2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：等積模型-三角形中的重要模型（含答案）

等積模型-三角形中的重要模型2025中考

數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)含答案

三角形中的重要模型一等積模型

三角形的面積問題在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，等積變形是中學(xué)幾何里面一個(gè)非常重要的思

想，下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容。本專題就三角形

中的等積模型（蝴蝶（風(fēng)箏）模型,燕尾模型，鳥頭模型，沙漏模型，金字塔模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析,方便

掌握。

模型1.等積變換基礎(chǔ)模型

1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；

如圖1,當(dāng)AB〃則S.D=S的D；反之，如果Ss=Sbb，則可知直線AB〃CD。

2）兩個(gè)三角形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個(gè)三角形底相等,面積比等于它們的高之比。

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)時(shí),則5刖：S^DC=BD：DC。

如圖3,當(dāng)點(diǎn)。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BEVAD,CF±AD時(shí)，則S△迎:S△皿=BE：CF。

網(wǎng)］1（山東省臨沂市2023—2024學(xué)年八年級(jí)月考）如圖，是△ABC邊AC的中線，點(diǎn)E在BC上，BE=

的面積是3,則△BED的面積是（）

四2（河北省石家莊市2023-2024學(xué)年八年級(jí)月考）如圖，是AABC的邊AC上的中線，AE是4ABD

的邊上的中線，是△ABE的邊AE上的中線，若△ABC的面積是32,則陰影部分的面積是

（）

廁3（湖北十堰五校聯(lián)考2023-2024學(xué)年八年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心,D,E,F分別為BC,

CA,AB的中點(diǎn),具有性質(zhì)：AG-.GD=BG-.GE=CG-.GF=2:1.已知A4FG的面積為2，則^ABC的面

積為.

94（浙江省杭州市2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，CD是△ABC的一條中線，E

為邊上一點(diǎn)且BE=2CE,AE、CD相交于F,四邊形BDFE的面積為6，則/XABC的面積是.

題5（2023春?江西萍鄉(xiāng)?八年級(jí)統(tǒng)考期中）基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積.

如圖1,AD是ZVIB。邊3。上的中線，則S△施=SMCD=yS^c.

理由：因?yàn)锳D是ZVIBC邊BC上的中線，所以BO=CD

又因?yàn)閪^~BDxAH,S&ACD=/CDXAH，所以S^ABD=S^ACD=^^^ABC-

所以三角形中線等分三角形的面積.

基本應(yīng)用：

在如圖2至圖4中，△ABC的面積為a.

A

（圖1）

?M

E.

（圖4）（圖5）

⑴如圖2,延長4ABC的邊BC到點(diǎn)。，使CD=BC,連接DA.若AACD的面積為S,則S1=

（用含a的代數(shù)式表示）；

⑵如圖3,延長&ABC的邊BC到點(diǎn)。，延長邊C4到點(diǎn)E,使CD=BC,AE=CA,連接DE.若

△DEC的面積為52,則SF（用含a的代數(shù)式表示）；

⑶在圖3的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F,使,連接FD,FE,得到△QEF（如圖4）.若陰影部分的面

積為S3，則$3=（用含a的代數(shù)式表示）；

拓展應(yīng)用：

⑷如圖5,點(diǎn)。是△ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別是線段40,?！甑闹悬c(diǎn)，且4ABC的面積為

8a,則△BEF的面積為一（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由.

網(wǎng)］6（2023春?上海?九年級(jí)期中）解答下列各題

（1）如圖1,已知直線館〃n,點(diǎn)在直線外上，點(diǎn)C、P在直線M上，當(dāng)點(diǎn)P在直線館上移動(dòng)時(shí)，總有

與△ABC的面積相等.

圖1

E

（2）解答下題.①如圖2,在4ABC中，已知BC=6,且BC邊上的高為5，若過。作CE//AB,連接AE,

BE,則的面積為.

②如圖3,三點(diǎn)在同一直線上，力。，垂足為X.若AC=4,BH=，夏，乙

=60°,/3=/05干=60°,求4人質(zhì)的面積.

（3）如圖4，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，48#CD,且S^BC<過點(diǎn)A畫一條直線平分

四邊形ABCD的面積（簡(jiǎn)單說明理由）.

