2025年中考數(shù)學思想方法復習【新定義問題】圓中的新定義問題（原卷版）

圓中的新定義問題

知識方法精講

1.解新定義題型的方法：

方法一：從定義知識的新情景問題入手

這種題型它要求學生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學生閱讀理解能

力，分析問題和解決問題的能力.因此在解這類型題時就必須先認真閱讀，正理解新定義的

含義；再運用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。

方法二：從數(shù)學理論應用探究問題入手

對于涉及到數(shù)學理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細研究前面的問題解法.即

前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認真

閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運用的方法步驟.

方法三：從日常生活中的實際問題入手

對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題,那么處理此類問題需要結(jié)合生活實際,

再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學知識、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學圖形，從而利用數(shù)學知識進行解答。

2.解新定義題型的步驟：

(1)理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.

⑵重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的解

題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.

(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

3.垂徑定理

(1)垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(2)垂徑定理的推論

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

4.弧長的計算

(1)圓周長公式：C=2nR

(2)弧長公式：/=史曳(弧長為/,圓心角度數(shù)為小圓的半徑為R)

180

①在弧長的計算公式中，〃是表示1°的圓心角的倍數(shù)，〃和180都不要帶單位.

②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長.

③題設未標明精確度的，可以將弧長用7T表示.

④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的

弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一.

填空題（共2小題）

1.（2021?祿勸縣模擬）如圖，A4BC是正三角形，曲線CZ）所…叫做''正三角形的漸開線”,

其中弧C。、弧?！?、弧所的圓心依次按N、B、C...循環(huán)，它們依次相連接.若48=1,

則曲線CDE產(chǎn)的長是.

2.（2020?成都模擬）如圖，在AABC中，D,E分別是A4BC兩邊的中點，如果貪（可

以是劣弧、優(yōu)弧或半圓）上的所有點都在A43c的內(nèi)部或邊上，則稱能為A43C的中內(nèi)弧,

例如，圖中族是AA5C其中的某一條中內(nèi)弧.若在平面直角坐標系中，已知點尸（0,4）,

0（0,0）,8（4,0）,在AFO77中，M,N分別是尸O,9的中點，AFO8的中內(nèi)弧加所

在圓的圓心P的縱坐標機的取值范圍是.

二.解答題（共18小題）

3.（2021秋?石景山區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為2.點尸，。為

外兩點，給出如下定義：若。。上存在點N,使得以尸，Q,M,N為頂點的四邊形

為矩形，則稱點尸，。是。。的“成對關聯(lián)點”.

（1）如圖，點4B,C,。橫、縱坐標都是整數(shù).在點2,C,。中，與點/組成OO

的“成對關聯(lián)點”的點是;

(2)點、EQt,t)在第一象限，點廠與點E關于x軸對稱，若點E,歹是的“成對

關聯(lián)點”，直接寫出,的取值范圍；

(3)點G在〉軸上，若直線了=4上存在點X,使得點G,X是OO的“成對關聯(lián)點”，

4.(2021秋?海淀區(qū)期末)在平面直角坐標系X。中，圖形少上任意兩點間的距離有最大值,

將這個最大值記為d.對點尸及圖形水給出如下定義：點。為圖形少上任意一點，若尸，

0兩點間的距離有最大值，且最大值恰好為2d.則稱點尸為圖形水的“倍點”.

(1)如圖1,圖形水是半徑為1的OO.

①圖形少上任意兩點間的距離的最大值4為一；

②在點片(0,2),乙(3,3),月(-3,0)中，。。的“倍點”是；

(2)如圖2,圖形少是中心在原點的正方形/3CD,點4(-1,1).若點￡(7,3)是正方形/BCD

的“倍點”，求/的值；

(3)圖形少是長為2的線段T為的中點，若在半徑為6的。。上存在線段

的“倍點”，直接寫出所有滿足條件的點7組成的圖形的面積.

5.(2021秋?豐臺區(qū)期末)對于平面直角坐標系xOy中的圖形N,給出如下定義：若

圖形M和圖形N有且只有一個公共點P,則稱點尸是圖形"和圖形N的“關聯(lián)點”.

己知點/(2,0),2(0,2),C(2,2),D(1,V3).

(1)直線/經(jīng)過點/,08的半徑為2,在點/,C,。中直線/和03的“關聯(lián)點”是；

(2)G為線段GM中點，。為線段。G上一點(不與點。，G重合)，若。。和AO4D有

“關聯(lián)點”，求。。半徑r的取值范圍；

(3)。7的圓心為點T(。，。0>0)，半徑為，，直線加過點/且不與x軸重合.若OT和

直線加的“關聯(lián)點”在直線y=x+6上，請直接寫出6的取值范圍.

