2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題講義：集合下的新定義（四大題型）（學(xué)生版）

專(zhuān)題1集合下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：定義新概念

題型二：定義新運(yùn)算

題型三：定義新性質(zhì)

題型四：定義新背景

【方法技巧與總結(jié)】

1、解答新定義型創(chuàng)新題的基本思路是：

（1）正確理解新定義；

（2）根據(jù)新定義建立關(guān)系式；

（3）結(jié)合所學(xué)的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題；

（4）運(yùn)用所學(xué)的公式、定理、性質(zhì)等合理進(jìn)行推理、運(yùn)算，求得結(jié)果.

2、集合中的新概念問(wèn)題，往往是通過(guò)重新定義相應(yīng)的集合或重新定義集合中的某個(gè)要素，結(jié)合集合的

知識(shí)加以創(chuàng)新，我們還可以利用原有集合的相關(guān)知識(shí)來(lái)解題.

3、集合中的新運(yùn)算問(wèn)題是通過(guò)創(chuàng)新給出有關(guān)集合的一個(gè)全新的運(yùn)算規(guī)則.按照新的運(yùn)算規(guī)則，結(jié)合數(shù)

學(xué)中原有的運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)則，通過(guò)相關(guān)的集合或其他知識(shí)進(jìn)行計(jì)算或邏輯推理等，從而達(dá)到解答的目的.

4、集合中的新性質(zhì)問(wèn)題往往是通過(guò)創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來(lái)的.我們通過(guò)可以結(jié)合相應(yīng)

的集合概念、關(guān)系、運(yùn)算等相關(guān)知識(shí)，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解答有關(guān)的集合的新性質(zhì)問(wèn)題.

【典型例題】

題型一：定義新概念

【典例1-1】（2024?高三?浙江?階段練習(xí)）設(shè)自然數(shù)〃23,由〃個(gè)不同正整數(shù)％,構(gòu)成集合

S={ax,a2,a3-,a,},若集合S的每一個(gè)非空子集所含元素的和構(gòu)成新的集合R，記card（乙）為集合乙元素

的個(gè)數(shù)

（1）已知集合/={1,2,3,4},集合5={1,2,4,8},分別求解card（乙）,card（耳）.

⑵對(duì)于集合$={%,出，。3，若card（乙）取得最大值，則稱(chēng)該集合S為“極異集合”

①求card（A）的最大值（無(wú)需證明）.

②已知集合S={%,出，的…，%}是極異集合，記4=at-2-求證：數(shù)列{4,}的前〃項(xiàng)和220.

【典例1-2】（2024?北京?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={1,2,3,…㈤，其中〃eN*,/”％,…都是A的子集且互不

相同，記M=4的元素個(gè)數(shù)，N"=（/,C4）的元素個(gè)數(shù)（z,

⑴若"=4,4={1,2},4={1,3},乂3=6=1,直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的集合4；

（2）若〃=5,且對(duì)任意機(jī)，都有為>0,求機(jī)的最大值；

⑶若讓7,<3。=1,2,…，機(jī)）且對(duì)任意\<i<j<m,都有必=1,求加的最大值.

【變式1-1］（2024?高三?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）設(shè)集合S、T為正整數(shù)集N*的兩個(gè)子集，S、7至少各有兩

個(gè)元素.對(duì)于給定的集合S,若存在滿(mǎn)足如下條件的集合7：

①對(duì)于任意a/eS,若屋b,都有a6e7；②對(duì)于任意若a<b,則°eS.則稱(chēng)集合T為集合S的

a

“K集”.

⑴若集合d={1,3,9},求百的“K集乜；

（2）若三元集星存在“K集”石，且。中恰含有4個(gè)元素，求證：10$2；

⑶若S3={占"2,…,xj存在“K集”，且再<%<…〈斗，求〃的最大值.

題型二：定義新運(yùn)算

【典例2-1】（2024?高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)M是由直線Nx+為+C=0上所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，即

“={（%,則4+為+。=0},在點(diǎn)集量_上定義運(yùn)算“區(qū)”：對(duì)任意（XQJCM,（尤2，%）€河，則

（再，凹）區(qū)（工2,%）=再%2+.

⑴若河是直線2尤-尸3=0上所有點(diǎn)的集合，計(jì)算（1,5）釧-2,-1）的值.