?M

模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊

形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系;另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系。

蝴蝶定理:任意四邊形中的比例關(guān)系

如圖1,結(jié)論:①&：&=或SxS3=S2X&；②AO-.OC=（&+S?）：（S4+S3）。

梯形蝴蝶定理:梯形中比例關(guān)系

22

如圖2,結(jié)論:①8:8=a:&；②S1:S3:S2:S4=^-.ab-.ab；③梯形S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為（a+b）:

回工在四邊形ABCD中，4。和互相垂直并相交于O點(diǎn)，四個(gè)小三角形的面積如圖所示.則陰影部分三

角形BOO的面積為.

網(wǎng)］8如圖，SMCB=24平方厘米，S&ACD=16平方厘米，S^ABD=25平方厘米,則SACOB為平方厘米。

題9如下圖，梯形ABCD的AB平行于CD,對(duì)角線AC,BD交于。，已知A4OB與ABOC的面積分別為25

平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是平方厘米.

網(wǎng)］10如圖，梯形ABCD中，AAOB、XCOD的面積分別為1.2和2.7,則梯形ABCD的面積為

B

血］11梯形ABCD中，對(duì)角線交于點(diǎn)O,垂直AC,并且已知40=6厘米，BO=10厘米，則三

角形。OC的面積是平方厘米。

網(wǎng)］12圖中大平行四邊形被分成若干小塊，其中四塊的面積已經(jīng)標(biāo)出，則中間的四邊形GQHS的面積為

模型3.藕尾（定理）模型

條件:如圖，在△ABC中，E分別是8。上的點(diǎn)，G在AE上一點(diǎn)，結(jié)論：S〕S尸S3：S4=Sy+S^+S^BE-

EC。

血］13如圖，A4B。中，M、N分別是BC、AC邊上的三等分點(diǎn)，411、BN相交于點(diǎn)。，已知△BOM的面積

為2,則四邊形MCNO的面積為o

刷14（2023.山東?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在AABC中，己知點(diǎn)P、Q分別在邊AC.BC上，BP與AQ相交于

點(diǎn)。，若△3。?、4480、人4。0的面積分別為1、2、3,則饃Q。的面積為（）

A.22B.22.5C.23D.23.5

廁15如下圖，三角形ABC中，AF-.FB=BD：DC=CE-.AE=3:2，且三角形GHI的面積是1,則三角形ABC

的面積為______.

BDC

血］16（2023江蘇淮安九年級(jí)月考）已知△ABC的面積是60,請(qǐng)完成下列問題

⑴如圖1,若AD是4ABC的邊上的中線，則4ABD的面積△ACD的面積.（填

“二”）

⑵如圖2,若CD、跳;分別是△ABC的48、AC邊上的中線，求四邊形ADOE的面積可以用如下方法，

連接40,由AD—DB得：SMDO=S^BDO，問理：^/\CEO~S^EO,設(shè)^^ADO~X,^^CEO~V,則^^BDO~X,

S^AEO=V由題意得：SAABE=30,S，AADC~9AABC=30,可列方程組為：，解得

22{x-r2y=3U

，則可得四邊形ADOE的面積為.（3）如圖3,AD-.DB=1：3,CE:AE=1：2,則四邊形

ADOE的面積為.（4）如圖4,。，F(xiàn)是AB的三等分點(diǎn)，夙G是CA的三等分點(diǎn),CD與BE交于

。，且S0BC=60,則四邊形ADOE的面積為.

