2025年新高考數(shù)學復習壓軸題講義：集合下的新定義（四大題型）（學生版）

專題1集合下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：定義新概念

題型二：定義新運算

題型三：定義新性質(zhì)

題型四：定義新背景

【方法技巧與總結(jié)】

1、解答新定義型創(chuàng)新題的基本思路是：

（1）正確理解新定義；

（2）根據(jù)新定義建立關(guān)系式；

（3）結(jié)合所學的知識、經(jīng)驗將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；

（4）運用所學的公式、定理、性質(zhì)等合理進行推理、運算，求得結(jié)果.

2、集合中的新概念問題，往往是通過重新定義相應的集合或重新定義集合中的某個要素，結(jié)合集合的

知識加以創(chuàng)新，我們還可以利用原有集合的相關(guān)知識來解題.

3、集合中的新運算問題是通過創(chuàng)新給出有關(guān)集合的一個全新的運算規(guī)則.按照新的運算規(guī)則，結(jié)合數(shù)

學中原有的運算和運算規(guī)則，通過相關(guān)的集合或其他知識進行計算或邏輯推理等，從而達到解答的目的.

4、集合中的新性質(zhì)問題往往是通過創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來的.我們通過可以結(jié)合相應

的集合概念、關(guān)系、運算等相關(guān)知識，利用相應的數(shù)學思想方法來解答有關(guān)的集合的新性質(zhì)問題.

【典型例題】

題型一：定義新概念

【典例1-1】（2024?高三?浙江?階段練習）設(shè)自然數(shù)〃23,由〃個不同正整數(shù)％,構(gòu)成集合

S={ax,a2,a3-,a,},若集合S的每一個非空子集所含元素的和構(gòu)成新的集合R，記card（乙）為集合乙元素

的個數(shù)

（1）已知集合/={1,2,3,4},集合5={1,2,4,8},分別求解card（乙）,card（耳）.

⑵對于集合$={%,出，。3，若card（乙）取得最大值，則稱該集合S為“極異集合”

①求card（A）的最大值（無需證明）.

②已知集合S={%,出，的…，%}是極異集合，記4=at-2-求證：數(shù)列{4,}的前〃項和220.

【典例1-2】（2024?北京?模擬預測）已知集合4={1,2,3,…㈤，其中〃eN*,/”％,…都是A的子集且互不

相同，記M=4的元素個數(shù)，N"=（/,C4）的元素個數(shù)（z,

⑴若"=4,4={1,2},4={1,3},乂3=6=1,直接寫出所有滿足條件的集合4；

（2）若〃=5,且對任意機，都有為>0,求機的最大值；

⑶若讓7,<3。=1,2,…，機）且對任意\<i<j<m,都有必=1,求加的最大值.

【變式1-1］（2024?高三?重慶沙坪壩?階段練習）設(shè)集合S、T為正整數(shù)集N*的兩個子集，S、7至少各有兩

個元素.對于給定的集合S,若存在滿足如下條件的集合7：

①對于任意a/eS,若屋b,都有a6e7；②對于任意若a<b,則°eS.則稱集合T為集合S的

a

“K集”.

⑴若集合d={1,3,9},求百的“K集乜；

（2）若三元集星存在“K集”石，且。中恰含有4個元素，求證：10$2；

⑶若S3={占"2,…,xj存在“K集”，且再<%<…〈斗，求〃的最大值.

題型二：定義新運算

【典例2-1】（2024?高三?全國?專題練習）設(shè)M是由直線Nx+為+C=0上所有點構(gòu)成的集合，即

“={（%,則4+為+。=0},在點集量_上定義運算“區(qū)”：對任意（XQJCM,（尤2，%）€河，則

（再，凹）區(qū)（工2,%）=再%2+.

⑴若河是直線2尤-尸3=0上所有點的集合，計算（1,5）釧-2,-1）的值.

（2）對（1）中的點集M,能否確定（3,a）③（6,5）（其中eR）的值？

⑶對⑴中的點集M,若（3,。）區(qū)（仇。）<0,請你寫出實數(shù)。也?？赡艿闹?

【典例2-2】（2024?全國?模擬預測）對于非空集合G,定義其在某一運算（統(tǒng)稱乘法）“x”下的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為

“群”（G,x）,簡記為G，.而判斷G'是否為一個群，需驗證以下三點：

1、(封閉性)對于規(guī)定的“X”運算，對任意a,beG,都須滿足axbeG；

2、(結(jié)合律)對于規(guī)定的“x”運算，對任意a,b,ceG,都須滿足。x(6xc)=(ax6)xc；

3、(恒等元)存在eeG,使得對任意aeG,exa=a；

4、(逆的存在性)對任意aeG,都存在6eG,使得ax6=6xa=e.

