2025年新高考數(shù)學壓軸題講義：概率與統(tǒng)計下的新定義（五大題型）（學生版）

專題03概率與統(tǒng)計下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：二項式定理新定義

題型二：排列組合新定義

題型三：概率新定義

題型四：統(tǒng)計方法新定義

題型五：信息墻問題

【方法技巧與總結】

解概率與統(tǒng)計下的新定義題，就是要細讀定義關鍵詞，理解本質特征，適時轉化為“熟悉”問題.總之，

解決此類問題，取決于已有知識、技能、數(shù)學思想的掌握和基本活動經(jīng)驗的積累，還需要不斷的實踐和反

思，不然就談不上“自然”的、完整的解題.

【典型例題】

題型一：二項式定理新定義

【典例1-1】(2024?湖南衡陽?二模)莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應用.所有大于1的正整數(shù)〃都可以被

唯一表示為有限個質數(shù)的乘積形式：〃=…P?"為"的質因數(shù)個數(shù)，P,為質數(shù)，々21/=1,2,…,左)，

例如:90=2x32x5>對應后=3,==2,必=3，A=5,4=1,々=2,4=1.現(xiàn)對任意〃eN*,定義莫比烏斯函數(shù)

\,n—\

〃(〃)=<(-1)<力=&=.??=〃=1

0,存在乙>1

⑴求〃(78),〃(375)；

(2)若正整數(shù)X，/互質，證明：〃(孫)=〃(x)〃(y)；

⑶若且〃(〃)=1,記〃的所有真因數(shù)(除了1和”以外的因數(shù))依次為可，出，…，緇，證明：

〃(4)+〃(％)+…+〃(％,)=-2.

【典例1-2](2024?安徽合肥?一模)“q~數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設是非零實數(shù)，對任意〃eN*,

定義“4-數(shù)”(嘰=1+q+…+q-1利用“q~數(shù)”可定義“q~階乘”⑺!產(chǎn)0)52%…(心，且⑼!=1.和“4-組合

(ri'}(n)'

數(shù)”，即對任意上eN,〃eN*,《W”，,

IQ(嘰("一后兒

5

⑴計算:

2

（2）證明：對于任意左,〃eN*,左+14〃

（3）證明：對于任意上eN,”eN*,左+14〃，

【變式1-11（2024?高三?江蘇蘇州?階段練習）甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對象，設棱長為〃，

若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構成三角形,定義隨機變量X

的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條，定義隨機變量J的

值為這兩條棱的夾角大小（弧度制）；若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，定義隨機變量”的值為這兩條棱

的夾角大小（弧度制）.

（1）比較三種隨機變量的數(shù)學期望大??；（參考數(shù)據(jù)

/1—\

arctanV5?0.3661,arctan——x0.2677,arctanx0.398）

I2J

（2）現(xiàn)單獨研究棱長〃，記（x+l）x[x+g]x…+且〃eN*）,其展開式中含x項的系數(shù)為S.,含產(chǎn)

項的系數(shù)為4.

①若?=病+加+。，對〃=2,3,4成立，求實數(shù)。，b,c的值；

②對①中的實數(shù)。，b,。用數(shù)字歸納法證明：對任意〃22且〃eN*,?=病+加+。都成立.

題型二：排列組合新定義

【典例2-1】（2024?高三?北京?階段練習）設"為正整數(shù)，集合/={a|a=（4,小…工,）},4e{0,1},笈=1,2,.

對于集合A中的任意元素a=（占/2,…,x“）和/?=（/,%,???/“），定義

d[a,P）=\xi-y^+\x2-y^+---+\xn-yn\.

⑴當〃=4時，若a=（0,1,0,1）,皆=（1,1,0,1）,直接寫出所有使d（a，7）=2,d（/，7）=3同時成立的A的元素7；

⑵當〃=3時，設B是A的子集，且滿足：對于3中的任意兩個不同元素a,/7,d(c,0W2.求集合B中元素個

數(shù)的最大值；

⑶給定不小于2的〃，設&是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素a,/7,?(G,￡)22,寫出

一個集合8,使其元素個數(shù)最多，并說明理由.