模型4.鳥頭定理（A共角定理）模型D

A,以

圖1圖2

共角三角形:兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。

共角定理:共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。

如圖，在△48。中，分別是上的點(diǎn)（如圖1）或。在A4的延長線上，E在47上（如圖2）,則隈BO：

S^E=（ABxACy.（ADxAE）

血］17如圖，在三角形ABC中，D、E是45,4。上得點(diǎn),且40：45=2:5,4￡；：47=4：7,三角形4DE的面

積是16平方厘米,則ABC的面積為。

血］18（2023?山西晉中?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀理解

如果兩個(gè)三角形中有一組對(duì)應(yīng)角相等或互補(bǔ)，那么這兩個(gè)三角形叫做共角三角形,共角三角形的面積比

等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比，?M

^AADE_AD?AE

例:在圖1中，點(diǎn)O,E分別在48和上，/\ADE和4ABe是共角三角形，則

SAAB。AB,AC

證明:分別過點(diǎn)E,。作EG,AB于點(diǎn)G,CF,AB于點(diǎn)F,得到圖2,

AAGE=AAFC,又/A=/A,4GAE?AFAC,祟=倏

CFAC

▽..S4AB固彳入。，EGS^ADEAD■EG_ADAE即S△他石_ADAE

AB-CF~~AB'~ACS-AB,AC

S^ABCyAB-CFS拄BCAABC

任務(wù)：（1）如圖3,已知ABAC+/DAE=180°,請(qǐng)你參照材料的證明方法,求證：等些=絲＞,空

,△ABCAU?AC

⑵在（1）的條件下,若年跡=白需=；,AB=9,則AE=

^△ABC。AC4

曲19（2023?重慶?九年級(jí)專題練習(xí)）問題提出：如圖1,。、E分別在△ABO的邊AB、AC上，連接DE,已知線

段AD=a,DB=b,AE=c,EC=d，則S^ADE,S^ABC和a,b,c,d之間會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

圖1

問題解決:探究一：（1）看到這個(gè)問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律.如圖2,若。石〃

???

BC,則AADE=,且/A=/A,所以4ADE?/\ABC,可得比例式：-^―=上;而根據(jù)相似三角

a+bc+d

形面積之比等于相似比的平方.可得各出=/02、2-根據(jù)上述這兩個(gè)式子，可以推出：魯跑=

b^ABC(a+b)b2ABe

a2_a_____a_a_____c_______ac_____

(a+6)2a+ba+ba+bc+d(a+b)(c+d)

(2)如圖3,若/AO石=NC,上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過程;著不成立,請(qǐng)說明理由.

探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件,是否仍存在結(jié)論:各里=-_等--?方法回

S^ABC(a+b)(c+d)

顧:兩個(gè)三角形面積之比,不僅可以在相似的條件下求得,當(dāng)兩個(gè)三角形的底成高具有一定的關(guān)系時(shí)，也可

-

Q春BD,AHD7)

以解決.如圖4,。在△45。的邊上，做于H,可得：當(dāng)跡=^--------=黑.借用這個(gè)

5盤。。如C?AHDC

結(jié)論，請(qǐng)你解決最初的問題.

延伸探究：⑴如圖5,。、E分別在△ABC的邊AB,AC反向延長線上,連接DE,已知線段AD^a,AB

=b,AE=c,AC=d,則差迪=.(2)如圖6,E在△48。的邊AC上，。在4B反向延長線上,

、叢ABC

連接_DE,已知線段40=a,AB—b,AE—c,AC—d,^ADE=.

b4ABe

結(jié)論應(yīng)用：如圖7,在平行四邊形ABCD中，6是右。邊上的中點(diǎn)，延長GA到E,連接OE交歷1的延長線

于F,若AB=5,4G=4,AE=2,UABCD的面積為30,則4AEF的面積是.

模型5.金字塔與沙漏模型

金字塔模型沙漏模型

條件.①4Q=Ag=DE22

殺件?①ABACBC；②SLADE：S/\ABC=AF:AGO

回致(2023秋?遼寧沈陽?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，已知點(diǎn)ZXE分別是46、AC邊上的點(diǎn)，且△4。石?

△48。,面積比為1：9,交。后于點(diǎn)尸.則AF\4G=()

A.1：3B.3:1C.1：9D.9：1

網(wǎng)］21（2023?福建龍巖.九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，A4BC中，BE與CD相交于點(diǎn)F.如果OF:

血］22（2023?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，AC與相交于點(diǎn)

。，則△48。的面積與△8。的面積的比為（）

C.1：4D.72:4

血］23（2023春?北京海淀?九年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，△ABC是等邊三角形,被一矩形所截，AB被截成三等

分，EH7/BC,若圖中陰影部分的面積是6,則四邊形BCGF的面積為（）

A.8B.9C.10D.11

題24（2023?遼寧?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，EB為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)P處與地面BE的距離為L6

米，車頭FACD可近似看成一個(gè)矩形，且滿3ED=2FA,盲區(qū)EB的長度是6米，車寬艮4的長度為

__米.

10

的25（2023?四川成都?九年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，△ABC中，點(diǎn)PQ分別在AB,上，且PQ〃BC,

PAILBC于點(diǎn)M，QN_LBC于點(diǎn)、N,4D，BC于點(diǎn)。，交PQ于點(diǎn)E,且4D：BC=2:3,連接,若

△ABC的面積等于75，則MQ的最小值為.

