北京某中學(xué)2025屆高三年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

北京市魯迅中學(xué)2024-2025學(xué)年高三第一學(xué)期期中測(cè)試

數(shù)學(xué)試卷

本試卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）兩部分，全卷共150分，考試時(shí)間120

分鐘.

第一部分（共40分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選

項(xiàng)是符合題目要求的.

]已知集合A={xIx=2%,%eZ},B={x\xW5},那么AB=

A.[0,2,4}B.{-2,0,2}

C.{0,2}D.{-2,2}

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合A,B,由此能求出ACB.

【詳解】解：；集合A={小=2七keZ）,

B={x\x1<5}={x\-7?<x<7?}>

.\AnB={-2,0,2）.

故選艮

【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（_1,、后），則z的共輾復(fù)數(shù)彳=（）

A.1+A/3ZB.l-73i

C.-l+A/3iD.-i-73i

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)z,然后利用共輾復(fù)數(shù)的定義計(jì)算.

【詳解】z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（—1,8），根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，z=-l+JGi,

由共軌復(fù)數(shù)的定義可知，z=-l-V3i.

故選：D

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A./（x）=-lnxB./（x）=占

2

C./（%）=--D./（X）=3M

x

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC,舉反例排除D即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閥=lnx在（0,+“）上單調(diào)遞增，丁=一%在（0,+。）上單調(diào)遞減，

所以/（x）=-Inx在（0,+。）上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閥=2、在（0,+e）上單調(diào)遞增，y=:在（0,+“）上單調(diào)遞減，

所以〃x）=?在（0,+“）上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閥=：在（0,+“）上單調(diào)遞減，y=r在（0,+動(dòng)上單調(diào)遞減，

所以/（x）=-工在（0,+。）上單調(diào)遞增，故C正確；

X

對(duì)于D,因?yàn)?；］=3曰=3：=6，/⑴=捫=3°=1"（2）=盧=3,

顯然〃％）=少一“在（0,+“）上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

4.已知向量a/滿足a=（2,l）,a-Z?=（—1,2）,則＞」=（）

A.-5B.OC.5D.7

【答案】C

【解析】

【分析】先求出人=a-（a-"）=（3,-1）,進(jìn)而利用向量數(shù)量積公式求出答案.

［詳解】因?yàn)椤?（2,1）,。_匕=（_1,2）,所以＞2）=（3,—1）,

故a吆=（2,l）-（3,-l）=2x3—l=5.

故選：C

5.的展開式中x的系數(shù)為()

A.-80B.-40C.40D.80

【答案】D

【解析】

【分析】借助二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.

【詳解】對(duì)于(2x—工]，由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)得力+1

令5—2廠=1解得廠=2,

則所求系數(shù)為(-1)2-25-2?C；=80,

故選：D

6.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，且S5=15,貝的最大值為()

9

A.-B.3C.9D.36

4

【答案】C

【解析】

【分析】先求得的的關(guān)系式，然后利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，則S5=5a]+10d=15,4+2d=3,

也即生=3,所以=裙=9,

當(dāng)且僅當(dāng)4=%=3時(shí)等號(hào)成立.

故選：C

7.已知函數(shù)/(%)=丁+%,貝『'%+%2=0”是“/)+/(X2)=0”的()

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】由/(%)的奇偶性、單調(diào)性結(jié)合充分條件、必要條件的概念即可得解.

【詳解】因?yàn)?(%)=丁+%定義域?yàn)閰^(qū)，/(—X)=(—X)3+(—X)=—/(X),

所以/(%)為奇函數(shù)，且/(X)為R上的增函數(shù).

當(dāng)X]+%2=0時(shí)，%=一石，所以/(%)+/(無2)=/(%)+/(_%)=0，

即“西+々=0”是“/(X)+/(々)=0”的充分條件，

當(dāng)/(石)+/(%)=。時(shí)，/(%)=—/(%2)=/(—X2)，由/(%)的單調(diào)性知,

?=~X2'即石+%=0，

所以“%+%=0”是“/(%)+/(毛)=0”成立的必要條件.

綜上，=0”是“/(石)+/(/)=。”的充要條件.

故選：C

8,函數(shù)/(x)=cosx-cos2x是

A.奇函數(shù)，且最大值為2B.偶函數(shù)，且最大值為2

99

C.奇函數(shù)，且最大值為-D.偶函數(shù)，且最大值為一

88

【答案】D

【解析】

【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可

判斷最大值.

