2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【數(shù)形結(jié)合】幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想（解析版）

幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想

知識方法精講

1.完全平方公式的幾何背景

(1)運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對

完全平方公式做出幾何解釋.

(2)常見驗證完全平方公式的幾何圖形

(a+b)2=/+2仍+62.(用大正方形的面積等于邊長為0和邊長為b的兩個正方形與兩個長

寬分別是a,b的長方形的面積和作為相等關(guān)系)

2.平方差公式的幾何背景

(1)常見驗證平方差公式的幾何圖形(利用圖形的面積和作為相等關(guān)系列出等式即可驗證

圖(3?

(2)運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對平

方差公式做出幾何解釋.

3.七巧板

(1)七巧板是由下面七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形(兩塊小

形三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形.

(2)用這七塊板可以拼搭成幾何圖形，如三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等；也可

以拼成各種具體的人物形象，或者動物或者是一些中、英文字符號.

(3)制作七巧板的方法：①首先，在紙上畫一個正方形，把它分為十六個小方格.②再

從左上角到右下角畫一條線.③在上面的中間連一條線到右面的中間.④再在左下角到右

上角畫一條線，碰到第二條線就可以停了.⑤從剛才的那條線的尾端開始一條線，畫到最

下面四份之三的位置，從左邊開始數(shù)，碰到線就可停.⑥最后，把它們涂上不同的顏色并

跟著黑線條剪開，你就有一副全新的七巧板了.

4.軸對稱的性質(zhì)

(1)如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.

由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：

①如果兩個圖形的對應(yīng)點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對

稱；

②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應(yīng)點，作出連接它們的線段的垂直平分線,

就可以得到這兩個圖形的對稱軸.

(2)軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.

5.坐標(biāo)與圖形變化-對稱

(1)關(guān)于x軸對稱

橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

(2)關(guān)于y軸對稱

縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

(3)關(guān)于直線對稱

①關(guān)于直線對稱，P(a,b)=>P(2m-a,b)

②關(guān)于直線對稱，P(a,b)nPQa,2〃-b)

6.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)

角.③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋

轉(zhuǎn)角度.注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣.

7.解直角三角形

（1）解直角三角形的定義

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的關(guān)系

①銳角、直角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90°；

②三邊之間的關(guān)系：/+62=C2；

③邊角之間的關(guān)系：

c°s/=N的對邊=

坐里_=曳，噌?邊=旦tan4=NAa

斜邊C斜邊CNA的鄰邊b

（q,b,C分別是N4/B、NC的對邊）

8.簡單組合體的三視圖

（1）畫簡單組合體的三視圖要循序漸進(jìn)，通過仔細(xì)觀察和想象，再畫它的三視圖.

（2）視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一

個平面上.

（3）畫物體的三視圖的口訣為：

主、俯：長對正；

主、左：iWi平齊；

俯、左：寬相等.

9.由三視圖判斷幾何體

（1）由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體

的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀.

（2）由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的，可以從以下途徑進(jìn)行分析：

①根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的

長、寬、高；

②從實線和虛線想象幾何體看得見部分和看不見部分的輪廓線；

③熟記一些簡單的幾何體的三視圖對復(fù)雜幾何體的想象會有幫助；

④利用由三視圖畫幾何體與有幾何體畫三視圖的互逆過程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.

10.數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直

觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用

了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問

題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函

數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯

的幾何意義。如等式。

3.巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形

結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)

4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、

最值問題中，運用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理,

大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要

爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

一.選擇題（共17小題）

1.（2021秋?襄汾縣期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)

學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱

之為“趙爽弦圖”.現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個圖形就是驗證勾

股定理的兩種方法，在驗證著名的勾股定理過程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和

公式的方法，簡稱為“無字證明”.在驗證過程中它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

bac

abc

A.函數(shù)思想B.數(shù)形結(jié)合思想C.分類思想D.統(tǒng)計思想

【考點】勾股定理的證明；數(shù)學(xué)常識

【分析】根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想.

【解答】解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，

它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理的證明，掌握根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法

體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想.

2.（2021秋?金水區(qū)校級期末）如圖是一種正方形地磚的花型設(shè)計圖，為了求這個正方形地

磚的邊長，可根據(jù)圖示列方程（）

6x

A.4—2x=6xB.2+4x=6xC.2+6x=4xD.4+2x=6x

【考點】由實際問題抽象出一元一次方程

【分析】根據(jù)正方形的四條邊的長度相等列出方程.

【解答】解：由正方形的性質(zhì)知：4+2x=6x.

故選：D.

【點評】本題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等

量關(guān)系，列出方程.