翻126（2022秋?河南鄭州?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC（矩形各頂點(diǎn)在三角形邊上），E,

F在G分別在AB,AC上，且于點(diǎn)。，交HG于點(diǎn)N.

（1）求證:LAHG?△480（2）若AD=3,BO=9,設(shè)r，則當(dāng)必取何值時(shí),矩形EFGH的面積最大?

最大面積是多少？

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

頷目工（2023山西八年級(jí)期末）如圖在△AB。中，D、E分別是邊BC、AD的中點(diǎn).CF=[EF,S,C=

12cm2,則圖中陰影部分的面積為（）

A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2

題目②（2023?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，一個(gè)矩形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占矩形

面積的15%,黃色三角形面積是21平方厘米,則矩形面積為平方厘米.

?M

題目包（2023安徽蕪湖八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，D,E,F分別是BC,AD,CE的中點(diǎn)，且5百0=

8cm2,貝ljS陰影=-

題目@（浙江省杭州2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，CD是△ABC的一條中線,

E為BO邊上一點(diǎn)且BE=2CE,AE.CD相交于F,四邊形BDFE的面積為6，則/\ABC的面積是

題目回（廣東省寶安區(qū)文匯學(xué)校2023-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖,AABC的面積為

40cm2,DE=2AE,CD=3BD,則四邊形BDEF的面積等于cm2.

題目工如圖，在&ABC中，已知M、N分別在邊AC.上，BM與AN相交于O,若AABO和

△RON的面積分別是3、2、1,則的面積是.

題目區(qū)四邊形ABCD的對(duì)角線AC與交于點(diǎn)0（如圖所示）。如果三角形ABD的面積等于三角形

BCD的面積的2，且40=2，。。=3,那么8的長度是。。的長度的倍。

O

D

3

BCB

題目10如圖，△ABC三邊的中線AD,BE,。歹的公共點(diǎn)為G,且AG：GO=2：1,若反43c=12,則圖中陰

影部分的面積是.

題目兀如圖，三角形ABC的面積是LE是4。的中點(diǎn)，點(diǎn)。在BC上，且80:00=1:2,AD與BE交于

點(diǎn)F.則四邊形DFEC的面積等于.

【題目兀（2023春?北京西城?七年級(jí)?？计谥校╅喿x與理解：

三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1,AD是AABC中BC邊上的中線，則

SAABO=SA48=~^S^ABC.

理由：；BD=CD，：.SRABD=^BDxAH=^CDxAH=S^ACD=京.，

即:等底同高的三角形面積相等.

操作與探索:在如圖2至圖4中，AAB。的面積為a.

⑴如圖2,延長AABC的邊到點(diǎn)。，使CD=B。，連接DA.若XACD的面積為Si,則S產(chǎn)（用

含a的代數(shù)式表示）；

⑵如圖3,延長XABC的邊BC到點(diǎn)D,延長邊CA到點(diǎn)H,使CD=,AE=CA,連接DE.若LDEC

的面積為S2，則$2=（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；

⑶在圖3的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F,使BF=AB,連接FD,FE,得到ADEF（如圖4）.若陰影部分的面積

為S3,則$3=;（用含a的代數(shù)式表示）

13

拓展與應(yīng)用：⑷如圖5,已知四邊形ABCD的面積是a,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、D4的中點(diǎn)，連

接EG交于點(diǎn)求圖中陰影部分的面積？

題目電（2022秋?陜西西安?七年級(jí)西安益新中學(xué)?？计谥校┨剿?在圖1至圖3中，已知△ABC的面積為a,

yng

（1）如圖1,延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D,使CD=BC,連接DA.若AACD的面積為S、，則S產(chǎn).（用