【詳解】由題意，/(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=/(x),所以該函數(shù)為偶函數(shù)，

(1Y9

X/(%)=cosx-cos2x=-2cos2x+cos%+1=-21cosx-I+§，

所以當(dāng)cosx=—1時(shí)，/(%)取最大值乙9.

48

故選：D.

5,E1

9.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2-叫=彳3”，

2七2

其中星等為儂的星的亮度為民(g1,2).已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天

狼星的亮度的比值為

A.IO101B.10.1C.IglO.lD.1O-10-12

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意得到關(guān)于E\,E］的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.

5,E,

【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足啊一班=彳想了\令加，=一145,叫=一26.7,

2乜2

1g且=2?（根2—g）=2（―1.45+26.7）=10.1,互=1O101.

1^2551^2

故選A.

【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)

運(yùn)算.

10.在坐標(biāo)平面內(nèi)，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn).點(diǎn)尸從原點(diǎn)出發(fā)，在坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進(jìn)，每次

跳躍的長(zhǎng)度都是5且落在整點(diǎn)處.則點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)。（33,33）所跳躍次數(shù)的最小值是（）

A.9B.10

C.11D.12

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量分析運(yùn)算，列出方程求解，即可得到結(jié)果.

【詳解】每次跳躍的路徑對(duì)應(yīng)的向量為

1111HliUULLLLUU

4=（3,4）,4=（4,3）,Cj=（5,0）,4=（0,5）,4=（-3,-4）也=（-4,-3）,c2=（—5,0）,4=（0,-5）,

因?yàn)榍筇S次數(shù)的最小值，則只取用=（3,4）,4=（4,3）,q=（5,0）,4=（0,5）,

設(shè)對(duì)應(yīng)的跳躍次數(shù)分別為a,伍c,d，其中a,b,c,deN,

uum111111H

可得

OQ=aq+bbx+cq+d&=（3a+4b+5c,4〃+3Z?+5d）=（33,33）

則L07'兩式相加可得7（a+》）+5（c+d）=66,

^TCL十十一\\

]〃+b=8[a+b=3

因?yàn)镼+"c+dwN,則〈或〈

c+d=2\c+d=9

a+b=8

當(dāng)＜,c時(shí)，則次數(shù)為8+2=10；

c+d=2

a+b=3

當(dāng),則次數(shù)為3+9=12；

c+d=9

綜上所述：次數(shù)最小值為10.

故選：B.

第二部分(共110分)

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

11-函數(shù)y=^2-x+log3(l+x)的定義域?yàn)?/p>

【答案】(T2]

【解析】

【分析】通過對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域即可求得答案.

2-x>0

【詳解】根據(jù)題意，可知八C，解得—1<XW2,故定義域(—1,2].

1+尤>0

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的相關(guān)計(jì)算，比較基礎(chǔ).

12.邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。中，設(shè)A3=a，AD=b>AC=c，貝“。一萬+，=

【答案】2

【解析】

【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，求出模長(zhǎng)即可.

【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；

在正方形ABC。中，AB=a=(l,0),AD=b=(O,l),AC=c=(l,l),

則￡—Z>+c=(1—0+1,0—1+1)=(2,0),

/.|a-Z?+c|=2.

故答案為：2.

13.設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q(q>0),其前〃和為,且/=g,4=2,則4=；=

【答案】①.8②.—##15.5

2

【解析】

【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求出4=2,從而求出應(yīng)，再代入等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式即可求出S5.

【詳解】由子=4=八又因?yàn)椤?,所以“=2；

所以%==2x4=8；s%(1--)=衛(wèi)

5—-—1-2-T

31

故答案為:8；—.

2

14.如圖，某地一天從6時(shí)至14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(twx+0)+Z?,其中A〉0,且函

數(shù)在x=6與％=14時(shí)分別取得最小值和最大值.這段時(shí)間的最大溫差為一；。的一個(gè)取值為.

【答案】①.20。?②.—(答案不唯一)

4

【解析】

【分析】根據(jù)圖像直接可得最大溫差，再根據(jù)函數(shù)的最值情況與周期情況可得A,人，。，代入點(diǎn)(6,10),

可得。.

【詳解】由圖像可知最大值為30,最小值為10,

所以最大溫差為30℃-10℃=20℃,

24=30-10A=10

即4,解得

2b=30+10工=20

又由已知可得工=14一6,即T=16,

2

2〃71

且丁=—,所以G=—,

8

n

所以函數(shù)解析式為y=10sin+20,

又函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)(6,10),

代入得10sin1x6+0+20=10,

所以，■兀+(p=5兀+2版,左￡Z

37r

解得(P----H2k7i,左￡Z,

4

37r

所以人的一個(gè)可能取值為彳(答案不唯f

3乃

故答案為：2。。彳(答案不唯一).