（2）對(duì)（1）中的點(diǎn)集M,能否確定（3,a）③（6,5）（其中eR）的值？

⑶對(duì)⑴中的點(diǎn)集M,若（3,。）區(qū)（仇。）<0,請(qǐng)你寫(xiě)出實(shí)數(shù)。也?？赡艿闹?

【典例2-2】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于非空集合G,定義其在某一運(yùn)算（統(tǒng)稱(chēng)乘法）“x”下的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱(chēng)為

“群”（G,x）,簡(jiǎn)記為G，.而判斷G'是否為一個(gè)群，需驗(yàn)證以下三點(diǎn)：

1、(封閉性)對(duì)于規(guī)定的“X”運(yùn)算，對(duì)任意a,beG,都須滿(mǎn)足axbeG；

2、(結(jié)合律)對(duì)于規(guī)定的“x”運(yùn)算，對(duì)任意a,b,ceG,都須滿(mǎn)足。x(6xc)=(ax6)xc；

3、(恒等元)存在eeG,使得對(duì)任意aeG,exa=a；

4、(逆的存在性)對(duì)任意aeG,都存在6eG,使得ax6=6xa=e.

記群G'所含的元素個(gè)數(shù)為“，則群G'也稱(chēng)作“”階群”.若群GTRX”運(yùn)算滿(mǎn)足交換律，即對(duì)任意“，beG,

axb=bxa,我們稱(chēng)G'為一個(gè)阿貝爾群(或交換群).

(1)證明：所有實(shí)數(shù)在普通加法運(yùn)算下構(gòu)成群R+;

(2)記C為所有模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合，請(qǐng)找出一個(gè)合適的“x”運(yùn)算使得C在該運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群

并說(shuō)明理由；

(3)所有階數(shù)小于等于四的群G"是否都是阿貝爾群？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式2-1](2024?高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)集A及定義在該數(shù)集上的某個(gè)運(yùn)算(例如記為“*”)，如果對(duì)一

切都有那么就說(shuō)，集合A對(duì)運(yùn)算“*”是封閉的.

(1)設(shè)/=卜1x=m+4^n,m,nez),判斷A對(duì)通常的實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算是否封閉？

(2)設(shè)2={x|無(wú)=加+后〃，加,“eZ,且〃40},問(wèn)B對(duì)通常的實(shí)數(shù)的乘法是否封閉？試證明你的結(jié)論.

題型三：定義新性質(zhì)

【典例3-1](2024?高三?北京海淀?階段練習(xí))已知數(shù)集/={q,。2,…,4,}(OV%<%<…<%,”23)具有性質(zhì)M：

對(duì)任意i,j(l<i<j<n),aj+生與%-為兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A.

⑴分別判斷數(shù)集4={1,2,3}與4={0,2,4,6}是否具有性質(zhì)M；

(2)求證：/+…+%=5%;

⑶給定正整數(shù)"("25),求證：％,a2,?！敖M成等差數(shù)列.

【典例3-2】(2024?高二?北京海淀?期中)給定正整數(shù)“22,設(shè)集合

…匕)匕qo』，左=i,2,….對(duì)于集合欣中的任意元素尸=(%,無(wú)2,…,馬)和

7=(%，了2,…，方)，記尸,7=XJ1+X2%+L+x?y?.設(shè)/=且集合/={%&=冊(cè)/⑵?,?,&)/=1,2,…,

對(duì)于A中任意元素生,%,若4.%=，；；：則稱(chēng)A具有性質(zhì)7(”,0.

⑴判斷集合/={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}是否具有性質(zhì)7(3,2)?說(shuō)明理由；

(2)判斷是否存在具有性質(zhì)7(4,0)的集合A,并加以證明.

【變式3-1](2024?高一?重慶沙坪壩?階段練習(xí))已知集合/={%,%,見(jiàn)……a"}qN*,其中〃eN且

“23,為<g<%<……<”"，若對(duì)任意的,都有|x-y|2/，則稱(chēng)集合A具有性質(zhì)心.

⑴集合A={1,2,a}具有性質(zhì)M,求。的最小值；

(2)已知A具有性質(zhì)Mu，求證：；

(3)已知A具有性質(zhì)Mu，求集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值，并說(shuō)明理由.

