2025年中考數(shù)學(xué)大題與幾何壓軸題：圓壓軸（解析版）

專題12圓壓軸

目錄

題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

型

題

01與圓有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）

型

題

02與圓有關(guān)的平移問(wèn)題

型

題

03與圓有關(guān)的翻折問(wèn)題

型

題

04與圓有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

型

題

05與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

型

題

06與圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

型

題

07與圓有關(guān)的新定義問(wèn)題

型

題

08阿氏圓

型

題

09圓、幾何圖形、銳角三角函數(shù)綜合

型

題

型與圓有關(guān)的閱讀理解問(wèn)題

題10

型

題11與圓有關(guān)的存在性問(wèn)題

12與圓有關(guān)的定值問(wèn)題.

中考逆襲-高效集訓(xùn)

（時(shí)間：60分鐘）

題型特訓(xùn)-精準(zhǔn)提分

題型01與圓有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）

I.（2023?河北保定?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在aaBC中，BC=10,點(diǎn)。為48上一點(diǎn)，以5為半徑作。。分別與

BC,4;相切于D,E兩點(diǎn)，OB與。。交于點(diǎn)M,連接。C交。。于點(diǎn)F,連接ME,FE,若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),

給出下列結(jié)論：①CO平分乙4CB；②點(diǎn)E為4C的中點(diǎn)；@^AME=22.5°；④標(biāo)的長(zhǎng)度為京.其中正確結(jié)

論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】連接。D,0E,。。分別與2C和BC相切，證明C。平分乙4CB,根據(jù)平行線分線段成比例定理證明E

為4c的中點(diǎn)，再利用弧長(zhǎng)公式求出弧長(zhǎng).

【詳解】如圖，連接。D,0E.

O。分另IJ與4C和BC相切，

■，OE=OD=5,且。E14C,OD1.BC,

.?.CO平分乙4C8,故①正確；

?.?點(diǎn)。為的中點(diǎn)，8c=10,

-'-DC=OD=5,

???4。。。=90。，

.??乙。。0=45。，

.??乙4cB=90°,

.'.OD\\ACf

.?.點(diǎn)。為ZB的中點(diǎn)，

?；OE1AC,

:.OE\\BC,

故點(diǎn)E為ac的中點(diǎn)，故②正確；

由①知，NOCE=NCOE=45。，

：./.AOE=45°,

1

：.Z.AME=^AOE=22.5°,

故③正確；

由③可知：。。垂直平分BC,

：.OC—OB,

"OBC=乙OCB=45°

???乙80。=90。，

??.赤的長(zhǎng)度為軍需=苧，

loUZ

故④正確，

故選D.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、切線的基本性質(zhì)，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟悉圓的性質(zhì)并

構(gòu)造輔助線.

2.（2024?山東濟(jì)寧?一模）如圖，在扇形04B中，AAOB=90°,半徑。4=2.將扇形04B沿過(guò)點(diǎn)B的直線折

疊，點(diǎn)。恰好落在而上點(diǎn)。處，折痕交。4于點(diǎn)C,點(diǎn)E為0B的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接。P,

PE,DP,過(guò)點(diǎn)。作DF18C于點(diǎn)尸，下列說(shuō)法：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形COPD為菱形，②舞f

=1,③OP+PE的最小值為舊，④陰影部分面積為互―竽，正確的是（填序號(hào)）.

【答案】①③④

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，30。角所對(duì)直角邊是斜邊的一半，三角形中線

性質(zhì)，扇形面積和勾股定理，連接由折疊性質(zhì)可知，OB=BD,OC=CD,由30。角所對(duì)直角邊是斜邊

的一半，三角形中線性質(zhì)可判斷①②，當(dāng)P、E三點(diǎn)共線時(shí)，OP+PE有最小值，即DE的值，可判斷

③，再用求面積的方法可判斷④，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

：.OB=BD=OD,

是等邊三角形，

：/OBD=60°,

：.Z.OBC=/.DBC=30°,

：.OC=CD=^BC,

???當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CB的中點(diǎn)時(shí)，

：.OC=CD=DP=OP=^BC,

???四邊形COPD為菱形，故①正確;

■:DF1BC,

:.Z.CFD=90°,

由NOBC=NDBC=30°,々OB=NCDB=90°,

.?ZW=30°,

??.CF=TCD,

??.CF=TCD=；BC,

S4CDFS^CDFgCFxDF61

故

②匿

誤

一

前-

,--------------—---------------—-J-------------------?4

S^OCBSMDB-BCXDF

???。與。是關(guān)于BC對(duì)稱，

???當(dāng)。、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，OP+PE有最小值,即DE的值,

：.DE1OB,

"DEB=90°,

?.ZOBD=60°,

/.ZBDE=3O°,

：.BE=^BD=1,

在RtDEB中，由勾股定理得DE=\BD2一BE2=722一第=舊,故③正確；

同理：OC=竽，

???陰影部分面積為若繇一2x：x2x^=7r—^,故④正確；

故答案為：①③④.

3.（2023?廣東廣州?二模）如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于。。，AC為。。的直徑，^ACD+ABCD=180°,連

接。。，過(guò)點(diǎn)。作DELAC,DFLBC,垂足分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F,則下列結(jié)論正確的

是.①4A0D=24BAD；（2）ADAC=ABAC；③DF與。。相切；④若4E=4,EC=1,則BC=3.

