2025年中考數(shù)學專項復習：幾何圖形中求線段線段和面積等最值問題（4題型）（解析版）

搶分秘籍11幾何圖形中求線段，線段和，面積等最值問題

（壓軸通關）

目錄

【中考預測】預測考向，總結?？键c及應對的策略

【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點

【搶分通關】精選名校模擬題，講解通關策略（含新考法、新情境等）

中考預測

幾何圖形中求線段、線段和、面積最值題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都

有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因導致失分。

1.從考點頻率看，幾何圖形中的性質(zhì)綜合問題，是高頻考點、也是必考點。

2.從題型角度看，以解答題的最后一題或最后二題為主，分值12分左右，著實不少！

搶分通關

題型一線段最值問題

典例精講

【例1X2024?四川成都?一模）如圖1,在四邊形48FE中，/b=90。，點C為線段E尸上一點，使得ZC/8C,

AC=2BC^4,此時防=CF,連接BE,BE1AE,S.AE=BE.

圖1圖2圖3

⑴求CE的長度；

⑵如圖2,點。為線段/C上一動點（點。不與A,C重合），連接50,以為斜邊向右側作等腰直角三

角形8GD.

①當DG〃/B時，試求/。的長度；

②如圖3,點7/為的中點，連接〃G,試問用是否存在最小值，如果存在，請求出最小值；如果不存在,

請說明理由.

【答案】⑴/

⑵①果②當

【分析】

FR11

(1)取45的中點b,連接,證明/FEB=NCAB,得出tanNFE3=—=tanNC48=-則3尸=-跖,

EF22

進而根據(jù)CE=EF-CF=&,即可求解；

(2)①如圖所示，過點。作于點W,過點。作。于點N,證明AOBCSAGB廠得出

DC=41GF，即可得出DM=G尸，證明ADMG9AG尸2,進而證明G在E尸上，根據(jù)已知條件證明。在仍

上，然后解直角三角形，即可求解；

②如圖所示，過點H作HP,跖于點P,連接￡〃，由①可得G在E廠上運動，當所時，的取得

最小值，即G,尸重合時，族的長即為陽的最小值，由①可得/7=孚，求得sin/EL4=①，根據(jù)

310

ZHEF=a+45°=ZETA,即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，取的中點H,連接EH,HC,

圖1

,/BF=CF,ZF=90°,

AZBCF=45°,BC=叵CF，

又：AC1BC

NECA=45°

*.?AE=BE,BELAE

：.ZEBA=45°

：.ZECA=/ABE=45°

J/FEB=/CAB

,：AC=2BC=4f

：.BC=2

BF=CF=4i

tanZC4^=—=-

AC2

FB1

tan/FEB=----=tanNCAB=—

EF2

：.BF=-EF

2

?*-EF=2V2

CE=EF-CF=42

(2)①如圖所示，過點。作。所于點過點。作于點N,

圖2

由(1)可得乙4CE=N4BE=45。

.?.vcnw是等腰直角三角形，

CD=42DM,

VACBF,ADBG都是等腰直角三角形,

：.3=吧=6

BFBG

.BDBG

,?茄―茄

又,：/DBG=/CBF

：.ZDBC=/GBF

：.4DBCS4GBF

:.—也

GFGB

--DC=6GF

：.DM=GF

在△DMGQG網(wǎng)中，

DM=GF

<ZDMG=ZF

DG=BG

：.^DMG^GFB

：.ZMGD=ZFBG

?:/FBG+/FGB=90。

???/MGD+/FGB=90。

又???NDGB=90。

：.ZMGF=180°

???G在斯上，

DG//AB,NDGB=90。

：.ZGBA=90°

?.?ZABE=45。,/DBG=45。=/ABD

???。在防上，

VtanZCAB=-

2f

：.DN=^ANf則=[DN?+AN?=也DN

?：DNLAB,ZABE=45°

：.DN=DB

：.AB=3DN,

VAC=4fCB=2

?*-AB+4?=2卡

DN=-AB=^~,

33

AD=45DN=—f

3

②如圖所示，過點H作HP上EF于點P,連接EH,

圖3

由①可得G在跖上運動，

???當斯時，加取得最小值，即G,尸重合時，心的長即為優(yōu)的最小值,

設4C,EB交于點T,即與①中點。重合，由①可得=￡

AB=245

***AE=Vw9EH=3AB=y[5

.sin/M*加3.

