2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題講義：初等數(shù)論與幾何背景下的新定義（六大題型）（學(xué)生版）

專(zhuān)題09初等數(shù)論與幾何背景下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：進(jìn)位制

題型二：數(shù)對(duì)序列

題型三：群論

題型四：平面幾何

題型五：置換

題型六：余數(shù)、約數(shù)

【典型例題】

題型一：進(jìn)位制

【典例1-1】（湖南省衡水金卷2023-2024學(xué)年高三二調(diào)數(shù)學(xué)試題）國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）是世界數(shù)學(xué)教育

規(guī)模最大、水平最高的學(xué)術(shù)性會(huì)議，第十四屆大會(huì)將在上海召開(kāi)，其會(huì)標(biāo)如圖，包含若許多數(shù)學(xué)元素，主

畫(huà)面是非常優(yōu)美的幾何化的中心對(duì)稱(chēng)圖形，由弦圖、圓和螺線組成，主畫(huà)面標(biāo)明的ICME—14下方的“

“是用中國(guó)古代八進(jìn)制的計(jì)數(shù)符號(hào)寫(xiě)出的八進(jìn)制數(shù)3744,也可以讀出其二進(jìn)制碼（0）11111100100,換算成十

【典例1-2】（安徽省合肥市2024屆高三學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）通信編碼信號(hào)利用8EC信

道傳輸，如圖1，若8EC信道傳輸成功，則接收端收到的信號(hào)與發(fā)來(lái)的信號(hào)完全相同；若2EC信道傳輸失

敗，則接收端收不到任何信號(hào).傳統(tǒng)通信傳輸技術(shù)采用多個(gè)信道各自獨(dú)立傳輸信號(hào)（以?xún)蓚€(gè)信道為例，如圖2）.

信號(hào)U

圖1圖2

華為公司5G信道編碼采用土耳其通訊技術(shù)專(zhuān)家ErdalArikan教授的極化碼技術(shù)（以?xún)蓚€(gè)相互獨(dú)立的5EC信

道傳輸信號(hào)為例)：如圖3,信號(hào)4直接從信道2傳輸；信號(hào)K在傳輸前先與4“異或”運(yùn)算得到信號(hào)X1，

再?gòu)男诺?傳輸.接收端對(duì)收到的信號(hào)，運(yùn)用“異或”運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行解碼，從而得到或得不到發(fā)送的信號(hào)K或

U2.

圖3

(注：“異或”是一種2進(jìn)制數(shù)學(xué)邏輯運(yùn)算.兩個(gè)相同數(shù)字“異或”得到0,兩個(gè)不同數(shù)字“異或，，得到1,“異或”

運(yùn)算用符號(hào)“十"表示：0?0=0,1?1=0,1?0=1,0十1=1.“異;運(yùn)算性質(zhì)：則Z=C十8).假

設(shè)每個(gè)信道傳輸成功的概率均為M0<P<1).46={0,1}.

(1)在傳統(tǒng)傳輸方案中，設(shè)“信號(hào)5和6均被成功接收”為事件A,求尸(/):

(2)對(duì)于極化碼技術(shù)：①求信號(hào)〃被成功解碼(即根據(jù)BEC信道1與2傳輸?shù)男盘?hào)可確定Q的值)的概率；②

若對(duì)輸入信號(hào)q賦值(如G=0)作為己知信號(hào)，接收端只解碼信號(hào)。2,求信號(hào)4被成功解碼的概率.

【變式1-1](上海市十校2024屆高三學(xué)期3月聯(lián)考(文理)數(shù)學(xué)試題)規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)A,若存在數(shù)列{%}

和實(shí)數(shù)X(XKO),使4=%+%尤+%產(chǎn)+…+%尤"7,則稱(chēng)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：

N=…如：^=2~(-1)(3)(-2)(1),表示A是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且

^=-1+3X2+(-2)X22+1X23=5；

⑴已知機(jī)=(1-2x)(l+3f)(xR0),試將m表示成尤進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式；

1---------------------22

/?

