安徽省蕪湖市某中學2024-2025學年高一年級上冊期中考試數學題（解析版）

蕪湖一中2024-2025學年第一學期期中考試

高一數學試卷

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

1.已知xeR,"R,則“x>l且y>l,,是“x+y>2,,的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據不等式的性質、充分和必要條件等知識確定正確答案.

【詳解】若"4>1且y>i”，則x+y>2；

若"y>2”,則可能x=O,y=3,不能得至且y>l”.

所以“x>1且y>1”是“x+y>2”的充分不必要條件.

故選：A

2已知集合4=卜上2—120},集合8=<xx—g?0，,

則(\A)U5=()

,1

A.>1}B.4X-1<%<—>

2

1,

x—<%<!>D.{x\x<l]

2

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式求得集合A3,進而求得（\A）B.

【詳解】x2-l=(x+l)(x-l)>0,解得尤W—1或工>1,所以A={x|xW—1或行1},

所以"A={x|-l<x<l},B=

所以&A)UB={x|x<l}.

故選：D

3.己知函數y=/（x）的定義域為[T4],則y的定義域為

A.[-1,4]C.D.(1,9]

【答案】B

【解析】

【分析】根據函數定義域的求法來求得正確答案.

f-l<2x+l<43

【詳解】依題意，〈解得1<XW—,

%-1>02

f(2x+l]、(3,

所以y=—/的定義域為11,—

\x—l\2

故選：B

4.設。，beR,且a>6,則下列不等式一定成立的是（）.

A.一〈不B.ac2>bc2C.同〉網D.a3>Z?3

ab

【答案】D

【解析】

【分析】舉反例即可求解ABC,利用作差法比較數的大小可判斷D.

【詳解】對于A,取。=2/=—1,可得!=工〉,=—1,故A錯誤；

alb

對于B,當c=0時，可得近2=反2,故B錯誤；

對于C,取。=-11=-2,可得同=lv網=2,故C錯誤，

b3

對于D,因為Q3-b3=(a-b\a2+=(〃_/?)[(〃+—了+-Z?2],

24

A3

又a>b,不能同時為0,所以(〃—?[(，+—y+―/]>0,所以〃3>。3,故D正確;

24

故選：D.

5.不等式矍，>0的解集為{x|x<—1或x>4},貝U（x+a）3x—1）20的解集為（）

B.□,+“)

1

D.(-oo,-l]—,+oo

4

【答案】C

【解析】

【分析】根據分式不等式的解求得進而求得（％+。）（公-1）20的解集.

【詳解】不等式矍j>0o（以+i）（x+b）>0的解集為{x|x<—1或％〉4},

1.-ab+\7I

-I+4—3—------——b—

aa

則a>0,ax2+(^ab+l)x+b>0,所以<

b

-lx4=-4A=一

a

解得。=1（負根舍去），則b=-4.

所以不等式(x+a)(瓜—1)20,即(x+l)(Tx—l)?0,(x+l)(4x+l)W0,

解得—即不等式（x+a）（Zzx—1）20的解集為

故選：C

6.已知a>0,b>0,a+b=ab-3,若不等式〃+Z?22加？一12恒成立，則加的最大值為（）

A.1B.2C.3D.7

【答案】C

【解析】

【分析】先求得〃的最小值，由此列不等式來求得加的范圍，從而求得加的最大值.

2

a+b

【詳解】a+b=ab—3<I-3,當且僅當a=/?=3時等號成立,

2

a+6)/、/\2/、

所以-——(a+b)-320,(a+Z?)-4(a+Z?)-12N0,

(Q+〃+2)(Q+b-6”0,a+Z?N6,

而不等式〃+2加2—12恒成立，所以2根2—12<6,加2?9,-34加<3,

所以加的最大值為3.