3.（2021秋?宣化區(qū)期末）在邊長為°的正方形中挖掉一個邊長為6的小正方形（a>6）.把

余下的部分剪拼成一個矩形（如圖）.通過計算圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式,

則這個等式是（）

A.a1-b1=(a+b)(a-b)B.(a+Z?)2=a2+2ab+b1

C.(a-b)2=a2-2ab+b1D.a2-ab=a(a-b)

【考點】平方差公式的幾何背景

【分析】這個圖形變換可以用來證明平方差公式：已知在左圖中，大正方形減小正方形剩下

的部分面積為/一〃；因為拼成的長方形的長為（0+6）,寬為他-6）,根據(jù)“長方形的面

積=長、寬”代入為：（a+6）x（a-6）,因為面積相等，進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】解：由圖可知，大正方形減小正方形剩下的部分面積為/-/；

拼成的長方形的面積：（a+6）x（a-b）,

所以得出：/一/=（a+6）（"6）,

故選：A.

【點評】此題主要考查了平方差公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是求出第一個圖的陰影部分面

積，進(jìn)而根據(jù)長方形的面積計算公式求出拼成的長方形的面積，根據(jù)面積不變得出結(jié)論.

4.（2021?汝陽縣二模）七巧板是中國古代勞動人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前

一世紀(jì).為祝賀辛丑年的到來，用一副七巧板（如圖①），拼成了“牛氣沖天”的圖案（如

【考點】七巧板

【分析】七巧板是由七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形（兩塊小形

三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形.由此可知七

巧板中的角都是特殊的，出現(xiàn)的角是45。、90。、135。和180。，再求解即可.

【解答】解：七巧板中的角都是特殊的，出現(xiàn)的角是45。、90。、135。和180。，

NABC=45°,ZDEF=135°,

/4BC+/DEF=18。°,

故選：D.

【點評】本題考查七巧板，熟練掌握七巧板圖形的構(gòu)成特點，知道出現(xiàn)的角是45。、90°、135°

和180。是解題的關(guān)鍵.

5.（2021秋?雁塔區(qū)校級月考）如圖，在A4BC中，AB=AC=10,BC=\2,點。為的

中點，DELAB于點、E,貝Ijtan/BOE的值等于（）

A

E,

BDC

A.-B.-C.-D.-

5643

【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形

【分析】連接ND,由A43c中，AB=AC=}0,BC=\2,D為8C中點，利用等腰三角

形三線合一的性質(zhì)，可證得再利用勾股定理，求得的長，那么在直角A4BD

中根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tanABAD,然后根據(jù)同角的余角相等得出NBDE=NBAD,于

是tanZBDE=tanABAD.

【解答】解：連接

?.?AXBC中，AB=AC=10,BC=12,。為3c中點,

ADIBC,BD=-BC=6,

AD7AB2-BD?=8,

tan/BAD=‘3

AD84

?/ADLBC,DELAB,

ZBDE+ZADE=90°,ABAD+NADE=90°,

ZBDE=/BAD,

3

tanNBDE=tanABAD=—，

4

故選：C.

【點評】此題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義以

及余角的性質(zhì).此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

6.（2021秋?禹州市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對A45C進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變

換，若原來點C坐標(biāo)是（5,2）,則經(jīng)過第2022次變換后點C的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（）

A.(-5,-2)B.(5,-2)C.(-5,2)D.(5,2)

【考點】規(guī)律型：點的坐標(biāo)；坐標(biāo)與圖形變化-對稱

【分析】觀察圖形可知每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以4,然后根據(jù)商和

余數(shù)的情況確定出變換后的點C所在的象限，然后解答即可.

【解答】解：點。第一次關(guān)于y軸對稱后在第二象限，

點C第二次關(guān)于x軸對稱后在第三象限，

點C第三次關(guān)于軸對稱后在第四象限，

點C第四次關(guān)于x軸對稱后在第一象限，即點N回到原始位置，

所以，每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，

2022+4=505余2,

二.經(jīng)過第2022次變換后所得的C點與第二次變換的位置相同，在第三象限，坐標(biāo)為(-5,-2).

故選：A.

【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，點的坐標(biāo)變換規(guī)律，讀懂題目信息，觀察出每四次對稱

為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.

7.(2021秋?高青縣期中)己知長方形的周長為16cm,它兩鄰邊長分別為xcro,ycm,且

滿足(x-y)2-2x+2y+l=0,則該長方形的面積為()

21zTQ

A.16cm2B.15cm2C.一cm2D.一cm2

24

【考點】完全平方公式的幾何背景

【分析】由題意可求得f+2孫+「=64和2盯+/=1,則可求得孫的值，此題得以

求解.

【解答】解：由題意得，2(x+y)=16,

(x+y)=8,

/.(x+y)2=x2+2xy+j^2=82=64,

:.x-y=1,

(x-J?=x2-2xy+y2=\,

(x2+2xy+y2)-(x2-2xy+/)=4xy=64-1=63,

63

xy——

4

.?.該長方形的面積為上,

4

故選：D.