AT1010

3

設NFEB=NCAB=a

則ZHEF=a+45°=NETA,

在RtzXPE/f中，PH=sinZHEFxEH=sinZETAxEH=獨&<6=—.

102

【點睛】證明G點在E尸上是解題的關鍵.

通關指導

本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三

角形.

【例2】（2024?天津紅橋?一模）在平面直角坐標系中，點0（0,0）,/（2,0）,2（2,26））,C,。分別為。4,

05的中點.以點。為中心，逆時針旋轉AOCD得AOC'。',點C,。的對應點分別為點C',D*

⑴填空：如圖①，當點源落在y軸上時，點步的坐標為，點。的坐標為

⑵如圖②，當點C落在03上時，求點。曲勺坐標和ACT的長；

⑶若M為C'。'的中點，求的的最大值和最小值（直接寫出結果即可）.

【答案】⑴（0,2）,

（2）（-1,V3）,BD'=273

（3）4+—,4-—

22

【分析】（1）過C作CT/Lx軸于X,由8（2,26），。為08中點，得。（1,6）,即得OD=,F+同=2,

根據(jù)以點。為中心，逆時針旋轉AOCD,得A。。。，知09=00=2,故。'（0,2）；由/（2,0）,B（2,2司,

nAT11

可得軸，tan/AOB=@^=樞，從而408=60。=/COD=，可得。7/=—OC'=—,

222

OH=43CH=—,故C'[g,￡

2I22J

故答案為：（。，2）,

（2）當點C'落在03上時，過步作D'M_Lx軸于M,求出ND'OG=180。-入108-/C'OZ）'=60。，即可得

OG=^OD'=1,OG=V^OG=VL故。BD'=273;

（3）由C,D分別為CM,05的中點，可得CD〃48,CD=、AB=后,從而4DCO=48/0=90。，根

2

據(jù)以點。為中心，逆時針旋轉A。。，得AOC'D',可得/D'C'O=/DCO=90。，CD'=CD=6即得

CM=1CD'=—,OM=4CM1+OC'2=—,知M在以。為圓心，立為半徑的圓上運動；當最大

2222

萬

時，M在80的延長線上，求出的0=02+0/0=4+*-,即敏最大值為

2

4+—;當■最小時，M在線段03上，BM=OB-OM=4--,即即/最小值為4-立.

222

【詳解】（1）解：過C作C'HLx軸于如圖：

OD=J+心j=2,

?.?以點。為中心，逆時針旋轉A。。，得AOCD,

：.OD'=OD=2,

丁點步落在y軸上，

■.,^（2,0）,。為。4中點,

OC=-OA=1=OC,

2

?.?N（2,0）,3（2,26）,

.?.45_Lx軸，tanZAOB=^^=C，

2

/.ZAOB=60°=ZCOD=ZCODf,

.?./C'O〃=90?！?0。=30。，

iiA

CH=-OC=-,OH=^CH=—,

222

122j

故答案為：（0,2）,-^-，―；

（2）解：當點C落在OS上時，過拼作。軸于跖如圖:

由（1）知408=60°,ZCOD'=60°,OD'=2,ZD'OG=180°-ZAOS-ZC'OD'-60°,

ZGD'O=30°,

OG=-OD'=1,D'G=6OG=C,

???3（2,2⑹，

r.m="2+l）+（26-6『=2五；

...點。曲勺坐標為卜1,6）,8〃的長為26;

（3）解：如圖：

VC,。分別為。/,03的中點,

.,.CD是“05的中位線，

CD//AB,CD=-AB=-x2y/3=43,

22

ZDCO=ZBAO=90°,

:以點。為中心，逆時針旋轉AOCD,得AOC'D',

:.NDCO=NDCO=90。,CD=CD=V3.

?.?"是C'?！闹悬c，

iR

C'M=-C'D'=—,

22

.-.OM=ylc'M2+OC2=]J-y=今,

在以。為圓心，YZ為半徑的圓上運動；

2

此時M在30的延長線上,

???3(2,2⑹，

.?.05=卜+0石『=4,

BM=OB+OM=4+—：

2

即即/最大值為4+工

2

當90最小時，如圖:

此時M在線段05上，BM=OB—OM=4—J,

2

.??5加最小值為4-立；

2

綜上所述，四最大值為4+立，最小值為4-立.

22

【點睛】本題考查幾何變換綜合應用，涉及銳角三角函數(shù)，直角三角形性質(zhì)及應用等，解題的關鍵是掌握

含30。的直角三角形三邊的關系.