故選：C

7.“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，用以標明兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總

和，其定義如下：在直角坐標平面上任意兩點,3(%，%)的曼哈頓距離

d(A5)=歸一人+|%—若點4(2,1),點尸是直線y=x+3上的動點，則d(M,P)的最小值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根據曼哈頓距離列式，利用函數的單調性來求得最小值.

詳解]設尸(/j+3),tZ(Af,P)=|r-2|+|r+3-l|=|r-2|+|r+2|

—2t,t<—2

=<4,-2<t<2,

2t,t>2

y=-2，在—2)上單調遞減，y=2/在(2,+“)上單調遞增，均有d(/,P)>4,

所以當—2WZW2時，d(MP)取得最小值為4.

故選：C

8.已知/(x),g(x)是定義域為R的函數，且/(幻是奇函數，g(x)是偶函數，滿足

/(x)+g(x)=a/+x+2,若對任意的1<玉<馬<2,都有g(")—g(/)>_5成立,則實數。的取值

%-x2

范圍是()

A.[0,+oo)B.-C.D.——,0

【答案】B

【解析】

【分析】根據奇偶函數構造方程組求出g(x)的解析式，再根據題意得到MX)=加+3X+2在尤?1,2)

單調遞增，分類討論即可求解.

【詳解】由題意可得)+g(—x)=av2-x+2,

因為/(九)是奇函數,g(x)是偶函數,

所以一/(%)+8(%)=加一%+2,

/(x)+g(x)=ax2+x+2

聯立<解得g(x)=^+2,

-f(x)+g(x)=ax1-x+2

又因為對于任意的1<占<X,<2,都有屋,)一屋"2)>—5成立，

%一工2

所以g(x,)—g(x2)<-5x,+5x2，即g(xj+5xi<8(%)+5X2成立，

構造/z(x)=g(x)+5x=or2+5x+2,

所以由上述過程可得入(％)=加+5x+2在xe(l,2)單調遞增，

若。<0,則對稱軸/=—<-22,解得一▲<。<0；

2a4

若〃=0,則/i(x)=5x+2在x?l,2)單調遞增，滿足題意；

若Q>0,則對稱軸X=—―<1恒成立；

o2a

「5、

綜上，ae--,+oo.

L4)

故選：B

二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多

個選項是符合題目要求的，全部選對得6分，有選錯得。分，部分選對的得部分分)

9.下列說法正確的是()

A.y=yfx+1-。X-1與y=J%'—1表示同一■個函數

B."℃<0”是，一元二次方程a/+j%+c=。有一正?—負根，，的充要條件

C.若命題p：3x>0,2*=3，則->中3x<o,2*/3

D.若命題4：對于任意xeR,丁+2%—。>0為真命題，則。<—1

【答案】BD

【解析】

【分析】根據相同函數、充要條件、存在量詞命題的否定、一元二次不等式恒成立等知識對選項進行分析,

從而確定正確答案.

%-1>0

【詳解】A選項，對于函數丁=+,

%+1>0

解得XN1,即函數的定義域是[1,+8);

對于函數丁=—1,犬一120,》<-1或xN],

即函數的定義域是(f,—1］、［1,+8).

所以兩個函數不是同一函數，A選項錯誤.

B選項，設/(x)=G?+fer+c(awO),

/(%)有一正一負兩個零點oa?/⑼=ac<0,

所以“ac<0”是“一元二次方程改2+公+o=0有一正一負根”的充要條件，B選項正確.

C選項，命題。閆x2。，2工=3，則2*/3，C選項錯誤.

D選項，命題4：對于任意xeR,X?+2x—a>0為真命題,

則A=4+4a<0,a<—1,所以D選項正確.

故選：BD

10.下列選項正確的有()

A.當尤e(l,+?))時，函數y==一2;+2的最小值為2

3

B.xe(YQ,l),函數y=x+——的最大值為一2G

x—1

+5

C.函數丁=刀=的最小值為2

V%2+4

D.當a>0,/?>0時，若a+b=2ab,則a+2。的最小值為0

2

【答案】AD

【解析】

【分析】根據基本不等式知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

22

【詳解】A選項，x>l,x-l>0,^-2%+2=(%-1)+1=^_1+^

x-1x-1x-1

22」(x—l)x」一=2,當且僅當x—1=—1一,x=2時等號成立，所以A選項正確.