題型四：定義新背景

【典例4-1】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))拓?fù)鋵W(xué)是一個(gè)研究圖形(或集合)整體結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的一門(mén)幾何學(xué)，以抽象而

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言將幾何與集合聯(lián)系起來(lái)，富有直觀和邏輯.已知平面加={(x,y)|Vx,蚱可，定義對(duì)4(孫必)，

4(?%),其度量(距離)44,4)=](西一々)2+(乂一%)2并稱(chēng)(爐，力為一度量平面.設(shè)d),

￡€R+,稱(chēng)平面區(qū)域2(尤0，￡)=3?(石2，4)口(%,尤)<"為以X。為心，￡為半徑的球形鄰域.

(1)試用集合語(yǔ)言描述兩個(gè)球形鄰域的交集；

(2)證明：("，力中的任意兩個(gè)球形鄰域的交集是若干個(gè)球形鄰域的并集；

(3)一個(gè)集合稱(chēng)作“開(kāi)集”當(dāng)且僅當(dāng)其是一個(gè)無(wú)邊界的點(diǎn)集.證明：(爐，力的一個(gè)子集是開(kāi)集當(dāng)且僅當(dāng)其可被

表示為若干個(gè)球形鄰域的并集.

【典例4-2】（2024?安徽蕪湖?二模）對(duì)稱(chēng)變換在對(duì)稱(chēng)數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義.若一個(gè)平面圖形K在雙旋

轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱(chēng)K具有對(duì)稱(chēng)性，并記根為K的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換.例如，

正三角形R在叫（繞中心。作120。的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以乃是五的一個(gè)對(duì)

（1231

稱(chēng)變換，考慮到變換前后R的三個(gè)頂點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，記/=312；又如，及在“關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸外所在

直線的反射）的作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以（也是R的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，類(lèi)似地，記

“23、

4=132,記正三角形尺的所有對(duì)稱(chēng)變換構(gòu)成集合S?一個(gè)非空集合G對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算.來(lái)說(shuō)作成

一個(gè)群，假如同時(shí)滿(mǎn)足：

I.GG,。。6￡G；

II.\fa,b,cGG,

III.,YaeG,a^e=e0a=a-

IV.V。EG,3a~1GG?。。。-1二。一1。。=0.

對(duì)于一個(gè)群G,稱(chēng)HI中的e為群G的單位元，稱(chēng)W中的/為。在群G中的逆元.一個(gè)群G的一個(gè)非空子

（1）直接寫(xiě)出集合S（用符號(hào)語(yǔ)言表示S中的元素）；

（2）同一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)形式不唯一，如

123132213231312321

.對(duì)于集合s中的元素，定義

312321132123231213

/

d?瓦b2b3%

一種新運(yùn)算*,規(guī)則如下:*

C

bib2b3q%3

{%,〃2，%}=

他也也}={ci9c2,c3}={1,2,3}.

①證明集合S對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算*來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群;

②已知〃是群G的一個(gè)子群，e,d分別是G,H的單位元，aeH,1,儲(chǔ)分別是。在群G,群H中的

逆元.猜想e,d之間的關(guān)系以及"之間的關(guān)系，并給出證明;

③寫(xiě)出群S的所有子群.

【變式4-1](2024?山東濟(jì)南?一模)在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成

Ax+By+Cz+D=0,其中4B,C,DeR,A2+B2+C2^0,且3=(4氏0為該平面的法向量.已知集合

P={(x,y,z)||x|<1,|j^|<1,|z|<1),Q=[(x,y,z^x\+\y\+\z\<2],T=[(x,y,z)||x|+1>>|<2,\y\+|z|<2,\z\+|x|<2}.

(1)設(shè)集合M={(X/,2)|Z=0},記PCM中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為0nM中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面

積為邑，求H和邑的值；

(2)記集合0中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為匕，尸n。中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為七,求匕和%的值:

(3)記集合T中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為W.

①求少的體積匕的值；

②求少的相鄰(有公共棱)兩個(gè)面所成二面角的大小，并指出平的面數(shù)和棱數(shù).

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

1.(2024?高三?北京?階段練習(xí))設(shè)左是正整數(shù)，N是N*的非空子集(至少有兩個(gè)元素)，如果對(duì)于N中的任意

兩個(gè)元素x,y,都有則稱(chēng)N具有性質(zhì)尸(左).

