2025年中考數(shù)學復習 第三講 分式（考點解析+試題講義）（解析版）

第一章數(shù)與式

第3講分式

N?？枷蚪庾x

?專題精練

第3講分式

一?考點精析一

一?真題精講一

考向一分式的有關概念

考向二分式的基本性質(zhì)

考向三分式的約分與通分

考向四分式的運算

第3講分式

分式與二次根式是歷年中考的考察重點，年年考查，分值為18分左右。預計2024年各地中

考還將繼續(xù)重視對分式與根式的有關概念、分式與根式的性質(zhì)和分式與根式的混合運算等的

考查，且考查形式多樣，為避免丟分，學生應扎實掌握。

一?考點精析一

一、分式

1.分式的定義

A

(1.)一般地，整式A除以整式B,可以表示成一的形式，如果除式B中含有字母，那么稱

B

A

一為分式.

B

A

(2)分式一中，A叫做分子，B叫做分母.

B

A

【注意】①若BN0,則一有意義；

B

A

②若B=0,則一無意義；

B

/

③若A=0且BN0,則一=0.

B

2.分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變.

AA.CAA

用式子表示為一=」二(。/0)或一=一^(CwO),其中A,B,C均為整式.

BBCBB+C

3.約分及約分法則

(1)約分

把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分.

(2)約分法則

把一個分式約分，如果分子和分母都是幾個因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的

最低次幕；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù).如果分式的分子、分母是多項式,

先分解因式，然后約分.

【注意】約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì).約分的關鍵是找出分子和分母的公因式.

4.最簡分式

分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.

【注意】約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結(jié)果有時可能成為整式.

5.通分及通分法則

(1)通分

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這

一過程稱為分式的通分.

(2)通分法則

把兩個或者幾個分式通分:

①先求各個分式的最簡公分母(即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次幕和所有不

同因式的積)；

②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、

分母，使每個分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡公分母為分母的分式;

③若分母是多項式，則先分解因式，再通分.

【注意】通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì).通分的關鍵是確定幾個分式的最簡公分母.

6.最簡公分母

幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次塞的積作為公分

母，這樣的分母叫做最簡公分母.

7.分式的運算

(1)分式的加減

①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減.

用式子表示為：-+-=^.

bbb

②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆?式，然后再加減.

_acadbead+bc

用式子表不為：—±—=—±-=-------

babdbabd

(2)分式的乘法

乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.

用式子表示為：沁=眨

bab'a

(3)分式的除法

除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘.

一，」,acada-d

用式子表示為：=--=

babeb-c

(4)分式的乘方

乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方.

用式子表示為：（?"="（〃為正整數(shù)，b/0）.

（5）分式的混合運算

含有分式的乘方、乘除、加減的多種運算叫做分式的混合運算.

混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減.有括號的，先算括號里的.

一?真題精講一

考向一分式的有關概念

1.分式的三要素：

A

（1）形如一的式子；

B

（2）48均為整式；

（3）分母8中含有字母.

2.分式的意義：

（1）有意義的條件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即BwO.

（2）無意義的條件是分母為0.

（3）分式值為0要滿足兩個條件，分子為0,分母不為0.

1.（2020?湖南衡陽?中考真題）要使分式」一有意義，則X的取值范圍是（）

x-1

A.x>1B.xwlC.x=1D.xwO

【答案】B

【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可解答.

【解析】根據(jù)題意可知，x—IwO,即XW1.故選：B.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義，分母不為0是解決問題的關鍵.

x+5

2.（2020?浙江金華?中考真題）分式一的值是零，則x的值為（）

x-2

A.5B.2C.-2D.-5

【答案】D

【分析】分式的值為零：分子等于零，且分母不等于零.

【解析】解：依題意，得x+5=0,且x-2加，解得，x=-5，且存2,即答案為x=-5.故選：D.

【點睛】本題考查了分式的值為零的條件.若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分

子為0；（2）分母不為0.這兩個條件缺一不可.