Vx-1x-1

=」=

B選項，x<l,x-l<0,yl+3+l—(1)+4+1

x-1x-1[-(x-1)

K一2J-(I)百，

一(尸1)

當且僅當一(X—1)=/—，X=1-6時等號成立，所以B選項錯誤.

2

…工+5x+4+1[―;―-1「I/2.1.

C選項，y=I-=-I=yx+4H—,>2K/x+4■—/==2,

但無解，所以等號不成立，所以c選項錯誤.

VX2+4

D選項，當。>0,〃>0時，若a+b=2ab,則巴吆='-+」-=1,

2ab2b2a

〃(11y3ab

'\2b2a)22ba

b-+V2,當且僅當上_=2,。="；=變土1時等號成立,

a22ba2

所以D選項正確.

故選：AD

|x-l|,0<x<3

11.已知定義域為R的奇函數/(%)，滿足"%)=<4，下列敘述正確的是()

----,x>3

、x-1

A.函數的值域為[-2,2]

B.關于x的方程〃x)=；的所有實數根之和為11

C.關于x的方程/(尤)=0有且只有兩個不等的實根

D.當xe[-3,0)時，"％)的解析式為/■(%)=—忖+1|

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據函數的奇偶性、值域、方程的根、解析式等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

-x+l,0<x<1

【詳解】當x>0時，有/(x)=x—,

—x—1,—1<x<0

當x<0時，—x>0,所以/>(x)=-f(-x)=<x+l,-3Vx<—1,

由于是定義在R上的奇函數，所以"0)=0.

/(1)=/(-1)=0,/(3)=2,/(-3)=-2,

由此畫出"％)的圖象如下圖所示，

由圖可知/(九)的值域為[-2,2],A選項正確.

41

當%>3時，令----=—,解得x=9,

x~l2

所以關于X的方程/(x)=g的所有實數根之和為1x2+9=11,B選項正確.

關于x的方程/(￡)=0的根為-1,0,1,所以C選項錯誤.

當xe[—3,0)時，/⑴,=—K+l|,所以D選項正確.

【點睛】關鍵點睛：

奇函數對稱性的準確應用：奇函數的對稱性是解題的基礎，通過這種對稱性可以有效判斷函數的值域和方

程根的性質.

函數圖象的輔助分析：通過繪制函數圖象并結合代數分析，可以更直觀地理解函數的行為，是解題過程中

非常重要的輔助手段.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.己知。，eR,A=11,3,?21,B=[l,a+2,b],若A=5，則a+A=

【答案】5

【解析】

【分析】根據集合相等求得。力，進而求得a+b.

3=。+2\3=b

【詳解】依題意，A=B，所以12,或12C.

a=b[a=a+2

3=a+2

由42,解得a=Z?=l，與集合元素的互異性矛盾.

a~=b

3=b

由4,c解得b=3,a=2,a=—1(1=1與集合元素的互異性矛盾，舍去),

a~=a+2

則A=5={1,3,4},所以a+b=5.

故答案為：5

13.已知/■(石+l)=x+2?,求/(九)的解析式為.

【答案】/(x)=x2-l,(x>l)

【解析】

詳解】配湊法：6+1)=1+2&+1)-1=(五+1)-1

故答案為：f(x)=x2-l,(x>l)

換元法：令?+1=△1，則％=(，-丁，代入/■(6+l)=x+2&可得

f(t)=(f-l)2+2(l-l)=l2-l

故答案為：/(x)=x2-l,(x>l)

14.己知方程6x2一x+2a=0的兩根分別為X],%，%產々，若對于V，?2,3],都有f—；?片+君恒

成立，則實數。的取值范圍是

531

【答案1---<a<—

2448

【解析】

【分析】利用根與系數關系、函數的單調性以及不等式恒成立等知識來求得。的取值范圍.

