2025年中考數(shù)學(xué)技巧專項(xiàng)突破：費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)（解析版）

專題2-2費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)

/■/題型?解讀/

知識(shí)點(diǎn)梳理

【常規(guī)費(fèi)馬點(diǎn)】

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】

題因O普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問(wèn)題

ms加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?單系數(shù)型

題包且加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?多系數(shù)型

?M滿分?技巧/

知識(shí)點(diǎn)梳理

【常規(guī)費(fèi)馬點(diǎn)】

【問(wèn)題提出】如圖△ABC所有的內(nèi)角都小于120度，在AABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接外、PB、PC,

當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)，求此時(shí)ZAPB與ZAPC的度數(shù).

【問(wèn)題處理】如圖1,將A4CP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△4CP,則A4CP也△?!（「，，CP=CP',AP=A,P,,

又：/PCP'=60°,.*.△PCP'是等邊三角形，:.PP'=PC,：.PA+PB+PC^P'A'+PB+PP',

如圖2,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、P、P\4’共線時(shí)，P4+PB+PC最小，最小值為48,此時(shí)/BPC=/4PC=/4PB=

120°

【問(wèn)題歸納】如費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn).費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論：

1對(duì)于一個(gè)各角不超過(guò)120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120。的點(diǎn)，所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也叫三

角形的等角中心；

2對(duì)于有一個(gè)角超過(guò)120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).

【如何作費(fèi)馬點(diǎn)】如圖3,連接4T,我們發(fā)現(xiàn)AAar為等邊三角形，點(diǎn)P在48上，同理，我們可以得到等邊

△BAB',點(diǎn)P也在C9上，因此，我們可以以AABC三角形任意兩邊為邊向外構(gòu)造等邊三角形，相應(yīng)連線的交

點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)。（最大角小于120。時(shí)）

'、

:、、,

-------/

./

/

/

/

/

/

/

//

圖3

【例1】如圖，在△ZBC中，NACB=90°,,4B=AC=1,尸是△/BC內(nèi)一點(diǎn)，求F4+P8+PC的最小值.

［答案］n+世

2

【分析】如圖，以NC為邊構(gòu)造等邊△/CD,連接AD,2。的長(zhǎng)即為以+P8+PC的最小值.至于點(diǎn)P的位

置？這不重要!

如何求BD?考慮到AABC和4ACD都是特殊的三角形，過(guò)點(diǎn)D作DHJ-BA交BA的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，根

據(jù)勾股定理，BQ?即可得出結(jié)果.

【練習(xí)1】如圖，已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)、E為BC邊上任意一?點(diǎn)，則MA+MD+ME

的最小值為.

【分析】依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段.

分別以為邊構(gòu)造等邊△/。尸、等邊連接FG,

易［正4AMD會(huì)/XAGF,：.MD=GF

：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

過(guò)尸作FH-LBC焚BC于H點(diǎn),線段尸〃的長(zhǎng)即為所求的最小值.

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】

如果所求最值中三條線段的系數(shù)有不為1的情況，我們把這類問(wèn)題歸為加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，解決方法類似，也

是通過(guò)旋轉(zhuǎn)進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，只不過(guò)要根據(jù)系數(shù)的情況選擇不同的旋轉(zhuǎn)或放縮方法。

【類型一單系數(shù)類】

當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，一般有兩種處理手段，

一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：0對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°,對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°

另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對(duì)應(yīng)三角形三邊之比

【例3】在等邊三角形4BC中，邊長(zhǎng)為4,P為三角形4BC內(nèi)部一點(diǎn)，求的最小值

原圖

【簡(jiǎn)析】本題有2種解題策略，旋轉(zhuǎn)特殊角和旋轉(zhuǎn)放縮

【策略一：旋轉(zhuǎn)特殊角】如圖1,AAPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，易知產(chǎn)P=0PC,即為所求

方法一：如圖2,B,P,P',4共線時(shí)取最小，此時(shí)N8PC=N4PC=135。，易知8「=力?'=2/，

PC=CH—PH=2C-2,:.PF=2a-26,PB+PP'+A'P'=2娓+2&

方法二：作AH_LBC于H,易知N4CH=30。，：.AH^2,CH=24=BH=4+26，由勾股可得4B=

2V6+2V2

【策略二：旋轉(zhuǎn)放縮】可按如下方法去旋轉(zhuǎn)放縮（方法不唯一）

如圖4,將三角形BPC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)45°,再擴(kuò)大為原來(lái)的血倍，得到△8PC'