名校模擬

1.（2024?山東濟寧?模擬預測）已知，四邊形4BCD是正方形，?EF繞點D旋轉（DE<AB）,NEDF=90。,

DE=DF,連接CF.

⑵直線NE與CF相交于點G.

①如圖2,于點BN1CF于點、N,求證：四邊形2MGN是正方形；

②如圖3,連接8G,若48=6,DE=3,直接寫出在A￡>E尸旋轉的過程中，線段8G長度的最小值為

【答案】⑴見解析；

⑵①見解析；②3逐

【分析】（1）利用正方形性質(zhì)可得4。=。。、ZADC=90°,然后利用SAS即可證明結論；

（2）①根據(jù)=/GPC+/GCP,可得NPGN=90。，又因為2M_L/G,BN1GN,所以四邊

形BMGN是矩形，再證明九田三ACNS可得=從而證明結論；②如圖：作，/G交/G于點H,

作于點證明ABGM是等腰直角三角形，然后求出血的最小值即可.

【詳解】(1)證明：?.?四邊形力BCD是正方形，

/.AD=DC,ZADC=90°,

-：DE=DF,/EDF=90°,

/.ZADC=ZEDF,

\BADE=DCDF,

在V/OE和△CO廠中，

DA=DC

</ADE=/CDF,

DE=DF

??△ADE%CDF(SAS).

(2)解：①證明：如圖2中，設4G與5相交于點尸,

圖2

ZADP=90°,

:./DAP+/DPA=90P,

AADE=ACDF,

/.NDAE=ZDCF,

/DPA=/GPC,

:.NDAE+NDPA=NGPC+/GCP=9(3,

/.ZPGN=90°,

-BMLAG,BN工GN,

.??四邊形3MGN是矩形，

;./MBN=90。,

???四邊形485是正方形，

AB=BC,NABC=NMBN=90。,

/ABM=/CBN,

又「ZAMB=NBNC=90°,

:"MB=^CNB,

:.MB=NB,

矩形3MGN是正方形;

②如圖：作交/G于點”，作于點M,

F

?：ADAH+ZBAM=NABM+NBAM=90°,

：.ADAH=NABM,

又,：AD=BA,ZDHA=ZAMB=90°,

AAMB咨&DHA,

BM=AH,

222

-：AH=AD-DH>4D=AB=6,

OH最大時，NH最小，即點”與點E重合時，DH最大值=DE=3,

22

二?最小值=Z"最小值=^AD-DH=好，=3石，

由（2）①可知，ABGM是等腰直角三角形，

8G最小值=5A/最小值xV2=3A/3X6=3y/6.

故答案為3布.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形

的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識點，尋找并證明全等三角形是解題的關鍵.

2.（2024?重慶?一模）在中，點。為線段8c上一動點，點E為射線/C上一動點，連接AD,BE.

（1）若NC>48,ADLBC,當點E在線段/C上時，AD,BE交于點尸，點尸為BE中點.

①如圖1,若BF=A，BD=3,AD=1,求NE的長度；

②如圖2,點G為線段N尸上一點，連接GE并延長交3C的延長線于點H.若點E為G〃中點,

ZBAC=60°,/DAC=2NEBC,求證：AG+DF=-AB.

2

⑵如圖3,若/C=/8=3,ZBAC=60°.當點E在線段ZC的延長線上時，連接。E,將△OCE沿DC所

在直線翻折至所在平面內(nèi)得到△DC",連接當取得最小值時，摟BC內(nèi)存在點K,使得

ZABK=/CAK,當KE取得最小值時，請直接寫出4K2的值.

【答案】⑴①?。虎谝娊馕?/p>

⑵6一位

31

【分析】⑴①過點E作EG，/。于點G,通過勾股定理得到。廠的長，證明AFDBRFGE(AAS)利用勾

股定理即可求解；

②延長/C至點K,使EK=E4,連接HK,連接尸K交3c于點M,用過證明三角形全等結合直角三角形

的兩個銳角互余，三角形內(nèi)角和等知識即可得證；

(2)△OCE沿直線BC翻折后，點￡的對應點落在直線CM上，當/MLCMr時，取得最小值，通過

含30。角的直角三角形的特征求出乙4K8=120。，過點A作/C的垂線，過點B作8C垂線相交于點。，點K

在以。為圓心，04為半徑的圓上，半徑。4=6，當。，K,￡三點共線時，KE取得最小值，利用勾股

定理相似三角形的判定與性質(zhì)即可得出最后結果.