【典例2-2](2024?高三?浙江?開學考試)一般地，〃元有序實數(shù)對(為,出，…，％)稱為〃維向量.對于兩個〃維向

量3=(°],%,-、%),3=3也「一也)，定義：兩點間距離d=J(4_+(4_/)+…+("_aJ'利用"維

向量的運算可以解決許多統(tǒng)計學問題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計算向量與每個標準

點的距離或，與哪個標準點的距離口最近就歸為哪類.某公司對應聘員工的不同方面能力進行測試，得到業(yè)

務能力分值(%)、管理能力分值(電)、計算機能力分值(%)、溝通能力分值(%)(分值％€?0€{1,2,3,4}代表

要求度，1分最低，5分最高)并形成測試報告.不同崗位的具體要求見下表：

業(yè)務能力分值管理能力分值計算機能力分值溝通能力分值合計分

岡t-Lj位

(%)(。2)(?3)(?4)值

會計⑴215412

業(yè)務員

523515

(2)

后勤(3)235313

管理員

454417

(4)

對應聘者的能力報告進行四維距離計算，可得到其最適合的崗位.設四種能力分值分別對應四維向量

￡=(弓,°2，。3，。4)的四個坐標.

(1)將這四個崗位合計分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；

(2)小剛與小明到該公司應聘，己知：只有四個崗位的擬合距離的平方屏均小于20的應聘者才能被招錄.

⑴小剛測試報告上的四種能力分值為瓦=(4,3,2,5),將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個點，將四種職業(yè)

1、2、3、4的分值要求看成樣本點，分析小剛最適合哪個崗位；

(ii)小明已經(jīng)被該公司招錄，其測試報告經(jīng)公司計算得到四種職業(yè)1、2、3、4的推薦率(p)分別為

14^3_9_2_f_d：、

43543543J43^"-d；+d；+d；+%試求小明的各項能力分值.

題型三：概率新定義

【典例3-1](2024?浙江?一模)混管病毒檢測是應對單管病毒檢測效率低下的問題，出現(xiàn)的一個創(chuàng)新病毒檢測

策略，混管檢測結果為陰性，則參與該混管檢測的所有人均為陰性，混管檢測結果為陽性，則參與該混管

檢測的人中至少有一人為陽性.假設一組樣本有N個人，每個人患病毒的概率相互獨立且均為

P(O<P<1).目前，我們采用K人混管病毒檢測，定義成本函數(shù)/(X)=§+XX,這里X指該組樣本N個

人中患病毒的人數(shù).

⑴證明：￡[/(X)]>2^-2V;

(2)若OvpvlCT4,10WK420.證明：某混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人

為陽性.

【典例3-2】(2024?遼寧?模擬預測)條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念.近年來，隨著人們對

隨機現(xiàn)象的不斷觀察和研究，條件概率和條件期望已經(jīng)被廣泛的利用到日常生產(chǎn)生活中.定義：設X,丫是離

散型隨機變量，則X在給定事件丫=了條件下的期望為

=y)=比x「p(x=x,.|r=j)=*,其中｛x15x2,???,%?｝為x的所有可能取值集合，

Z=1Z=1

尸(x==力表示事件“x=x”與事件“丫=》”都發(fā)生的概率.某射擊手進行射擊訓練，每次射擊擊中目標

的概率均為p(0<p<l),射擊進行到擊中目標兩次時停止.設j表示第一次擊中目標時的射擊次數(shù)，〃表示第

二次擊中目標時的射擊次數(shù).

(1)求尸(J=2,〃=5),尸(〃=5)；

(2)求￡?〃=5),￡?〃=磯〃22).

【變式3-1](2024?福建漳州?一模)在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列，發(fā)送每個信號數(shù)字之間

相互獨立.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.