則AP+BP+41PC=AP+PP'+P'C>AC'

補(bǔ)充：也可以按圖5方式旋轉(zhuǎn)

【練習(xí)2】在Rt^ABC中，AC=3,BC=26，P為三角形49c內(nèi)部一點(diǎn)，求4P+BP+J。。的最小值

【策略一：旋轉(zhuǎn)特殊角】如圖1,44PC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，則有PP，=V^PC,

【策略二：旋轉(zhuǎn)放縮】如圖2,2V1PC繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，再擴(kuò)大為原來(lái)的百倍,

則AP+BP+43PC=PP'+BP+P'C'>BC',計(jì)算略

圖2

【類型二多系數(shù)類】

其實(shí)當(dāng)三條線段的三個(gè)系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。

以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)

中心呢？我們總結(jié)了以下方法：

1.將最小系數(shù)提到括號(hào)外；

2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；

3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所

在的三角形。

【例3】如圖，在AABC中，乙4cB=60。，3C=3,4C=4,在aABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接R4,PB,PC,

則（1）++的最小值為；（2），3~/+,尸8+?。的最小值為

2222

【簡(jiǎn)答】（1）將最小系數(shù);提到括號(hào)外，得到g（R4+GP8+2PC）

p.

圖1

中間大小系數(shù)為G,故放大倍數(shù)為G倍，最大系數(shù)在PC前面，故以點(diǎn)c為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)apBc.

如圖1,將APBC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,并放大為百倍，B'P'=43BP,PP'=2PC.

；(PA+￡P(guān)B+2PC)=g(PA+PP'+P'B')zgAB'=^~.

(2)將最小系數(shù);提到括號(hào)外，得到。(追尸2+P8+2尸。)，

R

圖2

如圖2,將4APB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,并放大為百倍，A'P'=43AP,PP'=2PC.

【練習(xí)3】如圖，在△4BC中，ZC3=60°，BC=3V3，/IC=6,在△4BC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接R4,PB,PC,

則2PA+PB+小PC的最小值為_(kāi)______.

RC

【簡(jiǎn)答】將4PAC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并放大2倍,得到△尸'/C,PA=2PA,PP=后PC

一

B3門(mén)C673

2PA+PB+45PC=AP'+P'P+PB>AB,vAC=2AC=12,/4CB=900+60°=150°,

AH=-AC=6,CH=—AC=643,BH=9A/3,由勾股定理可得AB=3A/H,

22

2PA+PB+45PC的最小值為35.

晶即/核心.題型/

題園O普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問(wèn)題

1.（2021濱州）如圖，在△ABC中,ZACB=90°,ZBAC=3Q°,AB=2,點(diǎn)尸是△N8C內(nèi)一點(diǎn)，則

/>/+PB+pc的最小值為?

【答案】V7

【解析】將4ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到△ABP,連接PP,BC.

則AB（=AB=2,PB=P,B,,NBAB'=60°,PA=P,A,ZPAP1=60°,

.?.△PTA是等邊三角形，.,.PA=P,P.

ZBAC=30°,NB'AC=90°,

h_

"ZACB=90°,：.AC=—AB=,

2

?'-B,C=yjAC2+B'A2=V7?

PA+PB+PC=PP+PE+PCNBC,

APA+PB+PC的最小值為V7.

2.問(wèn)題背景：如圖1,將△A8C繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE,DE與BC交于點(diǎn)、P,可推出結(jié)論：PA

+PC=PE.

問(wèn)題解決：如圖2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4后,點(diǎn)。是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)。到^

MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是.

【解析】過(guò)點(diǎn)“作"Q，NM交NM延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)，根據(jù)NNMG=75。，NGMH=60°,可得NHMQ=45。,

是等腰直角三角形,

/\MHQ:.MQ=HQ=4'；.NH="幅+-2=^^0+16=2M

4.如圖，在△ABC中，ZCAB=90°,AB=AC^2,P是△2BC內(nèi)一點(diǎn)，求勿+PB+PC的最小值.

【解析】如圖1,以4D為邊構(gòu)造等邊△4CD,連接BD,BD的長(zhǎng)即為以+PB+PC的最小值.

考慮到AABC和ZV1CD都是特殊的三角形，所以構(gòu)造特殊直角三角形

如圖2,過(guò)點(diǎn)。作交54的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，根據(jù)勾股定理，BD?=BH?+DH。=a+垃

圖1

5.已知，在2V1BC中，ZXCB=30°,4c=4,48=g(C8>C4)點(diǎn)P是△4BC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，貝?。萦?PB+PC

的最小值為.