【詳解】方程6%2—x+2a=0的兩根分別為占，%，為/々，

所以A=1—48〃>0,4<,%1+%2~~%％=~，

2

X；+君=(%1+%2)-2^%2=--^.

113

函數y="：在［2,3］上單調遞增，當/=2時取得最小值為2-Q=^，

由于對于V?e[2,3],都有"%x；+x；恒成立,

2a3.,?531

所以X；+%2=------<一,解7得z----<a<—

~36322448

531

故答案為：----<a<――

2448

【點睛】思路點睛：

利用根與系數關系確定函數性質：首先通過根與系數的關系，找到方程的根之間的聯系，這一步為后續(xù)的

不等式求解奠定了基礎.

分析函數單調性并求解最小值：利用函數的單調性，找到函數的最小值，并代入不等式進行求解，從而確

定實數。的取值范圍.

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.己知集合A={x|a+lWxW2a_l},3={%]-14%46}.

(1)當a=4時，求Ac5；

(2)若“xeA”是“％e8”的充分不必要條件，求實數。的取值范圍.

【答案】(1){x|5<x<6}

(7-

(2)-oo,-

I2j

【解析】

【分析】(1)根據交集的知識求得正確答案.

(2)根據充分不必要條件以及對A是否為空集進行分類討論，從而求得。的取值范圍.

【小問1詳解】

當a=4時，A={x|5<x<7},

所以Ac6={x|5WxW6}.

【小問2詳解】

由于“xeA”是“xe的充分不必要條件，所以A是3真子集的，

若a+l>2a-l,即a<2,A=0,滿足A是3真子集的.

若a+lW2a—1,即。22,要使A是3的真子集，

<2+1>—17

則需c,,(且等號不同時成立)，?m<a<-.

2tz-l<62

綜上所述，。的取值范圍是1一%：.

16.已知幕函數/(%)=(m2—3m+3)/+2時4為定義域上的偶函數.

(1)求實數m的值；

(2)求使不等式/(2/-1)</(r)成立的實數t的取值范圍.

【答案】(1)2

【解析】

【分析】(1)根據幕函數的定義和偶函數的知識即可得解.

(2)根據函數奇偶性和單調性求得不等式的解集.

【小問1詳解】

由于/(九)是幕函數,所以m2-3m+3=1,nr-3m+2=0,=1或機=2，

當m=1時，/(力=九7是奇函數，不符合題意.

當帆=2時，/(%)=/是定義在R上的偶函數，符合題意.

所以m=2.

【小問2詳解】

由(1)得=/是定義在R上的偶函數，

f(x)在(-8,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，

所以等式“2/—1)</⑺即"-1|<W,

兩邊平方并化簡得3r—4/+1=?！?)(3/—1)<0,

解得;</<1,所以不等式的解集為

17.已知函數/(4)=加+Zzx+1.

(1)若2Q=Z?+1,且avO,求不等式/(x)>3的解集(結果用〃表示);

(2)若/⑴=3,且a,6都是正實數，求,+上的最小值.

ab+1

【答案】(1)答案見解析

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)利用條件將題設不等式化成一元二次不等式，根據參數的取值范圍，確定其解集，最后分類表

述即得；

(2)由條件得到a+〃+l=3,利用1的妙用，運用基本不等式，可求最小值.

