2025年中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：平移、旋轉(zhuǎn)、折疊等操作探究問題（解析版）

突破05平移'旋轉(zhuǎn)'折疊等操作探究問題

目錄一覽

中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）

重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一操作探究型（不含圖形變化）

A考向二圖形平移型

A考向三圖形旋轉(zhuǎn)型

A考向四圖形折疊型

^:中考解密

綜合與實(shí)踐題是山西中考的必考題，這類題型屬于過程探究題，旨在引導(dǎo)學(xué)生動手操作、自主探索、小組

合作、交流共享.通過圖形的變化考查學(xué)生的動手實(shí)踐、推理論證、幾何直觀和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.在實(shí)踐過程

中，學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，提高解決問題的能力.

更

E重點(diǎn)考向

A考向一操作探究型（不含圖形變化）

1.（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.有一張矩形

紙片4BCD如圖所示，點(diǎn)N在邊/。上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為點(diǎn)/對應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)若點(diǎn)M

恰好落在邊DC上，則圖中與ANW一定相似的三角形是4MCB.

ZA=ZD=ZC=90°,

：.ZDNM+ZDMN^90°,由折疊的性質(zhì)可知，NBMN=NA=90°,

：.ZDMN+ZCMB=90°,

NDNM=NCMB,

:ANDMs4MCB,

故答案為：XMCB.

2.（2023?蘭州）綜合與實(shí)踐：

問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9"平分一個已知

角，”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在

OA和上分別取點(diǎn)C和D,使得OC=OD,連接CD,以CD為邊作等邊三角形CDE,則就是

NN08的平分線.請寫出OE平分的依據(jù)：SSS；

類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：ACOE不一定必須是等邊三角形，只需即可，

他查閱資料；我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角，做法如下：如圖3,在的邊O/,08上分別取

0M=0N,移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M,N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線。。是

的平分線，請說明此做法的理由；

拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐.如圖4,校園的兩條小路N8和NC,匯聚形成了一個岔路口

A,現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈￡,使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路

燈E到岔路口A的距離和休息椅。到岔路口/的距離相等，試問路燈應(yīng)該安裝在哪個位置？請用不帶

刻度的直尺和圓規(guī)在對應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置.（保留作圖痕跡，不寫作法）

圖1圖2

解：(1)：是等邊三角形，

：.CE=DE,

XVOC=OD,OE=OE,

:.△OCE空MODE(SSS),

：.ZCOE=ADOE,

.?.OE是NNO3的平分線，

故答案為：SSS；

(2)'COMMON,CM=CN,OC=OC,

.?.△OCM四△OCN(SSS),

，ZAOC=ZBOC,

射線OC是N40B的平分線;

圖5

點(diǎn)￡即為所求的點(diǎn).

3.(2023?鹽城)綜合與實(shí)踐

【問題情境】

如圖1,小華將矩形紙片先沿對角線折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)8落在對角線3。上，點(diǎn)8

的對應(yīng)點(diǎn)記為9，折痕與邊ND,8C分別交于點(diǎn)E,F.

【活動猜想】

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)夕與點(diǎn)。重合時，四邊形產(chǎn)是哪種特殊的四邊形？答：菱形.

【問題解決】

(2)如圖3,當(dāng)48=4,4D=8,2尸=3時，求證：點(diǎn)B',C在同一條直線上.

【深入探究】

(3)如圖4,當(dāng)N3與8C滿足什么關(guān)系時，始終有與對角線/C平行？請說明理由.

(4)在(3)的情形下，設(shè)NC與2。，即分別交于點(diǎn)。，P,試探究三條線段4P,B'D,斯之間滿

足的等量關(guān)系，并說明理由.

(1)解：當(dāng)點(diǎn)夕與點(diǎn)。重合時，四邊形尸是菱形.

理由：設(shè)跖與8D交于點(diǎn)O,如圖,

由折疊得：EFLBD,OB=OD,

：.ZBOF=NDOE=90。,

?.?四邊形/BCD是矩形，

：.AD//BC,

：.ZOBF=ZODE,

：.4BF0空XDEOCASA),

：.OE=OF,

...四邊形8皮甲是菱形.

故答案為：菱形.