含a的代數(shù)式表示）

（2）如圖2,延長AABC的邊到點(diǎn)D,延長邊CA到點(diǎn)E,使CD=BC,AE=CA,連接DE,若4DEC

的面積為S2,則$2=.（用含a的代數(shù)式表示）

⑶在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F,使=AB,連接FD,FE,得到ADEF（如圖）若陰影部分的面積為

S3,則S3=.（用含a的代數(shù)式表示）

（4）發(fā)現(xiàn)：像上面那樣,將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點(diǎn),得到ADEF（如圖3）,此時(shí),我們稱

△4BC向外擴(kuò)展了一次.可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的的面積是原來△ABC面積的倍.

（5）應(yīng)用：要在一塊足夠大的空地上栽種花卉，工程人員進(jìn)行了如下的圖案設(shè)計(jì)：首先在的空地上種

紅花,然后將△ABC向外擴(kuò)展三次（圖4已給出了前兩次擴(kuò)展的圖案）.在第一次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種黃花，第二

次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種紫花，第三次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種藍(lán)花.如果種紅花的區(qū)域（即△ABC的面積是10平方米，請(qǐng)你

運(yùn)用上述結(jié)論求出:①種紫花的區(qū)域的面積;②種藍(lán)花的區(qū)域的面積.

I題目叵（2022?河南鄭州??？级＃┬∶靼l(fā)現(xiàn)，若一個(gè)三角形中，中線的存在會(huì)和三角形的面積有一定的關(guān)

系.

如圖1,△ABC中，CD為AB邊的中線，可得AD=,過點(diǎn)。作CM，AB于M■，則S^=yAD-CM

^-BD-CM^SABDC

圖1

在持續(xù)研究中，小明發(fā)現(xiàn)，這個(gè)研究可以運(yùn)用到很多問題解決中，請(qǐng)你幫助小明完成下列任務(wù)：

⑴如圖2,矩形ABCD中，點(diǎn)分別為CD,4B上的動(dòng)點(diǎn)，且=⑷W■與。N交于點(diǎn)E.連接

CE.①判斷△。力E與△。兒石的面積關(guān)系;②若AD=3,AB=4,當(dāng)點(diǎn)河為CD的中點(diǎn)時(shí)，求四邊形

BCEN的面積；⑵△4BC中，乙4=30°,AB=6,點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，連接CD,將△ACD沿CD折疊，點(diǎn)

A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,若岫CD與ZVIB。重合部分的面積為ZVIB。面積的［，直接寫出△ABC的面積.

題目口&〕（2022秋?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,點(diǎn)。將線段AB分成兩部分，如果需=整，那么稱點(diǎn)C

TTLO

為線段AB的黃金分割點(diǎn).

某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義:直

線I將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S,S2,如果粵=年，那么稱直線I為該圖

形的黃金分割線.

.一/,//~「7c

-D\ii'?///

4CADBADKBAgB

圖1圖2圖§圖4

（1）研究小組猜想:在△ABC中，若點(diǎn)。為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分

割線.你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？

（2）請(qǐng)你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn):過點(diǎn)。任作一條直線交AB于點(diǎn)E,再過點(diǎn)。作直線。F〃CE,交AC

于點(diǎn)F,連接EF（如圖3）,則直線EF也是4ABC的黃金分割線.請(qǐng)你說明理由.

（4）如圖4,點(diǎn)E是DABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF〃AD,交OC于點(diǎn)F,顯然直線EF是

DABCD的黃金分割線.請(qǐng)你畫一條口ABCD的黃金分割線,使它不經(jīng)過LJABCD各邊黃金分割點(diǎn).

短目匡〕（2023春?江蘇南京?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要

線段，同時(shí)，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點(diǎn).

（1）①如圖1,/\ABC中，/A=90°,則A4BC的三條高所在直線交于點(diǎn)；

②如圖2,A4BC中，力。＞90°,已知兩條高BE、AO,請(qǐng)你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩點(diǎn)

作直線、連接任意兩點(diǎn)、延長任意線段）畫出AABC的第三條高.（不寫畫法，保留作圖痕跡）

【綜合應(yīng)用】（2）如圖3,在4ABC中,AABOZC,AD平分/A4C,過點(diǎn)B作BE_LAD于點(diǎn)E.