⑴記發(fā)送信號變量為X，接收信號變量為y,且滿足P(x=o)=；,尸(y=i|x=o)=g,尸(y=0|x=i)=：,

求/。=o)；

(2)當發(fā)送信號0時，接收為0的概率為1，定義隨機變量〃的“有效值"為'=xJ座(〃=碧)(其

4z=i

中乙是〃的所有可能的取值，:1,2,…,〃)，發(fā)送信號“000”的接收信號為“弘%%”，記4為乂，%,%三個

數(shù)字之和，求J的“有效值(1g3no.48,1g2Mo.30)

題型四：統(tǒng)計方法新定義

【典例4-1](2024?全國?模擬預測)某校20名學生的數(shù)學成績x,(i=1,2,…,20)和知識競賽成績乂(i=1,2,…,20)

如下表：

學生編號i12345678910

數(shù)學成績X,100999693908885838077

知識競賽成績%29016022020065709010060270

學生編號i11121314151617181920

數(shù)學成績X,75747270686660503935

知識競賽成績力4535405025302015105

20

計算可得數(shù)學成績的平均值是方=75,知識競賽成績的平均值是歹=90,并且-可-=6464,

z=l

2020

￡5-7)=149450,￡伍-可(%-力=21650.

z=li=l

(1)求這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的樣本相關系數(shù)(精確到0.01).

⑵設NeN*,變量無和變量》的一組樣本數(shù)據(jù)為｛(即片)Ii=1,2,…,N｝,其中七(i=1,2,…,N)兩兩不相同,

%(i=L2,…,N)兩兩不相同.記若在｛x,|〃=l,2,…,N｝中的排名是第4位,%在｛%|〃=1,2,…,N｝中的排名

是第S,位，i=l,2,…,N.定義變量x和變量V的“斯皮爾曼相關系數(shù)”(記為。)為變量x的排名和變量V的排

名的樣本相關系數(shù).

6N

⑴記4=K-Sj,，=1,2,…,N.證明：P=l-N(N之一個^片，

(ii)用⑴的公式求這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關系數(shù)”(精確到0.01).

(3)比較(1)和(2)(ii)的計算結果，簡述“斯皮爾曼相關系數(shù)”在分析線性相關性時的優(yōu)勢.

n

V(x.-y]

汪：參考公式與參考數(shù)據(jù).〃=I,一“=;?=-^——2-------；76464x149450?31000.

加門迂(yfI6

Vi=li=l

【典例4-21(2024?全國?模擬預測)冰雪運動是深受學生喜愛的一項戶外運動，為了研究性別與學生是否喜愛

冰雪運動之間的關系，從某高校男、女生中各隨機抽取100名進行問卷調查，得到如下列聯(lián)表(加440,冽eN).

喜愛不喜愛

男生80-m20+加

女生60+冽40—m

(1)當〃?=0時，從樣本中不喜愛冰雪運動的學生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨

機抽取3人調研不喜愛的原因，記這3人中女生的人數(shù)為求4的分布列與數(shù)學期望.

⑵定義K?=￡(4廠紇1(2Vi<3,2VJ<3,Z,7'6N),其中4/為列聯(lián)表中第i行第?/列的實際數(shù)據(jù)，處為

『Bu

列聯(lián)表中第i行與第J列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總額數(shù)得到的理論頻數(shù)，如4口=80-%，

=1^x1^x200=70.基于小概率值a的檢驗規(guī)則：首先提出零假設〃。(變量X,/相互獨立)，然后

計算K2的值，當K22x“時，我們推斷〃。不成立，即認為X和y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過a；

否則，我們沒有充分證據(jù)推斷〃。不成立，可以認為x和y獨立.根據(jù)K2的計算公式，求解下面問題：

①當機=0時，依據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，分析性別與是否喜愛冰雪運動有關？

②當機<10時，依據(jù)小概率值e=0.1的獨立性檢驗，若認為性別與是否喜愛冰雪運動有關，則至少有多少

名男生喜愛冰雪運動？

附：

a0.10.0250.005

Xa2.7065.0247.879

【變式4-1](2024?高三?北京?期末)在測試中，客觀題難度的計算公式為々=爺，其中￡為第i題的難度，段

為答對該題的人數(shù)，N為參加測試的總人數(shù).現(xiàn)對某校高三年級240名學生進行一次測試,共5道客觀題.測

試前根據(jù)對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：

題號12345

考前預估難度E0.90.80.70.60.4

測試后，隨機抽取了20名學生的答題數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，結果如下:

題號12345

實測答對人數(shù)161614144

(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計這240名學生中第5題的實測答對人數(shù)；

(2)從抽樣的20名學生中隨機抽取2名學生，記這2名學生中第5題答對的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學

期望；

⑶定義統(tǒng)計量S」[(K-4)2+(周-5了+，.+?一耳溝，其中E為第i題的實測難度，月為第i題的預估難度

n1

(；1,2,…規(guī)定：若S<0.05,則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理.判斷本次測試的難度預估

是否合理.