【詳解】(1)解：①過點E作EGL4D于點G,

A

vADA_BC,EGVAD,

1./BDF=90°,/EG尸=90。，

/.ZBDF=ZEGF,

在RtZ\5Z)尸中，ZBDF=90°,BD=3,BF=而,

點、F為BE中點，

/.BF=EF,

在△立右和△廠GE中，

ZBDF=ZFGE

<Z1=Z2,

BF=EF

:AFDBaFGE(AAS),

：.BD=GE=3,DF=GF=1,

AD=7,

:.AG=AD-DF-FG=l-\-\=5,

在RM/GE中，//G￡=90。，

/.AE=yjAG2+GE2=V52+32=734；

②證明：延長4C至點K,使EK=E4,連接HK,連接廠K交于點

vADIBC,

ZADC=90°f

???點石為由的中點，

:.GE=HE,

在a/GE和LKHE中,

AE=KE

<Z1=Z2,

GE=HE

「.△/GE也△AHE(SAS),

/./3=/4,

/.AD〃KH,

NCHK=NADC=90。,

???/DAC=2/EBC,

設/￡5C=x,/DAC=2x,

在RtZXBZ)尸中，Z5=900-ZEBC=90°-x,

/6=/5=90?！?,

ZAEF=180?！狝DAC-/6=90?！獂,

/.Z6=ZAEF,

:.AF=AE,180°-Z6=180°-Z^￡F,即/7=/FEK,

/.AF=EK,

■:點、F為BE中點，

/.BF=EF,

在△/必和△人■￡尸中，

AF=KE

<Z7=ZFEK,

BF=EF

:.AAFBaKEF(SAS),

;.AB=FK,Z8=Z9,

???ABAC=60°,

AHKM=N4+/9=/3+N8=60°,

Z10=90°-ZHKA/=30°,

/.Zll=Z10=30°,

在中，Z10=30°,

:.HK=-MK,

2

:.AG=-MK,

2

在Rt△尸。M中，Zll=30°,

:.DF=-FM,

2

3AB=/K=+MK)=DF+KH=DF+AG；

(2)如圖，△OCE沿直線3C翻折后，點E的對應點落在直線CM上，當ZMLCN時,AM取得最小值.

由題意可知：Zl=60°,/C=3,ZAMC=90°f

:.ACAM=30°,

13

:.CM=-AC=-

22f

3

:.CE=CM=~,

2

/E=2

2

???/ABK=/CAK,/BAC=60。,

:./ABK+/BAK=6。。,

:.ZAKB=120°

過點A作力。的垂線，過點8作5c垂線相交于點。,

.,.點K在以。為圓心，04為半徑的圓上，半徑OZ=G，當O,K,E三點共線時，KE取得最小值,

此時OE=yj0A2+AE2=,

2

：.KE=OE-AO=叵-6,

2

過點K作K0L/C于點。，

:AEKQSAEOA,

.KEKQQE

'EO~OA~AE

一等9731

31

??.AQF

31

/KJ這+K。J6-匹或者--12扃.

土上3131

【點睛】本題考查了三角形綜合應用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊性

質(zhì)，直角三角形特征，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理等知識，添加輔助線構造直角三角形和全等三角形是

解答本題的關鍵.

3.（2024?陜西西安?一模）問題提出：

（1）如圖①，在“3C中，點M,N分別是AC的中點，若BC=2屈,則兒W的長為.

問題探究：

（2）如圖②，在正方形48c。中，ND=6,點E為AD上的靠近點A的三等分點，點尸為48上的動點，

將A/E尸折疊，點A的對應點為點G,求CG的最小值.

問題解決：

（3）如圖③，某地要規(guī)劃一個五邊形藝術中心/BCDE,已知N/LBC=120。，NBCD=60。,AB=AE=4Qm,

80=8=80111,點C處為參觀入口，DE的中點尸處規(guī)劃為“優(yōu)秀"作品展臺，求點。與點P之間的最小距

離.

【答案】（1）&；（2）2V13-2;（3）點。與點尸之間的最小距離為（20曬-20）m

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線的定義，得到兒W是。8C的中位線，由中位線的性質(zhì)，即可求解，

（2）連接EC,求出EG、EC的長度，在RMEDC中，根據(jù)勾股定理，求出助的長度，根據(jù)兩點之間線段

最短，即可求解,

(3)延長DC到點尸，使產(chǎn)C=DC,作CGL48、萬由bC=DC,點P是。E的中點，得到CP=」EE,

2

根據(jù)四邊形C/-G是矩形，及特殊角三角函數(shù)，得到CH、GB、切的長，在Rt中，根據(jù)勾股定理

求出E4的長，由兩點之間線段最短，得到FE2R4-E4,即可求解，

本題考查了，三角形中位線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，兩點之間線段最短，解題的關鍵是：作輔助線

構造三角形中位線.