①若/ABC=80°,/。=30°,則NEBD=:②請(qǐng)寫出NEBD與/ABC,/C之間的數(shù)量關(guān)系

，并說明理由.

【拓展延伸】（3）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積

比等于對(duì)應(yīng)底邊的比.如圖4,△48。中，河是上一點(diǎn)，則有空空嗎理13=碧.如圖5,△48。

△ACM的面積CM

中，河是BC上一點(diǎn)，且是AC的中點(diǎn)，若△ABC的面積是m,請(qǐng)直接寫出四邊形CMDN

O

的面積.（用含小的代數(shù)式表示）

161（2023春?江蘇鹽城?七年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題情境】

蘇科版數(shù)學(xué)課本七年級(jí)下冊(cè)上有這樣一道題:如圖1,AD是AABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎

樣的數(shù)量關(guān)系？

小旭同學(xué)在圖1中作8。邊上的高4E,根據(jù)中線的定義可知BD=CD.又因?yàn)楦逜E相同，所以S△迎=

SMOD，于是△也.據(jù)此可得結(jié)論:三角形的一條中線平分該三角形的面積.

【深入探究】（1）如圖2,點(diǎn)。在△ABC的邊BC上，點(diǎn)P在AD上.

①若AD是4ABC的中線，求證：SAAPB=S^APC；②若BD=3DC,則.

【拓展延伸】⑵如圖3,分別延長四邊形ABCD的各邊，使得點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE,BF、CG的

中點(diǎn)，依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFGH.

①求證：S^HDG+SAFBE~2s四邊形ABC。；②右S四邊形488=3,貝!JS四邊形石尸GH=,

「題目亙（2023秋,廣西柳州?八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）閱讀下面資料:

16

小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,對(duì)面積為a的△ABC逐次進(jìn)行以下操作:分別延長AB,BC、CA至4、

5、CL使得A.B=2AB,BC=2BC,CIA=2cA，順次連接4、5,得到△4B1G,記其面積為S、,

求Si的值.

小明是這樣思考和解決這個(gè)問題的:如圖2,連接AQ、,因?yàn)锳XB=2AB,BQ=2BC,C.A=

2CA,根據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，所以SAA、BC=S&B、CA=SAA、BC=S&GAB=2s△48。=2a,由此

繼續(xù)推理,從而解決了這個(gè)問題.（1）直接寫出S尸（用含字母a的式子表示）.

請(qǐng)參考小明同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：

⑵如圖3,P為4ABC內(nèi)一點(diǎn),連接AP.BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點(diǎn)。、E、尸，則把

△ABC分成六個(gè)小三角形，其中四個(gè)小三角形面積已在圖上標(biāo)明，求&ABC的面積.

⑶如圖4,若點(diǎn)P為LABC的邊AB上的中線CF的中點(diǎn)，求S“PE與S^BPF的比值.

［題目逗（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考二模）⑴如圖1,△ABC中，。是BC邊上一點(diǎn)，則△48。與ZVID。有一個(gè)相

同的高，它們的面積之比等于相應(yīng)的底之比，記為年迺=袈（4480、△4。。的面積分別用$送5。、

^AADCDU

SAADC表示）.現(xiàn)有BD=:BC,則S&ABD：S^ADC=_；

O

（2）如圖2,△ABC中，E、F分別是BC、AC邊上一點(diǎn)，且有BE：EC=1：2,AF：FC=1：1,AE與BF相

交于點(diǎn)G、現(xiàn)作EH〃BF交AC于點(diǎn)H、依次求FH:HC、AG：GE、BG：GF的值；

（3）如圖3,△ABC中，點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)M、N在邊力。上，且有AP=PB,AM=MN=NC,BM.BN

與CP分別相交于點(diǎn)R、Q,現(xiàn)已知△48。的面積為1,求ABRQ的面積.