題型五：信息埔問題

【典例5-1](2024?高三?河北?階段練習)信息嫡是信息論之父香農(nóng)(5桁仞0〃)定義的一個重要概念，香農(nóng)在1948

年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱

為“信息蠟”，并給出了計算信息燧的數(shù)學表達式：設隨機變量X所有可能的取值為1,2,…,〃(〃eN*),且

P(X=i)=月>0("1,2,…p,=1,定義X的信息燧H(X)=p,log?A.

i=li=\

(1)當”=1時，計算”(X)；

(2)若p，=L(i=l,2「、〃)，判斷并證明當〃增大時，H(X)的變化趨勢；

n

(3)若"=2小("7€]\*),隨機變量y所有可能的取值為1,2,…,加，且尸(￥=/)=夕/+。2“+1-/(/=1，2「-,加)，證

明:

【典例5-2】(2024?高三?河北?期末)在信息論中，端(entropy)是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又

被稱為信息燃、信源焙、平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件、樣本或特征.(燧最好理

解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的嫡越大)來自信源的另一個特征是樣本的概

率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當它發(fā)生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把

信息(嫡)定義為概率分布的對數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構成了一個隨機

變量，這個隨機變量的均值(即期望)就是這個分布產(chǎn)生的信息量的平均值(即熠).燧的單位通常為比特，但也

用Sh、nat、Hart計量，取決于定義用到對數(shù)的底.采用概率分布的對數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.

例如，投擲一次硬幣提供了ISh的信息，而擲力次就為加位.更一般地，你需要用log?〃位來表示一個可以

取〃個值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農(nóng)將熱力學的嫡，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)滴.

而正是信息烯的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國物理學家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學第二定律的可能性

而設想的麥克斯韋妖理論被推翻.設隨機變量4所有取值為1,2,…，力，定義J的信息嫡”(9=-￡片1崎E，

i=l

(￡々=1,/=1,2,???,?).

z=l

(1)若〃=2,試探索J的信息幅關于耳的解析式，并求其最大值；

(2)若<=2=吩-罪+1=2只(斤=2,3,…,〃)，求此時的信息燧.

【變式5-1](2024?安徽合肥?模擬預測)在一個典型的數(shù)字通信系統(tǒng)中，由信源發(fā)出攜帶著一定信息量的消息，

轉換成適合在信道中傳輸?shù)男盘?，通過信道傳送到接收端.有干擾無記憶信道是實際應用中常見的信道，信

道中存在干擾，從而造成傳輸?shù)男畔⑹д?在有干擾無記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個取值占,々，…,與的

隨機變量，分別記作X和八條件概率尸(Y=x/X=xJ,i,/=l,2,…,〃，描述了輸入信號和輸出信號之間統(tǒng)

計依賴關系，反映了信道的統(tǒng)計特性.隨機變量X的平均信息量定義為：〃(')=-^>('=4)1。&=R

Z=1

當〃=2時，信道疑義度定義為

22

X)=_XZ0(X=,，log4￥=引x=@=_[p(X=%y=jq)log2°(丫=,X=x^

/=1>1

+P(X=x1,y=x2)log2/?(y=x2\X=xJ+P(X=X2,Y=xjlog2p(Y=再|x=%2)

+尸(x=4,y=9)k>g2y=司x

(i)設有一非均勻的骰子，若其任一面出現(xiàn)的概率與該面上的點數(shù)成正比，試求扔一次骰子向上的面出現(xiàn)的

點數(shù)X的平均信息量(1嗎3。L59,10g25。2.32,10g27。2.81)；

(2)設某信道的輸入變量X與輸出變量丫均取值0,1.滿足：

尸(x=o)=o,p(y=i|x=o)=0(y=o|x=i)=p(o<o<i,o<p<i).試回答以下問題；

①求尸(y=o)的值；

②求該信道的信道疑義度”(Kx)的最大值.