【答案】①③④

【分析】本題考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，切線的判定，根據(jù)已知條件得出

乙ACDjFCD,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形得出NFCD=N￡MB,進(jìn)而得出乙4CD=ACMB,根據(jù)圓周角定理即可判

斷①，不能確定比=前，即可判斷②，證明△AOB三△B。。得出乙4。。=48。0,根據(jù)三線合一得出

DOLAB,進(jìn)而根據(jù)AC是直徑，得出48L8C,結(jié)合已知條件即可判斷③，證明△DEC三RtAADE=

RtA^F,得出OE=DF,BF=AE,進(jìn)而即可求解.

【詳解】如圖，連接08,

???/,ACD+乙BCD=180°,Z,ACD+乙ACB+乙DCF=180°,

???乙BCD=Z.ACB+乙DCF,

(BCD=Z-ACB+Z.ACD,

???Z.ACD=Z.FCD,

???四邊形4BCD內(nèi)接于。。，

???Z-FCD=Z.DAB,

???Z.ACD=乙DAB,

AD=DB,

Z.ABD=Z.BAD,Z.AOD=2/-ABD,

^Z.AOD=2^BADf故①正確，

,??不能確定反=沅，

AZ.DAC=484C不一定成立，故②錯(cuò)誤，

??,AD=DB,

???AD=DB,

在△Z。。和△500中,

AO=BO

DO=DO,

AD=BD

???△40QwZ\B00(SSS),

Z-ADO=乙BDO,

???DOLAB,

???4C是直徑，

???乙4BC=90。，

即1BC,

???DFIBC,

-.DFWAB,

DF10D,

???。尸與O。相切，故③正確，

vZ.DCE=/.DCF,乙DEC=^DFC,DC=DC,

???△DECNADFC(SAS),

???OE=D尸，CF=CE,

'.,AD=DB,DE=DF,

.-.Rt△ADE=Rt△BDF,

BF=AE,

vAE=4,EC=1,

.-.BC=BF-CF=4-1=3,故④正確.

故答案為：①③④.

題型02與圓有關(guān)的平移問(wèn)題

4.（2023?廣東深圳?一模）如圖1,平行四邊形4BCD中，AD=2?DC=4?乙0=60。，點(diǎn)/在BC延

長(zhǎng)線上且CM=CD,EF為半圓。的直徑且FE1BM,FE=6,如圖2,點(diǎn)￡從點(diǎn)M處沿MB方向運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)

半圓。向左平移，每秒遙個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)停止平移，如圖3,停止平移后半圓。立即繞

點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動(dòng)5。，點(diǎn)尸落在直線BC上時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

(1)如圖1,BF=；

⑵如圖2,當(dāng)半圓。與DC邊相切于點(diǎn)尸，求EM的長(zhǎng)；

⑶如圖3,當(dāng)半圓。過(guò)點(diǎn)C,EF與DC邊交于點(diǎn)、Q,

①求EF平移和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積：

②求CQ的長(zhǎng)；

(4)直接寫出半圓。與平行四邊形4BCD的邊相切時(shí)/的值.(參考數(shù)據(jù)：sin35°=^,tan35°=^)

【答案】(1)12

(2)6-3V3

(3)①EF平移過(guò)程中掃過(guò)的面積為12后旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積為冬②12a—8g

(4)273-3或2或12

【分析】(1)連接BF,在RtaBMF中，利用勾股定理求出BF即可；

(2)連接OC,0P,由半圓。與QC邊相切于點(diǎn)尸，尸5_18”得到/。2。=4。6。=90。，OP=OE,則。C是

NDCM的角平分線，4。||BM得到ND=NDCM=60。，則NOCM==30。，則。E=9EF=3,貝1|

。。=6,在RtaCE。中，由勾股定理得到CE=3g,即可得到EM的長(zhǎng)；

(3)①在平移中：ME=MC-CE=2V3,S平移=ME義EF=12班.連接OC,DE,過(guò)點(diǎn)。作ONJ.CE于

點(diǎn)N,由題意可知，DEIBM,ADCM=60°,CD=443,CE=^CD=2V3,在Rt△(;￡1￡)中，DE=

VCD2_*=6,由等腰三角形的性質(zhì)得到NE=：CE=V^,貝Usin/NOE=^=哼，得到4NOE=35。，則

Nuc3

乙DEF=乙NOE=35°,即可得到S旋轉(zhuǎn)=誓xEF2=

②過(guò)點(diǎn)。作QK^CE于點(diǎn)K,由①可得NOEF=35。，^DCE=60°,貝此KQE=35。，NCQK=30。，得到

QK=-^-=y/2KE,QK=-^=y/3CK,由CK+KE=CE=2V^,CK=6a-4?CQ=2CK=12y/2

tanjbtanou

-8V3.即可得到答案；

(4)分三種情況討論求解即可.

【詳解】（1）如圖，連接BF,

在RtZkBMF中，BF=yjBM2+EF2=y/(BC+CM)2+EF2,

■.■AD=BC=2V3,CM=CD=4V3,EF=6,

■.BF=J(2V3+4V3)2+62=12,

故答案為：12.

