北師大版高考數學一輪專項復習講義-三角函數中的范圍問題

§4.7三角函數中有關。的范圍問題

【重點解讀】在三角函數的圖象與性質中，。的求解是近幾年高考的一個熱點內容，但因其求

法復雜，涉及的知識點多，歷來是我們復習中的難點.

題型一三角函數的單調性與。的關系

例1已知①>0,函數/(x)=；coss：—?sin(兀一①x)在J上單調遞增，則①的取值范圍是

()

A.[2,6]B.(2,6)

cF9Di,5

答案c

解析由已知得1Ax)=3coscox—/sin(兀—cox)

"Jsins

22

_?5兀］.5兀

=sincoxcos----Heoscyxsin一

66

―引上單調遞增,

C7兀亡兀|571

2痘兀coI,

236

所以兀|571^^c7|兀kGZ,

-a)~\----&2左兀-1-一,

(262

7

解得6k—4WcoW4左—,kGZ,

3

7s

由6左一4W4左一2得左<3,kGZ,

33

又①>0,kGZ,

因此左=1,所以

3

思維升華確定函數的單調區(qū)間，根據區(qū)間之間的包含關系建立不等式，即可求①的取值范圍.

跟蹤訓練1(2023?宜昌模擬)已知函數/(x)=3sin(s+9),①>0,若八61=3,火兀)=0,於)在16,3)

上單調遞減，那么⑦的取值共有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

答案D

日=3,刎=0,

解析

10兀

643(2?+1)'

Gt小

,.%)在I?Jj上單調遞減,

I〉匹_K_7T

2~36-6’

即一迎一‘四,

.?.2〃+lW10n^N,

3（2〃+1）3

???幾=0,1,2,3,4,

即周期T有5個不同取值,

的取值共有5個.

題型二三角函數的對稱性與。的關系

例2（2023?杭州模擬）已知函數兀v）=coscox-^3sinox（0>O）,若於）在區(qū)間（0,2兀）上有且僅有2

個極值點，則。的取值范圍是.

（59

答案【6,3」

解析函數加）=coscox—市sincox

Reoscox-^-sin?xlfcox+^l

=2匕2J=2cos13j,

因為工￡（0,271）,co>0,

所以s+L仔2肥+3

3

由于函數兀c）在區(qū)間（0,2兀）上有且僅有2個極值點，所以加）在（0,2兀）上有且僅有2條對稱軸，

貝?。?兀<2兀。+四W3兀，

3

解得。e16'3_.

思維升華三角函數兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為I,相鄰的對

2

稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為二這就說明，我們可根據三角函數的對稱性來研究

4

其周期性，解決問題的關鍵在于運用整體代換的思想，建立關于。的不等式組，進而可以研

究的取值范圍.

跟蹤訓練2（2024-大慶模擬）若函數/（x）=3sincox+cos在區(qū)間J上僅有一條對

稱軸及一個對稱中心，則G的取值范圍為（）

A.（5,8）B.（5,8]C.（5,11]D.[5,11）

答案B

解析由題意，函數/(x)=3sinox+cos①xnZsinl""6_J,co>0,

因為'金［"e),所以四〈①x+，v，(l+G)，

666

要使得函數人X）在區(qū)間（°'J上僅有一條對稱軸及一個對稱中心，

則需滿足兀v"（l囪，解得5vgW8,

62

所以①的取值范圍為（5,8].

題型三三角函數的最值與G的關系

_7U7L

例3已知函數次x）=2sin@c在區(qū)間J-3,十上的最小值為一2,則①的取值范圍是.

答案（-8,-2]uhJ

解析由題意，顯然①W0.

兀兀7171

------------------Cl）—CD

若0>0,當xeL3’4」時，（DX^L3’4」，

_71匹

因為函數/（x）=2sin0x在區(qū)間_3’z上的最小值為一2,

所以一%W一四,解得co》,；

322

71717171

———CO—（J~）

若“<0,當xc13’4」時，cox^[4'3J,

_71匹

因為函數次x）=2sinGx在區(qū)間1—3I上的最小值為一2,所以:①W—1解得①W—2.