【點評】此題考查了運用完全平方公式的幾何背景解決問題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖形準(zhǔn)確

列式并計算.

8.（2021秋?舞鋼市期中）一個幾何體由若干個大小相同的小正方體搭成，從上面看到的幾

何體形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個數(shù)，能表示該幾何體從

左面看到的形狀圖是（）

【解答】解：左視圖有3歹人每列小正方形數(shù)目分別為2,4,3,

故選：B.

【點評】本題考查幾何體的三視圖畫法.以及幾何體的表面積，由幾何體的俯視圖及小正方

形內(nèi)的數(shù)字，可知主視圖的列數(shù)與俯視數(shù)的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列

小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字.左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯

視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字.

9.（2021秋?永春縣期中）一塊三角形玻璃不慎碰破，成了四片完整碎片（如圖所示），假

如只帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅切一塊與以前一樣的玻璃，你認(rèn)為下列說法正

確的是（）

A.帶其中的任意兩塊去都可以B.帶1、4或2、3去就可以

C.帶1、3或3、4去就可以D.帶1、4或2、4去就可以

【考點】全等三角形的應(yīng)用

【分析】帶2、4雖沒有原三角形完整的邊，又沒有角，但延長可得出原三角形的形狀；帶

1、4可以用“角邊角”確定三角形；帶3、4也可以用“角邊角”確定三角形.

【解答】解：帶3、4可以用“角邊角”確定三角形，

帶1、4可以用“角邊角”確定三角形，

帶2、4可以延長還原出原三角形，

故選：D.

【點評】本題考查了全等三角形判定的應(yīng)用；確定一個三角形的大小、形狀，可以用全等三

角形的幾種判定方法.做題時要根據(jù)實際問題找條件.

10.（2021秋?福州期中）在。。中，將圓心繞著圓周上一點/旋轉(zhuǎn)一定角度。，使旋轉(zhuǎn)后

的圓心落在。。上，則。的值可以是（）

A.45°B.60°C.90°D.180°

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【分析】首先依據(jù)題意畫出圖形，然后依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：如圖所示：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AO=AO',

：.OO'=OA=AO',

AOAO'為等邊三角形.

0=AOAO'=60°.

故選：B.

【點評】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解

題的關(guān)鍵.

11.（2021秋?謝家集區(qū)期中）如圖，AA8C與耳G關(guān)于直線對稱，P為MN上任

一點（尸不與幺4共線），下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.AP=AtP

B.AA8C與耳q面積相等

C.垂直平分

D.直線48,其月的交點不一定在上

【考點】三角形的面積；軸對稱的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)

【分析】據(jù)對稱軸的定義，A4BC與關(guān)于直線對稱，P為上任意一點，

可以判斷出圖中各點或線段之間的關(guān)系.

【解答】解：?.?AA8C與關(guān)于直線對稱，P為MN上任意一點,

AP=4P，

尸是等腰三角形，垂直平分44，，CC,這兩個三角形的面積相等，A、B、C

選項正確；

直線4S,4夕關(guān)于直線對稱，因此交點一定在上.。錯誤；

故選：D.

【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)與運用，對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對

應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，對

應(yīng)的角、線段都相等.

12.(2021秋?三元區(qū)期中)如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形，其中邑=4,SB=2,SC=2,SD=1,則S=()

【考點】勾股定理

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理的幾何意義解答即可.

【解答】解：如圖，

根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知:

s=sF+sG

=SA+SB+SC+SD

=4+2+2+1=9；

即S=9；

故選：C.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的幾何意義，關(guān)鍵是掌握兩直角邊的平方和等

于斜邊的平方.

13.（2021秋?鄧州市期中）如圖，在等邊三角形48C中，45=4,點。是邊上一點，

且5。=1,點尸是邊5C上一動點（。、尸兩點均不與端點重合），作/。尸E=60。，PE交

邊4c于點E.若CE=a,當(dāng)滿足條件的點尸有且只有一個時，則。的值為（）

A.2B.2.5C.3D.4

【考點】等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【分析】先證明尸SAC尸￡；利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，進(jìn)而建立關(guān)于5尸的一

元二次方程，再判別式=0,建立方程求解，即可得出結(jié)論.

【解答】解：...兒45。是等邊三角形，

/B=NC=60°，

ZBDP+NBPD=180。—=120°,

???ZDPE=60°,

ZBPD+ZCPE=120。，

/BDP=ZCPE,

NB=NC=60°,

NBDPs^CPE；

BD_BP

，,~CP~~CE，

.1_BP

"4-BP~~a'

.?.BP—4BP+a=0,

???滿足條件的點尸有且只有一個，

方程呂產(chǎn)一45尸+Q=0有兩個相等的實數(shù)根，

△=42—4xq=0,

.,.(2=4.