3.（2020?湖南郴州?中考真題）若分式一匚的值不存在，則工=

x+1

【答案】-1

【分析】根據(jù)分式無意義的條件列出關于X的方程，求出X的值即可.

【解析】：分式’的值不存在，，x+l=o,解得：x=-l,故答案為：-1.

X+1

【點睛】本題考查的是分式無意義的條件，熟知分式無意義的條件是分母等于零是解答此題

的關鍵.

4.（2020?湖北黃石?中考真題）函數(shù)〉=」一+二5的自變量x的取值范圍是（）

x—3

A.x>2,且x#3B.x>2C.xw3D.x>2,且xw3

【答案】A

【分析】根據(jù)分式與二次根式的性質(zhì)即可求解.

【解析】依題意可得x-3#）,x-2K）解得x?2,且x#3故選A.

【點睛】此題主要考查函數(shù)的自變量取值，解題的關鍵是熟知分式與二次根式的性質(zhì).

考向二分式的基本性質(zhì)

分式基本性質(zhì)的應用主要反映在以下兩個方面：

（1）不改變分式的值，把分式的分子、分母中各項的系數(shù)化為整數(shù)；

（2）分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變.

5.分式—）中的x、y的值都擴大到原來的2倍，則分式的值為

A.擴大為原來2倍B.縮小為原來的工倍

2

C.不變D.縮小為原來的工倍

4

【答案】B

【解析】???若x、y的值都擴大到原來的2倍，則為

4x+6y_2（2x+3y）_2x+3y_12x+3y

12xy4（3肛）2（3町）23xy

2x+3y1

，把分式，，/中的x、y的值都擴大到原來的2倍，則分式的值為原來的一，

3盯2

故選B.

【點睛】本題考查了分式的基本概念和性質(zhì)的相關知識.這類題目的一個易錯點是：在沒有

充分理解題意的情況下簡單地通過分式的基本性質(zhì)得出分式值不變的結(jié)論.對照分式的基本

性質(zhì)和本題的條件不難發(fā)現(xiàn)，本題不符合分式基本性質(zhì)所描述的情況，不能直接利用其結(jié)

論.因此，在解決這類問題時，要注意認真理解題意.

6.（2019?江蘇揚州?中考真題）分式一L可變形為（）

3-x

1111

A.------B.--------C.------D.-------

3+x3+xx-3x-3

【答案】D

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項進行判斷即可.

【解析】A.'?」一，故A選項錯誤；,故B選項錯誤；

3+x3-x3+x-3-x3-x

C.x=—=--^—,故C選項錯誤；D.=—~~~=—^＞故D選項正確，故選D.

53-xx-3-（x-3）3-x

【點睛】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的分子分母都乘以或除以同一個不為0的整式，分式

的值不變.

考向三分式的約分與通分

約分與通分的區(qū)別與聯(lián)系：

1.約分與通分都是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，對分式進行恒等變形，即每個分式變形之后都不

改變原分式的值；

2.約分是針對一個分式而言，約分可使分式變得簡單；

3.通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為同分母分式.

7.關于分式的約分或通分，下列哪個說法正確

A.『約分的結(jié)果是一

xTx

B.分式「一與一一的最簡公分母是x-l

x2-lx-1

C.三約分的結(jié)果是1

X

V21

D.化簡——-——的結(jié)果是1

x2-lx—1

【答案】D

V-L1I

【解析】A、——，故本選項錯誤；

Tx-1

B、分式與一二的最簡公分母是x2-l,故本選項錯誤；

X—1X—1

0021

C、-=—，故本選項錯誤；D、-----...=1,故本選項正確，故選D.

XXx-1x-1

【點睛】本題主要考查分式的通分和約分，這是分式的重要知識點，應當熟練掌握.

8.(2023?湖南?統(tǒng)考中考真題)已知x=5,則代數(shù)式一37--24*2”的值為

x-4x-16------------

【答案】I

【分析】先通分，再根據(jù)同分母分式的減法運算法則計算，然后代入數(shù)值即可.