(2)若數(shù)列{〃〃}滿(mǎn)足q=2,ak+x=—,(EN*，6〃=2~…nwN*,求證：bn=-8--；

1—“左77

⑶若常數(shù)f滿(mǎn)足，片0且"-1，Z="(C,)(C.6)..(C>)(Q"),求!吧}?

Un+\

題型二：數(shù)對(duì)序列

【典例2-1】(北京市西城區(qū)2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)給定正整數(shù)NN3,已知項(xiàng)數(shù)為加且無(wú)重復(fù)項(xiàng)的

數(shù)對(duì)序列A：(%,%),(工2,必)，…,(X",”,)滿(mǎn)足如下三個(gè)性質(zhì)：①%,％e(l,2,-??,#},且X尸%(z=l,2,-??,?/)；

②%+1=%（，=1,2,…,〃L1）；③（0,q）與（q,0）不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中.

（1）當(dāng)N=3,加=3時(shí)，寫(xiě)出所有滿(mǎn)足再=1的數(shù)對(duì)序列A；

⑵當(dāng)N=6時(shí)，證明：＜13；

（3）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，記加的最大值為7（N）,求T（N）.

【典例2-2］（上海市楊浦高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）對(duì)于四個(gè)正數(shù)根、小P、4,若滿(mǎn)

足mq＜"P，則稱(chēng)有序數(shù)對(duì)（見(jiàn)〃）是（。,4）的"下位序列

⑴對(duì)于2、3、7、11,有序數(shù)對(duì)（3,11）是（2,7）的"下位序列"嗎?請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由;

（2）設(shè)。、b、c、d均為正數(shù)，且（。*）是（G"）的“下位序列”，試判斷：、三、*之間的大小關(guān)系；

bab+a

⑶設(shè)正整數(shù)”滿(mǎn)足條件:對(duì)集合｛加0＜加＜2021,加eN｝內(nèi)的每個(gè)加，總存在正整數(shù)上,使得（~2021）是（左,〃）

的“下位序列”，且伏,〃）是（加+1,2022）的“下位序列”，求正整數(shù)〃的最小值.

題型三：群論

【典例3-1】（安徽省蕪湖市安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）對(duì)稱(chēng)變換在對(duì)稱(chēng)數(shù)

學(xué)中具有重要的研究意義.若一個(gè)平面圖形K在皿旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱(chēng)

K具有對(duì)稱(chēng)性，并記a為K的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換.例如，正三角形R在/（繞中心。作120。的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍

然與R重合（如圖1圖2所示），所以叫是R的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，考慮到變換前后R的三個(gè)頂點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，

（123、

記嗎=312；又如，氏在氣關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸〃所在直線的反射）的作用下仍然與五重合（如圖1圖3所示％

（123、

所以4也是火的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，類(lèi)似地，記4=132?記正三角形尺的所有對(duì)稱(chēng)變換構(gòu)成集合§?一個(gè)

非空集合G對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算.來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如同時(shí)滿(mǎn)足：

I.\/a,bGG,aobEG；

II.X/a,b,cGG,（〃。/?）。。=。。伍。。）；

III.,\/awG,a^e=eoa=a；

IV.VtzGG,GG,a^a~x=a~x^a=e-

對(duì)于一個(gè)群G,稱(chēng)III中的e為群G的單位元，稱(chēng)W中的/為。在群G中的逆元.一個(gè)群G的一個(gè)非空子

集，叫做G的一個(gè)子群，假如〃對(duì)于G的代數(shù)運(yùn)算。來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群.

圖1圖2

(1)直接寫(xiě)出集合S(用符號(hào)語(yǔ)言表示S中的元素);

(2)同一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)形式不唯一，如

123132213231312321

.對(duì)于集合S中的元素，定義

312321132123231213

bb/

dy“3h23%

一種新運(yùn)算*,規(guī)則如下:*

Ab?4qC2C3

{q,g,%}=他也也}={cj,c2,c3}={1,2,3}.

