對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第06講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí).................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................4

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)...........................................6

高頻考點(diǎn)一：對(duì)數(shù)的運(yùn)算..........................................6

高頻考點(diǎn)二：換底公式............................................7

高頻考點(diǎn)三：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念......................................9

高頻考點(diǎn)四：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域....................................9

高頻考點(diǎn)五：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域......................................11

角度1：求對(duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域.............................11

角度2：求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域................................11

角度3：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)值或范圍.....................12

高頻考點(diǎn)六：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象......................................16

角度1：對(duì)數(shù)（型）函數(shù)與其它函數(shù)的圖象.......................16

角度2：根據(jù)對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的圖象判斷參數(shù).....................17

角度3：對(duì)數(shù)（型）函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.........................19

高頻考點(diǎn)七：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性...................................23

角度1：對(duì)數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性...........................23

角度2：由對(duì)數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)...................24

角度3：由對(duì)數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性解不等式.................25

角度4：對(duì)數(shù)（指數(shù)）綜合比較大小.............................26

高頻考點(diǎn)八：對(duì)數(shù)函數(shù)的最值.....................................30

角度1：求對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的最值................................30

角度2：根據(jù)對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的最值求參數(shù).......................31

角度3：對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的最值與不等式綜合應(yīng)用.................33

第四部分：典型易錯(cuò)題型............................................39

備注：對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)容易忽略定義域.............................39

備注：分段函數(shù)單調(diào)性容易忽視分段點(diǎn)的大小比較...................40

第五部分：新定義題（解答題）......................................41

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、對(duì)數(shù)的概念

（1）對(duì)數(shù)：一般地，如果優(yōu)=N（a>0,且awl），那么數(shù)》叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log“N,

其中。叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

（2）牢記兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)，以10為底的對(duì)數(shù)IgN；自然對(duì)數(shù)，以無(wú)理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的

對(duì)數(shù)InN.

（3）對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：優(yōu)=Nox=log〃N.

2、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式

（1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)

根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，知對(duì)數(shù)log。N（a〉0,且aw1）具有以下性質(zhì)：

①負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)，即N>0；

②1的對(duì)數(shù)等于0,即log01=0；

③底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1,即log“a=1；

④對(duì)數(shù)恒等式=N(N>0).

(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果。>0,且aHl,〃>0,N>0,那么：

①log。(〃?N)=log—+log.N；

?M,“，，、，

②log。—=log/Tog〃N；

③log”AT=n\ogaM(neR).

(3)對(duì)數(shù)的換底公式

對(duì)數(shù)的換底公式：log“b=呼?！鉭>0,且。w1；。〉0,且。w1力〉0).

logca

換底公式將底數(shù)不同的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對(duì)數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明.換底公式應(yīng)用時(shí)究竟換成

什么為底，由已知條件來(lái)確定，一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù)或以e為底的自然對(duì)數(shù).

換底公式的變形及推廣：

①logbn=—logb(a>。且a41,6>0)；

ama

(2)log/=--—(a>0且al;b>0且6w1).

'log"

③log2?k)g^)c^logcd=logad(其中a,b,c均大于0且不等于1,d>0).

3、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義

形如y=log：(?！?,且a2l)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+oo).

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0<a<l

yy

i1

圖象00

I,X

定義域：(0,+8)

值域：R

性質(zhì)

過(guò)點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí)，y=0

在(0,+8)上是單調(diào)增函數(shù)在(0,+8)上是單調(diào)減函數(shù)

第二部分：高考真題回顧

1.(2022,全國(guó)?(新高考I卷))設(shè)。=0.卜°」,6=：c=-ln0.9,貝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)/'(x)=ln(l+x)-無(wú)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定a,6,c的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