(2)如圖，連接。C,OP,

?.?半圓O與DC邊相切于點(diǎn)P,FE1BM,

.?ZOPC=NOEC=90°,OP=OE,

二.0C是4DCM的角平分線，

■:AD||BM,

."D=ADCM=60°,

1

.^OCM=-^DCM=30°9

?.?O￡=|FF=3,

.,.CO=2OE=6,

在Rt△CEO中，CE=VCO2-OE2=V62-33=3V3,

.-.EM=MC-CE=6-3V3.

??.EM的長(zhǎng)為6-3V3.

(3)①平移中：ME=MC-CE=4V3-2V3=2V3,

S平移=MExEF=2V3x6=12V3.

如圖，連接。&DE,過(guò)點(diǎn)。作。N_LCE于點(diǎn)N,

由題意可知，DEIBM,Z.DCM=60°,CD=4V3,

：.CE=^CD=2V3,

在RtACED中，DE=VCD2-CE2=J(4V3)2-(2A/3)2=6,

■.-OC=OE=^DE=3,

：/OCN="EN,△OCE是等腰三角形，

■.■ON1CE,

:.NE=*E=遮,DEWON,

:.sin4NOE=黑=浮

.?ZNOE=35°,

:/DEF=乙NOE=35°,

在旋轉(zhuǎn)中：NDEF=35。，EF

S旋轉(zhuǎn)=|￡XEF2=).

???EF平移過(guò)程中掃過(guò)的面積為12g,旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積為年.EF平移和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積為12g

I7兀

+于

②如圖，過(guò)點(diǎn)0作QK1CE于點(diǎn)K,

由①可得NDEF=35。，/-DCE=60°,

；ZKQE=35°,NCQK=30°,

?必=磊=&.，QK=^=gCK，

■：CK+KE=CE=2V3,

即魚KE=V3X（2V3-KE）,

解得KE=6VJ-6五,

.-.CK=6V2-4V3,

■■.CQ=2CK=12y/2-8y/3.

答：CQ的長(zhǎng)為12a—8存

（4）當(dāng)半圓。與。C邊相切于點(diǎn)尸時(shí)，1=等="^=2舊一3；

7s73

當(dāng)半圓。與2D邊相切時(shí)，即點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，

此時(shí)ME=MC-CE=4V3-2V3=2曲,

.2V3

,?,F=2Q；

當(dāng)半圓。與4B邊相切于點(diǎn)G時(shí)，如圖，

?4=60。，BE=BC+CE=6陋,

.??點(diǎn)E到直線的距離為sin60。義BE=乎x6舊=9,

即此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)G重合，EF14B,

.?ZBEF=30。，

:/DEF=60°,

60Yc

'-t=~5=12，

綜上，f的值為2g一3或2或12.

【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，讀懂題意,

數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?江蘇南京?二模）在平面內(nèi)，將小棒AB經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，使它調(diào)轉(zhuǎn)方向（調(diào)轉(zhuǎn)前后的小棒不一定在

同一條直線上），那么小棒掃過(guò)區(qū)域的面積如何盡可能地小呢？

已知小棒長(zhǎng)度為4,寬度不計(jì).

方案1：將小棒繞48中點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。到B7T,設(shè)小棒掃過(guò)區(qū)域的面積為Si（即圖中灰色區(qū)域的面積，下同）；

方案2：將小棒先繞/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到AC,再繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到C8,最后繞3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到

設(shè)小棒掃過(guò)區(qū)域的面積為S2.

(1)①S1=，52=;(結(jié)果保留兀)

②比較S1與S2的大小.(參考數(shù)據(jù):兀=3.14,V3?1.73.)

(2)方案2可優(yōu)化為方案3：首次旋轉(zhuǎn)后，將小棒先沿著小棒所在的直線平移再分別進(jìn)行第2、3次旋轉(zhuǎn)，三

次旋轉(zhuǎn)掃過(guò)的面積會(huì)重疊更多，最終小棒掃過(guò)的區(qū)域是一個(gè)等邊三角形.

①補(bǔ)全方案3的示意圖；

②設(shè)方案3中小棒掃過(guò)區(qū)域的面積為S3,求S3.

(3)設(shè)計(jì)方案4,使小棒掃過(guò)區(qū)域的面積S4小于S3,畫出示意圖并說(shuō)明理由.

【答案】(1)①4兀，87T-8V3；②Si>S2

(2)①見解析；②$3=唁

(3)見解析

【分析】(1)①利用圓的面積公式計(jì)算Si，利用方案2掃過(guò)區(qū)域?yàn)槿齻€(gè)圓心角為60。且半徑為4的扇形面積

減去兩倍△ABC的面積計(jì)算S2；

②利用參考數(shù)據(jù)計(jì)算近似值再比較即可；

(2)①依題意補(bǔ)全方案3的示意圖即可；

②利用等邊三角形的高是4,計(jì)算出底邊，再利用面積公式計(jì)算即可；

(3)作等邊△48C,首先讓點(diǎn)8在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)/在C2的延長(zhǎng)線上，運(yùn)動(dòng)，使得48的長(zhǎng)度保持不變，當(dāng)

點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，由此4B邊調(diào)轉(zhuǎn)到2C(4b)邊，接著兩次同樣的方式旋轉(zhuǎn)到BC(4房)邊和ABH")邊，

從而得到最終小棒掃過(guò)的區(qū)域，由于所得區(qū)域非常不規(guī)則，因此可以利用放縮法證明54<S3.