(2)證明：?.?四邊形/8CO是矩形，AB=4,AD=8,BF=3,

：.BC=AD=S,CD=AB=4,ZBCD=90°,

：.CF=BC-BF=8-3=5,

：.BD=VBC2<D2=V82+42=4V5,

如圖，設(shè)M與3。交于點(diǎn)過點(diǎn)夕作夕K_L8C于K,

由折疊得：NA'B'F=NABF=NBMF=NB'MF=90°,B'F=BF=3,BB'=2BM,

NFBM=ZDBC,

.'△BFMsABDC,

BMBFBM3

BC=BD,即8=4^5,

6近

:.BM=5,

:?BB'=5,

?.*/BKB'=ABCD,NB'BK=/DBC,

ABB'KsABDC,

B'KBKBB，B'KBK5

CD=BC=BD,Bp4=8=4V5,

1224

：.B'K=5,BK=5,

2416

：.CK=BC-BK=8-5=5,

：.B，C=W心式1(2=/普產(chǎn)+(當(dāng)產(chǎn)=4,

丫8產(chǎn)+8'。=32+42=25,。產(chǎn)=52=25,

：.B'F1+B'C1=CF1,

：.ZCB'F=90°,

：.ZA'B'F+ZCB'F=90o+90°=l80°,

...點(diǎn)B,,。在同一條直線上.

(3)解：當(dāng)BC=丁目時，始終有4夕與對角線NC平行.

理由：如圖，設(shè)NC、BD交于點(diǎn)、O,

:四邊形48CD是矩形，

：.OA=OB,NABC=9Q°,

,:BC=MAB,

BC

/.ianZBAC=AB=V3,

ZBAC=60°,

:.△OAB是等邊三角形，

ZABO^ZAOB^60°,

由折疊得：ZA'B'B=ZABO=60°,

：.ZA'B'B=ZAOB,

：.A'B'//AC,

故當(dāng)3c=近48時，始終有N0與對角線/C平行.

(4)解：MEF=2(AP+B'D),理由如下：

如圖，過點(diǎn)E作EG_L8C于G,設(shè)EF交BD于H,

由折疊得：EFLBD,B'F=BF,/BFE=/B，F(xiàn)E,

設(shè)4E=m,EF=n,

由(3)得：/BAC=60o=/ABD,

：./BB'F=/DBC=3。。,

f

：.ZBFE=ZBFE=60°f

ai_

：.EG=EFsm600=2n,FG=￡F?cos60°=2n,

'：NEAB=/ABG=NBGE=90°,

四邊形/8GE是矩形，

近

:.AB=EG=2n,BG=AE=m,AD//BC,

2

:.BF=B，F(xiàn)=m+2n,

：.BH=BF,cos3Q°=2(m+2n),

2

：.BB'=2BH=M(m+2n),

,:BD=2AB=6n,

1V3

：.B'D=BD-BB'=y/3n-M(m+2w)=2Mm,

,JAD//BC,

：.ZDEF=ZEFG=60°,

:.NAPE=NDEF-ZDAC=60°-30°=30°=ZDAC,

.,.AP=2AE-cos30o=V3m,

V3V3

.,.AP+B'D=，l/3m+(2w-VS/M)=2n,

a

：.AP+B'D=2EF,

即向E尸=2(AP+B'D).

4.（2023?淮安）綜合與實(shí)踐

定義：將寬與長的比值為2n（"為正整數(shù)）的矩形稱為〃階奇妙矩形.

（1）概念理解：

當(dāng)〃=1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬CAD）與

炳-1

長（CD）的比值是_2

（2）操作驗(yàn)證：

用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖（2））：

第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為E凡連接CE；

第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)展開，折痕為CG；

第三步：過點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)/、3分別落在邊40、3c上，展開,折痕為GK.

試說明：矩形GDCX是1階奇妙矩形.

（3）方法遷移：

用正方形紙片/BCD折疊出一個2階奇妙矩形.要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標(biāo)注.

（4）探究發(fā)現(xiàn)：

小明操作發(fā)現(xiàn)任一個〃階奇妙矩形都可以通過折紙得到.他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4）,點(diǎn)E為正方形4BCD

邊48上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接CE,繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形/G/7E

的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值.請寫出這個定值，并說明理由.

（1）解：當(dāng)n=l時，2n

圖I

延長CG,交8/的延長線于點(diǎn)及,

:四邊形N2CD是正方形，

：.AB//CD,AB=BC=CD=AD,Z5=90°,

AZR=ZDCG,ACDGs^RAG,

DG_CD

AG-AR,

由折疊得，

/GCH=ZDCG,

：.ZR=ZGCH,

：.ER=CE,

設(shè)BE=NE=1,則/2=8C=CZ)=/D=2,ER=CE=YBE2+BC2=遙,

：.AR=ER~AE=4^>-1,

2二DG

/.Vs-12-DG,

.?.DG=V5-1,

DG二代-1

CD~2,

矩形GDCK是1階奇妙矩形；

(3)解：如圖2,

圖2

第一步：對折正方形紙片，折痕為血W；

第二步：對折矩形/。及W,折痕為斯，將正方形展開；

第三步：連接CE,折疊紙片，使CO落在CE上，點(diǎn)。落在〃點(diǎn)，折痕為CG；

第四步：過點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)N、8分別落在邊ND、上，展開，折痕為GK.