1Y

設(shè)/(尤)=ln(l+x)-Mx>T),因?yàn)榘藊)=S--1=一廣-,

l+x1+X

當(dāng)xe(-l,0)時(shí),f'{x}>0,當(dāng)無(wú)?(0,+8)時(shí)f'(x)<0,

所以函數(shù)/W=ln(l+x)-x在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以/(}</(0)=0,所以ln-—g<0,故g>lnT=7n0.9,即b>c,

所以/(一定)</(°)=°，所以故?<八°，所以上修。<七,

10101010109

故,

f%+

設(shè)g(x)=xe'+ln(l-x)(O<x<l),貝I]g(x)=(x+1)e+\

令7i(x)=e'(x2-1)+1,〃'(x)=ex(x2+2x-1),

當(dāng)O<x<a-1時(shí)，”(x)<。，函數(shù)/心)=6"52-1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)忘-1<X<1時(shí)，h'(x)>0,函數(shù)人(尤)=6%%2-1)+1單調(diào)遞增,

又〃(0)=0,

所以當(dāng)O<x<&-1時(shí)，〃(x)<0,

所以當(dāng)O<x<0-1時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)=；re*+ln(l-尤)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.16°」>一也0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：a=O.le01,b=，c=-lii(l-0.1),

1—(J.1

①ln?-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令=x+ln(l—x),xG(0,0.1],

1—丫

貝ur?=i--=；—<o,

1—xI-x

故f(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，

可得/(0-1)</(0)=0，即lna-lnZ?vO，所以a<b；

(2)tz-c=O.leol+ln(l-O.l),

令W=xex+ln(l—x),xG(0,0.1],

則g[x)=x/+/-一l_=(l+x)(l)el,

v)\-x1-x

令左(無(wú))=(1+九)(1—x)ex—1,所以k\x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得k(x)>k(0)>0,即gf(x)>0,

所以g(%)在(0,0』上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-C>0，所以

故c<a<b.

2.(多選)(2023?全國(guó)?(新高考工卷))噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱,

定義聲壓級(jí)4=20xlg坦?，其中常數(shù)?！?為>0)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，P是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí):

Po

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車(chē)106090

混合動(dòng)力汽車(chē)105060

電動(dòng)汽車(chē)1040

已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為P],P2，P3,則().

A.Pi>p2B.p2>10/73

C.p3=lOOPoD.Pi<100p2

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意可知與460,90],包50,60]，4=40,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】由題意可知：\G[60,90],LP2G[50,60],LP3=40,

對(duì)于選項(xiàng)A：~^P2=20xlg--20xlg-=20xlg—,

PoPoPi

因?yàn)閯t4-4=20xlgaNO,即1gaNO,

PlPl

所以旦且p],p2>。，可得P：P2，故A正確；

Pl

對(duì)于選項(xiàng)B：可得4,一心為=20xlgR-20xlg4=20xlgR,

PoPoP3

因?yàn)閝-4=q-40N10,貝U20xlg4l°,Bplg^>|,

P3P3,

所以&N而且A.〉。，可得p2?而P3,

〃3

當(dāng)且僅當(dāng)L=5。時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?=20x1g星=40,即炮旦=2,

PoPo

可得匡=100,即p3=100p。，故C正確；

Po

對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：4-4=20xlg旦，

且490-50=40,貝q20xlg&W40,

P2

即lg&42,可得旦4100,且四,？2>0,所以PflOOPz，故D正確；

PlP1

故選：ACD.

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：對(duì)數(shù)的運(yùn)算

典型例題

例題L（2024上?福建龍巖,高一校聯(lián)考期末）已知log2a=bg3b=bg65,貝ljab=

【答案】5

【分析】設(shè)Iog2a=log3b=log65=3再用上表達(dá)仍求解即可.

k

【詳解】iog2a=log3b=log65=k,則a=2*,b=3,5=63

故仍=2上-3*=（2x3y=6*=5.

故答案為：5

例題2.（2024上?江蘇鹽城,高一?？计谀┯?jì)算下列各式的值:

12

⑴㈢、“）。一用+1|）；

（2）|log68+3幅,+21og6V3-|log281.log272.

