北京市延慶區(qū)2024-2025學年高一年級上冊期中考試數學試卷（含解析）

延慶區(qū)2024-2025學年第一學期期中試卷

局一數學

本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘

第I卷(選擇題)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合"={-1'°'1'2},5={-2,-1,0,1},則A3=()

A{0,1}B.{-1,0}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】根據給定條件，利用交集的定義求解即得.

【詳解】集合A={—1,0,1,2},B={-2,-1,0,1},所以Ac5={—1,0』.

故選：D

2.若集合A=[—3,1],3=(—2,3),則AB=()

A.(—2,1]B.[―2,1)C.(—3,3]D.[―3,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根據條件，利用集合的運算，即可求解.

【詳解】因為A=[—3,1],5=(-2,3),所以A_3=[—3,3),

故選：D.

3.己知全集U={無€M尤<6}且A={xeU|x2<5},則集合心A中元素有()

A.2個B.4個C.5個D.7個

【答案】B

【解析】

分析】利用列舉法表示集合U,解不等式化簡集合A,再求出gA即可得解.

【詳解】依題意，。={0』,2,3,4,5,6},解不等式％2<5,得—<君，則人={0」,2},

所以許A={3,4,5,6},集合gA中的元素有4個.

故選：B

4.己知集合A滿足｛1｝｛1,2,3,4｝,則人有（）

A.2個B.4個C.5個D.7個

【答案】D

【解析】

【分析】根據給定條件，求出集合｛2,3,4｝的真子集個數即可得解.

【詳解】集合A滿足｛l｝cAf：｛1,2,3,4｝,則集合A可視為集合｛1｝與集合｛2,3,4｝的每個真子集的并集,

而集合｛2,3,4｝的真子集個數為23—1=7，

所以A有7個.

故選：D

5.若尸=/_2a和。=2。—4,則尸和。的大小關系為（）

A.P>QB,P<QC.P>QD.P<Q

【答案】C

【解析】

【分析】根據條件，通過作差法，得到P-Q=（a-2）2,即可求解.

【詳解】因為P=2”，Q=2a-4,

所以p—。=片—2a—（2a—4）=4—4a+4=（a—2>20,當且僅當a=2時取等號，所以P2Q,

故選：C.

6.設a,4ceR,且a</）,c<d,則（）

A.a<b~B.—>—C.ac<bdD.a3<b

ab

【答案】D

【解析】

【分析】舉例說明判斷ABC；利用不等式的性質判斷D.

【詳解】對于A,取a=—2力=2,滿足。<匕，而/=4=/,A錯誤；

dc

對于B,取々=-21=一1,。=1,4=4滿足々〈仇。<1,而—=一2<-1=—,B錯誤；

ab

對于C,取。=一2,/?=—l,c=l,d=4滿足,而ac=—2>-4=bd,C錯誤;

對于D,由不等式性質知，由a<Z?,得/〈尸，D正確.

故選：D

7.下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間(口,0)上單調遞增的是()

11

A.y=—B.y=x+l

x

C.j=-x2,xe(^x),0)D.丁=國

【答案】A

【解析】

【分析】利用奇偶函數的判斷方法及基本函數的單調性，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.

【詳解】對于選項A,因為y=±=x-2,定義域為(-8,0)J(0,+8),關于原點對稱，

X

又/?(一幻=7二=二=/(%),所以丫=二是偶函數，

(-X)XX2

又由暴函數的性質知y=3在區(qū)間(0,+“)上單調遞減，所以y=3在區(qū)間(F,0)上單調遞增，故選項

XX

A正確，

對于選項B,因為丁=尤+1圖象不關于y軸對稱，即y=x+l不是偶函數，所以選項B錯誤，

對于選項C,因為xe(—8,0)的定義域不關于原點對稱，即>=-小，龍w(-w,0)是非奇非偶函

數，所以選項C錯誤，

對于選項D,當xe(—8,0)時，y=|x|=—%在區(qū)間(-8,0)上單調遞減，所以選項D錯誤，

故選：A.