則矩形GDCK是2階奇妙矩形；

(4)解：如圖3,

圖3

四邊形/GAE的周長與矩形GOCK的周長比值是定值2,理由如下:

延長CG,交84的延長線于點(diǎn)R,

設(shè)NZ>=/B=8C=CD=a,設(shè)BE=b,則N￡=a-b,

------CDDG

I92--=---

同理(2)可得：ER=CE=7a+b,ARAG,

；.AR="a2+b2-(a-b),

丁_a-------DG

.".va2+b2-(a-b)=a-DG,

...DG="+b2一b,

-22

._一一a+b+-b),

Va

I""22

,:EH=CE-CH=CE-CD=、軟+b-a,

I~~22/22

:四邊形1的周長=后〃+4￡+/6+6〃=(Va+b-。)+(?-b)+AG+DG=Na+b-a+a-

I""22

b+a=Na+b+(a-b),

四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值是5.

5.(2023?淄博)在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動.

(1)操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙片A5CD和CEFG拼成乜”形圖案，如圖①.試判斷：ANC尸的形狀為

等腰直角三角形.

(2)深入探究

小紅在保持矩形488不動的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若48=2,ND=4.

探究一;當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在4D的延長線上時，設(shè)CG與。尸相交于點(diǎn)如圖②.求ACMF的面積.

探究二：連接NE,取/E的中點(diǎn)X,連接如圖③.求線段。燈長度的最大值和最小

值.圖①圖②圖③

解：（1）在R3/BC中，^C=VBC2+AB2,

在RtAC尸G中,CF=VCG2-K1F2,

,:AB=GF,BC=CG,

：.AC=CF,

...△/CB是等腰三角形，

\'AB=GF,ZFGC=ZABC=90°.BC=CG,

:.AABCmAFGCCSAS）,

???/ACG=NGFC,

VZGCF+ZGFC=90°,

JZACG+ZGCF=90°,

：.ZACF=90°,

???△4W是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形；

(2)探究一：,:CD=GF,ZFMG=ZDMC,/G=/CDF=90。,

：.ACDM^AFGM(AAS),

JCM=MF,

■:AC=CF,CDLAF,

：.AD=DF,

,:AB=CD=2,AD=DF=4,

：.DM=4-CM,

222

在R3CQM中，CM=CD+DMf

：.CAfi=22+(4-CM)2,

5_

解得CM=2,

_5

：?MF=2,

1xz55

.?.△CMF的面積=22x2=2；

探究二：連接。E,取DE的中點(diǎn)尸，連接成，取的中點(diǎn)為M、N,連接MN,MH,NH,

：//是NE的中點(diǎn)，

C.MH//DE,S.MH=2DE,

,:CD=CE,

：.CPLDE,DP=PE,

'：MH//DP,且MH=DP,

.,.四邊形MHPD是平行四邊形，

:.MD=HP,MD//HP,

"JAD//BC,MD=CN,

C.HP//CN,HP=CN,

四邊形HNCP是平行四邊形，

C.NH//CP,

：.NMHN=90°,

二〃點(diǎn)在以血W為直徑的圓上，

設(shè)的中點(diǎn)為T,

22

.-.JD7'=V1+2=V5,

的最大值為市+1,最小值為返-1.

方法二：設(shè)/C的中點(diǎn)為T,連接87,

是A/CE的中位線，

工

:.HT=2CE=\,

在以T為圓心，1為半徑的圓上，

???07=、F+22=遙,

...D”的最大值為J5+1,最小值為1.

圖③

6.（2023?寧夏）綜合與實(shí)踐：

問題背景

數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為36。的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展

開探究.

探究發(fā)現(xiàn)

如圖1,在△/BC中，//=36。，AB=AC.

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將A/BC折疊，使邊BC落在邊A4上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,折痕交/C于點(diǎn)。，連

接DE,DB,則48Z）E=72。,設(shè)/C=l,BC=x,那么/￡=1-x（用含x的式子表示）；

底BC臟-1底BC

（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：腰AC=2,這個比值被稱為黃金比.在（1）的條件下試證明：腰肥=

h

~1~；

拓展應(yīng)用

當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形.例如，圖1中的A/BC是黃金

三角形.