【答案】①g

⑵3

【分析】（1）利用指數(shù)幕的運(yùn)算法則求解即可；

（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

⑵原式二wL+b&（可假置X懸

3

=log62+log63+4--log2781

=5——log34=5——x—=3

2句323

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?安徽蚌埠?高一統(tǒng)考期末）計(jì)算（log32+log34）x（log615-logd

3

【答案】-/0.75

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式可求得所求代數(shù)式的值.

31g21g3_31g21g33

【詳解】原式=log3（2x4）xlog16M=31og2xlog3=---------x--------------------x----------——

3161g3lgl6lg341g24

3

故答案為:

2.（2024上?廣西百色?高一統(tǒng)考期末）計(jì)算下列各式的值:

(1)0.0013+日+(問(wèn)。

ln2

(2)log5175-logs7+e+21ogl72

2

【答案】(1)15

（2）3

【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即得.

（2）利用對(duì)數(shù)性質(zhì)及運(yùn)算法則計(jì)算即得.

_i（I?。

【詳解】（1）原式=（1。-3戶+1+2?=10+1+22=15.

175/.2

（2）原式=^-+2+log/及）=log525+2+log^2=2+2-l=3e

/52

高頻考點(diǎn)二：換底公式

典型例題

lg3

例題1.（2024上?安徽安慶?高一統(tǒng)考期末）log23.1og34-10=（）

A.2B.1C.-1D.0

【答案】C

【分析】利用換底公式和指對(duì)數(shù)運(yùn)算公式即可.

【詳解】1。陵34嗝4-吩3=譬.譬_3=鬻-3=2-3=-1,

1g21g3lg2

故選：C.

例題2.（2024上?山東荷澤?高一校聯(lián)考期末）已知log?々=log/44o=4^，貝U

lOgzWF。3b2???%）=.

【答案】1/1上

22

【分析】由對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化可得出4=451=1,2,3,,10），再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式可

求得所求代數(shù)式的值.

【詳解】因?yàn)閘og0$=l0gHz62="?=1%。％=乎，則々=謂1=1,2,3,.,10）,

’也變更、

lg…q1

所以,1g（他2…%）

lOgqWFo（地…%））=

1g（44…。10）lg（q4…%））

也/-

但（。~2…《。）2

但（。1的…%）2

故答案為：與

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?陜西咸陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）若2工=*坨2ao.3010,則x的值約為（）

A.1.322B.1.410C.1.507D.1.669

【答案】A

【分析】利用指對(duì)互化與換底公式即可得解.

【詳解】因?yàn)?'=*,坨2。0.3010,

2

lg5-lg2_1-21g21-2x0.3010

所以X=lOg2W=?1.322.

lg2lg20.3010

故選：A.

1…

lg3

2.（2024上?廣東深圳?高一?？计谀┯?jì)算：-log^100-log54+log29xlog38-10=

【答案】5

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義和運(yùn)算分析求解.

【詳解】由題意可得：原式=》ogJ（）2-k）g522+log232xlog323-3

252

12

=—xylog510-21og52+21og23x31og32-3

2

=2(1+logs2)-2logs2+6x-----x-------3=2+6—3=5.

In2In3

故答案為：5.

高頻考點(diǎn)三：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

典型例題

例題1.（2024?江蘇?高一假期作業(yè)）下列函數(shù)，其中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（）

A.y=logj-x）B.y=21og4（l-x）c.y=lnxD.J=log（Q2+a）x

【答案】C

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)定義，逐項(xiàng)判斷作答.

【詳解】函數(shù)y=l°g1（-x）,y=21og4（l-x）的真數(shù)不是自變量，它們不是對(duì)數(shù)函數(shù)，AB不是；

2

函數(shù)y=lnx是對(duì)數(shù)函數(shù)，C是；

函數(shù)yTog（〃?）尤的底數(shù)含有參數(shù)。，而。的值不能保證Y+”是不等于1的正數(shù)，D不是.