記群G'所含的元素個數(shù)為“，則群G'也稱作“”階群”.若群GTRX”運算滿足交換律，即對任意“，beG,

axb=bxa,我們稱G'為一個阿貝爾群(或交換群).

(1)證明：所有實數(shù)在普通加法運算下構(gòu)成群R+;

(2)記C為所有模長為1的復數(shù)構(gòu)成的集合，請找出一個合適的“x”運算使得C在該運算下構(gòu)成一個群

并說明理由；

(3)所有階數(shù)小于等于四的群G"是否都是阿貝爾群？請說明理由.

【變式2-1](2024?高三?全國?專題練習)已知數(shù)集A及定義在該數(shù)集上的某個運算(例如記為“*”)，如果對一

切都有那么就說，集合A對運算“*”是封閉的.

(1)設(shè)/=卜1x=m+4^n,m,nez),判斷A對通常的實數(shù)的乘法運算是否封閉？

(2)設(shè)2={x|無=加+后〃，加,“eZ,且〃40},問B對通常的實數(shù)的乘法是否封閉？試證明你的結(jié)論.

題型三：定義新性質(zhì)

【典例3-1](2024?高三?北京海淀?階段練習)已知數(shù)集/={q,。2,…,4,}(OV%<%<…<%,”23)具有性質(zhì)M：

對任意i,j(l<i<j<n),aj+生與%-為兩數(shù)中至少有一個屬于A.

⑴分別判斷數(shù)集4={1,2,3}與4={0,2,4,6}是否具有性質(zhì)M；

(2)求證：/+…+%=5%;

⑶給定正整數(shù)"("25),求證：％,a2,。“組成等差數(shù)列.

【典例3-2】(2024?高二?北京海淀?期中)給定正整數(shù)“22,設(shè)集合

…匕)匕qo』，左=i,2,….對于集合欣中的任意元素尸=(%,無2,…,馬)和

7=(%，了2,…，方)，記尸,7=XJ1+X2%+L+x?y?.設(shè)/=且集合/={%&=冊/⑵?,?,&)/=1,2,…,

對于A中任意元素生,%,若4.%=，；；：則稱A具有性質(zhì)7(”,0.

⑴判斷集合/={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}是否具有性質(zhì)7(3,2)?說明理由；

(2)判斷是否存在具有性質(zhì)7(4,0)的集合A,并加以證明.

【變式3-1](2024?高一?重慶沙坪壩?階段練習)已知集合/={%,%,見……a"}qN*,其中〃eN且

“23,為<g<%<……<”"，若對任意的,都有|x-y|2/，則稱集合A具有性質(zhì)心.

⑴集合A={1,2,a}具有性質(zhì)M,求。的最小值；

(2)已知A具有性質(zhì)Mu，求證：；

(3)已知A具有性質(zhì)Mu，求集合A中元素個數(shù)的最大值，并說明理由.

題型四：定義新背景

【典例4-1】(2024?全國?模擬預測)拓撲學是一個研究圖形(或集合)整體結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的一門幾何學，以抽象而

嚴謹?shù)恼Z言將幾何與集合聯(lián)系起來，富有直觀和邏輯.已知平面加={(x,y)|Vx,蚱可，定義對4(孫必)，

4(?%),其度量(距離)44,4)=](西一々)2+(乂一%)2并稱(爐，力為一度量平面.設(shè)d),

￡€R+,稱平面區(qū)域2(尤0，￡)=3?(石2，4)口(%,尤)<"為以X。為心，￡為半徑的球形鄰域.

(1)試用集合語言描述兩個球形鄰域的交集；

(2)證明：("，力中的任意兩個球形鄰域的交集是若干個球形鄰域的并集；

(3)一個集合稱作“開集”當且僅當其是一個無邊界的點集.證明：(爐，力的一個子集是開集當且僅當其可被

表示為若干個球形鄰域的并集.

【典例4-2】（2024?安徽蕪湖?二模）對稱變換在對稱數(shù)學中具有重要的研究意義.若一個平面圖形K在雙旋

轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記根為K的一個對稱變換.例如，

正三角形R在叫（繞中心。作120。的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以乃是五的一個對

（1231

稱變換，考慮到變換前后R的三個頂點間的對應關(guān)系，記/=312；又如，及在“關(guān)于對稱軸外所在

直線的反射）的作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以（也是R的一個對稱變換，類似地，記

“23、

4=132,記正三角形尺的所有對稱變換構(gòu)成集合S?一個非空集合G對于給定的代數(shù)運算.來說作成

一個群，假如同時滿足：

I.GG,。。6￡G；

II.\fa,b,cGG,

III.,YaeG,a^e=e0a=a-

IV.V。EG,3a~1GG?。。。-1二。一1。。=0.