【詳解】(1)解：①由依題意得：48=2r=4,

Ar=2,

.?.Si=nr2—47T

又依題意得：方案2掃過(guò)區(qū)域?yàn)槿齻€(gè)圓心角為60。且半徑為4的扇形面積減去兩倍△ABC的面積.等邊三角

形的面積公式：S=^a2,a為等邊三角形的邊長(zhǎng).

:$2=3x嗤吉一2X孚x42=8兀-8V3

故答案是：4兀，87r-8V3；

@■.-51=47T?4x3.14=12.56,S2?8x3.14-8x1.73=11.28,12.56>11,28,

；.Si>S2；

(2)①依題意補(bǔ)全方案3的示意圖如下：

②連接EM,M為切點(diǎn)，貝以4的中點(diǎn)，F(xiàn)M=4

由勾股定理得：AM2+EM2^AE2,即/+42=4/,

解得:%=竽，

.-.AA,=4E=2x=竽，

雙=^AA'-EM另x隨x4=儂.

32233

(3)設(shè)計(jì)方案4：如下圖，△力BC是等邊三角形，首先讓點(diǎn)3在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)/在CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，

使得48的長(zhǎng)度保持不變，當(dāng)點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，由此4B邊調(diào)轉(zhuǎn)到4C(49)邊，接著兩次同樣的方式旋轉(zhuǎn)到

邊和4B(B7T)邊，最終小棒掃過(guò)的區(qū)域是如下圖所示.

對(duì)于第一次旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)到D”時(shí)，此時(shí)OH_LBC,

又作DE平行48,則S4CDE=S3=SAABC+S梯形ABEB

依題意得：陰影部分比等邊三角形多三塊全等的圖形，記每塊面積為Q,

則有QVSZ^DF，/為的中點(diǎn)，

???$△40/<S^GDF，

???S"0F<^AGDAF=R梯形?WEB，

:'aV^/\ADFV梯形/BEB，

3

?■-^4—^AABC+3a<S/VIBC+R梯形4BEB<AABC+S梯形4BEB=^3-

6.(2023?福建廈門?一模)點(diǎn)。是直線MN上的定點(diǎn)，等邊△28C的邊長(zhǎng)為舊，頂點(diǎn)4在直線MN上，AABC

從。點(diǎn)出發(fā)沿著射線。M方向平移，BC的延長(zhǎng)線與射線0N交于點(diǎn)D,且在平移過(guò)程中始終有NB。。=30。，連

接。B,OC,0B交力C于點(diǎn)P,如圖所示.

(1)以。為圓心，。。為半徑作圓，交射線OM于點(diǎn)E.

①當(dāng)點(diǎn)B在上時(shí)，求麗的長(zhǎng)；

②O。的半徑為r,當(dāng)△4BC平移距離為2r時(shí)，判斷點(diǎn)C與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)在平移過(guò)程中，是否存在。C=OP的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)。到直線8c的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【答案】(1)①|(zhì)兀；②點(diǎn)C在。。上，見解析

⑵存在，誓

【分析】(1)①根據(jù)圓的基本性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)求出NBA。=90。，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出半徑8。的

長(zhǎng)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可；②過(guò)點(diǎn)。作OH1BC于H,根據(jù)銳角三角函數(shù)求出2D的長(zhǎng)，進(jìn)而求出半徑

。。的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)與判定證出。C=。。即可得解；

(2)解法一：過(guò)點(diǎn)。作。于H,過(guò)點(diǎn)4作4G1BC于G,交8。于點(diǎn)E,連接EC,先根據(jù)ASA證出

△4BE三△DC。，得到BE=CO,進(jìn)而得到CE=CO,設(shè)NEBG=a,在△OPC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

求出a的度數(shù)，進(jìn)而得出41=45。=42,再根據(jù)三角函數(shù)得到CH和HD關(guān)于r的代數(shù)式，最后根據(jù)

CH+HD=CD,列方程求解出r,即可得出?！钡拈L(zhǎng)；解法二：過(guò)點(diǎn)。作。H1BC于先證出

ABAOCHO,得到黑=黑，根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)求出OH的代數(shù)式，進(jìn)而得出的代數(shù)式,

ADLn

根據(jù)黑=察列方程求解出乙即可得出?！钡拈L(zhǎng)?

/ioLn

【詳解】(1)①,?,點(diǎn)B在。。上，

；.OB=OD,

乙OBD=￡ODB=3Q°,

：./-AOB=60°,

???△ABC是等邊三角形,

??ZABC=60°,

■,■Z.OBD=30°,

.?.在△ABD中，A.BAD=90°,

AD

?在Rt△力OB中，sinzXOB=—

DU

?4。=嬴編=磊=2,

77^607rx22

'，BE=^80~=3n；

②點(diǎn)C在O。上，理由如下:

過(guò)點(diǎn)。作。H1BC于",

M

A

O

H

Z.BDO=30°,AABC=60°,

AD

??.在Rt△BAD中，tanzBPO=—:

=tan%)0=/^=3,BD=ZAB=2V3,

：.CD—BD—BC—V3,

：.AD—OA+OD=3,

\'OA=2r,OD=r,

.-.3r=3,r=1,即。。=1,

???在RtZk。?！爸?，乙BDO=30。,SS￡BD0=嗡

:.HD=OD-cosZ-BDO=cos30°=浮

,?,CD=V3,

；.HD=CH=*D,

-OHIBC,

：.OC=OD,

點(diǎn)C在。。上；

(2)解法一：存在。C=OP的情形，理由如下：

過(guò)點(diǎn)。作。H1BC于H,過(guò)點(diǎn)4作力GLBC于G,交B。于點(diǎn)E,連接EC,

若存在OC=OP,貝此。PC=NOCP,

???△48C是等邊三角形，

：.ABAC=^ACB=60°f

"OPC=乙APB=180°-ABAC-Z1=120°-zl,

.?zOCP=180°-AACB-Z2=120°-z2,

.?.41=z2,

,：AG1BC,

.?23=^BAC=30°,BG=CG,

.t.BE=CE,

???41=42,AB=CD=V3,N3=/ODC=30。,

??.△ABE三△DCO(ASA),

：.BE=CO,

又?：BE=CE,

.,.CE=CO,

設(shè)NEBG=a,貝=Z.EBG=a,

：.Z-OEC—(COP=2a,

vzl=乙ABC—Z.EBG=60°—a,

：.^OPC=(OCP=120°-Z1=60°+a,

.?在△OPC中，2(60。+戊)+2a=180。，

：.a=15°,

...Zl=45°=z2,

???在RtZk?！薄Ｖ?，40cH=45。,

.-.CH=OH,

???在Rt^OD”中，ZODH=30°,

.-.OH=^OD=^r=CH,

:.HD=*

■:CH+HD=CD,

方+爭(zhēng)=后

解得r=3-V3,

此時(shí)4。=4。一茨=百，OH=夕=^^,

???當(dāng)平移距離4。為舊時(shí)，OC=OP,此時(shí)點(diǎn)。到直線BC的距離為萼.

解法二：存在。C=OP的情形，理由如下：

過(guò)點(diǎn)。作。H18C于H,

若存在OC=OP,則NOPC=NOCP,

???△ABC是等邊三角形，

.-.Z.BAC=乙ACB=60°,

.?ZOPC=4APB=180°-ABAC-Z1=120°-Z1,

：./.OCP=180°-4ACB一42=120°-Z2,

.,.zl=z2,

-/.BAO=乙CHO=90°,

△BAO-ACHO,

OA_OH

：''AB~'CHf

???在RtZkODH中,zOflH=30°,

.-.OH=^OD=^r,

...HO=等，

■.CH=CD—HD=W-凈,

又?.?。人=AD—r=3—r,

化簡(jiǎn)得3—廠=￡：

解得ri=3+g,r2=3-V3,

經(jīng)檢驗(yàn)，廠1，廠2都是方程①的解，

\'0A=3—r>0,

???r<3,

???r=3—V3,

此時(shí)力。=4。-r=OH=，=p,

當(dāng)平移距離4。為g時(shí)，OC=OP,此時(shí)點(diǎn)。到直線BC的距離為等.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形和圓的綜合題，運(yùn)用到了圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角函數(shù),

弧長(zhǎng)公式，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角

和定理，含30。的直角三角形的性質(zhì)等眾多知識(shí)點(diǎn)，復(fù)雜程度高，綜合性強(qiáng).

題型03與圓有關(guān)的翻折問(wèn)題

7.(2023?安徽淮南?一模)如圖，已知，4B是O。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn).

(1)如圖①，將前沿弦力C翻折，交力B于。，若點(diǎn)。與圓心。重合，AC=2V3,則。。的半徑為；

(2)如圖②，將前沿弦BC翻折，交力B于。，把前沿直徑4B翻折，交BC于點(diǎn)￡

(I)若點(diǎn)K恰好是翻折后的血的中點(diǎn)，貝此B的度數(shù)為；

(II)如圖③，連接DE,若48=10,OD=1,求線段DE的長(zhǎng).

【答案】(1)2

(2)(I)22.5°；(n)DE=2V5

【分析】Q)過(guò)點(diǎn)。作OM14C,垂足為M,結(jié)合垂徑定理，在Rt△AOM中求得NOAM=30。,再由。4=—病

即可求解；

(2)a)連接C4、CD、DE,可以得到AC=CD=DE=EB,進(jìn)而得到=放在直角三角形△4C8

中，利用互余建立NB的方程；

(II)連接連接乙4、CD、OC,由(I)知，47=CD=DE,貝=由。4=。。，貝I」N4=N4C。，進(jìn)

而可證得△CADOAC,利用其性質(zhì)求得4C,即為DE.