如k圖2,在菱形/BC。中，ZBAD=72°,AB=.1.求這個菱形較長對角線的長.

A

LB

BC二

圖I圖2

探究發(fā)現(xiàn)

(1)解：VZA=36°,AB=AC,

：.ZABC=ZC=72°,

???邊落在邊A4上，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)區(qū)

,看NABC=36'

:?/BED=ZC=72°,NEBD=ACBD=2

A

1

BCB

圖1圖2

AZBDE=\SO°-ABED-NEBD=T2。,

AE=AB-BE=AC-BC=\-x,

故答案為:72,1-x；

(2)證明：由(1)知：ZCBD=ZEBD=36°

：.ZA=ZCBD=ZEBD,

：.AD=BD,

???NC=NC,

△ABCs^BDC

ACBC

.1.BC"DC

1二x娓-1

即WTT,解得X=2

底BC遙-i

腰AC=2；

拓展應(yīng)用

如圖，

在NC上截取/￡=/。，連接

?.?四邊形/5CD是菱形，

^ZBCD=36°

yZDAB=36

AACD=2ZDAC=NBAC=AD=AB=\,CD//AB,

:./ADE=NAED=12°,ZADC=1SO°-ZDAB=\OS°,

Vs-1-1

:.DE=2仙=2,

：.ZCDE=ZADC-ZADE=}OS°-72°=36°,

:.NCDE=NACD,

娓-1

：.CE=DE=2,

遙-1=代+1

：.AC=AE+CE=1+2-2.

7.（2023?蘭州）綜合與實(shí)踐：

【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,在矩形N3CD中，￡是邊上一

點(diǎn)，DFLCE于點(diǎn)F,GDLDF,AGLDG,AG=CF,試猜想四邊形/BCD的形狀，并說明理由；

【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2,在正方形/BCD中，E是

邊45上一點(diǎn)，DF_LCE于點(diǎn)、F,AH_LCE于點(diǎn)H,GD_LDF交AH于點(diǎn)G,可以用等式表示線段

AH,CE的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題；

【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3,在正方形

ABCD+,E是邊48上一點(diǎn)，于點(diǎn)"點(diǎn)M在CH上，且4H=HM,連接BH,可以用

等式表

示線段CM,由/的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問

G

題.圖I圖2圖3

解：(1)四邊形是正方形，

理由：..?四邊形/8co是矩形，

24DC=90。，

'：GD±DF,

：.NFDG=90。,

：.ZADG=ZCDF,

又；AG=CF,NG=NDFC=90。,

：./\ADG^/\CDF(AAS),

：.AD=CD,

四邊形/BCD是正方形；

(2)HF^AH+CF,

理由：于點(diǎn)RAH_LCE于點(diǎn)H,GD_LDF交AH于點(diǎn)、G,

四邊形HFDG是矩形，

：.ZG=ZDFC=90°,

:四邊形43co是正方形，

:.AD=CD,/4DC=90°,

ZADG=ACDF,

:.AADG烏△CDF(AAS),

：.AG=CF,DG=DF,

矩形處‘DG是正方形，

HG=HF=AH+AG=AH+CF；

:四邊形N3Cr1是正方形，：.ZBAC=45°,

"：AH±CE,AH=HM,

是等腰直角三角形，

/.ZHAM=45°,

：.NHAB=/MAC,

AH二AB二&

VAM"AC

：.AAHBsAAMC,

BH=AH;&

返.

即88=2CM.

8.(2023?齊齊哈爾)綜合與實(shí)踐：

數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)

學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地.

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在A/BC和中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=30°,連接BE,

CF,延長AE1交C/于點(diǎn)。.則■與CF的數(shù)量關(guān)系：BE=CF,ZBDC=30°：

(2)類比探究：如圖2,在△48C和△/￡尸中，4B=AC,AE=AF,/BAC=NE4F=120°,連接

BE,CF,延長3E,RC交于點(diǎn)D.請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及N5DC的度數(shù)，并說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,A/BC和△/所均為等腰直角三角形，/BAC=NE4F=90。,連接BE,

CF,且點(diǎn)8,E,尸在一條直線上，過點(diǎn)/作NAUBF,垂足為點(diǎn)跖則AF,CF,之間的數(shù)量關(guān)

系：BF=CF+2AM；

(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，AB=2,若平面內(nèi)存在點(diǎn)尸滿足NAP。=90。，PD=\,則5雙好=