6.(2021秋?大興區(qū)期末)在平面直角坐標系xQy中，點"在無軸上，以點M為圓心的圓

與x軸交于/(1,0),5(4,0)兩點，對于點P和0/,給出如下定義：若拋物線

了="2+區(qū)+C(。彳0)經(jīng)過/,B兩點且頂點為尸，則稱點P為。”的“圖象關聯(lián)點”.

(1)已知￡(5,2),F(|,-4),G(3,l),77(1,3),在點E,F,G,“中，O“的”

圖象關聯(lián)點”是—；

(2)已知的“圖象關聯(lián)點"尸在第一象限，若OP=，PM,判斷OP與的位置

3

關系，并證明；

(3)已知C(4,2),D(l,2),當?shù)摹皥D象關聯(lián)點”尸在外且在四邊形N8CD內(nèi)時,

直接寫出拋物線y="2+6x+c中”的取值范圍.

7.(2021秋?海淀區(qū)校級期末)平面內(nèi)的OO和OO外一點N,過點/的直線/與。。交于3,

C兩點(2在/,C之間)，點。為平面內(nèi)一點.若以4D為邊的正方形/D跖的面積等于

分別以NB,NC為一組鄰邊的矩形的面積，則稱正方形NDE尸為點/關于。。的“原本正

方形”，該正方形的中心稱為點/關于。。的“原本點”.

如圖所示，正方形NDE廠的面積等于矩形4WC的面積，其中/河=/8,稱正方形/￡>￡尸

為點/關于。。的“原本正方形”，該正方形中心點G稱為點/關于。。的“原本點”.特

別的，當點。恰好在。。上時，稱此時正方形的中心G為點/關于OO的“單純原本點”.

(1)在平面直角坐標系xS中，O。的半徑為4,4-6,0).

①過點N的直線/與x軸重合，則點4關于O。的“原本正方形”的邊長為—；

②過點/的直線/與x軸夾角為30。，則點/關于。。的“原本點”中，橫縱坐標均為整數(shù)

的點有個.

(2)的圓心為M(w,O),半徑為1.點N為坐標平面上一點，且M4=6,過點N的

直線/與。"交于3,C兩點.直線y=-x+5與x,y軸分別交于點。和點E,若線段OE

上存在點/關于的“原本點”，求他的取值范圍.

(3)ON的圓心為N(〃，0)(?>0),半徑為^CW.點H為坐標平面內(nèi)一點，過點〃的

直線/與ON有兩個交點，目ON=NH.若直線y=J§x+6上存在點P,使得點P為點H關

8.(2021秋?門頭溝區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系xS中，C(0,2),。。的半徑為1.如

果將線段AB繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)a(00<a<180°)后的對應線段A'B'所在的直線與QC相

切，且切點在線段49上，那么線段就是OC的“關聯(lián)線段”，其中滿足題意的最小。就

是線段N8與0c的“關聯(lián)角”.

(1)如圖1,如果/(2,0),線段。4是。。的“關聯(lián)線段”，那么它的“關聯(lián)角”為一

(2)如圖2,如果4(-3,3)、月(-2,3),4(1,1)、鳥(3,2)，43。)、53(3,-2).

那么。。的“關聯(lián)線段”有—(填序號，可多選).

①線段4月

②線段4與

③線段44

(3)如圖3,如果8(1,0)、D&0),線段3。是OC的“關聯(lián)線段”,那么/的取值范圍是.

(4)如圖4,如果點”的橫坐標為加，且存在以M為端點，長度為G的線段是0C的“關

聯(lián)線段”，那么〃，的取值范圍是—.

圖3圖4

9.(2021秋?海淀區(qū)校級期末)新定義：在平面直角坐標系xQy中，若幾何圖形G與。/有

公共點，則稱幾何圖形G的叫的關聯(lián)圖形，特別地，若。/的關聯(lián)圖形G為直線，則稱

該直線為O/的關聯(lián)直線.如圖，為O/的關聯(lián)圖形，直線/為O/的關聯(lián)直線.

(1)已知。。是以原點為圓心，2為半徑的圓，下列圖形：

①直線y=2x+2；②直線y=-x+3；③雙曲線y=2,是。。的關聯(lián)圖形的是—(請直

X

接寫出正確的序號).

(2)如圖1,07的圓心為7(1,0),半徑為1,直線/:y=-x+6與x軸交于點N,若直線/

是OT的關聯(lián)直線，求點N的橫坐標的取值范圍.