原圖圖1

【解析】如圖1,將A4PC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，得"PC,8。即以+PB+PC最小值，考慮到Z

BC4=30°,；.NBCC'=90°,作4H_L8C,可得BC=36,：.BC=4^>

6.如圖，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則K4+MD+

ME的最小值為.

【解析】如圖1,依然構(gòu)造60。旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段.分別以40、AM為邊構(gòu)造等邊及4。尸、

等邊A4MG,連接FG,易證44MD四△4GF,MD=GF：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

如圖2,過(guò)F作FHLBC交BC于H點(diǎn),線段FH的長(zhǎng)即為所求的最小值.FG=4+

7.4B、C、。四個(gè)城市恰好為一個(gè)邊長(zhǎng)為2a正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)使得每?jī)蓚€(gè)城市之

間都有公路相通，并使整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)度(AP+BP+PQ+DQ+CQ)最小，則應(yīng)當(dāng)如何修建？最小

長(zhǎng)度是多少？

【解析】如圖1,NWP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到"FB;同樣，將△DCQ繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到

△Dg,連結(jié)44、D，D,則4484、△OC。均為等邊三角形，連結(jié)PP，QQ,,則△BPP，，

△QCQ，均為等邊三角形，AP+BP+PQ+DQ+CQ=A,P,+PP,+PQ+QQ,+DQ,

如圖2,當(dāng)點(diǎn)力'，P',P,Q,Q',。'共線時(shí)，整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)取到最小值，為線段4D'的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)P,

Q在上，最小值為

圖2

2023?隨州中考真題

8.1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)4B,C,求平

面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，

該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題.

(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫(xiě)角度數(shù)，④處填寫(xiě)該三角

形的某個(gè)頂點(diǎn))

當(dāng)AABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，

如圖1,將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到A/'PC,連接尸P,

由尸C=PC,APCP'=6(T,可知為①三角形,故尸P=PC,又P'A=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當(dāng)B,P,P',4在同一條直線上時(shí)，E4+B8+尸C取最小值，如圖2,最小值為48,此時(shí)

的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有ZAPC=ZBPC=ZAPB=③；

已知當(dāng)“3C有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若NR4C2120。，

則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn).

(2)如圖4,在“BC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120。，且ZC=3,3C=4,44cB=30。，已知點(diǎn)P為“3c的"費(fèi)

馬點(diǎn)”，求尸/++的值；

(3)如圖5,設(shè)村莊A,B,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知/C=4km,8C=2百km,ZACB=60°.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向4B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊4B,C的鋪設(shè)成本分別為a

元/km,a元/km,元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)果

用含a的式子表示)

【答案】(1)①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120。；④A.

(2)5

(3)2V13a

【解題思路】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)的方法將△4PC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到A/'PC,即可得出可知當(dāng)B,P,P',4在同

一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B,在根據(jù)ZACB=30°可證明

ZACA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,由勾股定理求N'3即可，

(3)由總的鋪設(shè)成本=a(P/+P8+&PC),通過(guò)將△4PC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到A/'PC,得到等

腰直角APPC,得到0尸。=「尸’，即可得出當(dāng)B,P,P,4在同一條直線上時(shí)，PN'+P3+PP取最小值，

即PA+尸B+行尸C取最小值為A'B，然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出A'B即可.

【詳解】（1）M：'：PC=P'C,ZPCP'=60P,

：.△尸CP為等邊三角形；

PP=PC,ZP'PC=NPP'C=60°,

又PA'=PA,故PA+PB+PC=PA'+PB+PF2A'B,

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B,P,P,4在同一條直線上時(shí)，P/+尸8+PC取最小值，

最小值為A'B,此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，

ZBPC+ZP'PC=180°,ZA'P'C+ZPP'C=180°,

Z.ZBPC=120°,ZA'P'C=120°,

又：AAPCmA'PC,

：.ZAPC=ZAP'C=120°,

Z.ZAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120°,

ZAPC=ZBPC=ZAPB=120°;

'：ZBAC>120°,

：.BC>AC,BC>AB,

：.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)4到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小.

又：已知當(dāng)AABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).

該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A,

故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120。；④A.