故選：C

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?江蘇?高一假期作業(yè)）己知函數(shù)f（x）=（27*2-/w）logaX+m-l是對(duì)數(shù)函數(shù)，則〃z=

【答案】1

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義即可得到答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)A'）是對(duì)數(shù)函數(shù)，

則｛,c，解得力=1.

[m-1=0

故答案為：L

高頻考點(diǎn)四：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

典型例題

例題1.（2024下?河南?高一信陽(yáng)高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)/（x）=logi5/7二3矣的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{x|尤>1且x*2}B.[x\l<x<2}C.{x\x>2}D.{x|xwl}

【答案】C

【分析】可直接求出函數(shù)的定義域進(jìn)行判斷.

x—1>0

【詳解】由題得X-1W1,解得X>2,即函數(shù)“X）的定義域?yàn)閧x|x>2}.

-3x+2〉0

故選：C

例題2.（2024上?山東荷澤?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（x）=ln（2/+日+：的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)上的

取值范圍是.

【答案】（-6,6）

【分析】由己知可得對(duì)任意的xeR,2x2+fe+（>0,可得出A<0,即可解得實(shí)數(shù)％的取值范圍.

O

【詳解】由題意可知，對(duì)任意的xwR,2/+尿+?>0,則解得一6</<6.

88

所以，實(shí)數(shù)上的取值范圍是卜6,6）.

故答案為：（-AA/3）.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?江西景德鎮(zhèn)?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)〃x）=ln（Tx+12）的定義域是.

【答案】（f,3）

【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)定義域解不等式即可求解.

【詳解】由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)定義域可知Tx+12>0,解不等式得x<3,

因此函數(shù)〃x）=ln（Tx+12）的定義域是（-8,3）.

故答案為:（-雙3）.

2.（2024上?上海寶山,高一上海交大附中校考期末）已知函數(shù)y=log“（叱-4辰+1-左）的定義域?yàn)镽,則

實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

【答案】0，口

【分析】根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為區(qū)2一4丘+1-左>0恒成立求參數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=iog“（丘2-4丘+1-左）的定義域?yàn)镽,

所以依2-4依+1一左>0在R上恒成立,

則當(dāng)％=0時(shí)，1>0滿足題意;

k>01

當(dāng)人0時(shí)，]-（4）解得…三

綜上所述，0<Z:<1,即4e0,].

故答案為：o]]

高頻考點(diǎn)五：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域

角度1：求對(duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域

典型例題

例題L（2023上?高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=2+log5X（x'l）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（2,+oo）B.（F,2）

C.[2,+oo）D.[3,+8）

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，先求函數(shù)y=bg5x的范圍，再求函數(shù)的值域.

【詳解】由X21知logs尤2。，>22,值域是[2,+8）.

故選：C

例題2.（2023上?高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=2+log3x的定義域?yàn)閇1,9]，則函數(shù)〃尤）的值域是—

【答案】[2,4]

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)定義域求出函數(shù)的值域.

【詳解】,二Iog314bg3x（log39,BP0<log3x<2,

BP2</（x）<4,則函數(shù)的值域?yàn)閇2,4].

故答案為：[2,4]

角度2：求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

典型例題

1.（2024下?河南周口?高一周口恒大中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）函數(shù)y=log°.5（4x-x2）的值域?yàn)?/p>

【答案】[-2,+8）

【分析】求出4元-尤2的取值范圍，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)y=log05(4尤-尤2)的值域.

【詳解】因?yàn)?尤=-(x-2y+444,所以，0<4x-x2<4,

2

因此，y=log05(4x-x)>log054=-2,故函數(shù)y=logo,5(4x-x2)的值域?yàn)椤汗).

故答案為：[-2,+°°).

2.(2024上?上海青浦?高一統(tǒng)考期末)函數(shù)y=(2+log?x).log?2的值域?yàn)?