8.已知函數/(%)的定義域為A,則”/(x)為奇函數”是“，(0)=0”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：因函數的定義域是火，故"/(X)是奇函數”是“/(0)=0”的充分條件；

反之，若/(0)=0,則函數.門門不一定是奇函數，"於)為奇函數”不是必要條件.應選A.

考點：充分必要條件.

9.已知函數/(x)=f+辦+2有兩個零點，在區(qū)間(-1,2)上是單調的，且在該區(qū)間中有且只有一個零

點，則實數。的取值范圍是()

A.(-00,-2A/2)O(2A/2,+oo)B.(-00,-3)o(3,+oo)

C.(-<?,-4](3,+00)D.(-ooT][2,+00)

【答案】C

【解析】

【分析】求出函數/(%)的單調區(qū)間，再結合集合的包含關系及零點存在性定理列式求解即得.

【詳解】函數/(%)=爐+辦+2在(一夕-號上單調遞減，在號,+8)上單調遞增，

由在區(qū)間(-1,2)上是單調的，且在該區(qū)間中有且只有一個零點，

af/(-l)>0f/(-I)<0

得(—l,2)u(—00,—且八或(—l,2)u[—1a,+oo)且，，

2[〃2)<02]〃2)>0

-->2[--<1

22

則<3—a〉0或<3—。<0,解得。<一4或。>3,

6+2。<06+2?！?

所以實數。的取值范圍是(―,-4](3,+8).

故選：C

10.VxeR,設/(x)取y=4x+l,y^x+1,y=-2%+4三個函數值中的最小值，則/(%)的最大值

為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】作出函數/(%)的圖象，利用圖象求出其最大值.

【詳解】在同一坐標系內作出直線y=4x+l,y^x+1,y=—2x+4,

由/(%)取y=4x+l,y=x+l,y=-2》+4三個函數值中的最小值，

得了(%)的圖象為下圖中實線構成的折線圖,

則f(x)的最大值即為了(幻的圖象最高點對應的縱坐標值，

觀察圖象知，/(%)圖象最高點是直線y=x+l與y=-2x+4的交點，

y=x+1fx=l

由，c,,得《C，因此/(%)的圖象最高點是(1,2),

y=-2%+4[y=2

所以/(%)的最大值為2.

故選：B

第II卷(非選擇題)

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數=二的定義域是.

【答案】(—2,+8)

【解析】

【分析】利用函數有意義列式求出定義域.

【詳解】依題意，2x+4>0,解得x>—2,

所以函數〃司=尋工的定義域是(—2,+s).

故答案為：(-2,+co)

12.已知奇函數八%)滿足/(一5)</(—3),則“5)/(3).

【答案】大于

【解析】

【分析】利用奇函數的性質，結合不等式的性質求解即得.

【詳解】由奇函數/(%)滿足/(一5)</(—3),得—〃5)<—/(3),所以〃5)>/(3).

故答案為：大于

13.已知A=(-8,a],B=(^?,3),且xeA是xe3的必要不充分條件，則。的取值范圍是

【答案】a>3

【解析】

【分析】根據條件得到3A,再利用集合間的關系，即可求解.

【詳解】因為xeA是xeB的必要不充分條件，則8A,

又A=(-oo,a],B=(^x),3),所以a?3,

故答案為：a>3.

Q

14.已知尤<0,則y=l+2x+—的最大值是,當且僅當％=時，等號成立.

x

【答案】①.-7②.-2

【解析】

【分析】根據給定條件，借助配湊的方法，利用基本不等式求出最大值及對應了的值.