【詳解】解：(1):點M,N分別是AB,NC的中點，

/.MN//BC,MN=-BC,

2

,/BC=246,

：.MN=-BC=-X246=46,

22

圖②

:點E為AD上的靠近點A的三等分點，AD=6,

：.AE=-AD=-x6=2,ED=-AD=-x6=4,

3333

在RLEDC中，EC=^ED2+DC2=6+6?=2屈，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，EG=AE=2,

EG+CG>EC,

/.CG>EC-EG=2V13-2，

(3)延長。C到點/，使"=DC,過點C、點尸作CGL/8、FHLAB,分別交延長線于點G、點

H,連接FE\FA,

?；FC=DC,點尸是OE的中點,

Z.CP=-FE,

2

VZABC=nO°,ZBCD=60°,

CD//AB,ZCBG=60°,

'：CG±AB,FHLAB,

：.CG//FH,

四邊形CFHG是矩形,

：.CG=FH,//G=CF=80(m),

/71

在Rtz\CG3中，CG=sin60°-BC=/x80=406(m),5G=cos60°-5C=-x80=40(m),

F〃=CG=40G(m),%=〃G+G3+G/=80+40+40=160(m),

在RtZ\W4中，F(xiàn)A=ylFH2+HA2=J(4O6『+16)=40M(m),

"：FE+EA>FA,

：.FE>FA-EA=(40V19-40)m,

CP=1F￡,>|(40V19-40)=(20Vi9-20)m

故答案為：

（1）6；（2）2713-2；（3）點C與點尸之間的最小距離為（20曬-20）m.

4.（2024?陜西西安?一模）【問題提出】

⑴如圖1，點。為“BC的邊3C上一點,連接AD,ABDA=ABAC,絲=言，若AABD的面積為4,則“CO

AB3

的面積為;

【問題探究】

RF6

（2）如圖2,在矩形/BCD中，AB=6,BC=5,在射線8C和射線CD上分別取點￡、F,使得亍

Cr5

連接/E、8/相交于點P,連接CP,求C尸的最小值；

【問題解決】

（3）如圖3,菱形4BCD是某社區(qū)的一塊空地，經(jīng)測量，48=120米，ZABC=60°.社區(qū)管委會計劃對該

空地進行重新規(guī)劃利用，在射線上取一點E,沿BE、CE修兩條小路，并在小路5E上取點”，將S段

鋪設成某種具有較高觀賞價值的休閑通道（通道寬度忽略不計），根據(jù)設計要求，ZBHC=NBCE,為了節(jié)

省鋪設成本，要求休閑通道C"的長度盡可能小，問S的長度是否存在最小值？若存在，求出S長度的

最小值；若不存在，請說明理由.

圖1圖2圖3

【答案】（1）5；（2）V34-3;（3）存在，最小值為40百米

9

【分析】（1）證明△/8DSACB4,利用相似三角形的性質(zhì)得到SE=：S.?=9,即可得到A/C〃的面積；

4

（2）證明△4B￡S/XBCV,進一步得到//尸8=90。，則證明點P在矩形N3C。內(nèi)部以48為直徑的。。上

運動，連接OP,OC,。。交QO于點P,進一求出OP=O尸=OB=3,OC=后，則CP=OC-OP=扃-3,

由CP2OC-。尸，即可得到CP的最小值；

（3）證明AC5//SA￡3C,得到5c2,則/笈二郎/〃，再證明/出2人班工,得到

ZAHB=ZEAB=120°,證明點”在。。的劣弧前上運動，求得NO8C=90。，進一步求得

OH=AO=BO=404米,勾股定理可得OC=80百米，記OC與。。相交于點H',貝UO/T=。〃=406米，

求出。牙=。。-。/=40百米，由c〃2oc-ar=4o4米，即可得到答案.