①證明集合S對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算*來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群;

②己知〃是群G的一個(gè)子群，e,e'分別是G,〃的單位元，aeH,a-1"分別是。在群G,群H中的

逆元.猜想e,?之間的關(guān)系以及/I〃'之間的關(guān)系，并給出證明;

③寫(xiě)出群S的所有子群.

【典例3-2】(江西省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷)將數(shù)列｛。"｝按照一定的規(guī)則，依

順序進(jìn)行分組，得到一個(gè)以組為單位的序列稱(chēng)為｛%｝的一個(gè)分群數(shù)列，｛0｝稱(chēng)為這個(gè)分群數(shù)列的原數(shù)列.如

(%,電，…,％)，(%+1，4+2,…，4)，(%+1嗎+2,…,4)…，是｛叫的一個(gè)分群數(shù)列，其中第左

個(gè)括號(hào)稱(chēng)為第左群.已知｛?！埃耐?xiàng)公式為?！?2〃-1.

(1)若｛%｝的一個(gè)分群數(shù)列中每個(gè)群都含有3項(xiàng)；該分群數(shù)列第人群的中間一項(xiàng)為“，求數(shù)列抄“｝的通項(xiàng)公

式；

(2)若｛4｝的一個(gè)分群數(shù)列滿(mǎn)足第人群含有后項(xiàng)，4為該分群數(shù)列的第后群所有項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)集，設(shè)

M=｛m\ameAk,am+1eAk+2],求集合M中所有元素的和.

【變式3-1]（2024屆高三新高考改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性練習(xí)（九省聯(lián)考題型））對(duì)于非空集合G,定義其在某一運(yùn)算

（統(tǒng)稱(chēng)乘法）“x”下的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱(chēng)為“群”（G,x）,簡(jiǎn)記為G*.而判斷6）<是否為一個(gè)群，需驗(yàn)證以下三點(diǎn)：

（封閉性）對(duì)于規(guī)定的“x”運(yùn)算，對(duì)任意〃,6eG,都須滿(mǎn)足axbeG；

（結(jié)合律）對(duì)于規(guī)定的“x”運(yùn)算，對(duì)任意a,6,ceG,都須滿(mǎn)足。x（bxc）=（axb）xc；

（恒等兀）存在eeG,使得對(duì)任意aeG,exa=a-

（逆的存在性）對(duì)任意aeG,都存在beG,使得ax6=6xa=e.

記群G*所含的元素個(gè)數(shù)為〃，則群G*也稱(chēng)作“〃階群”.若群G*的“x”運(yùn)算滿(mǎn)足交換律，即對(duì)任意a,beG,

axb^bxa,我們稱(chēng)G'為一個(gè)阿貝爾群（或交換群）.

（1）證明：所有實(shí)數(shù)在普通加法運(yùn)算下構(gòu)成群R+;

（2）記C為所有模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合，請(qǐng)找出一個(gè)合適的“x”運(yùn)算使得C在該運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群仁,

并說(shuō)明理由；

（3）所有階數(shù)小于等于四的群G，是否都是阿貝爾群？請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型四：平面幾何

【典例4-1】（河南省鄭州市名校教研聯(lián)盟2024屆高三學(xué)期模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試卷）平面幾何中有一個(gè)著名的塞爾

瓦定理：三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)到其垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點(diǎn)對(duì)邊距

離的2倍.若點(diǎn)N,B,C都在圓E上，直線3c方程為》+>-2=0,且忸C|=2而，入花。的垂心G（2,2）

在△NBC內(nèi)，點(diǎn)￡在線段/G上，則圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【典例4-2】（江西省智慧上進(jìn)2024屆高三學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題）如圖，直線/與“3C的邊3c的延

長(zhǎng)線及邊/C,分別交于點(diǎn)D,E,F,則絲.隼.9=1,該結(jié)論稱(chēng)為門(mén)奈勞斯定理，若點(diǎn)C為8。的

DCEAFB

中點(diǎn)，點(diǎn)廠為48的中點(diǎn)，在AJBC中隨機(jī)取一點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸在內(nèi)的概率為（）

12

AB.-cTD.