(3)如圖2,已知點3(0,2),C(2,0),D(0,-2),O/經(jīng)過點C,O/的關聯(lián)直線網(wǎng)經(jīng)過

點3,與。/的一個交點為P；。/的關聯(lián)直線也經(jīng)過點。，與。/的一個交點為。；直

線HB,HD交于點、H,若線段尸。在直線

x=6上且恰為OI的直徑，請直接寫出點8橫坐標h的取值范圍.

圖1圖2

10.（2021秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）在平面直角坐標系內(nèi)，過OT（半徑為尸）外一點尸引它

的一條切線，切點為。，若0＜。0?尸，則稱點尸是07的“沙湖點”.

（1）當。。的半徑為1時，

①在點4（4,0）,B（0,后,C（l,百）中，。。的“沙湖點”是；

②點。在直線y=x+3上，且點。是。。的“沙湖點”，求點。的橫坐標4的取值范圍；

（2）。〃的圓心為M（冽,0）,半徑為2,直線》=2%-2與x軸，＞軸分別交于點E,F.若

直線川上的所有點都是。M的“沙湖點”，求機的取值范圍.

4-

3-

2-

1-

1111___________IIII?

-4-3-2-101234X

-1-

-2-

-3-

—4一

11.(2021秋?漂陽市期中)概念認識：

平面內(nèi)，”為圖形7上任意一點，N為。。上任意一點，將“、N兩點間距離的最小值稱

為圖形T到。。的“最近距離”，記作以7-。。).例：如圖1,在直線/上有/、C、。三

點，以/C為對角線作正方形N8C。，以點O為圓心作圓，與/交于￡、尸兩點,若將正方

形/BCD記為圖形T,則C、E兩點間的距離稱為圖形T到。的“最近距離”.

數(shù)學理解：

(1)在平面內(nèi)有/、3兩點，以點/為圓心，5為半徑作ON,將點2記為圖形T,若

d(T-OA)=2,貝ljN8=.

(2)如圖2,在平面直角坐標系中，以。(0,0)為圓心，半徑為2作圓.

①將點C(4,3)記為圖形T,貝1」或7-。。)=.

②將一次函數(shù)y=fcc+2a的圖記為圖形T,若以7-。)>0,求后的取值范圍.

推廣運用：

(3)在平面直角坐標系中，P的坐標為(f,()),OP的半徑為2,￡兩點的坐標分別為(5,5)、

(5,-5),將ADOE記為圖形T,若d(T-OP)=l,則/=.

12.(2021?常州一模)在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑是癡，A,8為。。外兩

點，AB=2也.給出如下定義：平移線段48,使平移后的線段4夕成為。。的弦(點

9分別為點/,2的對應點)，線段44,長度的最小值成為線段43到。。的“優(yōu)距離”.

圖1圖2

(1)如圖1,O。中的弦片心、片鳥是由線段平移而得，這兩條弦的位置關系是；

在點6，P2,P3,與中，連接點/與點—的線段長度等于線段到O。的“優(yōu)距離”;

(2)若點N(0,7),3(2,5),線段N4的長度是線段到。。的“優(yōu)距離”，則點4的坐標

為;

(3)如圖2,若N,3是直線y=-x+6上兩個動點，記線段N8到。。的“優(yōu)距離”為"，

則d的最小值是；請你在圖2中畫出d取得最小值時的示意圖，并標記相應的字母.

13.(2021?建鄴區(qū)二模)【概念學習】

在平面直角坐標系xQy中，。。的半徑為1,若。。平移4個單位后，使某圖形上所有點在

。。內(nèi)或。。上，則稱"的最小值為。。對該圖形的“最近覆蓋距離”.例如，如圖①，A(3,0),

8(4,0),則0。對線段N3的“最近覆蓋距離”為3.

【概念理解】

(1)。0對點(3,4)的“最近覆蓋距離”為.

(2)如圖②，點尸是函數(shù)y=2x+4圖象上一點，且。。對點P的“最近覆蓋距離”為3,

則點P的坐標為.

【拓展應用】

(3)如圖③，若一次函數(shù)夕=履+4的圖象上存在點C,使00對點C的“最近覆蓋距離”

為1,求左的取值范圍.

(4)。(3,刈、￡(4,加+1),且-4〈加＜2,將O。對線段的“最近覆蓋距離”記為d,

則d的取值范圍是

14.(2021?石景山區(qū)二模)在平面直角坐標系xOy中，對于0M內(nèi)的一點尸，若在0M外

存在點P'，使得MP'=2MP,則稱點P為OM的二倍點.

(1)當。。的半徑為2時，

①在7](1,0),7;(1,-1),4(]，方三個點中，是O。的二倍點的是;

②已知一次函數(shù)y=履+2左與y軸的交點是A(0,a),若一次函數(shù)在第二象限的圖象上的所有

點都是OO的二倍點，求。的取值范圍.