圖1圖2圖3

、題目包（2023?四川成都?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形DEFG的邊EF在△ABC的邊上，頂點(diǎn)D

G分別在邊上,于H.BC=15,AH=10.求正方形OEFG的邊長和面積.

17

A

題目R（2023?廣東九年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）已知：如圖，■是AB邊的三等分點(diǎn)，EF〃的V〃BC.求:

△AEF的面積:四邊形EMNF的面積:四邊形MBCN的面積.

題目衛(wèi)（2023?河南信陽?九年級(jí)統(tǒng)考期末）將一副直角三角板按右圖疊放.

（1）證明：A4OB?/\COD；（2）求△AOB與4DOC的面積之比.

BC

三角形中的重要模型-等積模型

三角形的面積問題在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，等積變形是中學(xué)幾何里面一個(gè)非常重要的思

想，下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容。本專題就三角形

中的等積模型（蝴蝶（風(fēng)箏）模型，燕尾模型，鳥頭模型，沙漏模型,金字塔模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便

掌握。

模型1.等積變換基礎(chǔ)模型

1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；

如圖1,當(dāng)AB〃,則S9=S的D；反之，如果S^ACD=S^CD，則可知直線ABHCD.

2）兩個(gè)三角形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個(gè)三角形底相等,面積比等于它們的高之比。

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)時(shí),則5刖：S^DC=BD：DC。

如圖3,當(dāng)點(diǎn)。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BEVAD,CF±AD時(shí)，則S△迎:S△皿=BE：CF。

（山東省臨沂市2023—2024學(xué)年八年級(jí)月考）如圖，是△ABC邊AC的中線，點(diǎn)E在BC上，BE=

1■EC,△ABD的面積是3,則△BED的面積是（）

【答案】。

【分析】利用三角形面積公式，等高的三角形的面積比等于底邊的比，由此利用已知條件可以分別求出

S^BDC、S/^BED.

【詳解】解：???瓦?是△ABC邊AC的中線，△46。的面積是3,3,

,?*BE—-^-EC,S^BED—1,故選：D.

/o

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積:三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半;三角形的中線將三角形分

成面積相等的兩部分.

四2（河北省石家莊市2023-2024學(xué)年八年級(jí)月考）如圖，6。是的邊AC上的中線，AE是4ABD

的邊上的中線，是△ABE的邊AE上的中線，若△ABC的面積是32,則陰影部分的面積是

（）?M

A

C.18D.20

【答案】B

【分析】利用中線等分三角形的面積進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：:BD是AABC的邊4。上的中線，??.S.BD=S^CD=1X32=16,

,?*是叢ABD的邊BD上的中線，S^^BE—SAM）E=~^^/\ABD=X16=8,

又???BF是△ABE的邊上的中線，則CF是△ACE的邊AE上的中線,

=

??S岫EF=^^ABF~qS/^ABE1X8=4,S^CEF=S.CF=S^DE—S^CED=5S.CE=8,

則S陰影=S^EF+SACEF=4+8=12,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了中線的性質(zhì)，清晰明確三角形之間的等量關(guān)系，進(jìn)行等量代換是解題的關(guān)鍵.

四3（湖北十堰五校聯(lián)考2023-2024學(xué)年八年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心，。，E,F分別為BC,

CA,AB的中點(diǎn)，具有性質(zhì)：AG:GD=BG：GE=CG:GF=2：L已知△AFG的面積為2,則AAB。的面

積為.

【分析】根據(jù)高相等的兩個(gè)三角形的面積之比等于底之比可得答案.

【詳解】解：???CG：GF=2:1,A4FG的面積為2,

.?.△ACG的面積為4,.?.△4。斤的面積為2+4=6,

?.?點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，,/XACF的面積=△BCF的面積，

.?.△ABC的面積為6+6=12,故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的重心，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握高相等的兩個(gè)三角形的面積之比

等于底之比是解題的關(guān)鍵.

廁4（浙江省杭州市2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，CD是△ABC的一條中線，E

為BC邊上一點(diǎn)且BE=2CE,AE、CD相交于F,四邊形BDFE的面積為6,則AABC的面積是.