【詳解】由％<0,得-x>0,則y=l-(-2x+§)VI-2)-=-7,

-xV-x

Q

當且僅當—2x=—,即無=一2時取等號，

—X

Q

所以當x=—2時，y=l+2x+—取得最大值—7.

x

故答案為：-7；-2

15.己知函數/(x)=f—2|x|—1,給出下列四個結論：

①函數/(幻是偶函數；

②函數/(%)的增區(qū)間為[1,+8)；

③不等式/(X)<X—1的解集是(-1,3)；

④當%>—3時，令g(x)=d2，貝|]8(%)的最小值為2正_4.

x+3

其中所有正確結論序號是.

【答案】①④

【解析】

【分析】利用偶函數的定義判斷①；求出函數的單調遞增區(qū)間判斷②；分段求出不等式的解集判斷③；利用

基本不等式分段求出最小值判斷④.

【詳解】函數/(幻=爐-2|x|-1的定義域為R,

對于①，/(-%)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|A-|-1=/(%),函數/(%)是偶函數，①正確;

_|_2%_］尤<0

對于②，/(%)=,一'—,函數/(幻的增區(qū)間為［―1,0］,工+8),②錯誤;

x—2%—1,x〉0

x<0fx>0

對于③，不等式/(%)<%—1,或〈2

了2+2%一1<x—1x—2x—1<x—1

解得—1<%<0或Ovxv3,所以不等式/(%)<%—1的解集是(—1,0)(0,3),③錯誤;

f+2x-1

,—3<冗V0

x+3

對于④，依題意,g(x)=<

x2-2x-l

,x>0

x+3

當—3<xW0時，g(x)=(x+3)+---4>2J(X+3)-^--4=2A/2-4,

x+3Vx+3

9

當且僅當X+3=一即％=&—3時取等號;

x+3

1414/—

當%>0時，g(x)=(x+3)+------8>2J(x+3)--------8=2714-8,

x+3Vx+3

14

當且僅當x+3=——，即％=舊―3時取等號,

x+3

而2&7-8-(2&_4)=2［皿_(0'+2)］=2(而_,6+4夜)〉0,

即2，1^-8>2及—4，所以g。)的最小值為20—4，④正確.

故所有正確結論的序號是①④.

故答案為：①④

【點睛】思路點睛：涉及分段函數解不等式問題，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.求下列方程(組)的解集：

(1)x~+5x-6—0

(2)ax=3

(3)x+2五-1=0

X22,

——+y=1

4-

(4)<

1,

y=-x+1

-2

【答案】（1）{-6,1}

(2)當a=0時，解集為0；當awO時，方程解集為

(3){3-2立}

(4){(0,1),(-2,0)}

【解析】

【分析】（1）解一元二次方程即可得解集.

（2）對。分類討論即可得方程的解集.

（3）利用換元法令五=20）,把原方程化為一元二次方程，結合?的取值范圍即可得到原方程的解集.

（4）利用代入消元法即可得到方程組的解集.

【小問1詳解】

由％?+5%—6=0得，(尤+6)(x-l)=。，

解得石=-6,々=1，故方程的解集為{-6,1}.

【小問2詳解】

當a=0時，方程無解，解集為0,

當awO時，解方程得x=3,方程解集為，

aLaJ

【小問3詳解】

令G=t（tNO）,則方程可化為〃+2f—1=0，

解方程得，r1=-i+V2,r2=-l-V2（舍），

%=/=（-1+0）2=3-2后，故方程解集為{3-20}.

【小問4詳解】

X22」

~r+y=1

由<1得，2f+4x=0，解得石=0,々=一2,

y=-x+1

/2

X.--0x,——2

方程組的解為《，，〈一c

〔x=l［為=0

故方程組解集為{(0,1),(-2,0)}.