【答案】一曰，+二|

【分析】由題意利用對(duì)數(shù)的的運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域并通過(guò)換元法即可得解.

【詳解】由題意函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),而y=(2+log,x).log2—=(2+log,x)-(21ogx-6),

64

不妨設(shè)"logzXeR,所以y=(2+f)⑵-6)=2/一2/-12=21-g],

,「25、

所以函數(shù)y=(2+log2X>log27-的值域?yàn)?牙，+00.

故答案為：一^什”；

角度3：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)值或范圍

典型例題

例題1.(2024上?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)=log”x+伙。>OMH1)的定義域和值域都是(1,2),

則/=.

【答案】2或J

4

【分析】分類(lèi)討論。的取值范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，代入數(shù)據(jù)即可求解.

【詳解】當(dāng)0<。<1時(shí)，易知函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，由定義域和值域都是(1,2),

1

/⑴=log.1+8=2d——

所以，解得2,所以4

/(2)=log2+Z.=l

flb=24

當(dāng)。>1時(shí)，易知函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，由定義域和值域都是(1,2),

“l(fā))=log"l+6=l〃二2

所以f(2)=log〃2+b=2'解得八一所以〃=，=2.

0=1

故答案為：2或;

例題2.（2024上?江西上饒?高一婺源縣天佑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/'（%）=log,（依?+4）.若/?（%）

的值域是R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】［16,+8）

【分析】復(fù)合函數(shù)求值域，先求真數(shù)范圍大于零，再求二次函數(shù)大于零，求出。即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域是R,則（0,+動(dòng)為二次函數(shù)"=加-方+4值域的子集.

當(dāng)。=0時(shí)，內(nèi)層函數(shù)為"=4,不合題意;

a>0

當(dāng)〃w0時(shí),則有解得^>16.

△二〃2-16(2>0

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是［16,+8）.

故答案為：［16,+8）

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?上海?高一假期作業(yè)）函數(shù)〃x）=lg（f2+4x）的值域是

【答案】（f，21g2］

【分析】先確定了（x）的定義域，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定出的單調(diào)性，則”X）的值域可求.

【詳解】由題意得-/+4*>0,即0<x<4,所以/⑺的定義域?yàn)椋?,4）,

因?yàn)閠=-f+4x對(duì)稱軸為x=2,且開(kāi)口向下，且丁=館》在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：外力在（0,2）上單調(diào)遞增，在（2,4）上單調(diào)遞減，

當(dāng)xfO（或x.4）時(shí)，/（%）->-<?,當(dāng)x=2時(shí)，/（2）=21g2,

所以〃x）e（7）,21g2］,

故答案為：（…⑵g2］.

2.（2024上?湖南株洲?高一?？计谀┤艉瘮?shù)〃x）=log2（3-辦）在［-1,3］上的最大值為2,則實(shí)數(shù)。=.

【答案】

【分析】由題意易知分類(lèi)討論a>0,a<0時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性建立方程，解之即可求解.

【詳解】令y=3-ax,因?yàn)閍=0時(shí)，f（x）=log23,所以awO；

,13—3ct〉0

若a>0,則y=3”在r［T3］上為減函數(shù)，所以3+4=4'此時(shí)。無(wú)解；

「f3+a>01

若。<0.貝!］>=3-必在［-1,3n］上為增函數(shù)，所以，止匕時(shí)。=工

ID—JCI=43

故o=一；

故答案為：

3.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知〃x)=l+log3X(lWxW9),設(shè)g(x)=r(*)+/(巧，則函數(shù)y=g(x)

的值域?yàn)?

【答案】[2,7]

【分析】確定函數(shù)y=g(尤)的定義域，化簡(jiǎn)可得y=g(x)的表達(dá)式，換元令1%工=M"€[0,1]),可得

y=r+4t+2,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得答案.