【詳解】（1）解：???N2"=NBAC,NB=NB,

：.AABDsACBA,

.S"』叼（2）:4

SwyAB）⑴9,

._9_

=

,?S.?BA=~S..<BD9,

4

&ACD的面積為S.CBA—S.ABD=9—4=5,

故答案為：5

(2)?.?四邊形48co是矩形,

AABE=NBCF=90°,

RF6

——=—,AB=6,BC=5,

CF5

.BE_AB6

…而一菽一丁

???/\ABE^/\BCF,

NBAE=ZCBF,

ZCBF+ZABP=90°

：./BAE+ZABP=90。

：.ZAPB=180。一（ZBAE+/ABP）=90°

???點P在矩形ABCD內(nèi)部以45為直徑的。。上運動,

連接OPQC,。。交OO于點P,

ZABC=90°f

：.OPr=OP=OB=-AB=^OC=y/BO2+BC2=5，

2

:?CP'=OC—OP'=5—3

?:CPNOC—OP,

???當點尸在點P的位置時，。尸取得最小值，最小值用-3;

(3)連接/〃，作的外接圓。。，連接OH,OB,OC,OA,如圖3,

???四邊形"8是菱形,

??.45=5。=120米，AD〃BC,

?：NABC=60°,

???ABAD=180°-ZABC=120°

/BHC=/BCE,ACBH=NEBC,

：.ACBHSAEBC,

.BCBH

BnnPBC2?=BEBH

BEBC

**.AB?=BEBH，

AB_BH

BE~^B

?.,/ABH=/EBA,

：.AABHS^EBA,

：.ZAHB=/EAB=120°

???點”在。O的劣弧AB上運動，

,?AAHB=120°

ZAOB=2(180°-ZAHB)=120°,

OA=OB,

：.ZOAB=AOBA=1(180°-ZAOB)=30°,

：.ZOBC=ZABO+ZABC=90°

在二。8中，/8=120米，ZOAB=ZOBA=3(1P,過點。作OM_L于點M,如圖,

:.AO=BO=BM+40G米，

2

/.OH=AO=BO=40百米，

OC=yjBO^+BC2=80百米，

記0c與。。相交于點TT,則ar=OH=40人米，

CH'=OC-OH'=40G米，

CH>OC-OH'=40百米，

：.CH的最小值為CH'的長，即CH的最小值為40百米

【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、特殊平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理等知識,

熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、添加合適的輔助線是解題的關鍵.

題型二線段和的最小值問題

典例精講

【例1】(2024?四川達州?模擬預測)【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,在QB中，03=3,若將AOAB繞點。逆時針旋轉120。得OA'B',連接BB'，則BB'=.

【問題探究】

(2)如圖2,已知AA8C是邊長為的等邊三角形，以3c為邊向外作等邊△BCD,尸為“8C內(nèi)一點,

連接4P,BP,CP,將△BPC繞點C逆時針旋轉60。，得△D0C,求尸N+P3+尸C的最小值；

【實際應用】

(3)如圖3,在長方形N3C。中，邊48=10,AD=2Q,尸是8C邊上一動點，。為戶內(nèi)的任意一點，

是否存在一點P和一點。，使得/。+。0+尸。有最小值？若存在，請求出此時P。的長，若不存在，請說

明理由.

圖1圖2圖3

【答案】(1)38；⑵12；(3)10-^^

3

【分析】(1)作OCL88'于C,由旋轉的性質(zhì)可得/反加'=120。，OB=OB'=3,由等腰三角形的性質(zhì)及

三角形內(nèi)角和定理可得ZOBB'=ZOB'B=30°,BC=BC,再由含30。角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理計

算即可得出88'=36；

(2)如圖，連接尸Q,由旋轉的性質(zhì)可得/。。尸=60。，CP=CQ,PB=QD,則△尸CQ是等邊三角形，可

得PC=PQ,即可得到P/+必+PC=P/+PQ+。。，故當點。、。、P、A共線時，尸/+PQ+。。最小，

最小值為4D的長，連接4D,作。E1/C于交NC延長線于￡,求出/CDE=30。，則C￡=！CD=26,

2

進一步求出DE=6,AE=65則AD=〃)爐+/爐”,即P/+尸2+PC的最小值為12；

(3)如圖所示，將A/紗繞點/逆時針旋轉60。得到△ZE",連接QE,同(2)可得當〃、E、。、P

四點共線，且打，8c時，/汨+￡。+尸。的值最小，即此時20+。。+尸。最??；設此時尸。交/。于G,

證明則由三線合一定理得到4G=g/D=10,則0G=[zG=警；再證明四邊形N8PG是

矩形，得至!JPG=/B=1O,則尸Q=PG-QG=10-^^.