（2）將△4PC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AHPC,連接PP,

由（1）可知當(dāng)B,P,P',4在同一條直線上時(shí)，尸/+尸8+尸C取最小值，最小值為42,

A'

/力

ZACP=ZA'CP',

：.NACP+NBCP=NA'CP'+NBCP=/NCB=30°,

又：ZPCP'=60°

ZBCA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A'C=3,

A'B=yjBC-+A'C2=A/42+32=5,

++尸C最小值為5,

(3)?.?總的鋪設(shè)成本=+PB>a+PC/a=a(PA+PB+/2PC)

,當(dāng)尸/+PB+血尸C最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低，

將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至IAA'P'C,連接PP',A'B

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC,ZPCP'=ZACA'=90°,P'A'^PA,A'C=AC=4km,

，PP=41PC,

?■PA+PB+42PC=PA+PB+PP,

當(dāng)B,P,P',4在同一條直線上時(shí)，尸‘4+尸8+PP'取最小值，即尸/+尸3+血尸。取最小值為45,

NACB=60°,ZACA'=90°,

：.ZA'CH=30°,

：.A'H=-A'C=2km,

2

?*-HC=y]AC2-AH2=A/42-22=2>/3(km),

：.BH=BC+CH=26+2V3=4>/3(km),

/.A'B=yjAH2+BH2=7(4>/3)2+22=2V13(km)

P/+P3+JLPC的最小值為2而km

總的鋪設(shè)成本=尸/?°+尸&。+尸+(元)

廣東省江門(mén)市一模

9.如圖，在AABC中，/5/。=90。,48=5,4。=26，點(diǎn)P為“BC內(nèi)部一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到“3c三個(gè)頂點(diǎn)

之和的最小值是

A

【答案】V67

【分析】將“BP繞著點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到AAEH,連接ERCH,過(guò)點(diǎn)、（:作CNL4H,交HA的

延長(zhǎng)線于N,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NA4P=NH4E,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,易得

△4EP是等邊三角形，可得AE=AP=EP,進(jìn)而得到4尸+8尸+尸C=￡尸+E7/+PC,當(dāng)點(diǎn)、H、E、P、C共

線時(shí)，/P+5P+PC有最小值"C,再求出CN和初的長(zhǎng)度，由勾股定理可求解.

【詳解】解：將尸繞著點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△4EH,連接￡尸，CH,過(guò)點(diǎn)C作CN_L/〃，交HA

的延長(zhǎng)線于N,

/.ZBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,

：.ZHAB=ZEAP=60°,

：.△/￡尸是等邊三角形，

AE=AP=EP,

AP+BP+PC=EP+EH+PC,

二當(dāng)點(diǎn)H、E、P、C共線時(shí)，ZP+8P+PC有最小值"C.

ZNAC=180°—ZBAH-ZBAC=180°—60。—90。=30°,AC=2/,

：.CN=-AC=s[3,

2

AN=ylAC2-CN2=&26j一(⑹2=3,

:.HN=AH+AN=5+3=8.

在RtACW中，CH=ylHN2+CN2=+(V3)2=而，

即點(diǎn)P到"3C三個(gè)頂點(diǎn)之和的最小值是J方

武漢中考

10.問(wèn)題背景：如圖1,將△/BC繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△/￡>￡,DE與BC交于點(diǎn)、P,可推出結(jié)論：

PA+PC=PE.

問(wèn)題解決：如圖2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=A亞,點(diǎn)O是△〃NG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)。到△肱%

三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是.

【答案】2月

【分析】本題的問(wèn)題背景實(shí)際上是提示了解題思路，構(gòu)造60°的旋轉(zhuǎn)，當(dāng)然如果已經(jīng)了解了費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題,

直接來(lái)解決就好了！

如圖，以MG為邊作等邊△MGH,連接NH,則NH的值即為所求的點(diǎn)0到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最

小值.（此處不再證明）

過(guò)點(diǎn)H作HQ±NM交NM延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)，

根據(jù)NNMG=75°,ZGMH=60°,可得NHMQ=45

AAMHQ是等腰直角三角形，

.*.MQ=HQ=4,

；.NH=yjNQ2+HQ2=V100+16=2回.

2023?四川宜賓?中考真題

11.如圖，拋物線了="2+法+0經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（-3,0）,頂點(diǎn)為加），且拋物線與y軸的交點(diǎn)B在（0,-2）和

（0,-3）之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論:

②當(dāng)?shù)拿娣e為逆時(shí)，a=—-,

22

③當(dāng)AN3M為直角三角形時(shí)，在“05內(nèi)存在唯一點(diǎn)P,使得尸/+PO+PB的值最小，最小值的平方為

18+96.