【過關測試】

1.(2024?高三?全國?專題練習)定義：int(x)為不超過x的最大整數(shù)部分，如int(2.3)=2,int(-2.3)=-3.甲、

乙兩個學生高二的6次數(shù)學測試成績(測試時間為90分鐘，滿分100分)如下表所示：

高二成績第1次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試

甲687477848895

乙717582848694

進入高三后，由于改進了學習方法，甲、乙這兩個學生的數(shù)學測試成績預計有了大的提升.設甲或乙高二

的數(shù)學測試成績?yōu)閤,若10int(?)+x-[int(6)『W100，則甲或乙高三的數(shù)學測試成績預計為

lOint(五)+1-^10int(V7)+x-[int(^)]2>100,則甲或乙高三的數(shù)學測試成績預計為100.

(1)試預測：在將要進行的高三6次數(shù)學測試成績(測試時間為90分鐘，滿分100分)中，甲、乙兩個學生的

成績(填入下列表格內)；

高三成績第1次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試

甲

乙

(2)記高三任意一次數(shù)學測試成績估計值為人規(guī)定：fe[84,90],記為轉換分為3分；，e[91,95],記為轉換

分為4分；te[96,100],記為轉換分為5分.現(xiàn)從乙的6次數(shù)學測試成績中任意抽取2次，求這2次成績的

轉換分之和為8分的概率.

2.(2024?全國?一模)正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機變量的概率分布.對于一個給定的連續(xù)型

隨機變量X,定義其累積分布函數(shù)為尸(x)=P(XWx).已知某系統(tǒng)由一個電源和并聯(lián)的A,B,C三個元件

組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運行，電源及各元件之間工作

相互獨立.

⑴已知電源電壓X(單位：V)服從正態(tài)分布陽40,4),且X的累積分布函數(shù)為尸(x),求尸(44)-尸(38)；

(2)在數(shù)理統(tǒng)計中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時間間隔或等待時間.已知隨機變量7(單位：天)表示某

0,z<0

高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為G⑺=/>0.

(i)設證明：P(T>tl\T>t2)=P(T>t1-t2);

(ii)若第"天元件A發(fā)生故障，求第〃+1天系統(tǒng)正常運行的概率.

附：若隨機變量y服從正態(tài)分布N(〃口2),貝<7)=0.6827,P(|y-〃|<2。)=0.9545,

P(|Y3b)=0.9973.

3.為考查一種新的治療方案是否優(yōu)于標準治療方案，現(xiàn)從一批患者中隨機抽取100名患者，均分為兩組，

分別采用新治療方案與標準治療方案治療，記其中采用新治療方案與標準治療方案治療受益的患者數(shù)分別

為x和y.在治療過程中，用指標/衡量患者是否受益:若〃-則認為指標/正常;若/>〃+。，

則認為指標/偏高；若/則認為指標/偏低.若治療后患者的指標/正常，則認為患者受益于治療

方案，否則認為患者未受益于治療方案.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，受益于標準治療方案的患者比例為0.6.

⑴求E(y)和D(y)；

(2)統(tǒng)計量是關于樣本的函數(shù)，選取合適的統(tǒng)計量可以有效地反映樣本信息.設采用新治療方案治療第i位的

1,%>〃+cr

患者治療后指標/的值為七，i=l,2,…，50,定義函數(shù)：/(%,)=<0,]U-<T<xi<ju+a.

-1,&<

(i)簡述以下統(tǒng)計量所反映的樣本信息，并說明理由.

①/=|/(a)|+|/12)|+~+/to)|；

②3GJ+1]+/(")[/I?)+11+…+/toto-1].

"2,

(ii)為確定新的治療方案是否優(yōu)于標準治療方案，請在(i)中的統(tǒng)計量中選擇一個合適的統(tǒng)計量，并根據(jù)統(tǒng)

計量的取值作出統(tǒng)計決策.