故選：D.

【點評】此題是相似形綜合題，主要考查了等式的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用方

程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

14.（2021春?雁塔區(qū)期末）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到

一個數(shù)學(xué)等式.例如，禾U用圖1可以得至Ua（a+b）=/+a6,那么利用圖2所得到的數(shù)學(xué)等

A.+Z?+0)?=/+〃+02

B.(Q+/?+c)2=2/+2b2+2c之

C.(a+b+c)2=a1-\-b1+c1+ab+be+ca

D.(〃+6+op=a?+/++2就+2bc+2ca

【考點】單項式乘多項式；完全平方公式的幾何背景

【分析】圖2的面積可表示為一個大的正方形的面積或所分成的9個圖形的面積之和.

【解答】解：圖2的面積可表示為：(a+b+c)(a+b+c)=(a+b+c)2

^a2+ab+ac+ab+b2+be+ac+be+c2=a2+b2+c2+lab+2?c+lac

貝1J有：(Q+b+op=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

故選：D.

【點評】本題考查了整式的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想,

15.（2021秋?海曙區(qū)校級期中）如圖，所有矩形都是正方形，設(shè)最大正方形的邊長是最小

D.9

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)

【分析】如圖，A>C、D、￡為正方形的頂點，作/3LCD,交大正方形的邊于點3,

于是得到A45CSACQE,而這兩個相似三角形的相似比恰好是2:1,再設(shè)最小正方形的邊

長為升，可以列方程求出〃的值，得出答案.

【解答】解：如圖，4、c、D、E為正方形的頂點，作45LCZ）,交大正方形的邊于點

B,

/ABC=/ACE=ZCDE=90°,

ZACB=90°-ZDCE=ZCED,

NABCSACDE,

AB_BC_AC

^D~~DE~~CE

設(shè)最小正方形的邊長為r(r>0),貝!JAB=nr-r,BC=2DE=2r,CD=nr—2r—3r=nr—5r,

AB=2CD,

nr-r=2(nr-5r),

解得n=9,

故選：D.

【點評】此題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是通過作輔

助線構(gòu)造相似三角形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出相等關(guān)系.

16.（2021春?羅湖區(qū)校級期中）在邊長為。的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（q〉6）,

把余下的部分剪拼成一個矩形（如圖），通過計算圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個

等式，則這個等式是（)

-b1=(a+b)(a-b)

C.(a+Z?)2=a2+2ab+b1D.(a—bp=/—2ab+ZJ2

【考點】平方差公式的幾何背景

【分析】這個圖形變換可以用來證明平方差公式：已知在左圖中，大正方形減小正方形剩下

的部分面積為。2一從；因為拼成的長方形的長為(0+6),寬為(4-6),根據(jù)“長方形的

面積=長*寬”代入為：(a+b)x(a-b),因為面積相等，進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】解：由圖可知，大正方形減小正方形剩下的部分面積為/-/；

拼成的長方形的面積：(a+b)x.(a-b),

所以得出：a2-扶=(a+b)(a-b),

故選：B.

【點評】此題主要考查了平方差公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是求出第一個圖的陰影部分面

積，進(jìn)而根據(jù)長方形的面積計算公式求出拼成的長方形的面積，根據(jù)面積不變得出結(jié)論.

17.(2018春?太原期末)如圖，小明用長為ac加的10個全等的小長方形拼成一個無重疊,

無縫隙的大長方形，這個大長方形的面積為()

452

【考點】完全平方公式的幾何背景

【分析】結(jié)合圖形分析出小長方形的寬，從而計算大長方形的面積即可.

【解答】解：設(shè)小長方形的寬為，結(jié)合圖形可得a=4x,x=—cm；

4

結(jié)合圖形得大長方形的長為,寬為a+巴=2℃加

44

.,.大長方形的面積為2113a=-a1cm2

42

故選：D.

【點評】這道題主要考查整式的乘法，難度較低，數(shù)形結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵.

—.填空題(共7小題)

18.(2021秋?平昌縣期末)三國時期，數(shù)學(xué)家趙爽繪制了“勾股圓方圖”，又叫“趙爽弦圖”,

如圖所示，AABH、NBCG>和AD/E是四個全等的直角三角形，四邊形和

四邊形所GH都是正方形，如果M=2,AH=6,那么四邊形/BCD的面積等于

100

【考點】勾股定理的證明；數(shù)學(xué)常識

【分析】在直角三角形中，利用勾股定理求出的長，則可得出答案.