15.已知函數(shù)/'(x)=r，+""("給出下列四個(gè)結(jié)論：

[%+2ax,x>a

①當(dāng)a=0時(shí)，/(%)的最小值為0；

②當(dāng)a時(shí)，/(%)存在最小值；

③/(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為g(a),則函數(shù)g(a)的值域?yàn)椋?,1,2,3｝；

④當(dāng)a21時(shí)，對(duì)任意玉,々eR,/(xJ+/(X2)22/["i.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③

【解析】

【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及最值可判斷①②，根據(jù)零點(diǎn)定義結(jié)合條件分類討論可判斷③，利用特值可判

斷④.

2%r<0

【詳解】對(duì)①，當(dāng)a=0時(shí)，/(%)=；，

x,x>0

當(dāng)工<0時(shí)，0<2%<1，當(dāng)X20時(shí)，x2>0,

綜上，〃龍)的最小值為0,①正確；

2X+a,x<a

對(duì)②，a<J,/(%)=<

x2+lax,x>a

當(dāng)x<a時(shí)，2工+。>。，

當(dāng)xNa時(shí)，若a<0,x2+2ax>a2—2a2=—a2；若x2+lax>a2+la1=3a2>

如a=-3時(shí)，y(x)>--,函數(shù)不存在最小值，②錯(cuò)誤;

對(duì)③，當(dāng)。<0時(shí)，2，+a=0最多一個(gè)解，

y=￡+2ax=0得％=0或%=-2a,

“、(2X-I,x<-1

如。=一1時(shí)，，由2，一1=0可得x=0(舍去),

x--2x,x>-l

由d—2工=0得x=0或x=2,故此時(shí)了(%)兩個(gè)零點(diǎn)，即g(a)=2；

Lx11

12n——ni

如a=—彳時(shí)，/(x)={,由2'-不=0可得X=—1,

2x2—x,x、2—12

2

由尤2—x=0得x=0或x=l,故此時(shí)八了)三個(gè)零點(diǎn)，即g(a)=3；

X<0

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=s2'，由2*=0可得%￡0，

x,x>0

由d=o得％=o,故此時(shí)〃了)一個(gè)零點(diǎn)，即g(a)=l；

,,”\[lx+a,x<a,

當(dāng)〃>。時(shí)，/(%)=12，?時(shí)，2"+々>0，2%+〃=0無解,

x+2ax,x>a

%之。>。時(shí)，x2+2ax>0，X2+2〃x=0無解，

此時(shí)了(%)沒有零點(diǎn)，即g(〃)=0.

綜上，g(。)的值域?yàn)閧0」,2,3},故③正確;

f2X+4x<4

對(duì)④，當(dāng)a21時(shí)，如a=4時(shí)，，(x)=<',

')[X72+SX,X>4

"3)=12,"4)=48,"5)=65,此時(shí)“3)+45)=77<2/(4)=96,故④錯(cuò)誤.

故答案為：①③

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

(1)直接求零令/(x)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間句上是連續(xù)不斷的曲線，且/(a)?/伍)<0,還必須

結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同

的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在VABC中，y/3a=2/jsinA.

(1)求25；

(2)若〃=近1=3,求VA3C的面積.

【答案】(1)無或女

33

(2)空或空

24

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理的邊角相互轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由余弦定理可得。，再由三角形的面積公式即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

因?yàn)槎?26sinA，由正弦定理可得，

A/3sinA=2sinBsinA,

因sinA>0,所以sinB=苴，

2

且3€(0,兀)，所以3=1或g.

【小問2詳解】

由(1)可知3=工或0，且6=、廳,c=3,b<c,所以5<C

33

jr

即3=由余弦定理可得，/=4+°2—2accos3，

即7=4+9—2ax3x—,解得a=l或a=2,

2

1

當(dāng)。C_-D_11々V3_3A/3

當(dāng)a—1盯，SARC=-acsinB——x1x3x—=-----,

ABC2224

iRoFM*C110a3百

當(dāng)a=2時(shí)，S=—acsmB=—x2x3x——=-----，

ABRCr2222

所以VA3C的面積為主叵或土叵.

24

17.已知函數(shù)〃力=卜2-依+l)e，(aeR)在x=2處取得極小值.