-I33

【變式4-1]（多選題）（寧夏銀川市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高一學(xué)期月考一數(shù)學(xué)試卷）“圓幕定理”是平面幾何

中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的

兩條線段長(zhǎng)的積相等.如圖，已知圓。的半徑為2,點(diǎn)P是圓。內(nèi)的定點(diǎn)，且0P=力,弦/C,均過(guò)

點(diǎn)尸，則下列說(shuō)法正確的是()

A.|祠?甌的最大值為12B.方.反的取值范圍是［-4,0］

C.PAPC^-2D.當(dāng)NC/AD時(shí)，荔?麗為定值

題型五：置換

【典例5-1】(浙江省名校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三學(xué)期返?？荚嚁?shù)學(xué)試卷)置換是代數(shù)的基本模型，定義

域和值域都是集合/=｛1,2,…㈤,〃eN+的函數(shù)稱(chēng)為"次置換.滿(mǎn)足對(duì)任意ie4/(，)=，的置換稱(chēng)作恒等置換.

所有〃次置換組成的集合記作S”.對(duì)于，我們可用列表法表示此置換：

(12…〃］、

/⑴1(1)/⑵…/(")『記

/(0=/(0，/(/(。)=尸⑺，/(尸⑼=/(),…，/尸【))=/(),ie4先加..

(1)若/0€S4，［(，)=［421計(jì)算7%)；

(2)證明：對(duì)任意/(。仁邑，存在左?N+，使得/⑴為恒等置換；

(3)對(duì)編號(hào)從1到52的撲克牌進(jìn)行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯(cuò)插入，即第1張不動(dòng)，第27張

變?yōu)榈?張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，……，依次類(lèi)推.這樣操作最少重復(fù)幾次就能恢復(fù)原

來(lái)的牌型？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【典例5-2】(山東省青島市2024屆高三學(xué)期第一次適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題)記集合S=｛｛%｝|無(wú)窮數(shù)列｛%｝中

存在有限項(xiàng)不為零，”eN*｝,對(duì)任意｛叫eS,設(shè)變換/■(｛%｝)=q+%x+…+4婷+…，xeR.定義運(yùn)

算區(qū):若｛%｝,也｝eS,則｛%｝?也｝eS,/他滓同)=/(｛端＞/(｛4｝).

(1)若｛%｝③也｝=｛乙｝，用生,出,。3，。4,4也也也表示加4；

(2)證明：也｝)包七｝=｛叫區(qū)他｝?匕｝)；

(W+1)2+1z]x203-n

,l<?<100b?=h)'1*〃"叫｛4H%｝③出｝，證明：醺。

(3)若an=<+

0,77>1000,”〉500

【變式5-1](江蘇省淮陰中學(xué)等四校2024屆高三學(xué)期期初測(cè)試聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若

在曲線片的方程尸(xj)=0中，以(芥，力)(2為非零的正實(shí)數(shù))代替(x,y)得到曲線E2的方程/(公辦)=0,

則稱(chēng)曲線耳、當(dāng)關(guān)于原點(diǎn)“伸縮”，變換(x/)f(而,右)稱(chēng)為“伸縮變換”，力稱(chēng)為伸縮比.