其中正確的結(jié)論是.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào))

【答案】①②

【解題思路】根據(jù)條件可求拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可判斷①；設(shè)拋物線為

y=a(x-l)(x+3),即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)割補(bǔ)法求面積，判斷②；分三種情況討論，然后以點(diǎn)。為

旋轉(zhuǎn)中心，將AAOB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至AAOA,,連接AA,PP,AB，得到PA+PO+PB=P'A+PP'+PB>AB,

判斷③.

【詳解】解：?..拋物線yuox'+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(TO),頂點(diǎn)為

對(duì)稱軸1=一1,

?,?拋物線與x軸的另一^交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

由圖象可得：當(dāng)一時(shí)，^<0；

???①正確，符合題意；

,拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

；?設(shè)拋物線為y=?(x-l)(x+3),

當(dāng)％=—1時(shí)，y=-4tz,當(dāng)x=0時(shí)，y=-3a,

M(-1,-4〃)，B(0,-3Q),

如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作平行于y軸的直線/,過(guò)點(diǎn)4作過(guò)點(diǎn)8作5N_L/,

Vj

~T

設(shè)直線的解析式為y=kx+b,

-3左'+6'=0

把5(0,-3〃)，4(-3,0)代入得:

V=一3〃'

k'=-a

解得:

b'=-3a

J直線45的解析式為歹=一辦一3。，

當(dāng)％=-1是，y=-2a,

???尸（一1，一2。）,

JMF=2a,

一X2QX3=

2

解得：a=—,故②正確

2

;點(diǎn)、B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，

...當(dāng)x=0時(shí)，y=-3。,

A5(0,-3a),

,:AABM為直角三角形,

當(dāng)AAMB=90°時(shí)，

AM2+BM2^AB2,

VAM=^(-2)2+(-4?)2=A/4+16a2,BM=^(-1)2+(-a)2=Vl+a2,4B=J(一3)?+(-紜?=抬+9a?

/.4+16a2+l+a2=9+9a2,整理得：8a2=4,

解得：。=叵或一旦(舍)

22

I27

當(dāng)/N8M=90°時(shí)，

AB-+BM2^AM1,

二4+16。2=9+9/+1+島整理得：6a2=6

解得：a=l或-1(舍)

.?.5(0,-3),

當(dāng)/M43=90°時(shí)，

；?AB-+AM2=BM2,

4+16a2+l+a2=9+9a2,無(wú)解；

以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將4405順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至連接44',PP',AB,如圖所示，

則△尸OP'為等邊三角形，

：.OP=PP',AP=AP,

：.PA+PO+PB=P'A'+PP'+PB>A'B,

?.."O/為等邊三角形，4-3,0)

33A/3

2

=包+蛀

42

當(dāng)8(0,-3)時(shí),

此時(shí)不符合題意故③錯(cuò)誤;

故答案為：①②.

一題四問(wèn)，從特殊到一般

12.背景資料：在已知“3C所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是

法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.如圖

1,當(dāng)AASC三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在"3c內(nèi)部，當(dāng)乙4尸2=447^=/。尸5=120。時(shí)，則

PA+PB+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊“8C內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)/、B、C的距離分別為3,4,5,求的度數(shù)，為

了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到△4CP處，此時(shí)A/CP包尸這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段尸/、PB、尸C轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出4尸8=；

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)

題.

(2)如圖3,"BC三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在AABC外側(cè)作等邊三角形A/BBL連接CB',求證：CB，過(guò)“BC

的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)如圖4,在RT"BC中,ZC=90°,AC=1,N/8C=30°,點(diǎn)尸為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接,尸、BP、CP,

求尸/+尸8+尸C的值.

(4)如圖5,在正方形/3S中，點(diǎn)￡為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接/￡、BE、CE,且邊長(zhǎng)/B=2；求4E+BE+CE

的最小值.

【答案】(1)150。；(2)見(jiàn)詳解；(3)J7:(4)V6+V2.