(1)求。的值，并求函數(shù)了(九)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求/(%)在區(qū)間［-2,0］上的最大值和最小值.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,—1),(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(—1,2)

(2)最大值為5小1，最小值為L(zhǎng)

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)/'(2)=0得到a=3,由尸(乃＞0求出單調(diào)遞增區(qū)間，由尸0)＜0求出單調(diào)遞減

區(qū)間；

(2)在(1)求出單調(diào)性的基礎(chǔ)上，得到最值.

小問1詳解】

(⑺=(2x-a)e*+(x?-at+l)eT={^-ax+2x-a+\^cx,

由題意得了'(2)=(4—2a+4—々+1戶=0,解得a=3,

/(%)=(尤2_3%+**,定義域?yàn)镽,

/'(x)=(%2-x-2,*=(x+l)(無一2)e”,

令尸(%)＞。得％＞2或xv—1,令尸(x)＜。得一lv%v2,

故/(%)單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,—1),(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,2),

此時(shí)函數(shù)/0)在久=2處取得極小值，滿足題意；

【小問2詳解】

由(1)知，故/(九)在(—2,—1)上單調(diào)遞增，在(—1,0)上單調(diào)遞減，

故"％)在x=—1處取得極大值，也是最大值，/(-l)=5e-1,

又〃0)=L/(-2)=11r,其中i<ne-2,

故/(%)在區(qū)間［—2,0］上的最小值為1,

綜上，/(%)在區(qū)間［-2,0］上的最大值為51，最小值為1.

18.已知函數(shù)/(%)=2j^sin(兀一x)cos%+2cos2%.

(1)求函數(shù)7(%)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若xe-gg,求函數(shù)八％)的值域.

JT

(3)若函數(shù)g(x)=/(x)—l在_%,m上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則求優(yōu)的取值范圍.

jl7［

【答案】(1)最小正周期為兀，單調(diào)遞增區(qū)間為—q+E,：+E,keZ；

36

(2)[0,3]

5兀1171

(3)

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等變換得到〃x)=2sin2x+￡+1,求出最小正周期，整體法得到函數(shù)單調(diào)遞

增區(qū)間;

兀—,求出/(%)=2sij2%+/+l￡[0,3]；

(2)在(1)基礎(chǔ)上，得到+

6ook067

I7兀T］7T7117711Tl兀

⑶轉(zhuǎn)化為sin2%+:=0在一小上有且僅有兩個(gè)解，求出+,數(shù)形結(jié)合得

k6o/6666

兀

到兀<2加+—<2兀，求出答案.

6

【小問1詳解】

/(x)=2百sin(兀一九)cos%+2COS』九二2百sin/cos%+2xl+2犬

=A/3sin2x+cos2x+1=2sinl2%+-^-1+1,

2冗

“X)的最小正周期丁=2=兀，

7T7TTC

令----F2左兀?2xH—<—F2左兀,kGZ,

262

,71兀

解得---FkitV%K—Fku，kGZ

36

JIJI

故單調(diào)遞增區(qū)為一"+左兀,二+左兀，keZ：

36

【小問2詳解】

71712》+臺(tái)715兀

xe6'T

故sin(2x+^]e-3/，-^(x)=2sin^2x+-^-j+le[0,3],

故函數(shù)值域?yàn)閇0,3]；

【小問3詳解】

函數(shù)g(x)=0n/(x)—l=0n/(x)=l,

即2sin[2x+g)+l=1,sinf2x+^-j=0,

兀

故g(x)=/(x)-l在_%，m上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),

等價(jià)于sin[2x+qJ=0在_%,m上有且僅有兩個(gè)解,

71c兀兀c兀

x€——,m2%H--￡---,2md——

6666

要想sin12》+看)=0在71

加上有且僅有兩個(gè)解,

O

IT57r117T

則兀<2m+—<271,解得——<m<---,

61212

5兀11兀)

故m的取值范圍為

^12)

19.某景區(qū)有一人工湖，湖面有AB兩點(diǎn)，湖邊架有直線型棧道C。，長(zhǎng)為50m,如圖所示.現(xiàn)要測(cè)是

A3兩點(diǎn)之間的距離，工作人員分別在兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，在C點(diǎn)測(cè)得NACD=45。，ZBCD=30°；

在。點(diǎn)測(cè)得ZADB=135°,ZBDC=120°.(A,3,C,。在同一平面內(nèi))

B

A

D

(1)求AB兩點(diǎn)之間的距離；

(2)判斷直線C￡＞與直線AB是否垂直，并說明理由.

【答案】(1)50V5m

(2)直線C￡＞與直線AB不垂直，理由詳見解析.

【解析】

【分析】(1)先求得AD,BD,利用余弦定理求得AB.

(2)先求得AC3C,然后根據(jù)向量法進(jìn)行判斷.