【詳解】解：原式=(x3-(4x)+(4x).)一記24

3x-12

"(x-4)(x+4)

3

x+4

x=5

.3_3_3_1

''7+4~~5+4~9~3

故答案為：

【點睛】本題主要考查了分式通分計算的能力，解決本題的關鍵突破口是通分整理.

9.(2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題)先化簡，再求值：+其中x=

【答案］土」1

X2

【分析】先根據(jù)平方差公式，完全平方公式和分式的運算法則對原式進行化簡，然后將

'=2代入化簡結(jié)果求解即可.

■、”分力.b-nX2-2%+1(

【詳解】解：一廠廠一?1+-

X-1IX)

(x-1)2x+1

當x==2時，原式=——=—.

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的運算法則是

解題關鍵.

10.(2020.成都市中考模擬)關于分式的約分或通分，下列哪個說法正確

A.爭y-約L1分的結(jié)果是一1B.分式Y(jié)—與」一的最簡公分母是x-1

xTxx2-lx-1

2x21

C.小約分的結(jié)果是1D.化簡一一-二一的結(jié)果是1

xx2-l%-1

【答案】D

【解析】A、罟V-L1=——I，故本選項錯誤;

X—1x-1

B、分式/二與工的最簡公分母是x2-l,故本選項錯誤;

X—1X—1

2x21*21

C、F=—,故本選項錯誤；D、——-——=1,故本選項正確，故選D.

XXX-1X-1

【點睛】本題主要考查分式的通分和約分，這是分式的重要知識點，應當熟練掌握.

2YX

11⑵2°.內(nèi)蒙古呼和浩特.中考真題)分式口與一的最簡公分母是一

2x8

方程=1的解是____________

x-2x2-2x

【答案】x(x-2)x=-4

【分析】根據(jù)最簡公分母的定義得出結(jié)果，再解分式方程，檢驗，得解.

2YQ

【解析】解：???/—2x=x(x—2),.?.分式一^與的最簡公分母是武》—2),

X2-tXLX

2yQ

方程-------5——=1,去分母得：2X2-8=X(X-2),去括號得：2》2一8=工2-2》，

x-2X2-2X'7

移項合并得：X2+2X-8=0,變形得：(x—2)(x+4)=0,解得：x=2或-4,

.當x=2時,x(x-2)=0,當x=-4時,X(X-2)#O,，x=2是增根，，方程的解為：x=-4.

【點睛】本題考查了最簡公分母和解分式方程，解題的關鍵是掌握分式方程的解法.

考向四分式的運算

(1)分式的加減運算：異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時應確定幾個分式

的最簡公分母.

（2）分式的乘除運算：分式乘除法的運算與因式分解密切相關，分式乘除法的本質(zhì)是化成

乘法后，約去分式的分子分母中的公因式，因此往往要對分子或分母進行因式分解（在分解

因式時注意不要出現(xiàn)符號錯誤），然后找出其中的公因式，并把公因式約去.

（3）分式的乘方運算，先確定黑的符號，遵守“正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，負數(shù)的偶數(shù)次

累是正數(shù)，負數(shù)的奇數(shù)次幕是負數(shù)”的原則.

（4）分式的混合運算有乘方，先算乘方，再算乘除，有時靈活運用運算律，運算結(jié)果必須

是最簡分式或整式.注意運算順序，計算準確.

12.（2023?廣東?統(tǒng)考中考真題）計算±的結(jié)果為（）

aa

1656

A.-B.--C.—D.一

aaaa

【答案】C

【分析】根據(jù)分式的加法運算可進行求解.

【詳解】解：原式=*；

a

故選：C.

【點睛】本題主要考查分式的運算，熟練掌握分式的運算是解題的關鍵.

12

13.（2023?天津?統(tǒng)考中考真題）計算一；一-二的結(jié)果等于（）

x-1x-1

【答案】C

【分析】根據(jù)異分母分式加減法法則進行計算即可.