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出A48Pg△/CP,得出NBAP=NCAP',ZAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,BP=CP,=4,

根據(jù)A/BC為等邊三角形，得出N8/C=60。，可證A/PP為等邊三角形，PP'=AP=3,N”'P=60°,根據(jù)勾股

定理逆定理尸尸，2+9。2=32+42=25=「。2,得出APPC是直角三角形，ZPP'C=90°,可求N/PC=N/PP+

NPPC=60°+90°=150°即可；

(2)招1△/尸5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△/"尸'，連結(jié)尸P,根據(jù)△/尸8g4/8'尸'，AP=AP',PB=PB',AB=AB',

根據(jù)^PAP'=ZBAB'=60°,4APP'和4ABB明為等邊三角形，得出PP'=4P,根據(jù)PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出點(diǎn)C,點(diǎn)尸，點(diǎn)尸'，點(diǎn)8'四點(diǎn)共線時(shí)，P/+尸3+尸C展產(chǎn)CB',點(diǎn)尸在C8'上即可；

(3)將△/尸3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到ZUPB',連結(jié)88',PP',得出A/PB也△/尸'7，可證ZUPP和△/AB'均

為等邊三角形，得出"'=/尸，BB'=AB,N4BB'=60°,WPA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,可得點(diǎn)C,點(diǎn)P,

點(diǎn)P,點(diǎn)3'四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PCt,=CB',利用30°直角三角形性質(zhì)得出/3=2NC=2,根據(jù)勾股定理

BC=y]AB2-AC2=V22-l2=V3,可求BB，=AB=2,ZCBB'=Z^SC+ZABB,=30°+60°=90°,在RtACBB'

中,B'C=^BC2+BB'1=+22=41即可；

(4)將A8CE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△CEB，，連結(jié)EE',BB',過(guò)點(diǎn)9作3戶_LAB,交A8延長(zhǎng)線于尸，得出

4BCE94CEE,BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可證AECE，與△2C2,均為等邊三角形，得出EE，=EC,BB'=BC,

ZB'BC=60°,AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',得出點(diǎn)C,點(diǎn)、E,點(diǎn)、E',點(diǎn)皮四點(diǎn)共線時(shí)，

AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^,=AB',根據(jù)四邊形/BCD為正方形，得出48=8C=2,N48c=90°,可求

^FBB'=\80°-ZABC-Z80o-90°-60o=30°,根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出BF=；BB'=；x2=\,勾股定

理BF=^BB'--B'F2=V22-12=V3,可求AF=AB+BF=2+百，再根據(jù)勾股定理

AB'=^AF2+B'F2=J(2+V3)2+12=V6+72即可.

【詳解】(1)解：連結(jié)PP',

:“BP且AACP',

:.NBAP=NCAP\NAPB=N4P'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

/XABC為等邊三角形，

ZBAC=60°

：.ZPAP'=ZPAC+ZCAP'=ZPAC+^BAP=60°,

：.ZX/PP為等邊三角形，

，:.PP'=AP=3,N4P'P=60°,

在APPC中，PC=5,

PP'2+P'C2=3?+42=25=PC2,

.?.△PPC是直角三角形，NPP，C=90。,

：.NAP'C=NAPP+ZPPC=60°+90°=150°,

ZAPB=ZAP'C=15O°,

故答案為150。；

(2)證明：將ANPB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到ZUB'P,連結(jié)尸P,

/XAPB^l^AB'P',

：.AP=AP',PB=PB',AB=AB',

「NPAP'=NBAB'=6Q°,

：.LAPP'和4ABB'均為等邊三角形，

：.PP'=AP,

?：PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

...點(diǎn)C,點(diǎn)尸，點(diǎn)尸'，點(diǎn)皮四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PCt,=CB',

:.點(diǎn)、尸在CB'上,

CB'過(guò)”1BC的費(fèi)馬點(diǎn)、.

CB

(3)解：將A/PB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到UPE,連結(jié)BB',PP',

：./\APB^/\AP'B',

：.AP'=AP,AB'=AB,

"：NPAP'=NBAB'=6Q0,

△APP-ABB，均為等邊三角形，

：.PP'=AP,BB'=AB,NABB'=6Q°,

'：PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC

二點(diǎn)C,點(diǎn)尸，點(diǎn)P,點(diǎn)皮四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PCt,=CB',

VZC=90°,4c=1,AABC=30°,

AB=2AC=2,根據(jù)勾股定理8C=^AB2-AC2=打-]2=6

：.BB'=AB=2,

'：ZCBB'=ZABC+ZABB,=30°+60°=90°,

.?.在RtACB夕中，B'C=yjBC2+BB'2={(6j+22=77

PA+PB+PC^,=CB'=V7;

B'

(4)解：將ABCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△CE6。連結(jié)EE',BB',過(guò)點(diǎn)、作BFL4B,交延長(zhǎng)線于產(chǎn),