221

⑴已知曲線耳的方程為伸縮比2=3,求片關(guān)于原點(diǎn)“伸縮變換''后所得曲線外的方程；

Lv2

⑵射線I的方程了=缶(》20),如果橢圓用：3+V=1經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓外,若射線/與橢圓月、

區(qū)分別交于兩點(diǎn)48,且|N8|=在，求橢圓瑪?shù)姆匠蹋?/p>

(3)對(duì)拋物線及：，=2?小，作變換曲力"(力,右),得拋物線與：，=2P2八對(duì)反作變換

(x,y)f(4x,4y),得拋物線JX2=2/V；如此進(jìn)行下去，對(duì)拋物線與：/=2%y作變換

(尤/)“伉x"j),得拋物線紇h幺=2%+以,....若”=1,1=2",求數(shù)列｛0,｝的通項(xiàng)公式P..

【變式5-2](江蘇省徐州市2024屆高三學(xué)期新高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列P-.

%,七,???,%,定義變換工，Z將數(shù)列P變換成數(shù)列彳(0)：〃嗎…qT.對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)

的數(shù)列。：4也,…也，定義S(0”2(4+2\+…+mb?)+42+b；+…定義變換:,4將數(shù)列。各項(xiàng)從大到

小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列與(。).

(1)若數(shù)列勺為2,4,3,7,求S(4(q))的值；

(2)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列片，令刈=%(4(A)),/ceN.

⑴探究S伍(月))與S(⑷的關(guān)系；

(ii)證明：s(%)〈s(4).

題型六：余數(shù)、約數(shù)

【典例6-1】約數(shù)，又稱(chēng)因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)。除以整數(shù)加(加/0)除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù),

我們就稱(chēng)。為機(jī)的倍數(shù)，稱(chēng)加為。的約數(shù).設(shè)正整數(shù)。共有左個(gè)正約數(shù)，即為％,電，…嗎t(yī)，%(%＜出＜…＜。無(wú)).

(1)當(dāng)人=4時(shí)，若正整數(shù)。的左個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)。的值；

(2)當(dāng)心4時(shí),若電-…,%-構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)。；

(3)記4=%出+"2a3+…+/必，求證：A＜a2.

【典例6-2](河北省2024屆高三學(xué)期大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研聯(lián)合測(cè)評(píng)(V)數(shù)學(xué)試題)設(shè)a,b為非負(fù)整數(shù)，m為正整

數(shù)，若a和b被加除得的余數(shù)相同，則稱(chēng)。和b對(duì)模機(jī)同余，記為。三b(mod").

⑴求證：233+l=65(mod7)；

(2)若p是素?cái)?shù)，〃為不能被p整除的正整數(shù)，貝U淤Tml(mod0),這個(gè)定理稱(chēng)之為費(fèi)馬小定理.應(yīng)用費(fèi)馬小

定理解決下列問(wèn)題：

①證明：對(duì)于任意整數(shù)x都有產(chǎn)-x三0(mod546)；

②求方程x9+x7-x3-x^0(mod35)的正整數(shù)解的個(gè)數(shù).

【變式6-1](湖北省襄陽(yáng)市第五中學(xué)2024屆高三學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題)“物不知數(shù)”是中國(guó)古代著名算題，

原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二：五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問(wèn)

物幾何？”問(wèn)題的意思是，一個(gè)數(shù)被3除余2,被5除余3,被7除余2,那么這個(gè)數(shù)是多少？若一個(gè)數(shù)x被

機(jī)除余廠，我們可以寫(xiě)作x三r(mod"7).它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》大衍求一術(shù)中給出的.大衍

求一術(shù)(也稱(chēng)作“中國(guó)剩余定理”)是中國(guó)古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，現(xiàn)將滿(mǎn)足上述條件的正整數(shù)從小到大

依次排序.中國(guó)剩余定理：假設(shè)整數(shù)叫，嗎，…，叫兩兩互質(zhì)，則對(duì)任意的整數(shù)：V，%,…，4,方程組

x=rx(mod叫)

x三尸(modm)

"一定有解，并且通解為了=劫/+5”|+勺2川2+“-+，/”，，其中先為任意整數(shù)，

x=^(modm?)

M

M=加即2…加”，M=—，4為整數(shù)，且滿(mǎn)足M4=1(mod嗎).