【詳解】（1）解：如圖①，過(guò)點(diǎn)。作。Ml4C,垂足為m，交圓于點(diǎn)N,貝|4M=MC=

?.?將前沿弦"翻折，交4B于。，點(diǎn)。與圓心O重合，

■，OM=MN=^ON=^OA,

在Rt△力。M中，sinzOXM==|，

.-.AOAM=30°,

AMV3

,初=cosL=苧=2,

.??。。的半徑為2,

故答案為：2；

(2)(I)如圖②，連接C4CD、DE,

???點(diǎn)E恰好是翻折后的麗的中點(diǎn)，

；,DE—EB,

'：Z-ABC=Z-DBC—乙DBE,

.,.AC=CD=DE,

；.AC=CD=DE=EB,

.,.乙EDB=乙B,

：.Z-DCE—乙DEC=Z.EDB+Z-B=2(B,

;ZCAD=Z-CDA—Z-DCE+Z-B—3iB,

MB是直徑，

：.^ACB=90°,

：.Z-CAD+zB=90°,

???4乙8=90°,

.,.Z-B=22.5°,

故答案為：22.5°；

（ID如圖③，連接連接ca、CD、oc,

B

N②③

①

-AB=10,。0=1,

?\OA=^AB=5,AD=OA—OD=5—1=4,

由(I)知，AC=CD=DE,則=

又???。4=。。，則

：.Z-ADC=Z-ACO,Z-A=Z-A,

??.△CADOACf

ADAC口口4AC

--=---,即—=—,

ACOA11AC5'

'-AC=2V5,

:.DE=2V5.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解直角三角形，三角形相似等知識(shí)點(diǎn)，(2)(I)的關(guān)鍵是找到所對(duì)的三

段弧都相等，進(jìn)而得到幾個(gè)等腰三角形；(H)的關(guān)鍵是把求DE轉(zhuǎn)化成求/C,再考慮相似.

4

8.(2022?河北保定?一模)RtAABC,NC=90。，BC=6,tanB=E,尸分別在AC,BC邊上，且EF=5,

將△EFC沿EF翻折至△EF。位置.以EF為直經(jīng)作半O0；

1心￡~\

(1)CF=3時(shí)，CC'=_________,。至!MB的距離=_

(2)若以尸，C,￡為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求CF的長(zhǎng);

(3)在(2)的條件下，求點(diǎn)。至!MB的距離；

(4)2\EFC的面積最大是

⑸直接寫出半圓。過(guò)的外心時(shí)，CF的值.

【答案】(1后

(2)CF=3或4

(3)。。=磊喔

(<

(5)CF=3

【分析】(1)先利用正切的定義求出4C=8,由勾股定理求出48=10,CE=4,得到EF是△ABC的中位線,

則明38,證明CL14B,點(diǎn)。在4B上，由等積法即可得到07=1，由點(diǎn)。至叢8的距離是點(diǎn)C至1的距

離的一半，即可得到點(diǎn)。至IJ48的距離是?；

(2)分△EFCABC和△FEC4BC兩種情況分別進(jìn)行求解即可；

(3)連接。4OB,0C,過(guò)。分另ij作。。_L48于。，0M1BC^M,ONLAC于N.分兩種情況分別進(jìn)行

求解即可；

⑷在△￡■?金,hEF<0C=^EF=l，貝USAE%WJX5XJ=手，即可得到答案；

ZZZZ4

(5)建立直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)4(8,0),8(0,6)得到力2的中點(diǎn)。為(4,3),設(shè)尸(0,y),F(x,0),則。gx4y),由

題意得,解方程組即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖,

RtAXBC,ZC=9O°,BC=6,tanB=14,

4

.t.AC=BC-tanB=6x-=8,

'-AB=、AC2+BC2=482+62=10,

vzC=90°,CF=3,EF=5f

：.CE=7EF2一CF2=V52-32=4,

：.CE=^AC,CF=^BC,

；.EF是△ABC的中位線，

.-.EFWAB,

■：CC1EF,且EF平分CO,

點(diǎn)。在AB上，

■：^AB-hAB=^AC-BC,

7AC-BC8x624

?'=寸=丁=三,

24

???點(diǎn)0至MB的距離是點(diǎn)C至必B的距離的一半,

二點(diǎn)O到4B的距離是3

故答案為：葛，卷

4

(2)??-ZC=9O°,BC=6,tanB=

.4_4C4_AC

"3~BC'3-6'

.■.AC=8,由勾股定理，得4B=10.

①當(dāng)喘=辭=案時(shí)，△EFCMABC；

解得CF=3,C￡=4；

②當(dāng)胎=需=葛時(shí)，AFECSAABC；

解得CF=4,CE=8.

：.CF=3或4；

(3)由(2)和⑴可知，CF=3時(shí)，。到48的距離為孩；

連接。4OB,0C,過(guò)。分別作。D14B于。，0M1BC于〃，ONLAC于■N.

B

D

NE八

???。為EF中點(diǎn),/-ACB=90°,

：.0M||EC,ON||FC.

■：0M=^CE,ON=^FC,

當(dāng)CF=4時(shí)，CE=3.

3

：.0M=-fON=2.

?,S△AOC+Smoc+S^AOB=S^ABC，即-BC+g°N-AC+^0D-AB=^BC-AC,

.-.1x|x6+|x2x8+10Dx10=|x6x8.解得0D=養(yǎng)

同理當(dāng)。尸=3時(shí)，CE=4.

；QN=：3,0M=2.

x2x6+|x|x8+\0Dxl0=1x6x8,

.?.0￡>=y;

故。D=fl或5

(4)?.?在△EFC中，hEF<0C=lEF=l，

c,1L525

:54EFC<-x5x-=—,

故答案為：生

(5)如圖，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,

???點(diǎn)2(8,0),B(0,6),

MB的中點(diǎn)。為(4,3),

設(shè)尸(0,y)，E(x,0),

則0備，初，

x2+y2=52

2

由題意得,*4)1—3)=(1)"

-2

解得t片.