4.（2024?高二?四川遂寧?期末）2020年新冠肺炎疫情期間，某區(qū)政府為了解本區(qū)居民對區(qū)政府防疫工作的滿

意度，從本區(qū)居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分100分），根據(jù)調查數(shù)據(jù)制成如下表格和頻率分布直方

圖，已知評分在［80,100］的居民有600人.

滿意度評分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100)

滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意

（1）求頻率分布直方圖中a的值及所調查的總人數(shù)；

（2）定義滿意度指數(shù)〃=（滿意程度的平均分）/100,若乙<0.8,則防疫工作需要進行大調整，否則不需要大

調整.根據(jù)所學知識判斷該區(qū)防疫工作是否帶要進行大調整？（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）

（3）為了解部分居民不滿意的原因，從不滿意的居民評分在［40,50）,［50,60）中用分層抽樣的方法抽取6名居

民，傾聽他們的意見，并從6人中抽取2人擔任防疫工作的監(jiān)督員，求這2人中僅有一人對防疫工作的評

分在［40,50）內的概率.

5.（2024?高三?北京?階段練習）設離散型隨機變量X和/有相同的可能取值，它們的分布列分別為

P（X=ak）=xk,P（Y=ak）=yk,xk>0,yk>Q,左=1,2,…，凡才/=力斤=1.指標D（X||F）可用來刻畫

k=lk=l

X和y的相似程度，其定義為。（Xlly）=t>/n連.設X?3（",p）,o<p<l.

*-=iyk

(1)若T?求D(Xl|y)；

(2)若〃=2,尸(丫=4一l)=g,左=1,2,3,求￡>(XUr)的最小值；

(3)對任意與X有相同可能取值的隨機變量y,證明：r>(xllr)>o,并指出取等號的充要條件

6.(2024?高三?河南?期末)某國家隊要從男子短道速滑1500米的兩名種子選手甲、乙中選派一人參加2022

年的北京冬季奧運會，他們近期六次訓練成績如下表：

次序(i)123456

甲(七秒)142140139138141140

乙(B秒)138142137139143141

(1)分別計算甲、乙兩人這六次訓練的平均成績小,2，偏優(yōu)均差備，乙；

(2)若|%-％|<2?=1,2,3,4,5,6),則稱甲、乙這次訓練的水平相當，現(xiàn)從這六次訓練中隨機抽取3次，求有

兩次甲、乙水平相當?shù)母怕?

注：若數(shù)據(jù)網(wǎng),X"中的最優(yōu)數(shù)據(jù)為加，定義<=:[(玉-％)2+(%-〃?)2+—+(%-%)[為偏優(yōu)均差.本題

中的最優(yōu)數(shù)據(jù)即最短時間.

7.(2024?全國?模擬預測)某醫(yī)科大學科研部門為研究退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)的關系，隨機調查了M市

100位退休人員，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:

患癡呆癥不患癡呆癥合計

上網(wǎng)163248

不上網(wǎng)341852

合計5050100

(1)依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，能否認為該市退休人員是否患癡呆癥與上網(wǎng)之間有關聯(lián)?

(2)從該市退休人員中任取一位，記事件/為“此人患癡呆癥”，8為“此人上網(wǎng)”，則N為“此人不患癡呆癥”,

定義事件/的強度匕=，在事件B發(fā)生的條件下A的強度為=?.

\-PyA)\-P\A\B\

（i）證明:

匕產(chǎn)（-4）

（ii）利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，估計g的值.

*2

附：/=______"(ad-bc》___

其中〃=4+Z?+c+d.