?M

【答案】14.4

【分析】連接BF,設(shè)S^DF=a,則SXBEF=6-a,根據(jù)CD為AB邊上中線，可得S^DF=S^DF=a,SgDc

iiio

=W'S最BC；根據(jù)BE=2CE,可得S^c=~Z'S^B——(6—a),5a4郎=.進(jìn)而，$小a7的面積可表

ZiEFZiEFZio

示為2sAsDC和yS^BE,由此建立方程18-a=+9,解出a的值即可得到△ABC的面積.

【詳解】解：連接BF,如圖所示：設(shè)S^DF=a,則SABEF=6—a,

CD為AB邊上中線，SAADF^5刖=a,SgDC=gs4ABe?

119

BE=2CE,SACEF=}SgEF=1(6—a),SAABE=mS4ABe?

??S》BC=2sAsoc=21a+(6—a)a+-^~(6—Q)]=18—Q,

=

S^ABCy<5AASB=y(2a+6—a)=-|-a+9,

即18—a=+9.解得：a—3.6.二$4^0=18—a=18—3.6=14.4,故答案為：14.4.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積的計(jì)算，關(guān)鍵是利用同底等高的三角形面積相等、等高不同底的三角形面

積比為底之比來表示出三角形面積，進(jìn)而使用方程思想解決問題.

血］5(2023春?江西萍鄉(xiāng)?八年級(jí)統(tǒng)考期中)基本性質(zhì):三角形中線等分三角形的面積.

如圖1,AD是△ABC邊上的中線，則S△謝=53=0外的.

理由：因?yàn)?D是△48。邊上的中線，所以BD=CD

又因?yàn)镾MBD=}BDxAH,S^ACD——CDXAH，所以S^BD—S0°D=~^^^ABC-

所以三角形中線等分三角形的面積.

基本應(yīng)用：

在如圖2至圖4中，△48。的面積為a.

?M

E,

A

（圖4）（圖5）

⑴如圖2,延長4ABC的邊BC到點(diǎn)。，使CD=BC,連接DA.若AACD的面積為S,則S1=

（用含a的代數(shù)式表示）；

⑵如圖3,延長△48。的邊BC到點(diǎn)。，延長邊C4到點(diǎn)E,使CD=BC,AE=CA,連接DE.若

△DEC的面積為$2,則$2=（用含a的代數(shù)式表示）；

⑶在圖3的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F,使BF=,連接FD,FE,得到ADEF（如圖4）.若陰影部分的面

積為S3,則$3=（用含a的代數(shù)式表示）；

拓展應(yīng)用：

（4）如圖5,點(diǎn)。是△ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別是線段40,?！甑闹悬c(diǎn)，且4ABC的面積為

8a,則△BEF的面積為一（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由.

【答案】（l）a（2）2a（3）6a（4）2a,見解析

【分析】（1）直接根據(jù)“等底同高的三角形面積相等”即可得出答案；

⑵連接AD,運(yùn)用”等底同高的三角形面積相等”得出S莊CD=2SQABC，即可得解;

⑶由⑵結(jié)論即可得出SSMSAEOD+SAEFA+SAB即，從而得解；

（4）點(diǎn)石是線段4D的中點(diǎn)，可得S/RDE，S/X￡）CE.S八"^"S八ARC?點(diǎn)F是線段CE的中

點(diǎn),可得S^BEF=SgcF=；S^BCE?從而可得答案.

【詳解】（1）解:如圖2,???延長的邊石。到點(diǎn)、D,使CD=BC,

AC為△ABD的中線，,SAACD=SMBC即S、=a;

（2）如圖3,連接AD,

???延長△ABC的邊BC到點(diǎn)。，延長邊C4到點(diǎn)E,使CD=BC,AE=CA,

7

S^ACD—SA^￡；D=}S^ECD，SAZ（7D=^LABC，S^ECD^2sA^5。=2a,艮IS2—2a;

⑶由⑵得SXECD=2S\,c=2Q,

==

同理:S.FL2SbABC=2a,S^ECD—S^FD2a,S^S.CD+S的?A+6a;

⑷SABEF=2a,理由如下：理由：?.?點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn),

S&ABE=SABDE,S^ACE=Sy)cE,?'?Sg°E=

"點(diǎn)是線段CE的中點(diǎn)，，SABEF