「3u_]

綜上所述，。的取值范圍是（一8,-2]UL2'J

思維升華利用三角函數的最值與對稱軸或周期的關系，可以列出關于。的不等式（組），進而

求出。的值或取值范圍.

跟蹤訓練3為了使函數y=sin8（。>0）在區(qū)間[0,1]上至少出現50次最大值，則。的最小值為

)

197兀199兀

A.98兀D.10071

22

答案B

解析由題意,在[。刀上至少出現5。次最大值即在[。刀上至少需要49；個周期,即號個周

期,

所以空7=里曲Wl,

44co

所以在等”的最小值為等.

題型四三角函數的零點與。的關系

l2cox--l

例4（2023?開封統(tǒng)考）若函數8a）=3〔3J在區(qū)間［0,兀）內有5個零點，則。的取值范圍

是（）

/2B空＜0?空

12121212

D及＜°W要

1212

答案D

解析g(x)=cosl0x3.

“,兀2。兀-

當工￡[0,兀)時，2Gx——343J,

_7L3715K7TI9K11兀

y=cosx在y軸右方的零點為X，，，，，

222222

因為函數g（x）的圖象在區(qū)間［0,兀）內有5個零點,

所喳2s一產一,解得….

思維升華三角函數兩個零點之間的“水平間隔”為與根據三角函數的零點個數，可以研究

2

“①”的取值.

跟蹤訓練4（2O24^株洲模擬）已知｛x）=sin。x（0eN+）,若在區(qū)間J上存在兩個不相等的

實數a,b,滿足八°）+八刀=2,則?？梢詾?（填一個值即可）

答案5（答案不唯一）

解析fix）—sinrnx^1,cy^N+,

0匹

若在區(qū)間2」上存在兩個不相等的實數a,b,滿足人a）十/（6）=2,

0匹

則在區(qū)間［'2」上八x）至少存在兩個最大值，

?兀①＞5兀

22

??CD5,

又①￡N+，?,?①可以為5.

課時精練

一、單項選擇題

1.（2024?達州模擬）已知函數｛x）=Nsin（ox+w）（0>O）,若危）在區(qū)間|_6'3」上單調，且人0）

=/日=一/日，則。的值為（）

A.1B.2C.3D.4

答案B

K2TIGf|Gf|15研

解析由于危）在區(qū)間情‘上上單調，且/GJ=一）舊，所以產;且/同=o,

又因為火。）=/0,且

所以直線x=5為正）圖象的對稱軸,

6

又或一些=21,所以匹=?,故o=2.

1264244

2.(2024?南昌模擬)已知函數3j+sincox(co>0),fixi)=0,於2)=3，且|XL回

=兀，則①的最小值為()

12

A.-B.-C.1D.2

23

答案A

解析因為fix)=3^)+sin(yx=-sincox+—coscox+sincox=-sincox+—coscox=

2222

rII

Wsinl6j,

火xi)=o,外2)=\5,且同一詞=兀，

所以函數?c)的最小正周期7滿足，1T=7t/eN),則T=j^(%eN),

所以G=K=----(左￡N),

T2

又口>0,故當人=0時，口取最小值1.

2

3.若直線x=:是曲線y=sin[①"J（①>0）的一條對稱軸，且函數y=s卜inU]在區(qū)間

上不單調，則0的最小值為（）

A.9B.7C.11D.3

答案C

解析因為直線x=4是曲線y=si』?x一'（。>0）的一條對稱軸,

則四口一匹=左兀+匹，

442

即①=4左+3,Z,

八匹_7TCO_71

當xG12時，a>x--e4’1714

4

0—

因為八%）在［'12」上不單調，

所以與7T一匹必，解得0>9,

1242

所以o的最小值為11.