___12x+12

【詳解】解：7^-7^1=（x-l）（x+l）-（x-l）（x+l）

x+1—2

_x-1

1

x+1'

故選：C.

【點睛】本題考查了異分母分式加減法法則，解答關鍵是按照相關法則進行計算.

4

14.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）化簡+2的結(jié)果是（）

x+2

2

B1

A.1cD.-^―

-771x+2

【答案】D

【分析】根據(jù)分式的加減混合運算法則即可求出答案.

4

【詳解】解：一+尤一2

x+2

4+(x+2)(x-2)

x+2

x+2

故選：D.

【點睛】本題考查了分式的化簡，解題的關鍵在于熟練掌握分式加減混合運算法則.

15.（2023,湖北武漢,統(tǒng)考中考真題）已知x-1=0,計算的值是

A.1B.-1C.2

【答案】A

【分析】根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算法則進行化簡，然后把三=x+l代入原式即可求

出答案.

(2kr

【詳解】解:

(x+1xJx2+2x+1

2xx+1

x(x+l)x(x+l)

x-l(x+l)2

x(x+l)x(x-1)

x+1

-，

Vx2-x-l=0,

,?x2=X+1,

-y-=L

x

故選：A.

【點睛】本題考查分式的混合運算及求值.解題的關鍵是熟練運用分式的加減運算以及乘除

運算法則.

x+2x—1?x—4

16.（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）化簡:-―2x-4x+4J-2x

【答案】一］

【分析】先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡

即可求解.

【詳解】解：（笆-x-1x-4

\x-2xX2-4x+4x2-2x

(x+2)(x-2)-x(x-l)x(x-2)

x(x-2)2x-4

_x2-4-x2+xx（x-2）

x（x-2）2Xx-4

1

~x-2'

故答案為：一二.

x-2

【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則是解題的關鍵.

17.（2020?山西中考真題）下面是小彬同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任

務.

x2-92x+l

x2+6x+92x+6

(x+3)(x-3)2x+l

第一步

(x+3)22(x+3)

x-32x+l

第二步

x+32(x+3)

2(x-3)2x+l

第三步

2(x+3)-2(x+3)

2x-6-(2x+1)

第四步

-2(7+3)

2x—6—2,x+1

第五步

~2(7+3)

5

第六步

2x+6

任務一：填空：①以上化簡步驟中，第步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是

或填為;

②第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是:

任務二：請直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果；

任務三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學習經(jīng)驗，就分式化簡時還需要注意的事項給

其他同學提一條建議.

【答案】任務一：①三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不為零

的整式，分式的值不變；②五；括號前是“一”號，去掉括號后，括號里的第二項沒有變號；

7

任務二：-------；任務三：最后結(jié)果應化為最簡分式或整式，答案不唯一，詳見解析.

2x+6

【分析】先把能夠分解因式的分子或分母分解因式，化簡第一個分式，再通分化為同分母分

式，按照同分母分式的加減法進行運算，注意最后的結(jié)果必為最簡分式或整式.

【解析】任務一：①三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不為零

的整式，分式的值不變；故答案為：三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘(或除以)

同一個不為零的整式，分式的值不變；②五；括號前是“一”號，去掉括號后，括號里的第二

項沒有變號；

故答案為：五；括號前是“一”號，去掉括號后，括號里的第二項沒有變號；

2

打々一mx-92x+l(x+3)(x-3)2x+lx-32x+l

x2+6x+92x+6(x+3)22(x+3)x+32(x+3)

2(x—3)2x+12x—6—(2x+1)2x—6—2x—17

2(x+3)2(x+3)2(x+3)2(x+3)2x+6

任務三：解：答案不唯一，如：最后結(jié)果應化為最簡分式或整式；約分，通分時，應根據(jù)分

式的基本性質(zhì)進行變形；分式化簡不能與解分式方程混淆，等.