7W77-V7

理由如下：如圖1所示：

?/AABC和"DE都是等腰三角形,

：?AB=AC,AE=AF,

又：/BAC=ZEAF=30°,

,△ABE注LACF(SAS),

:?BE=CF,

：.ZABE=ZACDf

??ZAOE=ZABE+ZBAC,

ZAOE=ZACD+ZBDC,

圖I

(2)BE=CF,NBDC=60°,

理由如下：如圖2所示：

證明：:NB4C=NE4尸=120°,

：.ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即

又；AABC和AAEF都是等腰三角形,

'.AB=AC,AE=AF,

:.4BAE咨4CAF(SZS)

：.BE=CF,

：.ZAEB=ZAFC,

VZEAF=120°,AE=AF,

：.NAEF=/AFE=30°,

：.ZBDC=ZBEF-ZEFD=ZAEB+300-(ZAFC-30°)=60°；

(3)BF=CF+2AM,

理由如下：如圖3所示：

???4ABe和LAEF都是等腰三角形，

；?/CAB=NEAF=90。,AB=AC,AE=AF,

：.ZCAB-ZCAE=ZFAE-ZCAE,

即：NBAE=NCAF,

:.LBAE咨ACAE(SAS),

：.BE=CF,

9

：AMLBF,AE=AFfZEAF=90°f

.\EF=2AM,

?：BF=BE+EF,

連接2D,以3。為直徑作圓，

由題意，取滿足條件的點(diǎn)尸，P',則尸。=PZ?=1.ZBPD=ZBP'D=90°,

:.BD=2近,

22

:.BP=VBD-PD=V(2<2)2-12=V7,

連接p/,作于點(diǎn)尸，在8尸上截取5￡=尸￡),

:,NPDA=ABE,AD=AB,

：.AADP^AABE(SAS),

：.AP=AE,ZBAE=ZDAP,

：.NPAE=90°,

由(3)可得：PB-PD=2AF,

PB-PD近-1

.\AF=2=2,

:.SXPAB=2PB?AF=4,

同理可得：SWAB=4,

故A/3尸的面積為：4或4.

圖4

9.（2023?大連）綜合與實(shí)踐

問題情境

數(shù)學(xué)活動課上，老師發(fā)給每名同學(xué)一個等腰三角形紙片/8C,AB=AC,N8/O90。，要求同學(xué)們將

紙片沿一條直線折疊，探究圖形中的結(jié)論.

問題發(fā)現(xiàn)

奮進(jìn)小組在邊/C上取一點(diǎn)。，連接AD,將這個紙片沿AD翻折，點(diǎn)/的對應(yīng)點(diǎn)為E,如圖1所示.

如圖2,小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)￡落在邊上時，/DEC=2N4CB.

如圖3,小紅發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)時，連接CE,若已知48和CE的長，則可求8。的長.

問題提出與解決

奮進(jìn)小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1,請你解答.

問題1：在A/BC中，AB=AC,NA4O90。，點(diǎn)。是邊/C上一點(diǎn)，將沿8。翻折得到AEBD

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在邊8c上時，求證：NDEC=2/ACB.

(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)時，連接CE,若48=4,CE=3,求8。的長.

拓展延伸

小剛受到探究過程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為銳角，嘗試畫圖，并提出問題2,請你解答.