;?CF=y=3.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、三角形中位線定理、三角形的

外心的性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵.

9.(2021?貴州黔西?模擬預(yù)測(cè))如圖，已知4B為。。的直徑，CD為弦.CD=4?4B與CD交于點(diǎn)E,將而

沿CD翻折后，點(diǎn)/與圓心O重合，延長(zhǎng)B4至P,使4P=。力，連接PC.

⑴求。。的半徑;

(2)求證：PC是。。的切線;

(3)點(diǎn)N為將的中點(diǎn)，在PC延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)連接MN交48于點(diǎn)G.交前于點(diǎn)尸(尸與3、C不重

合).求NG?NF的值.

【答案】(1)4；

(2)見解析;

(3)32.

【分析】(1)連接OC,根據(jù)翻折的性質(zhì)求出CD1O4再利用解直角三角形求解即可；

(2)利用勾股定理列式求出尸C,然后利用勾股定理逆定理求出“。。=90。，再根據(jù)圓的切線的定義證明即

可；

(3)連接M4、AF、NB,根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得48/2乙4網(wǎng)，然后根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等兩三角

相似求出A4NG和相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得黑=常，從而得到再根據(jù)

IMrIMn

等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)如圖，連接。C,

???麗沿CD翻折后，點(diǎn)N與圓心。重合，

：.OE=AE^OA,

?MB為。。的直徑，CD為弦.

■?■CDLOA,CE=-CD=2V3,

.-.ZCFO=90°,

■■■OC=OA,0E=AE=g0A,

.?.sin/OCE嶗=1,

：.Z.ECO=30°,

rp

又C0S4EC0=77,

AL

(2)■■-PA=OA=4,AE=OE=2,CE=^CD=2V3,4CEP=4OEC=9Q°,

：.PC=\lEC2+PE2=^62+(2A/3)2=4V3,

■.■OC=4,尸O=4+4=8,

：.PC2+OC2=(4V3)2+42=64=PO2,

.-.ZPCO=90°,

??.PC是OO的切線；

(3)NGWF是定值，證明如下，

連接M?并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)，，連接

???點(diǎn)N為碗的中點(diǎn)，

.?ZNOG=90°,

"HFN=90°,d乙ONG=LFNH,

■■AONG-AFNH,

ON_NG

而一而

:,NG*NF=ON?NH=4xg=32.

I/

o\G

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題型，主要利用了翻折變換的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圓

的切線的定義以及解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造出相似三角形.

題型04與圓有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

10.（2023?江蘇常州?一模）如圖1,將一個(gè)三角形紙板△28C繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。到達(dá)△ABC的位置，那么

可以得到：AB=AB',AC=AC,BC=B'C,ABAC=^B'AC,乙ABC=AAB'C,乙ACB=LAC

B'.（）圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖

形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵.故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué).

\3c

---飛A1-

圖1圖2

（1）上述問(wèn)題情境中“（）”處應(yīng)填理由：；

（2）如圖2,將一個(gè)半徑為4cm,圓心角為60。的扇形紙板ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到達(dá)扇形紙板48c的位

置.

①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)。；

②如果BB，=6cm,則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為cm；

（3）如果將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置.另一個(gè)在弧

的中點(diǎn)處固定，然后放開紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止.此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少（如圖

3）?

【答案】（1）旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等

（2）①作圖見詳解；

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解；

（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)處即可求解;②根據(jù)弧長(zhǎng)公式的計(jì)算方法即可求解;

（3）如圖所示，連接P4交4C于點(diǎn)M,連接P4交49于點(diǎn)N,連接PD,AAr,PB',PC,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可

得P4=尸4=4,Z-PAC=Z-PA1B,=30°,可求出PM,A'M,S^ADP=SAADP，再根據(jù)S陰影夕=S扇形星一

^AA'DP9=5扇形"?！?人40尸，陰影部分的面積為s陰影星￡）尸+S陰影以^,由此即可求解.

【詳解】(1)解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等,

.??應(yīng)填理由為：旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，

故答案為：旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；

(2)解：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心為對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)，作圖如下：

②如圖所示，點(diǎn)B繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到所,

.-.ABOB'=90°,OB=OB',且BB'=6cm,

.?.在Rt△BOB'中，OB=OB'=浮BB，=乎x6=3VL

?.?BB'=懿X2n-OB=：x2兀X3a=吸，

故答案為：乎兀；

(3)解：如圖所示，連接P4交4C于點(diǎn)M,連接P4交49于點(diǎn)N,連接P￡>,AA',PB',PC,

：.Z.PAC=Z.PAB=jzBXC=30°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，/-PA'B'=/.PA'C=Z.PAB=Z.PAC=30°,PA=PA'=4cm,PA'1AC,

在Rt/XPZM中，APAM=30°,PA=4cm,

.-.sinzPAM=sin30°=則PM=PAsin30°=3PA=2cm,則AM=PA'-PM=4-2=2,

在中，4P4方=30。，4M=2,

.t-cosZ.PA'D-cos30°=—,則4。=A]^=73=

A'Dcos30H3

??.0M=^A'D=qx竽=竽

:^AA'DP=5尸=-x4x竽=竽,S扇形p4B，=而;xm(P4)2=-x7rx42=3^,

???陰影部分S陰影PB，°=S扇形P4￡-S&A，DP=嚴(yán)一竽=4"J-'