對于一個群G,稱HI中的e為群G的單位元，稱W中的/為。在群G中的逆元.一個群G的一個非空子

（1）直接寫出集合S（用符號語言表示S中的元素）；

（2）同一個對稱變換的符號語言表達形式不唯一，如

123132213231312321

.對于集合s中的元素，定義

312321132123231213

/

d?瓦b2b3%

一種新運算*,規(guī)則如下:*

C

bib2b3q%3

{%,〃2，%}=

他也也}={ci9c2,c3}={1,2,3}.

①證明集合S對于給定的代數(shù)運算*來說作成一個群;

②已知〃是群G的一個子群，e,d分別是G,H的單位元，aeH,1,儲分別是。在群G,群H中的

逆元.猜想e,d之間的關(guān)系以及"之間的關(guān)系，并給出證明;

③寫出群S的所有子群.

【變式4-1](2024?山東濟南?一模)在空間直角坐標系。-孫z中，任何一個平面的方程都能表示成

Ax+By+Cz+D=0,其中4B,C,DeR,A2+B2+C2^0,且3=(4氏0為該平面的法向量.已知集合

P={(x,y,z)||x|<1,|j^|<1,|z|<1),Q=[(x,y,z^x\+\y\+\z\<2],T=[(x,y,z)||x|+1>>|<2,\y\+|z|<2,\z\+|x|<2}.

(1)設(shè)集合M={(X/,2)|Z=0},記PCM中所有點構(gòu)成的圖形的面積為0nM中所有點構(gòu)成的圖形的面

積為邑，求H和邑的值；

(2)記集合0中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為匕，尸n。中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為七,求匕和%的值:

(3)記集合T中所有點構(gòu)成的幾何體為W.

①求少的體積匕的值；

②求少的相鄰(有公共棱)兩個面所成二面角的大小，并指出平的面數(shù)和棱數(shù).

【過關(guān)測試】

1.(2024?高三?北京?階段練習)設(shè)左是正整數(shù)，N是N*的非空子集(至少有兩個元素)，如果對于N中的任意

兩個元素x,y,都有則稱N具有性質(zhì)尸(左).

(1)試判斷集合2={1,2,3,4}和C={1,4,7,10)是否具有性質(zhì)?(2)?并說明理由.

⑵若/={%,%…嗎2}=12...,20}.證明：/不可能具有性質(zhì)產(chǎn)⑶.

(3)若/={1,2,…,2023}且N具有性質(zhì)尸(4)和尸(7).求/中元素個數(shù)的最大值.

2.(2024?北京豐臺?一模)已知集合%=beN*|xV274("eN,〃")，若存在數(shù)陣T=:'?…?滿

足：

①{%9,…,aJU佃也，…也}=M；

②a「bk=k(k=1,2,…,n).

則稱集合為“好集合”，并稱數(shù)陣T為的一個“好數(shù)陣”.

xyz6

(1)已知數(shù)陣7=?,是的一個“好數(shù)陣”，試寫出X,九Z,w的值；

7w1o2

（2）若集合〃”為“好集合”，證明：集合M”的“好數(shù)陣，，必有偶數(shù)個；

（3）判斷M,（〃=5,6）是否為“好集合”.若是,求出滿足條件的所有“好數(shù)陣”；若不是，說明

理由.

3.（2024?北京延慶一模）已知數(shù)列{%},記集合T={S（，）|S（z,j）=a;+a+1+...+ay,1<z<j,z,jeN*}.

（1）若數(shù)列{4}為1,2,3,寫出集合T；

⑵若％=2〃，是否存在i"eN*,使得S（i"）=512?若存在，求出一組符合條件的。九若不存在，說明理

由；

（3）若%=",把集合T中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為4也,…也,，…，若想V2024,求機的最大

值.

4.（2024?湖南邵陽二模）給定整數(shù)讓3,由〃元實數(shù)集合尸定義其隨影數(shù)集。={歸-引|x,yeP,x^y}.^

min（Q）=l,則稱集合戶為一個〃元理想數(shù)集，并定義P的理數(shù)/為其中所有元素的絕對值之和.

⑴分別判斷集合$={-2,-1,2,3},7={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想數(shù)集；（結(jié)論不要求說明理由）

（2）任取一個5元理想數(shù)集P,求證：|min（P）|+|max（P）|>4；

⑶當P=H，%,…，々（0}取遍所有2024元理想數(shù)集時，求理數(shù)f的最小值.

注：由"個實數(shù)組成的集合叫做為元實數(shù)集合，max（P）,min（尸）分別表示數(shù)集p中的最大數(shù)與最小數(shù).

,、[—1,XGAd

5.（2024?高二,北京?階段練習）對于集合定義函數(shù)九x=,對于兩個集合定義集

[1,xM

合M=3九（x）￡（X）=-1）.已知集合A={1,3,5,7,9},8={2,3,5,6,9}.