圖①

???在AONB中，08=3,將AO4B繞點。逆時針旋轉120。得到三角形OH3',

ZBOB'=120°,OB=OB'=3,

:.ZOBB'=ZOB'B,

???ZOBB'+ZOB'B+AB'OB=18。，

180°-ZBOB'

:.ZOBB'=ZOB'B=■=3(J,

2

vOCVBB',

:.ZOCBr=90°,BC=B'C,

13

;.OC=—OB'=—,

22

B'C=BC=yJOB'2-OC2=—

2

:.BB'=B'C+BC=343,

故答案為：36；

(2)如圖，連接尸。，

將△APC繞點C逆時針旋轉60°得△D0C,

ZQCP=60°,CP=CQ,PB=QD,

???△尸C0是等邊三角形，

PC=PQ,

PA+PB+PC=PA+PQ+DQ,

當點。、。、P、A共線時，PN+PQ+DQ最小,最小值為的長，

連接作DE//C于交ZC延長線于E,

?;NDCB=NBCA=60°,AABC邊長為4月，

ZDCE=180°-ZDCB-ZBCA=60°,AC=CD=4

ZCDE=90°-NDCE=30°,

:.CE=-CD=2y/i,

2

DE=ylCD2-CE2=6-AE=CE+AC=,

AD=^JDE2+AE2=12>

P/+P5+PC的最小值為12；

(3)如圖所示，將A/。。繞點/逆時針旋轉60。得到△/￡〃，連接?！?，QE,

：.ZHAD=ZEAQ=90°,EA=QA,HA=DA,HE=QD,

:.AADH,A4QE都是等邊三角形，

QA=QE,

：.AQ+DQ+PQ=HE+EQ+PQ,

:.當H、E、0、P四點共線，且時，HE+E0+尸。的值最小，即此時4。+。。+?。最小;

設此時P。交/。于G,

在矩形ZBCL?中，AD//BC,

：.PHLAD,

：.AG^-AD=10,

2

?C廠V3.?10A/3

??(JCr———AG=-------;

33

'：ZB=90°,AGLPG,BPLPG,

...四邊形/APG是矩形，

PG=AB=10,

,PQ=PG-QG=10一當^

通關指導

本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉的性質(zhì)，勾股定理，含30

度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵在于利用旋轉構造等邊三角形，從而把三條不在一條直線的線段

之和的問題，轉換成幾點共線求線段的最值問題是解題的關鍵.

【例2】（2024?貴州畢節(jié)?一模）在學習了《圖形的平移與旋轉》后，數(shù)學興趣小組用一個等邊三角形繼續(xù)進

行探究.已知08C是邊長為2的等邊三角形.

A

圖1圖2圖3

⑴【動手操作】如圖1,若。為線段8c上靠近點B的三等分點，將線段繞點A逆時針旋轉60。得到線

段ZE,連接CE,則CE的長為

(2)［探究應用】如圖2,。為^ABC內(nèi)一點，將線段4。繞點A逆時針旋轉60°得到線段4E,連接CE,若B,D,E

三點共線，求證：EB平分/AEC；

(3)［拓展提升］如圖3,若。是線段上的動點,將線段繞點。順時針旋轉60°得到線段DE，連接CE.請

求出點。在運動過程中，ADEC的周長的最小值.

【答案】⑴;

⑵見詳解

⑶2+百

【分析】

(1)根據(jù)旋轉性質(zhì)，得=/￡,結合等邊三角形的性質(zhì),得ABAD=NCAE,=4C,證明^BAD^CAE,

結合。為線段BC上靠近點B的三等分點和是邊長為2的等邊三角形等條件，即可作答.

(2)證明均ZCE(SAS),可得41。8=乙4￡。=120°,故NBEC=60。，從而仍平分NNEC；

(3)由絲△/<?￡,得CE=BD,可得AOEC的周長=BC+DE,而DE=AD,知/。的最小時，ADEC

的周長最小，此時/BC,即可求得答案.