(1)求出滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)，并寫(xiě)出第"個(gè)滿(mǎn)足條件的正整數(shù)；

(2)在不超過(guò)4200的正整數(shù)中，求所有滿(mǎn)足條件的數(shù)的和.(提示：可以用首尾進(jìn)行相加).

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

1.(多選題)(湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2023-2024學(xué)年高二學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)

圓幕定理是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理，經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)

引兩條弦被這點(diǎn)所分成的兩線段長(zhǎng)的積相等，己知圓的半徑為5,點(diǎn)尸是圓。內(nèi)的一定點(diǎn)，且尸|=3,過(guò)

點(diǎn)尸引兩條弦NC,BD,則下列說(shuō)法正確的是()

A.莎?定為定值

B.無(wú)?麗的取值范圍為卜25,-7]

C.當(dāng)ZCIBO時(shí)，如圖以。為原點(diǎn)，OP為x軸，則48中點(diǎn)M的軌跡方程為/+r-3&-8=0

D.當(dāng)時(shí)，四邊形/BCD面積的最大值為40

2.(重慶市南開(kāi)中學(xué)高2023-2024學(xué)年高一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)測(cè)試題)對(duì)于四個(gè)正數(shù)辦小P、Q,若滿(mǎn)足

mq<np,則稱(chēng)有序數(shù)對(duì)(見(jiàn)〃)是(p,q)的“下位序列”.

⑴對(duì)于2、3、7、11,有序數(shù)對(duì)(3,11)是(2,7)的“下位序歹廣嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；

(2)設(shè).、b、a、〃均為正數(shù)，且(。,6)是(c,d)的嚇位序列”，試判斷修之間的大小關(guān)系.

bab+a

3.(上海市12校2024屆高三學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)我們規(guī)定:對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，若存在數(shù)列｛g｝和實(shí)數(shù)x(xw0),

2

使得/=%+&尤+a3x+.?.+a/i,則稱(chēng)數(shù)/可以表示成x進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為：

/=x~(%)(%)(%)…(q_J(q,).如：/=2~(-1)(3)(-2)⑴.則表示N是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且

^=-1+3X2+(-2)X22+1X23=5.

(1)已知機(jī)=(1-2x)(l+3f)(其中xwO),試將加表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式.

(2)若數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%=2,軟-I/丘N*,〃=2~(%)㈤3)…(%1.2乂%乂%,)，(〃€尸),是否存在實(shí)

1Uk

常數(shù)。和心對(duì)于任意的〃eN*,”=p-8"+q總成立？若存在，求出。和鄉(xiāng)；若不存在，說(shuō)明理由.

⑶若常數(shù),滿(mǎn)足』且f>-l&=/~(C：)(W(C)…求獨(dú)白.

4.(2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽試題)若〃、a、b均為正整數(shù)，且〃=a+b,P為一素?cái)?shù)，〃、

SSS

a、6的2進(jìn)制表示分別為"=2%。'，。=8/'0=24。\其中，04%、生、44p-l(，=0,L…,s).證明：

z=0z=0z=0

⑴若"=》p，(4m=0,1,…,s),且對(duì)整數(shù)/(04/45)均有>。'?(。-1)。'，則：=*小,

其中，卜］表示不超過(guò)實(shí)數(shù)尤的最大整數(shù).

⑵"/ir!=，=|｛'1%+">"('=°1式.")｝卜其中，|/|表示集合A中元素的個(gè)數(shù)，

5.(湖南省衡陽(yáng)市2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用.所有大于1的

正整數(shù)"都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式：〃=說(shuō)m2…左為〃的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，區(qū)為質(zhì)數(shù)，

彳N1/=1,2,…,左)，例如：90=2x32x5,對(duì)應(yīng)1=3,夕［=2,2=3,必=5,4=1,0=2,.=1.現(xiàn)對(duì)任意〃EN*,

1,72=1

定義莫比烏斯函數(shù)〃⑺=<(-球力一??=〃=1

0,存在々>1

⑴求〃(78)*(375)；

(2)若正整數(shù)x,y互質(zhì)，證明：〃(中)=〃(x)〃5)；

⑶若">1且〃(〃)=1,記〃的所有真因數(shù)(除了1和〃以外的因數(shù))依次為卬出，…，％,，證明：

〃(4)+〃(。2)+…+〃(5)=-2.