17.求下列不等式(組)的解集:

(1)X2-4X+3>0

(2)-3X2+2X+1>0

(3)

2x+l1

-----<1

(4)<3

2x2-3x+4>0

【答案】(1){x\x<l^x>3}

(2)yX|——<x<1J

(3){龍|%<-2或x>1]

(4)[x]-2<x<l]

【解析】

【分析】(1)根據條件，因式分解得到(x-3)(x-1)20,再利用一元二次不等式的解法，即可求解;

(2)根據條件，變形得到3/—2x—1<0,再因式分解得(3x+l)(x—1)<0,即可求解；

(3)先變形成土工20,再等價于(x—1)(%+2)20且xw—2,即可求解；

x+2

2x+l

(4)先利用絕對值不等式的解法，求一^―<1的解，再求2/—3%+4>0的解，再求交集，即可求解.

【小問1詳解】

由工2一4%+320,得至i](x—3)(x—1)2。，所以xWl或

故不等式V—4x+320的解集為{MxWl或龍23}.

【小問2詳解】

由一3V+2x+l>0，即3/—2x—1<0，得到（3x+l）（x—1）<。，所以—g<x<l,

故不等式-3x2+2%+1>0的解集為|x|-1<x<lj.

【小問3詳解】

由----->1,得到-^20,等價于（x—1）（X+2）2。且工。一2,所以尤V—2或

x+2x+2

2y+1

故不等式三一21的解集為{x|尤<-2或x?l}.

x~l~2

【小問4詳解】

2x+l

由二一<1,得至］J—3<2x+l<3,即—24<1,

對2/—3%+4>0，因為A=9—4x4x2=—23<0,所以2/—3x+4>0的解集為R，

'2x+l,

--<1,、

故不等式組J3的解集為{x|—2<%<1}.

2x2-3x+4>0

18.已知關于x的方程/+2%—7%=。，meR.

（1）當m=1時，若方程的兩根為巧與馬,求下列各式的值：

22

①X；+X；;②I尤］一尤2I；③31；

（2）若該方程的兩根同號，求實數機的取值范圍.

【答案】（1）①6；②2、5；③4；

（2）—l<m<0.

【解析】

【分析】（1）把相=1代入，利用韋達定理列式，再逐一變形計算各個式子的值.

（2）利用判別式及韋達定理列出不等式組求解.

【小問1詳解】

當機=1時，方程/+2%—1=0，A=22—4x（—1）=8>0,則為+々=—2,石々=—1,

2

①x；+x；=(再+x2)-lxxx2=6；

2

②|%一91=—%2)2=d(%+x2)-4X,X2=20；

222(x+x).

@—+—=—9-=4.

%x2玉％2

【小問2詳解】

A=4+4m＞0

由方程的兩根同號，得＜%+/=—2＜0,解得一1＜相＜0,

xxx2=-m＞0

所以實數加的取值范圍是一1＜相＜0.

19.已知函數〃%)=4+加過點

x

⑴求函數“X)的解析式及定義域；

(2)判斷函數了(%)的奇偶性并證明；

(3)令g(x)=〃x-l),求g(x)的解析式,并證明g(尤)的圖像關于x=l對稱.

【答案】⑴f(x)=~+l,定義域為"|"0}

X

(2)偶函數，證明見解析

1

(3)g(x)=+l(xwl),證明見解析

(If

【解析】

【分析】(1)根據條件可得加=1，即可得/(x)=±+L由解析式可直接求出定義域，即可求解;

X

(2)利用奇偶函數的判斷方法，即可求解；

(3)利用〃x)=《+l,即可得g(x)=-▼+l(xwl),再任取一點P(x,y),通過證明其關于

X(九一1)

x=l對稱的點也在g(x)的圖象上，即可求解.

【小問1詳解】

因為函數/(力=二+加過點(—1,2),則2=1+加，得到m=1,

X

所以/(x)=±+l,定義域為{xlx/0}.

X

【小問2詳解】

函數/(%)為偶函數，證明如下，

因為/(x)=9+1的定義域為｛xlXW0｝，關于原點對稱，

又=T1+l=4+l=/(x),所以"%)為偶函數.