【小問1詳解】

依題意，ZACD=45°,/BCD=30°,^ADB=135°,ZBDC=120°,

所以ZADC=360°-135°—120°=105°,ZCAD=180°—45°—105°=30°,

ZCBD=180°-120°-30°=30°=ZBCD,所以BD=CD=50,

在三角形ACD中，由正弦定理得上2-=-^2-=上一,4。=500,

sin45°sin30°sin30°

在三角形ABD中，由余弦定理得AB=小5()2+(500『—2x50x夜義cos135°=506m.

【小問2詳解】

在三角形BCD中，由余弦定理得5C=7502+502-2x50x50xcosl20°=50g,

通+0

sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos450+cos60°sin45°

4

AC_CDAC_50

在三角形ACD中，由正弦定理得sin105°-sin30°'#+加一1

~T~2

AC=25(76+72),

直線CD與直線AB不垂直，理由如下：

CDAB=CD(CB-CA^=CDCB-CDCA

=50x5073XCOS300-50X25(A/6+V2)XCOS45°

=2500-1250G#0,

所以直線CD與直線AB不垂直.

20.已知函數(shù)/(x)=wulnx-x?+1(根eR).

(1)當(dāng)加=1時(shí),求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程；

(2)若/(x)W0在區(qū)間工收)上恒成立，求加的取值范圍；

(3)試比較ln4與a的大小，并說明理由.

【答案】(1)x+y-l=0

(2)(-co,2]

⑶ln4<V2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；

(2)將在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為機(jī)lnx—x+L<0,^g(x)=mlnx-x+—,問題轉(zhuǎn)

XX

化為g(x)1mx<o,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(x)1mx即可得解；

(3)由(2)知，7%=2時(shí)，/(“40在區(qū)間[1,”)上恒成立，取x=JE，可得解.

【小問1詳解】

當(dāng)初=1時(shí)，/(x)=xlnx-x2+l,

/.f(x)=lnx+l-2x,

所以曲線了(%)在點(diǎn)(1,/(1))處切線的斜率％=廣(1)=—1,又/(1)=0,

所以曲線〃%)在點(diǎn)處切線的方程為y=—(尤―1)即x+y-l=0.

【小問2詳解】

/(x)W。在區(qū)間[1,十》)上恒成立，即grlnx—J+IVO，對(duì)Vxe[l,+co),

即+對(duì)VX￡[1,+QO),

令g(x)=mlnx-x+L只需8(%)睥40,

-x+mx-1

XE[L+。),

當(dāng)相40時(shí)，有儂;<0,則g'(x)<0,

???g(x)在［1,舟)上單調(diào)遞減,

■,.g(x)<g(1)=0符合題意，

當(dāng)〃z>0時(shí)，^h{x)=-j3+mx-l,

其對(duì)應(yīng)方程—d+mx-l=0的判別式A=m2-4，

若AW0即0<加《2時(shí),有五⑺W0,即g'(x)W0,

???g(x)在□，+<?)上單調(diào)遞減,

g(%)<g(1)=0符合題意，

若A〉0即加>2時(shí)，//(%)=-x2+mx-l,對(duì)稱軸x=￡>l,又。(1)=加一2>0,

方程一式+皿―1=0的大于1的根為/='"_'加2_4,

02

.,.XG(1,XO),/i(x)>0,即g'(x)>0,

XG(X0,+OO),即g'(x)<0,

所以函數(shù)g(x)在。,演)上單調(diào)遞增，.?.g(x)>g(l)=O,不合題意.

綜上，/(x)<0在區(qū)間［1,+8)上恒成立，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(7,2］.

【小問3詳解】

由(2)知，當(dāng)加=2時(shí)，/(x)v。，在區(qū)間［1,+°0)上恒成立，

即2xlnx<x2—1，對(duì)Vxe［L”)，

取x=0■代入上式得201n0<l，化簡(jiǎn)得ln4<行.

21.己知右：《,生,.,4("")為有窮數(shù)列.若對(duì)任意的，e{0,l,—1},都有k+i—聞<1(規(guī)定

劭=%），則稱4具有性質(zhì)產(chǎn).設(shè)（=|（仃）|，——i—2?,/=1,2,.

（1）判斷數(shù)列4：1,01,—12—0.5,4:1,2,2.5』.5,2是否具有性質(zhì)「？若具有性質(zhì)尸，寫出對(duì)應(yīng)的集合

T“；

（2）若A4具有性質(zhì)尸，證明:4#0；

（3）給定正整數(shù)〃，對(duì)所有具有性質(zhì)P