6.(2024年1月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試(九省聯(lián)考)數(shù)學(xué)試題)離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重

要的應(yīng)用.設(shè)P是素?cái)?shù)，集合X={1,2,…4-1},若記為"V除以P的余數(shù)，〃"，?為十

除以P的余數(shù)；設(shè)aeX,l.Q?,…兩兩不同，若優(yōu)，。=6(〃?0,1廣.，。_2}),則稱(chēng)〃是以。為底6的

離散對(duì)數(shù)，記為〃=log(P)/.

⑴若。=11,。=2,求小埠

⑵對(duì)叫，叫仁{0,1,…,p-2},記叫十根2為加i+加2除以P-1的余數(shù)(當(dāng)%+啊能被P-1整除時(shí)，

叫十刈2=0).證明：logS)a(6<8)c)=log(p)aZ^log(p)5,其中七ceX；

2

⑶已知"=bg())M.對(duì)xeX#e{l,2,…,p-2},令必=x0A?.證明：x=y20y"^^.

JT

(1)當(dāng)c=H時(shí)，求四邊形0/C3的周長(zhǎng)；

(2)克羅狄斯?托勒密(“。/續(xù)v)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊

形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，則

當(dāng)線段OC的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求DNOC.

(3)問(wèn)：8在什么位置時(shí)，四邊形ONC3的面積最大，并求出面積的最大值.

如圖，在凸四邊形/BCD中,

圖I圖2~

⑴若43=五,3。=1,乙（圖1）,求線段BD長(zhǎng)度的最大值；

⑵若/8=2,8。=6,"=8=4（圖2）,求四邊形/BCD面積取得最大值時(shí)角/的大小，并求出四邊形Z8CO

面積的最大值.

7.（江蘇省南通市如東縣等2地2023-2024學(xué)年高一學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖,半圓O的直徑為2cm,

A為直徑延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，OA^2cm,B為半圓上任意一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角形A8C.設(shè)=

（1）當(dāng)口為何值時(shí)，四邊形CMCB的面積最大，并求出面積的最大值；

（2）克羅狄斯?托勒密（尸加/e叼）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四

邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，

則當(dāng)線段OC的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求/ZOC.

8.（上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如果一個(gè)正多面體的所有面都是全等

的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這個(gè)多面體叫做正多面體.有趣的是只有正四面

體、正方體、正八面體、正十二面體和正二十面體五種正多面體，現(xiàn)將它們的體積依次記為，匕，乂，匕，匕2,曝.

正六面體正二十面體

（正方體）

（1）利用金屬板分別制作正多面體模型各一個(gè)，假設(shè)制作每個(gè)模型的外殼用料（即表面積）均等于24gcm2,分

別求出匕和匕的值；并猜想匕2與曝的大小關(guān)系（猜想不需證明）

（2）多面體的歐拉定理：簡(jiǎn)單多面體的面數(shù)尸、棱數(shù)E與頂點(diǎn)數(shù)/滿(mǎn)足：廠+尸-￡=2.已知正多面體都是簡(jiǎn)

單多面體，設(shè)某個(gè)正多面體每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)為加，每個(gè)面的邊數(shù)為〃，求九耳￡滿(mǎn)足的關(guān)系式；并

嘗試據(jù)此說(shuō)明正多面體僅有五種.