問題2：如圖4,點(diǎn)。是A/BC外一點(diǎn)，AB=AC=BD=4,CD=\,ZABD=2ZBDC,求8C的

問題1,

(1)證明：?.?將A/AD沿2。翻折得到

NBED=NA,

'：NBED+NDEC=180°,

：.ZA+ZDEC=1SO°,

'：AB=AC,

/ACB=/ABC,

：.ZA+ZACB+ZABC=ZA+2ZACB=18O°,

：.ZDEC=2ZACB；

(2)解:如圖1,

作NG_L8D于G,作DELCE于尸，

NAGD=NDFC=90°,

由折疊得，

AD=DE,NADB=NBDE,

:點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，

：.CD=AD,

：.DE=CD,

ZDEC=ZDCE,CF=EF=2CE=2

3_7_

：.DP=CD2-CW=22-(2)2=4,

：ZADB+ZBDE+ZEDC=180°,

2ZADB+ZEDC=180°,

,?ZDEC+ZDCE+ZEDC=1SO°,

：.2ZDCE+ZEDC=180°,

ZADB=ZDCE,

：./\ADG^/\DFC(AAS),

3_

:.AG=DF,DG=CF=2,

在R3ABG中，由勾股定理得，

22

BGJAB-AG=^4^

年+3

:.BD=BG+DG=2；

問題2,

解：如圖2,

圖2

連接作BE上4Q于E,作8b_LC。，交。。的延長線于月,

?:AB=BD,

1

:?/ABD=2/DBE,DE=AE=2AD,

???NABD=2/BDC,

：./BDE=/BDC,

：.CD//BE,

：.CDLAD,

：./BED=ZEDC=ZF=90°,

???四邊形。EB廠是矩形，

：.BF=DE,DF=BE,

在R3ZCQ中，CD=1,AC=4f

:.AD=V^-1^=V15,

715

:.BF=DE=2,

在R32DE中，BD=4,DE=2,

在RtABC尸中，CF=2,BF=2,

??.5C?6）2+（享且.

A考向二圖形平移型

1.（2023?德州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形CM5C是矩形，點(diǎn)5的坐標(biāo)為（6,3）,。是04

=ax+b

的中點(diǎn)，AC,BD交于■點(diǎn)、E,函數(shù)片X-3的圖象過點(diǎn)&E.且經(jīng)過平移后可得到『?個反比例函數(shù)的

圖象，則該反比例函數(shù)的解析式（）

15943

A.尸-x

解：由題知，

A(6,0),2(6,3),C(0,3),

令直線/C的函數(shù)表達(dá)式為％=麻+如

，6k]+b[=0

則出=3,

,勺2

解得I?1=3,

所以打等+3

又因?yàn)辄c(diǎn)。為。/的中點(diǎn)，

所以。(3,0),

同理可得，直線3。的函數(shù)解析式為芹=獷3,

x=4,

貝！Jy=4-3=1,

所以點(diǎn)E坐標(biāo)為(4,1).

將'E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得,

‘吟=3

O

,4a+b=l,

Ja=4

解得ib=-15.

4x-15

v=-----

所以x-3,

4(x-3)-33

v=--------------+4

則'x-3x-3,

將此函數(shù)圖象向左平移3個單位長度，再向下平移4個單位長度,

3

y=一

所得圖象的函數(shù)解析式為：X.

故選：D.

2.(2023?鞍山)如圖，在矩形/8C〃中，對角線NC,BD交于點(diǎn)O,AB=4,BC=4j§,垂直于8C的

直線九W從出發(fā)，沿8c方向以每秒?個單位長度的速度平移，當(dāng)直線九W與CD重合時停止運(yùn)

動，運(yùn)動過程中分別交矩形的對角線NC,BD于點(diǎn)、E,F,以EF為邊在左側(cè)作正方形

EFGH,設(shè)正方形跖G8與重疊部分的面積為S,直線aW的運(yùn)動時間為Zs,則下列圖象能大致

反映S與/之間函數(shù)關(guān)系的是（）

令HE和FG與AB的交點(diǎn)分別為I和K,

因?yàn)橹本€MN沿8c方向以每秒愿個單位長度的速度平移,

則IE=FK=Mt,

又A8=4,BC=473,則/8/O=60°.

所以N/=3K=f,貝!|欣=4-It,即￡尸=4-2t.

故5=正f（4-2t）=~2V3t2+4V3t.

據(jù)此可以排除掉/和。.

再繼續(xù)向右運(yùn)動時，正方形全部在A/OB內(nèi)，

此時S=（4-2f）2.

據(jù)此又可以排除掉C.

故選：B.

3.（2023?濰坊）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形。N8C的頂點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-2,0）,ZAOC=60°.將

菱形33C沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形049C,其中

點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（）

1）D.（-Vs-1）

???ZBEA=90°,

??,點(diǎn)Z的坐標(biāo)為（-2,0）,

：.OA=2,

???四邊形048。是菱形，

：.AB=OA=2,AB//OC,

：.ZEAB=ZAOC=60°,

：.ZABE=30%

.AE-^AB^-X2=1

由勾股定理得BE=VAB2-AE2=V22-12=V3,

：.OE=AE+OA=l+2=?>,

..?點(diǎn)5的坐標(biāo)是（-3,V3）,

將菱形0/8C沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形（TAEC,

二點(diǎn)9的坐標(biāo)為Q2,V3-1）,

故選：A.

(0,5),圖象的頂點(diǎn)為矩形/8C。的頂點(diǎn)。與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)4,C分別在x軸，y軸上，頂

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,5).

(1)求c的值及頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

(2)如圖2,將矩形沿x軸正方向平移f個單位(0</<3)得到對應(yīng)的矩形已知邊

CD',N0分別與函數(shù)4x+c的圖象交于點(diǎn)尸，。，連接尸0,過點(diǎn)尸作PGL4?于點(diǎn)G.

