藥含量C”）（單位：rng/L）隨著時(shí)間，（單位：h）.的變化用指數(shù)模型c（r）=c°e-h描述,

假定某藥物的消除速率常數(shù)％=0.1（單位：h-），剛注射這種新藥后的初始血藥含量c0=20（）0mg/L,且這

種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于1000mg/L時(shí)才會(huì)對(duì)新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥,

求該新藥對(duì)病人有療效的時(shí)長(zhǎng)大約為多少小時(shí)？（精確到0.01,參考數(shù)據(jù)：ln2-0.693,ln3?1.099）

（2）為了抗擊新冠，需要建造隔離房間.如圖，每個(gè)房間是長(zhǎng)方體，且有一面靠墻，底面積為48“平方米（。＞0）,

側(cè)面長(zhǎng)為x米，且x不超過8,房高為4米.房屋正面造價(jià)400元/平方米，側(cè)面造價(jià)150元/平方米.如果不計(jì)

房屋背面、屋頂和地面費(fèi)用，則側(cè)面長(zhǎng)為多少時(shí)，總價(jià)最低？

專題03不等式4題型分類

彩題如工總

題型4：不等式的求解題型1:不等式的性質(zhì)

專題03不等式4題型分類

題型3：基本不等式題型2：比較大小

彩先祗寶庫(kù)

1.不等式的性質(zhì)

（1）對(duì)稱性：a>b0b<a.

（2）傳遞性：a>b,b>c=^a>c.

（3）可加性：a>b^a+c>b+c.

（4）可乘性：a>b,oO^aobc；a>b,c<0^ac<bc.

（5）同向可加性：a>b,c>d^a+c>b+d.

（6）同向同正可乘性：a>b>0,c>d>00ac>bd.

nn

（7）同正可乘方性：a>b>0^a>b（n^N9n^2）.

2.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a-b>0^a>b,

a—b=O0a=b,(a,b￡R).

{a-b<0^a<b.

3.基本不等式

（i）基本不等式：

（2）基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

（3）等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

（4）其中審叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，而叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

4.幾個(gè)重要的不等式

（1）a2+b2^2ab（a,b?R）.

,、ba-1

（2）-+^2（a,b同號(hào)）.

（3）（a,b?R）.

/人。2+胡"+6丫

（4）一一可2J（。，b?R）.

5.三個(gè)“二次”的關(guān)系

判別式//>0J=0J<0

小X2/尸

二次函數(shù)的圖象V