【詳解】(1)解：???將線段/。繞點N逆時針旋轉60。得到/￡

AD=AE,NDAE=60°,

是等邊三角形，

AB=AC,ABAC=6T=ZDAE,

：./BAD=ZCAE,

：.AABDWACE(SAS)

：.BD=CE-,

為線段8c上靠近點B的三等分點，且“8C是邊長為2的等邊三角形

BC=2,CE=-BD=-x2=

333

2

故答案為：—；

(2)證明：???將線段4D繞點4逆時針旋轉60。得到4區(qū)

AAD=AE,/DAE=6(T,

：.ZADE=ZAED=6(P,

.??ZADB=120°,

;力5C是等邊三角形，

AB=AC,ZBAC=60°=ZDAE,

：.NBAD=NCAE,

：.AABD^AACECSAS),

/.ZADB=ZAEC=1200,

：.NBEC=60°,

ZBEC=ZAED=60P,

EB平分ZAEC；

(3)解：當點。在線段BC上時，AZ)EC的周長存在最小值，如圖:

△48Z運△ZCE,

：.CE=BD,

：.ADEC的周長MOE+CE+DCUAD+CO+DE,

當點。在線段8C上時，ADEC的周長=BC+DE,

,/"DEC為等邊三角形,

：.DE=AD,

的最小時，ADEC的周長最小，此時

BD=-AB=\,AD=43BD=DE,

2

ADEC的周長的最小值為2+百.

【點睛】本題考查幾何變換綜合應用，旋轉性質(zhì)、涉及等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂

線段最短等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

名校模擬

1.(2024?陜西?二模)在平面直角坐標系中，A為y軸正半軸上一點，B為x軸正半軸上一點，且CU==4,

連接.

⑴如圖1,C為線段A8上一點，連接。C,將。C繞點。逆時針旋轉90。得到OD,連接AD,求NC+N。

的值.

(2)如圖2,當點C在x軸上，點。位于第二象限時，AADC=90°,且=￡為48的中點，連接。E,

試探究線段是否存在最小值？若存在，求出/D+DE的最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴40

(2)2710

【分析】

(1)證明△8OC絲△/。。，得出8c=4。，可得出/C+M=N8,然后利用勾股定理求解即可；

(2)過點。作DMLOC于點DNLOA于葭N,證明A/NDgACMD,可得出點。在//OC的平分線

上，取點4(TO),連接4。，4E,則4和4關于的平分線對稱，由2。+。打=4。+。￡“￡得出

當點4、D、￡三點共線時，NO+DE最小，最后利用兩點間距離公式求解即可.

【詳解】(1)解:???旋轉，

/.ZCOD=90°,OC=OD,

：.NBOC=ZAOD=90°-ZAOC,

又04=OB=4,

：.ABOC^AAOD,

BC=AD,

AC+AD=AC+BC=AB=y]AO2+BO2=472；

(2)解：OA=OB=4,

.?./(O,4),5(4,0),

為N8的中點，

???小誓，竽,即￡(2,2)

過點。作。M，OC于點M,DNLOA于點、N

.??四邊形DMON是矩形,

ZMDN=90°,

又/NDC=90°,

/.ZADN=ZCDM=90°-ZNDC,

又NAND=/CMD=9S,AD=CD,

：.AAND^CMD,

：.DN=DM,

...點。在ZAOC的平分線上，

取點4(TO),連接4。，ME

則4和A關于ZAOC的平分線對稱，

AXD=AD,

AD+DE=&D+DEig

當點4、D、E三點共線時，AD+DE最小，最小值為4E=J㈠-2)2+(0-2)2=2而,

AD+DE的最小值為2瓦.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判斷，勾股定理等知識，根據(jù)

題意添加合適輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵.

2.(2024?陜西西安?二模)(1)如圖1,半徑為4的。。外有一點尸，且尸。=7,點A在。。上，則尸/的最

大值和最小值分別是和；

(2)如圖2,在矩形N8CD中，48=4,=6,點尸在上，點0在8c上，且4P=C。，連接CP、

QD,求PC+00最小時/P的長；

(3)如圖3,在Y/BCD中，AB=10,40=20,點。到4B的距離為106，動點、E、尸在邊上運動，

始終保持E尸=3,在8c邊上有一個直徑為四的半圓O,連接與半圓。交于點N,連接CE、FN,求

CE+EF+FN的最小值.

【答案】(1)11；3；(2)3；(3)V589+3

【分析】(1)結合圓的基本性質(zhì)分兩種情況討論即可；

(2)延長8/至點夕，使/8=/夕，連接37,B'C,交40于點P,結合矩形的性質(zhì)及已知證明

△ABPGACDQ(SAS),得到尸3=。。，PC+QD=PC+PB=PC+PB'>B'C(當點夕、P、C共線時，取"=

此時點P與點尸'重合），繼而得到尸C+QD的最小值為B'C的長，證明,得到工廠="，

BCBB

代入數(shù)據(jù)求解即可；

（3）如圖，過點尸作廠G〃EC,交8C于點G,作點G關于4D的對稱點G',連接GG',FG',NG',BG',

OG',