9.（2022年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）近些年來(lái)，三維掃描技術(shù)得到空前發(fā)展，從而催生了數(shù)

字幾何這一新興學(xué)科.數(shù)字幾何是傳統(tǒng)幾何和計(jì)算機(jī)科學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物.數(shù)字幾何中的一個(gè)重要概念是曲率，

用曲率來(lái)刻畫(huà)幾何體的彎曲程度.規(guī)定：多面體在頂點(diǎn)處的曲率等于2%與多面體在該點(diǎn)的所有面角之和的差

（多面體的面角是指多面體的面上的多邊形的內(nèi)角的大小，用弧度制表示），多面體在面上非頂點(diǎn)處的曲率均

為零.由此可知，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正方體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每

個(gè)面角是g,所以正方體在各頂點(diǎn)的曲率為2萬(wàn)-3x1=W，故其總曲率為4%.

222

⑴求四棱錐的總曲率；

（2）表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱(chēng)為簡(jiǎn)單多面體.關(guān)于簡(jiǎn)單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡(jiǎn)單多面

體的頂點(diǎn)數(shù)為。，棱數(shù)為面數(shù)為則有：Z+M=2.利用此定理試證明：簡(jiǎn)單多面體的總曲率是

常數(shù).

10.（北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)2024屆高三學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)陣4=""的,其中

422J

an,a12,a2l,a22e{1,2,3,4,5,6}.設(shè)S=佃勺,…,q}1{1,2,3,4,5,6},其中q<e2cL<q,/eN*且/w6.定義變

換外為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有左或-左，則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以T;若其中沒(méi)有左且沒(méi)有-左,

則這一行中所有數(shù)均保持不變”（左=弓勺,…,q）雙（4）表示“將4經(jīng)過(guò)%變換得到4，再將4經(jīng)過(guò)線變換得

到4,…以此類(lèi)推，最后將4T經(jīng)過(guò)/變換得到4.記數(shù)陣4中四個(gè)數(shù)的和為4（4）?

⑴若4=1*,S={1,3},寫(xiě)出4經(jīng)過(guò)外變換后得到的數(shù)陣4,并求的值;

⑵若4=[；^S={et,e2,e^,求刀（4）的所有可能取值的和；

（3）對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣4,證明：4（4）的所有可能取值的和不超過(guò)-4.

11.（北京市人大附中2024屆高三10月質(zhì)量檢測(cè)練習(xí)數(shù)學(xué)試題）如圖，7是3行3列的數(shù)表，用羯億/=1,2,3）

表示位于第i行第j列的數(shù)，且滿(mǎn)足因e{0,1}.

an“2%3

出1。22%

“32。33

數(shù)表中有公共邊的兩項(xiàng)稱(chēng)為相鄰項(xiàng)，例如上表中對(duì)的相鄰項(xiàng)僅有心和出一對(duì)于數(shù)表7，定義操作對(duì)為將

該數(shù)表中的附以及%的相鄰項(xiàng)從x變?yōu)閘-x,其他項(xiàng)不變，并將操作的結(jié)果記為玲（T）.己知數(shù)表4滿(mǎn)足

a,=0,z,7-e（l,2,3}.記變換中為〃個(gè)連續(xù)的上述操作，即于:小，如丁…，為,，使得

7]=%（幻＜=期（外,…工=%.（&J,并記7；==（3

⑴給定變換中：件,外，933,直接寫(xiě)出4=%（7；）.

（2）若7,滿(mǎn)足牝=%=/2=出3=1，其他項(xiàng)均為0.%是含〃次操作的變換且有7'=%（7；），求"的最小值.

（3）若變換空中每個(gè)操作％至多只出現(xiàn)一次，則稱(chēng)變換中是一個(gè)“優(yōu)變換”，證明：任給一個(gè)數(shù)表

7:（他），他e{0,l}Zje{l,2,3},存在唯一的一個(gè)“優(yōu)變換”中，使得7=乎（3.

12.（北京市東城區(qū)2023-2024學(xué)年高一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）對(duì)于三維向量

。斤=6，%/，（4，%/斤?電左=0,1,2/一）,定義