【小問1詳解】

由2a=b+l,可得Z?=2a—1,

由/(x)〉3,可得以之+(2a—l)x+l>3,即(x+2)(ax—l)>0,

當a<—工時，解得-2<x〈工，當。=—工，解集為0,

2a2

當—L<a<0時，解得工<x<—2,

2a

綜上所述：當a<-工時，原不等式的解集為(-2,工)，

2a

當。=-工，原不等式的解集為0,

2

當—!<a<0時，原不等式的解集為(工,—2),

2a

【小問2詳解】

若/(1)=3,可得/(l)=axl2+bxl+l=3,所以a+〃+l=3,

111力+1a、4

所以-----二—(----1------)(。+Z?+1)=-(2H-------F-~~-)>—(2+2.-----x------)=——,

a"13ab+13ab+13ab+1--3

當且僅當—==，即a==L時，取等號,

a。+122

114

所以一十一的最小值；.

ab+13

18.已知函數/(x)=Y±l是其定義域上的奇函數，且/。)=2.

ax+b

(1)求。，b的值；

⑵令函數/2(%)=—+4-2對(x)(加eR),當xe[l,3]時，丸⑴的最小值為一8,求加的值.

【答案】(1)a=l力=0

(2)m-A/6

【解析】

【分析】(1)根據函數的奇偶性以及/。)=2可求得a/.

(2)利用換元法，結合二次函數的性質、最值來列方程，從而求得加的值.

【小問1詳解】

依題意/(l)=—^=2,a+b=l,

J(x)是奇函數,/(%)+/(-%)=0,

X2+1+12Z?(x2+1)

'上+=-,----9_J=0恒成立，所以6=0,則a=l,

ax+b-ax+byax+b)[-ax+bj

此時〃x)=二生，定義域是{xlxwO},

X

f+1

/(-%)=--=-/(%),符合題意.

—X

X211

所以〃=1,方=0,〃%)=---+-=%+一.

XX

【小問2詳解】

1

函數丸(》)=,+1-JxlmeR,xe[1,3]),

2+X

函數y=x+，在區(qū)間[1,3]上單調遞增，最小值為1+1=2,最大值為3+；=；.

XIJJ

110001

☆r=--G2,--,則廣=x+2d----,

XL3」X2

所以h(久)轉化為丁=/一2m/一2[2</<￥),函數圖象開口向上，對稱軸為『=機,

當機<2時，函數y=〃—2〃“—212V/<wJ在2,y上單調遞增，

最小值為4-4m-2=2-4m=-8,wz=—,不符合.

2

當2<根時，最小值為根2-2相2-2=-根2-2=-8,根=太(負根舍去)，

當加〉”時，函數》=「—2/加—22</<W在2,—上單調遞減，

3I3；L3J

f10^10c8220m77_.

取B小值為|--2mx-----2=------------=—8o，m=一,不符合.

I3J39330

綜上所述，m=V6.

【點睛】方法點睛：

奇函數的性質：利用奇函數的定義來確定參數值，是解決小問1的主要方法.

換元法與二次函數分析：通過換元法將復雜的函數問題轉化為二次函數問題，利用二次函數的最值和單調

性來解決符合條件的求解，是小問2的關鍵解法.

邏輯推理與驗證：通過邏輯推理來驗證最值條件，確保每種情況都得到充分的分析，是確保答案正確的重

要方法.

19.一般地，若函數〃尤)的定義域是可，值域為囪他］,則稱［勿，煙為“龍)的"七倍跟隨區(qū)間”，

若函數的定義域為［a,可，值域也為可，則稱可為〃龍)的“跟隨區(qū)間”.

(1)寫出二次函數/(x)=gx2的一個“跟隨區(qū)間”；

(2)求證：函數g(x)=l-工不存在“跟隨區(qū)間”；

X

(3)已知函數網力=("+；)1行氐。/0)有“4倍跟隨區(qū)間”［4m,4可，當〃一加取得最大值

Cl

時，求a的值.

【答案】⑴［0,2］⑵證明見解析

(3)a=15

【解析】

【分析】⑴求得值域［0,+8),可得［a,可口0,+8),進而可得/(力=3必=工有兩個非負根，求解即

可;

⑵假設［a力仁{x|xwO},利用單調性可得；，進而可得是/—工+1=0的兩個不等且同

1——=b