⑴求力⑴與/⑴的值；

（2）用列舉法寫出集合力③8；

(3)用Card(W)表示有限集合”所包含元素的個數(shù).已知集合X是正整數(shù)集的子集，求

Card(X③/)+Card(X@5)的最小值，并說明理由.

6.(2024?北京石景山?一模)已知集合S"={x|x=(xl,x2,---,xn),xie{0,1},/=>2),對于

A=(a1,a2,---,an),B=他也,…也)eS“，定義A與B之間的距離為d(48)=七問-用.

i=l

⑴已知/=(W,0"S4,寫出所有的Be',使得"(48)=1；

(2)已知/=…若4BeS“，并且"(/,/)="(/1)=pV〃，求〃(4夕)的最大值;

(3)設(shè)集合PUS.,P中有加(加22)個元素，若尸中任意兩個元素間的距離的最小值為乙求證：mV?-'。

7.(2024?高三?北京?階段練習)設(shè)/是正整數(shù)集的一個非空子集，如果對于任意xe/,者B有x-leZ或

x+leA,則稱/為自鄰集.記集合4={1，2,…522,〃eN)的所有子集中的自鄰集的個數(shù)為an.

⑴直接寫出4的所有自鄰集；

⑵若〃為偶數(shù)且"N6,求證：4的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數(shù)是偶數(shù)；

(3)若M>4,求證：an<2an_t.

8.(2024?廣東?模擬預測)已知集合A中含有三個元素x,y,z,同時滿足①x<"z；@x+y>z;③x+y+z為

偶數(shù)，那么稱集合A具有性質(zhì)P.已知集合S“={1,2,3,…,2〃}(〃eN*,”24),對于集合工的非空子集B,若S.

中存在三個互不相同的元素“使得a+5,Z>+c,c+a均屬于5,則稱集合B是集合S”的“期待子集”.

⑴試判斷集合A={123,5,7,9}是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

⑵若集合8={3,4,0}具有性質(zhì)P,證明：集合8是集合邑的“期待子集”；

(3)證明：集合M具有性質(zhì)P的充要條件是集合”是集合S”的“期待子集”.

|1x￡E

9.(2024?高三?全國?競賽)對集合E,定義其特征函數(shù)X￡x)=；考慮集合昂當，…，紇和正實數(shù)

%,出定義S?E(無)二2卬七⑶為￡和式函數(shù)設(shè)g=M，M］，則昂當,…，紇為閉區(qū)間列；如果集合

Z=1

昂當，…,耳,對任意有&n%=0,則稱耳，…，紇是無交集合列，設(shè)集合

P”(E)=E?E252E".

(1)證明：工和式函數(shù)的值域為有限集合；

(2)設(shè)昂/…區(qū)為閉區(qū)間列，S”,E(無)是定義在《(E)上的函數(shù).已知存在唯一的正整數(shù)機，各項不同的非零

加m_

實數(shù)%和無交集合列耳,弓…,居,使得2")=<(?，并且?居(力=昂翁),稱2>,x4⑶為

Z=1Z=1

L和式函數(shù)S%E(x)的典范形式.設(shè)m為S.,E(x)的典范數(shù).

⑴設(shè)叫<心<加2…<加〃,證明：m<n?

(ii)給定正整數(shù)〃，任取正實數(shù)為，出，…,?！焙烷]區(qū)間列昂當,…，與，判斷幾E(X)的典范數(shù)加最大值的存在性.

如果存在，給出最大值；如果不存在，說明理由.

10.(2024?高三?全國?競賽)設(shè)刊是由復數(shù)組成的集合，對M的一個子集/,若存在復平面上的一個圓，使

得/的所有數(shù)在復平面上對應的點都在圓內(nèi)或圓周上，且即幺中的數(shù)對應的點都在圓外，則稱/是一個M

的“可分離子集”.

⑴判斷｛1,2,3｝是否是",1,2,3)的“可分離子集”，并說明理由；

⑵設(shè)復數(shù)z滿足0<Re(z)<l,0<Im(z)<l,其中Re(z),Im(z)分別表示z的實部和虛部.證明：3號是

｛1,上z,5｝的“可分離子集”當且僅當|z|<l.

”.0(^牛高三-北京-開學考試沖加個正整數(shù)構(gòu)成的有限集"^回出心…必卜其中?心^^叫―/冊)，

記尸(〃)=%+%+???+%”，特別規(guī)定尸(0)=0,若集合M滿足：對任意的正整數(shù)左4尸(河)，都存在集合

M的兩個子集/,B,使得左=尸(/)-尸(8)成立，則稱集合M為“滿集”.

⑴分別判斷集合M=口，2｝與必=｛2,3｝是否為“滿集”，請說明理由；

⑵若集合M為“滿集”，求為的值：

⑶若M為滿集，