△BCE/MEE,

：.BE=B'E',CE=CE',CB=CB',

'：ZECE，=NBCB，=60°,

：.△ECE，與ABCB'均為等邊三角形，

：.EE'=EC,BB'=BC,NB，BC=60°,

'：AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',

.?.點(diǎn)C,點(diǎn)、E,點(diǎn)E',點(diǎn)2'四點(diǎn)共線時(shí)，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^,=AB

?.?四邊形4BCD為正方形，

：.AB=BC=2,ZABC=90°,

：.NFBB'=1SO°-NABC-NCBB'=180o-90°-60o=30°,

'：B'F-LAF,

:.BF=；BB，=gx2=1,BF=^BB'2-B'F2=722-12=73,

：.AF=AB+BF=2+4i,

:.AB7AF°+B'F?=J(2+V3)2+12=V6+V2,

AE+BE+CEfi4=AB—y/6+V2.

題園之加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?單系數(shù)型

2023?武漢?慧泉中學(xué)校月考

_3

13.如圖，RtZ\48C中，ZCAS=30°,3c=5,點(diǎn)P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，連接上4,PB,PC,貝1」PC+PB+收P/

的最小值為.

【答案】|V13

2

【分析】作輔助線如詳解圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求得。2=//尸，于是所求

PC+PB+班1PA的最小值轉(zhuǎn)化為求DE+尸。+尸8的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得DE+PD+PB的最

小值即為線段E3的長(zhǎng)，然后求出E3的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：將△/CP繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到△4ED,連接DP,EB,過(guò)點(diǎn)E作跖氏4交氏4的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)/作尸于點(diǎn)M,如圖，

則AD=AP,DE=CP,/DAP=120°,ZEAC=120°,

,/AMLDP,

DM=PM,ZADM=ZAPM=30°,

AM=-AP,

2

__________6

二PM=yjAP2-AM2=-AP,

2

/.DP=2PM=#1Ap,

APC+PB+4iPA=DE+PD+PB>EB,即尸C+P8+的最小值為仍的長(zhǎng)（當(dāng)點(diǎn)E、D、P、2四點(diǎn)

共線時(shí)取最小值），

3

??,RtZ"BC中，ZCAB=30°fBC'

???AB=2BC=3,AC==|6

.j-,A廠3^3

??AAE=AC=-----,

2

：NCAB=30°,ZEAC=120°,

ZEAF=30°,

則在直角三角形4口中,EF=-AE=—,AF=y/3EF=-,

244

921

...BF=3+—=—,BE=^BF2+EF2=

44

西安市鐵一中二模

14.已知，如圖在“3C中，ZACB=30°,BC=5,AC=6,在“3C內(nèi)部有一點(diǎn)。，連接ZU、DC.則

DA+DB+6DC的最小值是.

【答案】屈.

【分析】把ZiCDB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到△CDT,過(guò)夕作Q￡_L4C,交NC延長(zhǎng)于E,貝UCD=C。，BD=B'D,

NCDD'=NCD'D=45°,可求DO=42CD,在RdCEB'中，可求CE=』，AE=—,BE=—,當(dāng)點(diǎn)/、D、

222

D'、9四點(diǎn)在一直線時(shí)，/夕最短，可求AB'=BD+J^CD+4D=M.

【詳解】解：把ACDB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到ACD3，，過(guò)H作夕E_L/C,交ZC延長(zhǎng)于E,

則CD=CD',BD=B'D',NCDD'=NCDT>=45°,

:.DD'=CD；cos45°=gCD,

,?NACB=30°,ZB'CB=90°,

AB'CE=180°-ZACB-NBC5'=180。—30°-90°=60°,

在RtACEB，中,

15

JCE=B'Ccos600=5x—=一,

22

517

：.AE=AC+CE=6+-=—

229

；.BE=B'C-sm600=5x—=—,

22

當(dāng)點(diǎn)/、D、D\8’四點(diǎn)在一直線時(shí)，N8'最短，

；.血短=^AE2+B'E2==屈，

AB'=B'D'+D'D+AD=BD+42CD+AD=791.

故答案為：回.

2023?成都市鄲都區(qū)中考二模

15.如圖，矩形/BCD中，AB=2,3C=3,點(diǎn)E是N8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是3c邊上一動(dòng)點(diǎn).將ABE尸沿著E尸

翻折，使得點(diǎn)B落在點(diǎn)夕處，若點(diǎn)尸是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接PB\PC、PD,則尸*+行尸。+尸。的最

小值為?