X)X

【小問3詳解】

1

因為g(x)=/(x—l)=+1("1),

(IP

設尸(x,V)是g(尤)圖象上任意一點，P(x,y)關于x=1的對稱點為P'(2—尤,y),

因為g(x)=*+i(x#D'所以一x)=」i7+i=S￥+i=/￥+i=g3'

即點玖2-x,y)也在g(x)圖象上,所以g(x)的圖像關于x=l對稱.

20.已知函數/(x)=*+2陽+3.

(1)當機=1，］4—2,2］時，求函數/(%)的值域；

(2)若函數/(九)在卜2,2］上是單調函數，求實數加的取值范圍；

(3)當m=2時，比較/⑼與/(-a2+2a-6)(aeR)的次小.

【答案】⑴［2,11］

(2)(-co,-2］t，［2,+co)

(3)/(0)</(-?2+2?-6)

【解析】

【分析】(1)利用二次函數的對稱軸可求函數的單調性，求出最大值和最小值即可得到函數的值域.

(2)討論函數的單調性，利用定義域和對稱軸的關系可求得參數的取值范圍.

(3)計算-/+2。—6的取值范圍，利用二次函數的單調性和對稱軸可比較大小.

【小問1詳解】

當初=1時，/(%)=X2+2X+3,對稱軸為直線為=-1,

/(%)在(—2,—1)上為減函數，在(—1,2)上為增函數，

/(XU=/(-1)=1-2+3=2"(X)3y(2)=4+4+3=ll,

故函數〃尤)的值域為⑵11］.

【小問2詳解】

函數=+2m+3,對稱軸為直線％=一m，

當函數在［—2,2］上是單調增函數時，—mW—2,m>2,

當函數〃龍)在［—2,2］上是單調減函數時，—m22,mW—2,

綜上得，實數加的取值范圍為(-8,-2］42,+8).

【小問3詳解】

當加=2時，/(%)=X2+4%+3,對稱軸為直線X=—2,

/(%)在(―右—2)上為減函數，在(—2,+8)上為增函數，且〃0)=/(T),

—<2+2a—6——(a—1)~—5K—5,

Af(-a2+2a-6)>f(-5)>/(-4)=/(O),故〃O)</(一/+2a-6).

21.設集合4={4,=(%1，%2，電),4eR,左=1,2,3卜對于集合A中的任意元素a=(%,天，演)和

?=(X，%，%)及實數2，定義：當且僅當七=%(，=L2,3)時a=匕a+Z?=(石+%,/+%，七+%)；

2。=(>1%4%2,4%3)?若A的子集3={%,。2，4}滿足：當且僅當4=%=4=0時，

44+44+4%=(°，°，°)，則稱5為A的完美子集.

(1)集合4={(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)},B2={(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)},分別判斷這兩個集合是否

為A的完美子集，并說明理由；

⑵集合5={(2辦辦機一2),(辦2辦加一2),(辦加一22")},若8不是A的完美子集，求掰的值.

【答案】(1)用是A的完美子集，且不是A的完美子集，理由見解析；

(2)m=—.

2

【解析】

【分析】(1)根據完美子集定義去計算驗證是否當且僅當4=%2=4=。時，為+4/=(o,o,o)

即可得解；

(2)先計算+丸2。2+4。3

=(2m/il+加4+加4，M4+2加2+(根—2)4,(加—2)4+(加—2)4+2咸3),接著由

4%+4%+4%=(。,。,。)得方程(4加一2)(4+4+4)=0,解該方程得用=g或4+4+4=。,

再結合元素互異性分類討論機=；和4+%+4=0這兩種情況即可得解.

【小問1詳解】

凡是A的完美子集，當不是A的完美子集，理由如下：

對于4={(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)}，因為4=(l,0,0),a2=(0,2,0),^=(0,0,3).

所以4%+%%+4%=(4,°,o)+(o,2%,o)+(o,0,34)=(4,24,34),

所以當且僅當4=4=4=。時，4%+44+4/=(o,o,o),

所以片是A的完美子集；

對于與={(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)},因為q=(1,