(q+6)(c+d)(〃+c)(6+d)

a0.0500.0100.001

%3.8416.63510.828

8.（2024?高三?山西朔州?開學考試）某校20名學生的數(shù)學成績毛?=1,2,…,20）和知識競賽成績

乂（:1,2,「20）如下表:

學生編號i12345678910

數(shù)學成績占100999693908885838077

知識競賽成績B29016022020065709010060270

學生編號/?11121314151617181920

數(shù)學成績占75747270686660503935

知識競賽成績％4535405025302015105

__207

計算可得數(shù)學成績的平均值是還75,知識競賽成績的平均值是亍=90,并且21,-》）"=6464,

1=1

（1）求這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；

（2）設NeN*,變量x和變量》的一組樣本數(shù)據(jù)為｛（4其亦=1,2,…,N｝,其中匕。=1,2,…,N）兩兩不相同,

%（i=1,2,…,N）兩兩不相同.記/在｛尤（〃=1,2,…,N］中的排名是第&位,%在｛yn\n=1,2,-,N］中的排名是

第S,位，i=1,2,…,N.定義變量x和變量J的“斯皮爾曼相關系數(shù)”（記為P）為變量x的排名和變量》的排名的

樣本相關系數(shù).

6N

⑴記4=K-Sj,，=1,2,…,N.證明：。=1-必、2T4力；

(ii)用⑴的公式求得這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關系數(shù)”約為0.91,簡述“斯皮爾曼相

關系數(shù)”在分析線性相關性時的優(yōu)勢.

注：參考公式與參考數(shù)據(jù).

y-y

t=.￡.2/("+l)(2"+l)

r=76464x149450?31000.

t")力…)2k=\6

Z=1Z=1

9.(2024?高二?湖北?階段練習)“難度系數(shù)”反映試題的難易程度，難度系數(shù)越大，題目得分率越高，難度也

就越小，“難度系數(shù)”的計算公式為工=1-5，其中L為難度系數(shù)，￥為樣本平均失分，少為試卷總分(一般

為100分或150分).某校高二年級的老師命制了某專題共5套測試卷(總分150分)，用于對該校高二年級

480名學生進行每周測試，測試前根據(jù)自己對學生的了解，預估了每套試卷的難度系數(shù)，如下表所示：

試卷序號i12345

考前預估難度系數(shù)40.70.640.60.60.55

測試后，隨機抽取了50名學生的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，結果如下:

試卷序號i12345

平均分/分10299939387

(1)根據(jù)試卷2的預估難度系數(shù)估計這480名學生第2套試卷的平均分；

(2)試卷的預估難度系數(shù)和實測難度系數(shù)之間會有偏差，設4為第i套試卷的實測難度系數(shù)，并定義統(tǒng)計量

,222

S=1[(ZI-/,.)+(^-Z2)+--+(Z；-Z?)],若S<0.001,則認為試卷的難度系數(shù)預估合理，否則認為不

合理.以樣本平均分估計總體平均分，試檢驗這5套試卷難度系數(shù)的預估是否合理.

(3)聰聰與明明是學習上的好伙伴，兩人商定以同時解答上述試卷易錯題進行“智力競賽”，規(guī)則如下：雙方

輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計0分，先多得2分者為勝方.若在此次競賽

中，聰聰選題時聰聰?shù)梅值母怕蕿間,明明選題時聰聰?shù)梅值母怕蕿楦黝}的結果相互獨立，二人約定從

0:0計分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率.

10.(2024?高三?四川成都?開學考試)在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標(4嗎，%)表示，其中

%e(051}(1<Z<3,ieN).而在n維空間中(〃22〃eN),以單位長度為邊長的“立方體”的項點坐標可表示為

〃維坐標……，％)，其中％e{0,l}(14i4%eN).現(xiàn)有如下定義：在"維空間中兩點間的曼哈頓

距離為兩點，?！?與他也也,也)坐標差的絕對值之和，即為

1%+-引+宿-勾+...+|。"-"I?回答下列問題:

(1)求出"維“立方體”的頂點數(shù)；

(2)在n維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離

①求出X的分布列與期望；

②證明：在〃足夠大時，隨機變量X的方差小于0.25/.

（工-4）2

(已知對于正態(tài)分布XN(N，吟,p隨X變化關系可表示為*e2，）

11.(2024?高二?福建莆田?期末)為了考查一種新疫苗預防某一疾病的效果，研究人員對一地區(qū)某種動物進行

試驗，從該試驗群中隨機抽查了50只，得到如下的樣本數(shù)據(jù)(單位：只)：

發(fā)病沒發(fā)病合計

接種疫苗81624

沒接種疫苗17926

合計252550

(1)能否有95%的把握認為接種該疫苗與預防該疾病有關？

(2)從該地區(qū)此動物群中任取一只，記A表示此動物發(fā)病，工表示此動物沒發(fā)病，3表示此動物接種疫苗,

尸(4)P(/⑻

定義事件A的優(yōu)勢凡=丁士幺，在事件B發(fā)生的條件下A的優(yōu)勢國=,.