【詳解】由題意得則"X43,即8(￡)=/(%)+/1)的定義域?yàn)閇1,3],

故g(X)=/(X)+/(*)=(1+log3x)2+1+1幅/=(log3%)2+41嗚X+2,

^>log3%=?,(/￡[0,1]),貝I]丫=產(chǎn)+4/+2=?+2)2—2,

函數(shù)y=?+2)2-2在[0,1]上單調(diào)遞增，故y￡[2,7],

故函數(shù)丫=8(力的值域?yàn)閇2,刀，

故答案為：[2,7]

4.(2024上?河北唐山?高一統(tǒng)考期末)已知定義在R上的函數(shù)”力為偶函數(shù).當(dāng)x20時(shí)，/(x)=-log2(x+l).

⑴求〃-3)；

(2)求函數(shù)的解析式；

(3)^X6[-3,1],求函數(shù)的值域.

【答案】(1)-2

-log(x+l),x>0

⑵〃x)=2

-log2(-x+l),x<0

⑶[-2,0]

【分析】(1)先求出/(3),由奇偶性得到〃-3)；

(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到x<0時(shí)的函數(shù)解析式，進(jìn)而得到答案；

(3)分兩種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在無(wú)4-3,1]時(shí)的值域.

【詳解】⑴/(3)=-log24=-2,

因?yàn)椤ㄓ?為R上的偶函數(shù)，所以“-3)=〃3)=-2；

(2)當(dāng)xvO時(shí)，-%>0,

故f(-x)=-log2(-X+1),

又“X)為R上的偶函數(shù)，故X)=〃x),

所以〃X)=Tog2(-X+1),

（3）當(dāng)彳40』時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，（x）=-log2（x+l）單調(diào)遞減，因?yàn)閤+le[l,2],

故/（%）=-log2（x+1）e[-1,0],

由函數(shù)為偶函數(shù)可知，當(dāng)xe[-3,0）時(shí)，”x）=—log2（T+l）單調(diào)遞增，-x+le（O,4],

則〃x）=Tog2（T+l）e[-2,0）,

綜上，/（X）的值域?yàn)閇-2,0]

5.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）已知函數(shù)〃尤）=log〃x（a>0且awl）.

⑴當(dāng)0<a<l時(shí)，若〃2a+2）4〃5a）,求。的取值范圍；

（2）若卜=/卜+?￡|的最大值為2,求在區(qū)間1,4上的值域.

2

【答案】⑴0<〃乂

⑵[-2,3]

【分析】（1）結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性即可得；

（2）先結(jié)合題意計(jì)算出。，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得.

【詳解】（1）當(dāng)。<a<l時(shí)，〃x）=log〃x是（0,+e）上的減函數(shù)，

2〃+2>0

因?yàn)椤?a+2）4/（5a）,所以<5a>0,解得0<。6

2a+2>5a

（2）因?yàn)?+%+J_=+—>—,且log/j+x+z）有最大值2,

212）4412

所以0<avl,且log。1=2,解得a=3,

因?yàn)椤▁）=logT是（0,+8）上的減函數(shù)，

2

所以/（X）max=/]，=3,"X焉="4）=一2,

所以“X）在區(qū)間114]上的值域?yàn)閇-2,3].

|_o

6.（2024?全國(guó)■高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=k>g2（〃ix2-4x+2）

⑴若〃無(wú)）的定義域?yàn)镽,求優(yōu)的取值范圍.

（2）若/（力的值域?yàn)镽,求機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴(2,+s)

(2)[0,2].

【分析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為〃V-4x+2>0恒成立，列出不等式組，即可求解;

(2)設(shè)g(x)=H-4x+2,根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為(O,+s)u{y|y=g(x)},分類(lèi)討論，即可求解.

【詳解】(1)解：由函數(shù)/(x)=log2(mx2—4x+2),

要使得〃x)的定義域?yàn)镽，即如2一船+2>0恒成立，

fm>0/、

則滿足A=16-8初<0，解得心2,所以實(shí)數(shù)加的取值范圍為(2,+8).