【點睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運算，分式的化簡，掌握以上兩種以上是解題的關鍵.

考向五分式化簡求值

瓜(2。23?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題)先化簡,再求值：［1+匕＞二’其中

3

【答案】

4

【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把X的值代入進行計算即可.

【詳解】

%2—2x+1

X.(x+l)(x-l)

x-1(X-1)2

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵.

19.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）先化簡：fl-一二］十二再從-2,T,1,2選擇中一

Ix—\）x-i

個合適的數(shù)作為X的值代入求值.

【答案】一］；1

x+2

【分析】先根據(jù)分式混合運算法則進行計算，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可.

x-l1i(x+2)(x-2)

x-1x-1

x~l(x+2)(x-2)

x+2

?;"I,±2,

...把x=-l代入得：原式=―--=1.

-1+2

【點睛】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式混合運算法則，準確計

算.

20.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：?一6：+9（+2+3］,其中。

a-212-aJ

是使不等式，Q—141成立的正整數(shù).

2

【答案］七

。+32

【分析】先根據(jù)分式混合運算法則進行化簡，然后求出不等式的解集，得出正整數(shù)a的值,

再代入數(shù)據(jù)計算即可.

,、*KFFh-n—6。+9(_5)

【詳解】解：---------?+2+-——

a-2\2-aJ

(Q-3)(2+Q)(2-Q)5

=------r-----------1----

Q—22—Q2—Q

_（4-3）24—"+5

Q—22—Q

（a-3）2-a

Q-2（3+a）（3-〃）

a—3

a+3'

/7—1

解不等式得：〃V3,

2

???〃為正整數(shù)，

2,3,

???要使分式有意義a-2w0,

??Qw2,

?.?當。=3時，a+2H---=3+2H---=0,

2-a2-3

??6ZW3，

???把。=1代入得：原式1=-二3=1—

1+32

【點睛】本題主要考查了分式化簡求作，分式有意義的條件，解不等式，解題的關鍵是熟練

掌握分式混合運算法則，準確計算.

21.（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）化簡［三+2］』.下面是甲、乙兩同學的部分運算

\x+lx-1）X

過程：

o解：原"』音＞;=

甲同學……

mXX2-1XX2-1

解：原式=---------+---------*

x+1xx-1X

...■■

乙同學

(1)甲同學解法的依據(jù)是，乙同學解法的依據(jù)是;(填序號)

①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律.

(2)請選擇一種解法，寫出完整的解答過程.

【答案】(1)②，③；(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)所給的解題過程即可得到答案；

(2)甲同學的解法：先根據(jù)分式的基本性質(zhì)把小括號內(nèi)的分式先同分，然后根據(jù)分式的加

法計算法則求解，最后根據(jù)分式的乘法計算法則求解即可；

乙同學的解法：根據(jù)乘法分配律去括號，然后計算分式的乘法，最后合并同類項即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)解題過程可知，甲同學解法的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，乙同學解法的

依據(jù)是乘法分配律，

故答案為：②，③；

(2)解：甲同學的解法：

嚴才「傘-1)x(x+l)]」-1

^A-[(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)JX

x2-X+x2+x(x+l)(x-l)

2x2(x+l)(x-l)

X

=2x；

乙同學的解法:

E_4s,X%2—1xx2-1

原式-----------+

x+1Xx-1X

x(x+l)(x-l)X(x+l)(x-1)

=------------1-------------

x+1Xx-1X

=x—1+X+1

=2x.

【點睛】本題主要考查了分式的混合計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵.

(a22

22.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值:Q----z----其中。的值從

(?2-1a-1

不等式組_1<.<6的解集中選取一個合適的整數(shù).

【答案］

2

【分析】先根據(jù)分式的混合運算法則，進行化簡，再選擇一個合適的整數(shù)，代入求值即可.

【詳解】解:原式=

a(tr-a-l)a2-1

--丁

"—4—1

=；

a

Va1w0,/—iwo,

。w0,。w±1,

VV4=2<