(1)試判斷集合2={1,2,3,4}和C={1,4,7,10)是否具有性質(zhì)?(2)?并說(shuō)明理由.

⑵若/={%,%…嗎2}=12...,20}.證明：/不可能具有性質(zhì)產(chǎn)⑶.

(3)若/={1,2,…,2023}且N具有性質(zhì)尸(4)和尸(7).求/中元素個(gè)數(shù)的最大值.

2.(2024?北京豐臺(tái)?一模)已知集合%=beN*|xV274("eN,〃")，若存在數(shù)陣T=:'?…?滿(mǎn)

足：

①{%9,…,aJU佃也，…也}=M；

②a「bk=k(k=1,2,…,n).

則稱(chēng)集合為“好集合”，并稱(chēng)數(shù)陣T為的一個(gè)“好數(shù)陣”.

xyz6

(1)已知數(shù)陣7=?,是的一個(gè)“好數(shù)陣”，試寫(xiě)出X,九Z,w的值；

7w1o2

（2）若集合〃”為“好集合”，證明：集合M”的“好數(shù)陣，，必有偶數(shù)個(gè)；

（3）判斷M,（〃=5,6）是否為“好集合”.若是,求出滿(mǎn)足條件的所有“好數(shù)陣”；若不是，說(shuō)明

理由.

3.（2024?北京延慶一模）已知數(shù)列{%},記集合T={S（，）|S（z,j）=a;+a+1+...+ay,1<z<j,z,jeN*}.

（1）若數(shù)列{4}為1,2,3,寫(xiě)出集合T；

⑵若％=2〃，是否存在i"eN*,使得S（i"）=512?若存在，求出一組符合條件的。九若不存在，說(shuō)明理

由；

（3）若%=",把集合T中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為4也,…也,，…，若想V2024,求機(jī)的最大

值.

4.（2024?湖南邵陽(yáng)二模）給定整數(shù)讓3,由〃元實(shí)數(shù)集合尸定義其隨影數(shù)集。={歸-引|x,yeP,x^y}.^

min（Q）=l,則稱(chēng)集合戶(hù)為一個(gè)〃元理想數(shù)集，并定義P的理數(shù)/為其中所有元素的絕對(duì)值之和.

⑴分別判斷集合$={-2,-1,2,3},7={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想數(shù)集；（結(jié)論不要求說(shuō)明理由）

（2）任取一個(gè)5元理想數(shù)集P,求證：|min（P）|+|max（P）|>4；

⑶當(dāng)P=H，%,…，々（0}取遍所有2024元理想數(shù)集時(shí)，求理數(shù)f的最小值.

注：由"個(gè)實(shí)數(shù)組成的集合叫做為元實(shí)數(shù)集合，max（P）,min（尸）分別表示數(shù)集p中的最大數(shù)與最小數(shù).

,、[—1,XGAd

5.（2024?高二,北京?階段練習(xí)）對(duì)于集合定義函數(shù)九x=,對(duì)于兩個(gè)集合定義集

[1,xM

合M=3九（x）￡（X）=-1）.已知集合A={1,3,5,7,9},8={2,3,5,6,9}.

⑴求力⑴與/⑴的值；

（2）用列舉法寫(xiě)出集合力③8；

(3)用Card(W)表示有限集合”所包含元素的個(gè)數(shù).已知集合X是正整數(shù)集的子集，求

Card(X③/)+Card(X@5)的最小值，并說(shuō)明理由.

6.(2024?北京石景山?一模)已知集合S"={x|x=(xl,x2,---,xn),xie{0,1},/=>2),對(duì)于

A=(a1,a2,---,an),B=他也,…也)eS“，定義A與B之間的距離為d(48)=七問(wèn)-用.

i=l

⑴已知/=(W,0"S4,寫(xiě)出所有的Be',使得"(48)=1；

(2)已知/=…若4BeS“，并且"(/,/)="(/1)=pV〃，求〃(4夕)的最大值;

(3)設(shè)集合PUS.,P中有加(加22)個(gè)元素，若尸中任意兩個(gè)元素間的距離的最小值為乙求證：mV?-'。

7.(2024?高三?北京?階段練習(xí))設(shè)/是正整數(shù)集的一個(gè)非空子集，如果對(duì)于任意xe/,者B有x-leZ或

x+leA,則稱(chēng)/為自鄰集.記集合4={1，2,…522,〃eN)的所有子集中的自鄰集的個(gè)數(shù)為an.