(2)已知點”(加,0),3(0,-；),C(l,-1),GW的半徑為2,若線段3C上存在點尸為(W

的二倍點，直接寫出力的取值范圍.

15.(2020?雨花區(qū)校級一模)在平面直角坐標系xQy中，對于點P(a,6)和正實數(shù)左，給出

如下定義：當妨2+6>0時，以點P為圓心，妨為半徑的圓，稱為點尸的“左倍雅圓”

例如，在圖1中，點尸(1,1)的“1倍雅圓”是以點尸為圓心，2為半徑的圓.

(1)在點6(3,1),￡(1,-2)中，存在“1倍雅圓”的點是.該點的“1倍雅圓”的半

徑為—?

(2)如圖2,點”是y軸正半軸上的一個動點，點N在第一象限內(nèi)，且滿足NMON=30。，

試判斷直線ON與點M的“2倍雅圓”的位置關系，并證明；

(3)如圖3,已知點4(0,3),5(-1,0),將直線48繞點，順時針旋轉(zhuǎn)45。得到直線/.

①當點C在直線/上運動時，若始終存在點C的“左倍雅圓”，求左的取值范圍；

②點D是直線上一點，點。的“3倍雅圓”的半徑為R，是否存在以點D為圓心，、再

4V3

為半徑的圓與直線/有且只有1個交點，若存在,求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

5-

4-fy

，/G,「工

-2-1345；o

2圖

-r1§目2圖3

16.(2020?豐臺區(qū)二模)過直線外一點且與這條直線相切的圓稱為這個點和這條直線的點線

圓.特別地，半徑最小的點線圓稱為這個點和這條直線的最小點線圓.

在平面直角坐標系X0P中，點尸(0,2).

(1)已知點4(0,1),5(1,1),C(2,2),分別以/,8為圓心，1為半徑作ON,以C

為圓心，2為半徑作OC,其中是點尸和x軸的點線圓的是—；

(2)記點尸和x軸的點線圓為。。，如果。。與直線>=岳+3沒有公共點，求0。的半

徑，的取值范圍；

(3)直接寫出點尸和直線y=(左30)的最小點線圓的圓心的橫坐標，的取值范圍.

>4

4-

3-

2-

1-

，一,5,,一

-4-3-2-11234x

-1-

-2-

-3-

-4-

17.(2020?海淀區(qū)一模)A,8是OC上的兩個點，點尸在OC的內(nèi)部.若N4P3為直角，

則稱ZAP3為48關于OC的內(nèi)直角，特別地，當圓心C在44PB邊(含頂點)上時，稱ZAP3

為關于。。的最佳內(nèi)直角.如圖1,乙必四是關于。。的內(nèi)直角，NANB是AB關于

。。的最佳內(nèi)直角.在平面直角坐標系xQy中.

(1)如圖2,。。的半徑為5,4(0,-5),8(4,3)是0。上兩點.

①已知4(1,0),巴(0,3),8(一2,1),在ZAP2B,//巴2中，是N5關于。。的內(nèi)直

角的是—;

②若在直線夕=2x+6上存在一點尸，使得N4PB是N8關于。。的內(nèi)直角，求6的取值范圍.

(2)點E是以790)為圓心，4為半徑的圓上一個動點，。7與x軸交于點。(點。在點7

的右邊).現(xiàn)有點M(l,0),N(0,〃)，對于線段"V上每一點〃，都存在點T,使NDHE是DE

關于07的最佳內(nèi)直角，請直接寫出〃的最大值，以及〃取得最大值時f的取值范圍.

備用圖1

備用圖2

18.(2020?延慶區(qū)一模)對于平面內(nèi)的點P和圖形M,給出如下定義：以點P為圓心，以廠

為半徑作。尸，使得圖形M上的所有點都在OP的內(nèi)部(或邊上)，當r最小時，稱OP為

圖形加■的尸點控制圓，止匕時，OP的半徑稱為圖形”的P點控制半徑.已知，在平面直角

坐標系中，正方形O48C的位置如圖所示，其中點5(2,2).

(1)已知點￡>(1,0),正方形GMBC的。點控制半徑為斗，正方形048c的/點控制半徑為

r2,請比較大?。?r2；

(2)連接。8,點尸是線段05上的點，直線/:夕=瓜+6；若存在正方形CUBC的尸點

控制圓與直線/有兩個交點，求6的取值范圍.

7A>'

6

5

4

3

2CB

1

A

65-4-32工01234567”

-2

-3

-4

-5

-6

19.(2020?海淀區(qū)校級模擬)在平面直角坐標系中