①當(dāng)/=2時，求。G的長；

②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)0不重合時，是否存在這樣的3使得△尸G。的面積為1?若存在，求出此時f的值；若

解(1)..?二次函數(shù)歹=/-4x+c的圖象與丁軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5),

??c=5,

.\y=x2-4x+5=(x-2)2+1,

工頂點(diǎn)V的坐標(biāo)是(2,1).

(2)①如圖1,??1在x軸上，8的坐標(biāo)為(1,5),

當(dāng)1=2時，D',"的坐標(biāo)分別是(2,0),(3,0).

當(dāng)x=3時，y=32-4、3+5=2,即點(diǎn)。的縱坐標(biāo)是2.

當(dāng)x=2時，y=l,即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1.

'：PG±A'B',

，點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是1,

：.QG=2-1=1.

②存在.理由如下：

,.?△尸60的面積為1,PG=1,

；.0G=2.

根據(jù)題意，得：Pt2-4t+5),Q(f+1,t2-2t+2))

：.G(t+1,t2-4t+5),

如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)。的上方時，

圖2

QG=fi—4z+5—(t^~2f+2)=3—2z—2,

此時52(在0</<3的范圍內(nèi)).

如圖3,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)0的下方時,

圖3

QG=t2-2t+2-Ct2-4f+5）=2t-3=2,

二5

此時52（在0</<3的范圍內(nèi)）.

15_

綜上所述，存在使得APG0的面積為1,此時/的值為萬或萬.

5.（2023?襄陽）【問題背景】

人教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第63頁“實(shí)驗(yàn)與探究”問題1如下：如圖，正方形/BCD的對角線相交于點(diǎn)

。，點(diǎn)。又是正方形43C1A。的一個頂點(diǎn)，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形/由Ci。。

1

繞點(diǎn)。怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的想一想，這是為什么？

（此問題不需要作答）

九年級數(shù)學(xué)興趣小組對上面的問題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形的對角線相交于點(diǎn)

PA

。，點(diǎn)P落在線段。C上，PC=左"為常數(shù)）.

【特例證明】

（1）如圖1,將RtAP郎的直角頂點(diǎn)尸與點(diǎn)O重合，兩直角邊分別與邊3C相交于點(diǎn)”，N.

①填空：k=1；

②求證：PM=PN.（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明△PWgAPBN；也可

過點(diǎn)尸分別作/瓦3c的垂線構(gòu)造全等三角形證明.請選擇其中一種方法解答問題②.）

【類比探究】

（2）如圖2,將圖1中的沿OC方向平移，判斷與PN的數(shù)量關(guān)系（用含左的式子表示），

并說明理由.

【拓展運(yùn)用】

（3）如圖3,點(diǎn)N在邊上，NBPN=45°,延長NP交邊CD于點(diǎn)E,若EN=kPN,求左的值.

(1)①解：：將Rt△尸跖的直角頂點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，

PA0A

'.k—PC=0C=1,

故答案為：1;

②證明：

方法一：：四邊形Z8CO是正方形，

：.N4PB=NMPN=90°,/PAB=/PBC=45°,PA=PB,

：.ZAPB-ZBPM=ZMPN-/BPM,

即ZAPM=ZBPN,

:APAM沿APBN(ASA),

：.PM=PN.

方法二：過點(diǎn)尸分別作于G,PHLBC于■H,如圖1,

圖I

則ZPGM=ZPHN=90°,

:四邊形N5CD是正方形，

ZABC=90°,BD平分NABC,

：.PG=PH,NHPG=90。,

：.ZMPN-ZGPN=ZGPH-ZGPN,

即NMPG=NNPH,

：APMG94PNH(ASA),

:.PM=PN.

PM

(2)解：PN=h理由如下：

方法…：過點(diǎn)P作PG〃BD交BC于G,如圖2⑺,

圖26)

ZAOB=ZAPG,ZPGC=ZOBC,

?.?四邊形/BCD是正方形，

ZPAM=ZOCB=ZOBC=45°,ZAOB=90°,

：.NAPG=NMPN=/AOB=90°,NPGC=NPCG=ZPAM,

：.PG=PC,

ZAPG-NMPG=/MPN-ZMPG,

即NAPM=ZGPN,

:APAMs叢PGN,

PMPA

.-.PN=PC=^,

方法二：過點(diǎn)尸分別作PG_LNB于G,PHLBC于■H,如圖2(z-z),

圖2(ii)