(2)解：設(shè)g(x)=〃z/_4x+2,要使得的值域?yàn)镽,BP(O,-K?)c{y|y=g(x)},

當(dāng)"7=0時(shí)，g(x)=Tx+16的值域?yàn)镽,此時(shí)(0,+8)qR,

所以函數(shù)的值域?yàn)镽,符合題意.

fm>0

當(dāng)機(jī)w0時(shí)，要使得(0,+℃)a{yly=g(x)},則滿足。、八，解得0VmW2,

[A=16-8/77>0

綜上可得，實(shí)數(shù)加的取值范圍為[0,2].

高頻考點(diǎn)六：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象

角度1：對(duì)數(shù)(型)函數(shù)與其它函數(shù)的圖象

典型例題

則/(x)=[J(Q>0,且QW1)與

例題1.(2024上?黑龍江齊齊哈爾?高一統(tǒng)考期末)已知lga+lg6=0,

g(x)=log/(Z?>0,且。wl)的圖象可能為()

J/J/

A.、B.

二「

【答案】D

【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算得到6=工，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng).

a

【詳解】因?yàn)槊?勵(lì)=0,

所以-lga=lg人，b=-,

a

若則0<,<1,排除C,

a

若b>l,貝排除AB.

a

故選：D

例題2.（2023上?內(nèi)蒙古赤峰?高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)丫=尤"（4€1<）的圖象如圖所示，貝U函數(shù)y=優(yōu)與

y=log/在同一坐標(biāo)系中的圖像是（）

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的圖象易得結(jié)合指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)圖象.

【詳解】由幕函數(shù)圖象知：0<。<1,

所以y=優(yōu)與y=log/在各自定義域內(nèi)都遞減，顯然只有D滿足.

故選：D

角度2：根據(jù)對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的圖象判斷參數(shù)

典型例題

例題1.（2022下?湖南?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)〃x）=k）g/x-9（〃>0且"1,a,b為常數(shù)）的圖

象如圖，則下列結(jié)論正確的是（）

B.〃>0,-1<&<0

C.0<?<1,b<—lD.0<?<1,—1<Z?<0

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=log.（x-6）為減函數(shù)，所以0<°<1

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸的交點(diǎn)在正半軸，所以x=l+人>0,即。>-1

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與y軸有交點(diǎn)，所以〃<0,所以-1<b<0,

故選：D

〃、b、c的大小關(guān)系是（）

C.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與單調(diào)性確定大小.

【詳解】y=log〃x的圖象在（0,+°0）上是上升的，所以底數(shù)〃>1,函數(shù)y=logfer,y=logcx的圖象在（0,

+8）上都是下降的，因此。，cG（0,1）,又易知c>b,故〃>c>b.

故選：D.

角度3：對(duì)數(shù)（型）函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

典型例題

例題1.（2024上?湖北武漢?高一校聯(lián)考期末）若角a的終邊經(jīng)過(guò)函數(shù)y=log“（2x-l）+2（。>0且awl）

的圖象上的定點(diǎn)P,則2sina+cosa=（）

A.-B.V10C.>/5D.

510

【答案】C

【分析】首先得尸（1,2）,進(jìn)一步結(jié)合三角函數(shù)定義即可求解.

【詳解】由題意令2x—1=1,得x=l,而止匕時(shí)y=log.（2x—l）+2=log“l(fā)+2=2,

所以，角a的終邊經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P。,2）,

所以sina=二—=,cosa=-—=,

V1+4571+45

所以2sina+cosa=A/5.

故選：C.

例題2.（2024上?山東濱州?高一?？计谀┖瘮?shù)y=log〃（x-1）+1（。>0且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,且A點(diǎn)

2m+]2

在直線如+3=1上，（m>0,n>0）,則2三+三的最小值為（）

mn

A.6+20B.10C.8+20D.8

【答案】B

【分析】先得出42,1）,再由基本不等式得出答案.