【分析】將△口）「繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ACDP,連接PP,連接ED1由等腰三角形CPP得出

PP'=6PC,再由折疊得出點(diǎn)二的軌跡在點(diǎn)E為圓心，￡2為半徑的圓周上，所以EB'+W+PP+P。'的

最小值為E。'，即尸a+JlPC+尸。的最小值為EO-E中，經(jīng)計(jì)算答出答案即可.

【詳解】解：將△€?尸繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得至U&CDP，,

連接尸PL連接EZT,

則8,C,。共線，PD=P'D',

：.CD=CD=AB=2,

:.PP'=6PC,

,:點(diǎn)、E是4B的中點(diǎn)，

:.EB=i-AB=-x2=].

22

BD,=BC+CD'=3+2=5,

:.ED'=yjBE2+D'B2

=712+52

=V26,

由ABEF折疊成AB'E產(chǎn),

EB=EB'=EA,

二點(diǎn)B在以點(diǎn)E為圓心，協(xié)為半徑的圓上,

:.EB'=1,

■■兩點(diǎn)間線段最短，

ED'<EB'+PB'+PP'+P'D',

即ED'MEB'+PB'+叵PC+PD

:.而工\+PB*亞PC+PD,

PB'+41PC+PD>yf26-l,

則尸B'+JIPC+PD的最小值為而一1.

故答案為：V26-1.

F

題園且加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?多系數(shù)型

16.在邊長(zhǎng)為4的正△4BC中有一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC,求(-4P+BP+—PC)?的最小值

22

【解析】如圖1,A4PC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，取P，C,4c的中點(diǎn)M,N

易知PM=@PC,MN=-P,A,=-PA,

222

17.在等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為4,P為三角形4BC內(nèi)部一點(diǎn)，求34P+4BP+5PC的最小值

33

【解析】如圖1,△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，在PC,4C上取M,N,使CM=—CP',CN=-CA\

44

533

易知PM=-PC,MN=-P7T=—R4,34P+4BP+5PC=4(MN+BP+PM)WBN

444

圖1

成都七中育才學(xué)校月考

18.在A4BC中，AB=3,AC=4,/A4C的角平分線交BC于E,過(guò)C作射線/E的垂線，垂足為。，連

3PC+4P/D+SPA

接8。，當(dāng)&〃CE-S△回取大值時(shí)，在“CD內(nèi)部取點(diǎn)P,則一—--二的最小值是.

【答案】V29

【分析】延長(zhǎng)C。交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高得出產(chǎn)0A/DC,則8尸=1,根據(jù)/。是

BE3

/R4C的角平分線，得出"=設(shè)&m七=38,則&E8=4S,過(guò)點(diǎn)。分別作4R4C的垂線，垂足為M,N,

EC4

得出S=，LBC,S"E-4BED=21S,則當(dāng)最大時(shí)，SA/CE-ZBED取得最大值，進(jìn)而可得當(dāng)

3

NC45=90。時(shí)，取得最大值，則NC4D=45。，延長(zhǎng)胡至C,使得4C'=14C=3,^PfAlPA,

4A-4PDA-SPA

AP'=—AP,連接PP,CP,構(gòu)造△CNPsc4P,可得----------------=P'C+PP'+PD>CD,進(jìn)而勾

4Zk4

股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交N8于點(diǎn)/，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高

A

I—D

F

：/3/C的角平分線交8c于E,AD1CF

；.ZFAD=ACAD,ZADC=ZADF

又40=4。

AADFAADC,

Z.AF=AC^4,DC=DF

則BF=1

是/3/C的角平分線，設(shè)E到的距離為d,則E到/C的距離也為d,

c-BExAH-ABxd

?MABE_2_2

>"EC—ECXAH-ACxd

22

?BE_3

??法一"

設(shè)S△皿=3S,則黑疣=4$

???DC=DF

SJDF=SRDC~7s,

過(guò)點(diǎn)。分別作/尸,4C的垂線，垂足為M,N

A

JS,義3x14S=2IS,S='x4x14S=28S

AABD27AADL2

S"C=S"C一2皿=28S-4s=24S，S^ABC^2S^ADC-5rac=2x285-2x75-425

???GCE-S△回=24S-3s=21S

S=^S/BC

???當(dāng)S”8C最大時(shí)，取得最大值,

設(shè)N3邊上的高為CG

a-

F

：.CG=ACxsinZCAB

SAAHRCL=—2AB^AC^smACAB

???當(dāng)NC45=90。時(shí)，S^c取得最大值，

則NC4O=45。，則八4。。是等腰直角三角形，則4。=、/。=2后，

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