⑴直接寫(xiě)出4的所有自鄰集；

⑵若〃為偶數(shù)且"N6,求證：4的所有含5個(gè)元素的子集中，自鄰集的個(gè)數(shù)是偶數(shù)；

(3)若M>4,求證：an<2an_t.

8.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))已知集合A中含有三個(gè)元素x,y,z,同時(shí)滿(mǎn)足①x<"z；@x+y>z;③x+y+z為

偶數(shù)，那么稱(chēng)集合A具有性質(zhì)P.已知集合S“={1,2,3,…,2〃}(〃eN*,”24),對(duì)于集合工的非空子集B,若S.

中存在三個(gè)互不相同的元素“使得a+5,Z>+c,c+a均屬于5,則稱(chēng)集合B是集合S”的“期待子集”.

⑴試判斷集合A={123,5,7,9}是否具有性質(zhì)P,并說(shuō)明理由；

⑵若集合8={3,4,0}具有性質(zhì)P,證明：集合8是集合邑的“期待子集”；

(3)證明：集合M具有性質(zhì)P的充要條件是集合”是集合S”的“期待子集”.

|1x￡E

9.(2024?高三?全國(guó)?競(jìng)賽)對(duì)集合E,定義其特征函數(shù)X￡x)=；考慮集合昂當(dāng)，…，紇和正實(shí)數(shù)

%,出定義S?E(無(wú))二2卬七⑶為￡和式函數(shù)設(shè)g=M，M］，則昂當(dāng),…，紇為閉區(qū)間列；如果集合

Z=1

昂當(dāng)，…,耳,對(duì)任意有&n%=0,則稱(chēng)耳，…，紇是無(wú)交集合列，設(shè)集合

P”(E)=E?E252E".

(1)證明：工和式函數(shù)的值域?yàn)橛邢藜希?/p>

(2)設(shè)昂/…區(qū)為閉區(qū)間列，S”,E(無(wú))是定義在《(E)上的函數(shù).已知存在唯一的正整數(shù)機(jī)，各項(xiàng)不同的非零

加m_

實(shí)數(shù)%和無(wú)交集合列耳,弓…,居,使得2")=<(?，并且?居(力=昂翁),稱(chēng)2>,x4⑶為

Z=1Z=1

L和式函數(shù)S%E(x)的典范形式.設(shè)m為S.,E(x)的典范數(shù).

⑴設(shè)叫<心<加2…<加〃,證明：m<n?

(ii)給定正整數(shù)〃，任取正實(shí)數(shù)為，出，…,。”和閉區(qū)間列昂當(dāng),…，與，判斷幾E(X)的典范數(shù)加最大值的存在性.

如果存在，給出最大值；如果不存在，說(shuō)明理由.

10.(2024?高三?全國(guó)?競(jìng)賽)設(shè)刊是由復(fù)數(shù)組成的集合，對(duì)M的一個(gè)子集/,若存在復(fù)平面上的一個(gè)圓，使

得/的所有數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓內(nèi)或圓周上，且即幺中的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓外，則稱(chēng)/是一個(gè)M

的“可分離子集”.

⑴判斷｛1,2,3｝是否是",1,2,3)的“可分離子集”，并說(shuō)明理由；

⑵設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足0<Re(z)<l,0<Im(z)<l,其中Re(z),Im(z)分別表示z的實(shí)部和虛部.證明：3號(hào)是

｛1,上z,5｝的“可分離子集”當(dāng)且僅當(dāng)|z|<l.

”.0(^牛高三-北京-開(kāi)學(xué)考試沖加個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的有限集"^回出心…必卜其中?心^^叫―/冊(cè))，

記尸(〃)=%+%+???+%”，特別規(guī)定尸(0)=0,若集合M滿(mǎn)足：對(duì)任意的正整數(shù)左4尸(河)，都存在集合

M的兩個(gè)子集/,B,使得左=尸(/)-尸(8)成立，則稱(chēng)集合M為“滿(mǎn)集”.

⑴分別判斷集合M=口，2｝與必=｛2,3｝是否為“滿(mǎn)集”，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵若集合M為“滿(mǎn)集”，求為的值：

⑶若M為滿(mǎn)集，