【解答】解：AA88=A5CG,

BG=AH=6,

?.?四邊形斯G8都是正方形，

HG=EF=2,

:.BH=S,

在直角三角形N/ffi中，由勾股定理得到：AB=y/AH2+BH2=A/62+82=10,

四邊形/BCD的面積=10x10=100.

故答案為：100.

【點評】此題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是得到直角三角形的兩直角邊的長度.

19.（2021秋?沂水縣期末）有兩個正方形/、B,現(xiàn)將B放在/的內(nèi)部得圖甲，將/、B

并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙.若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和10,則正

【考點】完全平方公式的幾何背景

【分析】設(shè)正方形/的邊長為a,正方形3的邊長為6,由圖形得出關(guān)系式求解即可.

【解答】解：設(shè)正方形4的邊長為“，正方形8的邊長為6,

由圖甲得。z-/-2(a-b)b=1即/+/-lab=1，

由圖乙得3+6）2-/-從=10,2仍=10,

所以

故答案為：11.

【點評】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出數(shù)量關(guān)系.

20.（2021秋?雁塔區(qū)校級月考）如圖，A48c的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則tanZB/C

的值為

3

【考點】解直角三角形

【分析】過8作于D,根據(jù)正切函數(shù)的定義求解可得.

【解答】解：過B作BOL/C于D,

B

故答案為：—.

3

【點評】本題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形并掌握正切函數(shù)的定義.

21.（2021秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，在ZUBC中，AB=AC,ADLBC,ABAD=28°,

且=貝l]NNED=_76?！?

【考點】等腰三角形的性質(zhì)

【分析】由條件可先求得乙D/E,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求得N/ED即可.

【解答】解：?.?/?=/C,ADLBC,

NDAE=ZBAD=28°,

AD=AE,

ZAED=1（180°-ZDAE）=1x（180°-28°）=76°,

故答案為：76°.

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的平分

線相互重合是解題的關(guān)鍵.

22.（2021秋?秦都區(qū)月考）已知幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為

16萬—.（結(jié)果保留萬）

俯視圖

【考點】由三視圖判斷幾何體

【分析】根據(jù)三視圖確定該幾何體是圓錐，再根據(jù)圓錐的體積公式計算圓錐的體積即可求解.

【解答】解：這個幾何體的體積為」xl6%x3=16萬，

3

故答案為：16萬.

【點評】此題考查三視圖，關(guān)鍵是根據(jù)圓錐的體積公式計算圓錐的體積.

23.（2021秋?思明區(qū)校級期中）4張長為。、寬為6（。＞6）的長方形紙片，按如圖的方式拼

成一個邊長為+6）的正方形，圖中空白部分的面積為，，陰影部分的面積為昆.

(1)若a=3,6=1,貝！JS]=11

（2）若耳=2邑，求0與6滿足關(guān)系:

【考點】完全平方公式的幾何背景；完全平方式

【分析】（1）根據(jù)題目條件計算5部分空白面積的和即可;

（2）由題意列式.2+2/=2［（0+6）2_面+2的］并整理即可.

【解答】解：（1）由題意得,

A=2x[―cib+—(6f+6)6]+-b)~=cib+ab+b~+ci~-2ab+b~=ci~+2b~,

.,.當(dāng)“=3,6=1時,

22

St=3+2xl=9+2=11,

故答案為：11；

（2）由（1）結(jié)果百=/+262,可得,

a2+2b-=2[(a+b)2-(a2+2b2)],

整理得，a2-4ab+4h2=0,

即3-26)2=0,

a=2b,

故答案為：a=2b.

【點評】此題考查了運用完全平方公式的幾何背景解決問題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖形準(zhǔn)確

列式，并運用完全平方公式進(jìn)行運算.

24.（2021秋?襄汾縣月考）有若干個大小形狀完全相同的小長方形，現(xiàn)將其中4個如圖1

擺放，構(gòu)造出一個正方形，其中陰影部分面積為35；其中5個如圖2擺放，構(gòu)造出一個長

方形，其中陰影部分面積為102（各個小長方形之間不重疊不留空），則每個小長方形的面

圖1

【考點】完全平方公式的幾何背景

【分析】設(shè)小長方形的長為。，寬為6,由圖1可得?=35,由圖2可得

（24+6）（4+26）=102,從而可求得2a6=16,則可計算出每個小長方形的面積為8.

【解答】解：設(shè)小長方形的長為0,寬為6,由圖1可得,

(a—b)2-a2-lab+b2=35,

由圖2可得，(2a+6)(a+26)-5a6

=2a2+5ab+2b2-5ab

=2a2+2b2

=102,

a2+b2=51,

從而可求得2仍=16,

解得ab=8,

故答案為：8.

【點評】此題考查了利用完全平方公式的幾何背景解決問題的能力，關(guān)鍵是能結(jié)合圖形列出

算式并計算.