4.（2023?開封模擬）已知將函數/（x）=2sin（0>0）的圖象向右平移S個單

2co

位長度，得到函數g（x）的圖象，若g（x）在（0,兀）上有3個極值點，則。的取值范圍為（）

解析?=2sm^[C°S5Tsm^=2sinfcos二一2&W=sms—g(l—cos

(cDx+^\r

cox)=sincox+\Jicoscox—^3=2sink3J-A/3,

因為①>0,

、IK+0

所以當x￡（0,兀）時，s+：￡13'3j,

又因為g（x）在（0,兀）上有3個極值點，則由余弦函數的性質可得3兀〈①兀+；W4兀，解得，〈①

「0x+磯

5.已知函數人x）=2sin〔6J（co>0）f若方程批）|=1在區(qū)間（0,2兀）上恰有5個實根，則口的取

值范圍是（）

解析由方程照）|=12sinl6jI=1,

可得smg=±J

所以ox+匹（左￡Z）,

66

因為①>0,

2①兀+胃

所以當工￡（0,2兀）時，C9x+三

6

所以5+三的可能取值為紅，絲生，地,匕三19兀

6666666

因為原方程在區(qū)間（0,2兀）上恰有5個實根,

所以色<2。兀十三W地，

666

解得戛即。的取值范圍是口2..

32

6.（2023?青島質檢）已知函數次x）=sin（G%+9）,其中①>0,勿?]%=一：為?。┑牧泓c，且

?。?lt;1/01恒成立，在區(qū)間[一I?3上有最小值無最大值，則①的最大值是（）

A.11B.13C.15D.17

答案C

解析由題意，直線x=:是?。﹫D象的一條對稱軸，

所以/D=±l,即:①+9=左1兀+}k\^Z,①

又/[4）=0,所以一：①+夕=左2兀，左2^Z,②

由①②，得①=2（左1一左2）+1,ki,k?GZ,

2L兀]

12,24」上有最小值無最大值,

所以冷或一卜日

四

8_9

即四》匹,解得。W16.

co8

綜上，先檢驗①=15,

當①=15時，由①得15+9=左1兀+]kiGZ,即9=后兀一k\GZ,又

「IS—f—兀]13兀37fl

所以夕=—：,此時/（x）=sinl?"4）,當xG112,24」時，15x—2,8J,

當15x—；=U，即x=—京時，取得最小值，無最大值，滿足題意.

故o的最大值是15.

二、多項選擇題

_7l2K

7.（2024?海淀區(qū)模擬）已知函數_Ax）=sins;（①>0）在143」上單調遞增，那么常數口的一個

取值可以為（）

113

A.-B.-C.-D.1

424

答案ABC

_712兀

解析段）=sin①%（①>0）在-4'3_上單調遞增，

則斯3w生,如[一Jz—匹，

322

3

???0<GM,

4

?,?選項ABC符合題意.

「①x+磯

8.（2023?鄭州模擬）已知外）=1-2cos2l3J（co>0）.則下列判斷正確的是（）

=

A.若漢陽）=1,-1,且|%1一X2|min=兀，則①=2

B.存在。G（0,2）,使得火X）的圖象向右平移手個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱

6

1147]

C.若兀0在[0,2利上恰有7個零點，則。的取值范圍為匕4,2“

一—工研（0〉

D.若｛x）在164」上單調遞增，則。的取值范圍為I'3」

答案CD

解析因為危）=1-2cos2（?x+l]

[25+刊L+H

=-cosl3J=sinl6J,

所以周期7=紅=匹

2coCD

對于A,由條件知，周期為2兀，所以四=2兀,

co

解得。三，故A錯誤;

2ox一如十三..缶

對于B,函數為x）的圖象向右平移四個單位長度后得到函數y=sin、36J的圖象,

6

若其關于歹軸對稱，則一如+四=四+析（左￡Z）,解得G=-1—3左（左￡Z）,

362

故對任意整數左，①生（0,2）,故B錯誤;

對于C,由條件得7兀W2w2兀十四<8兀,

6

解得包故C正確;

2424

TCCOI7C—7T

I-—9

36279

對于D,由條件得JCCOI7T-7T解得①W-,又①>0,所以0〈GW-,故D正確.

----1-一、一,33

1262

三、