1-尸(4)\-PyA\B^

與=尸(a/)

(i)證明:

&尸(同彳)；

(ii)利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，給出可理可，尸(創(chuàng)見的估計值，并給出片的估計值.附:

n^ad-bc^

2,其中〃=Q+b+c+d.

z(〃+Z?)(c+d)(Q+c)(b+d)

產(chǎn)(%2E)0.0500.0100.001

X。3.8416.63510.828

12.(2024?高一?山東濟南?期末)獨立事件是一個非?；A但又十分重要的概念，對于理解和應用概率論和統(tǒng)

計學至關重要.它的概念最早可以追湖到17世紀的布萊茲?帕斯卡和皮埃爾?德?費馬，當時被定義為彼此不

相關的事件.19世紀初期，皮埃爾?西蒙?拉普拉斯在他的《概率的分析理論》中給出了相互獨立事件的概率

乘法公式.對任意兩個事件A與5,如果尸(48)=尸(/)尸(3)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為

獨立.

(1)若事件A與事件B相互獨立，證明：N與3相互獨立；

3

(2)甲、乙兩人參加數(shù)學節(jié)的答題活動，每輪活動由甲、乙各答一題，已知甲每輪答對的概率為)，乙每輪

答對的概率為在每輪活動中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結果也互不影響，求甲乙兩人在兩輪活動

中答對3道題的概率.

13.(2024?高二?浙江臺州?期末)袋中有大小、形狀完全相同的2個紅球，4個白球.采用放回摸球，從袋中摸

出一個球，定義T變換為：若摸出的球是白球，把函數(shù)〃x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來需倍，(縱

坐標不變)；若摸出的是紅球，將函數(shù)f(x)圖象上所有的點向下平移1個單位.函數(shù)/(X)經(jīng)過1次T變換后

的函數(shù)記為工卜)，經(jīng)過2次T變換后的函數(shù)記為人(x),…，經(jīng)過"次T變換后的函數(shù)記為Z,(x)(〃eN*).

現(xiàn)對函數(shù)/'(x)=lgx進行連續(xù)的7變換.

(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是紅球，求力(x)；

(2)記X=求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望.

14.(2024?高三?上海寶山?階段練習)已知〃為正整數(shù)，對于給定的函數(shù)了=/(無)，定義一個〃次多項式g,,(x)

如下:g“(x)="c"(；［

⑴當/(x)=l時，求g.(x)；

(2)當/(x)=x時,求g,,(x)；

⑶當1(力=，時，求g,(x).

15.(2024?高一?遼寧葫蘆島?期末)通信信號利用3EC信道傳輸，若3EC信道傳輸成功，則接收端收到的信

號與發(fā)來的信號完全相同.若信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號.傳輸技術有兩種：一種是傳

統(tǒng)通信傳輸技術，采用多個信道各自獨立傳輸信號(以兩個信道為例，如圖1).

信道］(

U2

BEC信道2

圖1

另一種是華為公司5G信號現(xiàn)使用的土耳其通訊技術專家ErdalArikan教授的發(fā)明的極化碼技術(以兩個信道

為例，如圖2).傳輸規(guī)則如下，信號。2直接從信道2傳輸；信號Q在傳輸前先與。2“異或”運算得到信號式,

再從信道1傳輸.若信道1與信道2均成功輸出，則兩信號通過“異或”運算進行解碼后，傳至接收端，若信

道1輸出失敗信道2輸出成功，則接收端接收到信道2信號，若信道1輸出成功信道2輸出失敗，則接收

端對信號進行自身“異或”運算而解碼后，傳至接收端.

圖2

(注：定義“異或”運算：&十。2=乂，乂十U=%Xi十仇=4天十式=5).假設每個信道傳輸成功的概

率均為P(O<P<1)