三.解答題(共11小題)

25.(2021秋?東海縣期中)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，QO的半徑為1,點尸(-3,0).已

知點7是。。上一動點，點P關(guān)于點T的對稱點為點4,我們稱點耳為點尸關(guān)于QO的反射

(1)在點4(1,0),8(3,-2),C(l,l),。(5,0)中，不是點尸關(guān)于。。的反射點的是

C_；(只填寫對應(yīng)字母)

(2)若T點從(-1,0)逆時針運動到(0,-1),試求點尸關(guān)于O。的反射點片的運動路徑長；

(3)若在直線y=x+6上存在點尸關(guān)于。。的反射點，求6的取值范圍.

【考點】圓的綜合題

【分析】(1)當(dāng)點T在。。上運動時，點P關(guān)于。。的反射點片的運動軌跡是O。，，且0(3,0),

將/(1,0),8(3,-2),C(l,l),。(5,0)分別畫到圖中，由圖形可直觀觀察到不是點尸關(guān)于。。

的反射點的是C,

(2)當(dāng)T點從(-1,0)逆時針運動到(0,-1),點P關(guān)于。。的反射點片從(1,0)點逆時針運動

到(3,-2)點，即運動了!圓，所以運動路徑長為：-7rr2=-x^x22=7t.

444

(3)根據(jù)題意可知，臨界狀態(tài)為：直線y=x+6與OO,相切，如下圖所示：①直線y=x+4

與相切時，②直線y=x+d與。。'相切時，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可分別求出4和

打的值，進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖所示：當(dāng)點T在。。上運動時，點尸關(guān)于。。的反射點耳的運動軌跡

由圖可知，不是點尸關(guān)于。。的反射點的是C,

故答案為：C.

(2)當(dāng)T點從(-1,0)逆時針運動到(0,-1),點P關(guān)于。。的反射點［從(1,0)點逆時針運動

到(3,-2)點，

即運動了!圓，

4

運動路徑長為：—nr2=—x^-x22=n.

44

(3)根據(jù)題意可知，臨界狀態(tài)為：直線y=x+6與相切，如下圖所示:

①直線y=x+4與O。'相切時,

可知（JM=ME=2,

O'E=2V2,OE=3-141,

￡（3-272,0）,代入解析式可得々=-3+2后，

②直線y=x+4與O。'相切時，

可知O'N=NF=2,

O'F=2V2,OF=3+2V2,

.?.尸（3+2收，0）,代入解析式可得打=-3-2后，

若在直線y=x+b上存在點P關(guān)于QO的反射點，b的取值范圍為-3-2缶23+272.

【點評】本題考查圓綜合題、切線的判定和性質(zhì)、軸對稱變換、中心對稱等知識，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會利用特殊點，特殊位置解決問題，學(xué)會畫出圖形解決問題，屬于中考壓軸題.

26.（2021春?蕭山區(qū)期中）兩個邊長分別為a和6的正方形如圖放置，其未疊合部分（陰影）

面積為耳，若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個邊長為6的小正方形（如圖2）,兩個

小正方形疊合部分（陰影）面積邑.

（1）用含a,6的代數(shù)式分別表示耳，邑；

（2）若。+6=15,ab=5,求耳+邑的值;

（3）當(dāng)W+S2=64時，求出圖3中陰影部分的面積

【考點】完全平方公式的幾何背景

【分析】（1）根據(jù)面積公式的和差關(guān)系可得答案;

（2）利用整式的運算法則計算即可得到答案；

（3）根據(jù)面積公式的和差關(guān)系可得答案.

【解答】（1）由圖可得，

22

S2=a--b)-b(a-b)-b{a-b)=2b-ab.

（2）S1+S-,=ci~—b~+2b~—ctb=cr+—cib.

"：a+b=15,ab=5,

121

Sx+S-,—a+b—ab=（a+b）—3ab—225-3x5=210.

（3）由圖可得，邑=/+/-；6（4+6）-3。2=；（/+/一。6）

S[+*S*2—Q?+—ab-64,

v=1x64=32.

32

【點評】此題考查的是完全平方公式，掌握整式的運算法則是解決此題關(guān)鍵.

27.（2021春?臨渭區(qū)期末）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助圖的直

觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問題.

（1）請寫出圖1、圖2、圖3分別能解釋的乘法公式.

（2）用4個全等的長和寬分別為。、6的長方形拼擺成一個如圖4的正方形，請你寫出這

三個代數(shù)式3+6）2、（a-。）？、M之間的等量關(guān)系.

(3)根據(jù)(2)中你探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下列問題：

①當(dāng)Q+6=5,〃6=—6時，貝|〃一6的值為—±7—.

②設(shè)/=x+?3,B=x_2y_3t計算：(/+3)2-(/-3)2的結(jié)果.