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),問(wèn)理,S&ADP=^AA,DP=，S扇形4PC=S扇形P40=—,

：?陰影部分S陰影PCD=S扇形APC—S^ADP=5兀—^^巨，

???陰影部分的面積為S陰影PB，D+s陰影PCD=上乎+出手=號(hào)竺

【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)中心的確定，弧長(zhǎng)公式的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30。

的直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)的計(jì)算方法，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算方法，不規(guī)則圖形面

積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

11.(2023?廣東云浮?二模)如圖，A,B,C是。。上的三點(diǎn)，且AB=4C,BC=8,點(diǎn)D為優(yōu)弧BDC上的

動(dòng)點(diǎn)，且COSNABC，.

(1)如圖1,若乙BCD=4ACB,延長(zhǎng)DC到R使得CF=C4,連接AF,求證：2F是。。的切線；

(2)如圖2,若NBCD的角平分線與4D相交于￡,求。。的半徑與4E的長(zhǎng)；

(3)如圖3,將△力BC的BC邊所在的直線人繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)得到以直線％與。。相交于跖N,連接AM,AN.l2

在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，4MMN的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，說(shuō)明變化規(guī)律.

【答案】(1)見解析

(2)。。的半徑為高AE=5

(3兒在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，AN的值不發(fā)生變化，其值為25

【分析】

(1)連接2。，先證NBCD=4BC,推出AB||DF,得到四邊形ABCF是平行四邊形，AFWBC,再得到

0A1AF,即可證得結(jié)論；

(2)連接40交BC于笈，連接。B,由垂徑定理得BH=CH=為C=4,根據(jù)cos/ABC=等=±求出

ZAD5

OR

48=5,設(shè)O。的半徑為x,則。4=0B=x,0H=x—3,在Rt^BOH中，由勾股定理求出％=等，O。

6

的半徑為名，根據(jù)角平分線定義及同弧所對(duì)圓周角相等得到4EC=〃CB+NBCE=2CE,由此得到

O

AE=AC=AB=5；

(3)連接40,并延長(zhǎng)4。交。。于0,連接NQ,過(guò)點(diǎn)/作4P1Z2于尸，證明△AQM-aaNP,得到

AM-AN=AP-AQ,由(2)可知，點(diǎn)/到直線人的距離為3,直線％繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)得到%，/到直線，2的距離

始終等于3,不會(huì)發(fā)生改變，由此得到4M?4V=4PSQ=3Xy=25.

【詳解】(1)證明：連接4。，如圖1所示：

-AB=AC,

：.Z-ABC=Z-ACB,

??,ZJBCD=Z-ACB,

:.(BCD=Z.ABC,

-.AB||OF,

-CF=CA,

：.CF=AB,

???四邊形/BCF是平行四邊形，

-.AFWBC,

-AB=AC,

：.AB=AC,

.\OALBC,

^0A1AF,

???。/是。。的半徑，

“F是。。的切線；

圖1

(2)解：連接4。交BC于77,連接0B,如圖2所示：

?：0A1BC,

；.BH=CH=次=4,

“c-BH4

vcosZ.ABC

AD5

.-.AB=^BH=^X4=5,

在Rt△力HB中，由勾股定理得：AH=7AB2—BH2="2—42=3,

設(shè)O。的半徑為x,則。4=。8=刈OH^x-3,

在RtZ\B?！敝?，由勾股定理得：/=(%—3)2+42,

解得：”=得，

O

.?.o。的半徑為當(dāng)，

O

???CE平分乙BCD,

：.Z-BCE=Z.DCE,

,：Z-ABC=Z-ADCf

：.Z.AEC=Z-ADC+Z.DCE=Z.ABC+Z.DCE=乙ACB+乙BCE=Z.ACE,

.,.AE=AC=AB=5；

圖2

(3)解：連接40,并延長(zhǎng)4。交。。于。，連接NQ,過(guò)點(diǎn)工作4P1%于P,如圖3所示:

則4?是O。的直徑，

：.Z-AMQ=90°,

?：AP112,.?2/PN=90。，

???乙4MQ=乙APN,

-Z-AQM=乙ANP,

AAQM

AM_AQ

"'AP~ANf

.-.AM-AN=AP-AQ,

由(2)可知，點(diǎn)/到直線。的距離為3,直線。繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)得到%，

???點(diǎn)4到直線，2的距離始終等于3,不會(huì)發(fā)生改變，

：.AP=3,

2525

?41Q=2O4=2X§=§,

63

24

.?.aMSN=aPMQ=3x號(hào)=25,

??G在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，AN的值不發(fā)生變化，其值為25.

圖3

【點(diǎn)睛】

此題考查銳角三角函數(shù)，證明直線是圓的切線，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾

股定理，垂徑定理，等知識(shí)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

12.如圖1,己知乙48。=60。，點(diǎn)。在射線BC上，且0B=4.以點(diǎn)。為圓心，＞0)為半徑作。0,交

直線8C于點(diǎn)。，E.