則ZPGM=ZPGB=NPHN=90°,

:四邊形/BCD是正方形，

?.ZBAC=ZBCA=45°,ZABC=90°,

'：ZPGA=ZCHP=90°,

.MAPGsdCPH,

PGPA

.1.PH=PC,

ZGPH=NMPN=90°,

：.ZMPN-ZGPN=ZGPH-ZGPN,

即NMPG=NNPH,

:APMGSAPNH,

PMPGPA

.,.PN=PH=PC=h

(3)過點(diǎn)尸作交45于"，作尸H_L8C于“，作PG_L/8于G,如圖3,

圖3

則ZMPN=ZGPH=ZPGM=ZECN=90°,

AZMPN-ZGPN=ZGPH-/GPN,

即NMPG=NM/,

???ZPMG=ZPNHf

由(2)和已知條件可得：PM=kPN,EN=kPN,

:.PM=EN,

：.APGM^AECN(AAS),

：.GM=CN,PG=EC,

*.*/BPN=ZPCB=45°,ZPBN=NCBP,

：.ABPN^ABCP,

PBBN

.-.BC-PB,

:.PB?=BC?BN,

同理可得：PB?=BA?BM,

?；BC=BA,

:?BM=BN,

:?AM=CN,

：.AG=2CN,

NPAB=45。,

：.PG=AG,

:?EC=2CN,

PHEC

tmZENC=HN=CN=2,

令HN=a,則PH=2a,CN=3a,EC=6a,

：.EN=7(3a)2+(6a)2=3aa,

PN=T22+(2a)2

EN3娓a

：.k=PN=V5a=3.

6.(2023?攀枝花)如圖1,在A/BC中，AB=BC=2AC=8,△4BC沿3c方向向左平移得到△OCE,/、

C對應(yīng)點(diǎn)分別是。、￡.點(diǎn)尸是線段BE上的一個動點(diǎn)，連接/尸，將線段/尸繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)至線段

AG,使得/B4D=NF4G,連接歹G.

(1)當(dāng)點(diǎn)方與點(diǎn)。重合時，求尸G的長；

(2)如圖2,連接BG、DF.在點(diǎn)廠的運(yùn)動過程中：

①5G和。咒是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由;

②當(dāng)5尸的長為多少時，△45G能構(gòu)成等腰三角形？

(1)當(dāng)尸點(diǎn)與。點(diǎn)重合時，AF=AC,

由平移可知，CD=AB,CD//AB,

???四邊形四邊形4CE。是平行四邊形，

：?AD=BC,AD//BC,

ZBAD=ZFAG,

：.ZDAF=/FAG,

?；AB=BC,

：.ZBAC=ZACBf

?.?ZDAC=ZACB,

：.ZDAC=ZBAC=ABAG,

???/5是NC/G的平分線，

VAC=AGf

：.AB±CG,

如圖1,過8點(diǎn)作交于〃點(diǎn)，

■:AB=BC=2AC=8,

：.AH=2,

：.BH=2^/15,

2^1CG

/.sinZBAC=8=4,

ACG=FG=2V15；

(2)①DF=BG,理由如下：

如圖2,,:AG=AF,ZDAF=ABAG,AB=AD,

:.△ABG%AADF(SAS),

：.DF=BG；

②如圖2,過點(diǎn)/作4V_LBC交于N,

由①可知2X4X2V15=2*8AN,

：.AN=4^,

當(dāng)/G=/5時，

■:AB=BC=8,

???/G=8,

9：AG=AF,

?"尸=8,

當(dāng)廠點(diǎn)與8點(diǎn)重合時，AF=S,此時5月=0,

當(dāng)5b=25N時，AF=8,在RtA45N中，5N=464T5=7,

：.BF=14；

當(dāng)4G=5G時，AF=BG,

,:DF=BG,

：.DF=AF,

過點(diǎn)尸作FMLAD交于M,

.\AM=DM=4,

U：FMLAD,ANIBC,

:"M=FN=4,

■:BN=7,

:?CN=\,

:?CF=3,

當(dāng)氏4=5G時，

,:DF=BG,

:,AB=DF,

?:AB=CD=BC=AD,

:.DC=DF,

當(dāng)尸點(diǎn)在BE上時，CD=DF,此時C點(diǎn)與尸點(diǎn)重合，

：.BF=BC=8；

綜上所述：2尸的長為14或11或8或0.

m

7.(2023?淄博)如圖，直線y=fcc+6與雙曲線y=x相交于點(diǎn)/(2,3),B(?,1).

(1)求雙曲線及直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將直線向下平移至CD處，其中點(diǎn)C