【考點】完全平方公式的幾何背景

【分析】(1)根據(jù)圖形面積直接得出即可；

(2)用兩種方法表示陰影部分的面積可得結(jié)論；

(3)①根據(jù)(2)中的等量關(guān)系代入計算可得結(jié)論；

②同理根據(jù)(2)中的公式代入可得結(jié)論.

【解答】解：(1)圖1:(。+牙=/+2a6+62；

圖2:(。-6)2=/一2必+62；

圖3:(〃+b)(a-b)=a2-b2,

(2)圖4:(Q+6)2-("6)2=4"；

(3)①由(2)知：(a+Z?)2-(a-b)2=4ab,

?「a+6=5,ab=-6J

5?-(Q-bp=4x(—6),

0-6)2=25+24=49,

a—b=9

故答案為：±7；

A=X+2^~3,B=x-2y-3,

(A+B)2-(A-B)2=AxB=^^^i(x-2j；-3)=(x+2^-3)(x-2^-3)=[(x-3)+2^][(x-3)-2j；]=x2-6x+9-4y2

4

【點評】本題是完全平方式的實際應(yīng)用，完全平方式經(jīng)常與正方形的面積公式和長方形的面

積公式聯(lián)系在一起，要學(xué)會觀察圖形.

28.(2020秋?延邊州期末)【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示

一些代數(shù)恒等式.

例如圖1可以得到(。+^a2+2ab+b2,基于此，請解答下列問題：

(1)根據(jù)圖2,寫出一個代數(shù)恒等式：—(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+Ibc

(2)利用(1)中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若a+6+c=10,ab+ac+be=35,則

a2+b2+c2=.

(3)小明同學(xué)用圖3中x張邊長為。的正方形，y張邊長為6的正方形，z張寬、長分別為

a、6的長方形紙片拼出一個面積為(2a+6)(。+26)長方形，貝Ux+y+z=.

【知識遷移】(4)事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示

的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖4中圖

形的變化關(guān)系，寫出一個代數(shù)恒等式：—.

【考點】多項式乘多項式；完全平方公式的幾何背景；完全平方式；認(rèn)識立體圖形

［分析］(1)依據(jù)正方形的面積=(a++c)2；正方形的面積=a2+b2+c2+lab+2ac+2bc,

可得等式；

(2)a2+b2+c2-(a+b+c)2-lab-lac-2bc,進(jìn)行計算即可;

(3)依據(jù)所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab,而

(2a+b)(a+2b)—2a2+4ab+ab+2b1—2a2+5b2+lab,即可得到x,y,z的值.

(4)根據(jù)原幾何體的體積=新幾何體的體積，列式可得結(jié)論.

【解答】解：(1)由圖2得：正方形的面積=(a+b+Cy；正方形的面積

=a2+b2+c2+lab+2ac+2bc,

222

，(Q+6+C)2=a+b+C+lab+lac+2bc,...(2分)

故答案為：(a+b+c)2=a2+b2+c2+lab+lac+2bc；

(2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,

a+b+c=10Jab+ac+be=35f

:.1O2=a2+b2+c2+2x35,

tz2+/72+c2=100-70=30,

故答案為：30；…(4分)

(3)由題意得：(2a+b)(a+2b)=xa2+yb2+zab,

/.2a2+5ab+2b2=xa2+yb2+zab，

x=2

..<y=2,

z=5

x+y+2=9,

故答案為：9；…(6分)

(4),?,原幾何體的體積=》3一1義1.%=%3一%,新幾何體的體積=(%+1)(%_1)%,

/.X3-X=(X+l)(x-l)x.

故答案為：x3-x=(x+l)(x-l)x....(8分)

【點評】本題主要考查的是整式的混合運算，利用直接法和間接法分別求得幾何圖形的體積

或面積，然后根據(jù)它們的體積或面積相等列出等式是解題的關(guān)鍵.

29.(2020春葉R江區(qū)期末)如圖1是一個長為4。、寬為6的長方形，沿圖中虛線用剪刀平

均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形(如圖2)

(1)觀察圖2請你寫出他+份2、(4—6)2、口之間的等量關(guān)系是

(a+bp-(a-Z?)2=4ab—；

Q

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，若x+y=5,x-y=—,則；

(3)拓展應(yīng)用：若(2019—加了+(加—2020)2=15,求(2019—⑼(冽―2020)的值.

【考點】多項式乘多項式；完全平方公式的幾何背景

【分析】(1)由圖可知，圖1的面積為406,圖2中白色部分的面積為

(?+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-Z>)2,根據(jù)圖1的面積和圖2中白色部分的面積相等可得答

案；

Q

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，可知(x+>)2—(X—>)2=4切，將x+y=5,%.歹=：代入計算即

可得出答案；

(3)將等式(2019-冽)+(冽-2020)=-1兩邊平方，再根據(jù)已知條件及完全平方公式變形可

得答案.