【詳解】當(dāng)X-1=1時(shí)，y=logfll+l=l,即函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)42,1）,

因?yàn)锳在直線〃吠+:9-1=0上，所以2"+〃=1,

2m+12_1vn4wIn4m

mnmn\mnJmn\mn

12m+12

當(dāng)且僅當(dāng)"=2根==時(shí)，取等號(hào)，即"工+士的最小值為10.

2mn

故選：B

練透核心考點(diǎn)

1.（2022上?江西上饒?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)〃尤）=log?（國(guó)-1）的圖像為（）

【分析】以函數(shù)/(x)的定義域、奇偶性去排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可.

【詳解】函數(shù)〃同=1。82(國(guó)-1)的定義域?yàn)?-8,-1)51,+8),可以排除選項(xiàng)B、C;

由/(一力=10g2(|-x|-l)=10g2(|x|-l)=/(x),

可知函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，其圖像應(yīng)關(guān)于y軸軸對(duì)稱，可以排除選項(xiàng)D.

故選：A

2.(2023上?山東濰坊?高三校考期中)已知指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)，對(duì)數(shù)函數(shù)>=bg/的圖象如圖所示，則下列

C.0<b<l<aD.a<0<l<b

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到a,》的范圍，從而得到結(jié)果.

【詳解】由圖象可得，指數(shù)函數(shù)>=優(yōu)為減函數(shù)，

對(duì)數(shù)函數(shù)y=iog〃x為增函數(shù)，

所以0<。<1*>1,

即

故選：B

3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=log/+a"7+2（〃>0且awl）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（左,人），若m+n=b-k

Q1

且機(jī)>0,n>0,則一+一的最小值為（）

mn

95

A.9B.8C.-D.-

22

【答案】B

【分析】先求出函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用基本不等式求最值.

【詳解】函數(shù)y=log/+〃z+2（a>0且”1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（1,3）,所以m+幾=3—1=2,

2f—+->|=（m+n）（—+-）=10+—+—>10+2A/9=16,

nJmnmn

（、〃

,2戶9+1―216,.心9+1—28,當(dāng)且僅當(dāng)93m即〃1根=3：等號(hào)成立

\mnJmnmn22

故選：B.

4.（多選）（2022上?遼寧?高一鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a>0,%>0,且瑟=1,a^l,b41,

則函數(shù)〃力=/工與函數(shù)g（x）=log&x在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是（）

【答案】BD

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像按0<。<1和分類(lèi)討論.

【詳解】由〃>。，b>0,且而=1,awl,bwl,

所以〃x）=aT=g］過(guò)點(diǎn)（0,1）,

而g（x）=k?g〃x過(guò)點(diǎn)（1,0）；

選項(xiàng)A,B：由圖可知/'（X）單調(diào)遞增，則此時(shí)

所以有，>1,故g（x）在xe（0,+8）單調(diào)遞增，

故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C,D：由圖可知/（X）單調(diào)遞減，則此時(shí)

所以有故g（x）在xe（0,+oo）單調(diào)遞減,

故C選項(xiàng)不正確，選項(xiàng)D正確；

故選：BD.

5.（多選）（2024上?湖南張家界?高一慈利縣第一中學(xué)期末）已知函數(shù)/（司=1。80（彳-2）+1（。>。且。*1）的

圖象過(guò)定點(diǎn)（sj）,正數(shù)滿足相+〃=s+/,則（）

911

A.m+n=3B.m2+n2>8C.mn<—D.—F—>1

4mn

【答案】BD

【分析】求出函數(shù)〃尤）所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出s+/=4,可判斷A；利用不等式蘇+”222加力可判斷B；

利用基本不等式可判斷C；利用"甘的妙用，結(jié)合基本不等式可判斷D.

【詳解】在函數(shù)/（X）的解析式中，令尤-2