【解答】解：(1)由圖可知，圖1的面積為4仍，圖2中白色部分的面積為

222

(Q+6)2-(b—a)=(a+b)-(a—Z?),

???圖1的面積和圖2中白色部分的面積相等，

/.(Q+6)2—(CL—6)2=4QZ),

故答案為：(4+6)2—(0—6)2=446；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，可知(工+>)2—0—〉)2=4孫，

u9

x+y=5,x-y=—,

9

5?2-(x-y9)=4x—,

/.(x-y)2=16

x-y=±4,

故答案為：±4；

(3))v(2019-m)+(m-2020)=-l,

...[(2019-m)+(m-2020)]2=1,

...(2019—冽了+2(2019-ni)(m-2020)+(m-2020)2=1,

■,-(2019-加了+(m_2020)2=15,

.-.2(2019-m)(m-2020)=1-15=-14；

(2019-/M)(m-2020)=-7.

【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，熟練運用完全平方公式并數(shù)形結(jié)合是解題的

關(guān)鍵.

30.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期中)我們將(0+32=/+2仍+從進(jìn)行變形，如：

a2+b2=(a+by-2ab,必=+61等.根據(jù)以上變形解決下列問題：

(1)已知。2+〃=10,(。+6)2=18,則ab=4.

(2)已知，若x滿足(25-x)(x-10)=-15,求(25-尤￥+(x-IO)?的值.

(3)如圖，長方形48FD,DA1AB,FB1AB,AD=AC,BE=BC,連接CD,CE,

若/C-8C=10,則圖中陰影部分的面積為

【考點】多項式乘多項式；完全平方公式的幾何背景

【分析】(1)由而=①+心①一+⑹可計算此題結(jié)果;

(2)由/+〃=(a+與2一2.6可計算止匕題結(jié)果;

(3)設(shè)NC=a,BC=b,根據(jù)而可計算圖中陰影部分的面積為

2

22222

(a+b)(a+b)ab(a+b)-(a+b),in

2222

【解答】解：(1)由題意得，.6=3+6)2—(/+/)=1^2=4,

22

故答案為：4；

(2)由a2+b2=(a+b)2-2ab得，

(25—x)2+(x—10)2

二[(25-x)+(x-l0)]2-2(25-x)(x-10)

=152-2x(-15)

=225+30

=255；

(3)設(shè)/C=a,BC=b,根據(jù)=可得,

2

圖中陰影部分的面積為：(a+Z，)(a+Z，)----

222

_(a+6)2-(a2+Z)2)

一2

=ab

=AC?BC

二10,

故答案為：10.

【點評】此題考查了利用完全平方公式的幾何背景解決問題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)完全平方

公式的變形解決相關(guān)問題.

31.（2021秋?光澤縣期中）如圖所示，已知長方形的長為°米，寬為6米，半圓半徑為r米.

（1）這個長方形的面積等于_仍_平方米；

（2）用代數(shù)式表示陰影部分的面積S;

（3）當(dāng)a=3,6=2,r=0.5時，求陰影部分的面積S（結(jié)果保留萬）.

【考點】列代數(shù)式；代數(shù)式求值

【分析】本題應(yīng)根據(jù)長方形和圓的面積公式進(jìn)行計算.

【解答】解：（1）因為長方形面積=長乂寬，

故長方形的面積=仍平方米.

（2）因為圓的面積=乃產(chǎn)，

故5=（仍平方米.

（3）當(dāng)a=3,6=2,r=0.5時，5=（6-可）平方米.

【點評】本題必須熟練掌握長方形和圓的面積計算公式，然后準(zhǔn)確計算.

32.(2021秋?南安市期中)數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個如圖1的三種紙片，/種紙

片是邊長為。的正方形，8種紙片是邊長為6的正方形，C種紙片是長為6,寬為。的長方

形.并用/種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.利用圖2

正方形面積的不同表示方法，可以驗證公式：(a+6)2="+2"+".

(1)類似的，請你用圖1中的三種紙片拼一個圖形驗證：(a+6)(a+2b)=/+3.6+2",

請畫出圖形.

(2)已知：a+b=5,a1+b2=13,求的值；

(3)已知(202—)2+0-2020)2=4043,求(2021-a)(a-2020)的值；

(4)已知(a-2020)2+(a-2022/=64,求(0一2021)2的值.

a|A|bB

圖1圖2

【考點】多項式乘多項式；完全平方公式的幾何背景

【分析】(1)結(jié)合算式拼圖即可；

(2)由(a+bp=/+2溺+/可推導(dǎo)出"=”+"-)進(jìn)行計算即可；

(3)由M=("+辦一(