第04講 簡單幾何體的表面展開圖（9類題型）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊同步學(xué)與練（浙教版）（解析版）

第04講簡單幾何體的表面展開圖（9類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.已知三視圖求邊長、側(cè)面積或表面積；2.圓錐的側(cè)面積、底面半徑、圓錐的高和圓錐的實際問題；3.圓錐側(cè)面上的最短路徑問題；1.掌握圓錐的側(cè)面積、底面半徑、圓錐的高和圓錐的實際問題等的計算；2.圓錐側(cè)面上的最短路徑問題；【即學(xué)即練1】1．（2023上·全國·九年級專題練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面積為，底面半徑為，則圓錐的高是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的知識點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，需熟練掌握圓錐的側(cè)面積公式及圓錐的幾何特征，由圓錐的側(cè)面積公式，先求出圓錐的母線長，進(jìn)而可得圓錐的高．【詳解】解：解：∵圓錐的側(cè)面積為，底面半徑為,∴圓錐的母線長滿足：，解得：,∴圓錐的高h(yuǎn)＝,故選：B．【即學(xué)即練2】2．（2023上·福建龍巖·九年級?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為6，母線長為8，圓錐的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓錐表面積的計算：根據(jù)圓錐側(cè)面積加上圓錐的底面面積計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：B【即學(xué)即練3】3．（2022上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級統(tǒng)考期末）若一個圓錐的底面圓半徑為，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則圓錐的母線長是(

)．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓錐的計算，設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據(jù)弧長公式得到，然后解方程求出即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)題意得，解得，即圓錐的母線長為．故選：D．【即學(xué)即練4】4．（2023上·山東濟(jì)寧·九年級?？计谥校┤鐖D，圓錐的底面半徑，高則這個圓錐的側(cè)面展開后扇形的圓心角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了圓錐的有關(guān)計算，首先利用勾股定理求出圓錐的母線長，再利用底面周長展開圖的弧長，圓錐的母線長展開圖的扇形的半徑，即可求解．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑，高，∴圓錐的母線長，設(shè)圓錐的側(cè)面展開后扇形的圓心角為，則，解得：，故選：C．題型01已知三視圖求邊長1．（2023上·陜西咸陽·九年級咸陽市秦都中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示是某幾何體的三視圖，已知主視圖和左視圖都是面積為16的正方形，則俯視圖的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查三視圖．根據(jù)三視圖，得到俯視圖的直徑為4，根據(jù)圓的面積公式進(jìn)行進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵主視圖和左視圖都是面積為16的正方形，∴主視圖的長為4，∵主俯視圖的長對正，∴俯視圖的直徑為4，∴俯視圖的面積是；故選D．2．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）如圖所示是三棱柱的三視圖，在中，，，，則的長為【答案】5【分析】過E作交于點(diǎn)，根據(jù)，，即可得到，根據(jù)左視圖即可得到；【詳解】解：過E作交于點(diǎn)，∵，，，∴，由左視圖可得，，故答案為5；【點(diǎn)睛】本題考查正確理解幾何體的三視圖，直角三角形所對直角邊等于斜邊一半，解題的關(guān)鍵是正確理解三視圖．3．（2023上·山西運(yùn)城·九年級山西省運(yùn)城市實驗中學(xué)?？计谥校┰谝还?jié)數(shù)學(xué)課上，小紅畫出了某四棱柱的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖為矩形，俯視圖為等腰梯形，已知該四棱柱的側(cè)面積為．(1)三視圖中，有一圖未畫完，請在圖中補(bǔ)全；(2)根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，俯視圖中的長度為________；(3)左視圖中矩形的面積為________；(4)這個四棱柱的體積為________．【答案】(1)見解析(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)所在的面在前，所在的面在后，得到主視圖中應(yīng)補(bǔ)充兩條虛線，畫出圖形即可；（2）由俯視圖為等腰梯形，可得，再根據(jù)四棱柱的側(cè)面積為，計算即可得出答案；（3）作于，于，則四邊形是矩形，證明得到，由勾股定理計算出，由此即可得出答案；（4）先由梯形的面積公式計算出底面積，再乘以高即可得到答案．【詳解】（1）解：所在的面在前，所在的面在后，主視圖中應(yīng)補(bǔ)充兩條虛線，補(bǔ)充完整如圖所示：（2）解：俯視圖為等腰梯形，，該四棱柱的側(cè)面積為，，，故答案為：；（3）解：如圖，作于，于，，俯視圖為等腰梯形，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，左視圖中矩形的面積為：，故答案為：8；（4）解：由題意得：這個四棱柱的體積為，故答案為：32．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖、矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)、求幾何體的體積等知識點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．題型02已知三視圖求側(cè)面積或表面積1．（2023上·七年級單元測試）如圖是一個幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：cm），根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)可計算出該幾何體的全面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷出幾何體是圓柱，求出圓柱的表面積即可．【詳解】解：由三視圖可知，這個圓柱的底面直徑為6，高為10，∴圓柱的表面積（）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用幾何體三視圖求原幾何體的表面積，掌握三視圖與原幾何體的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·山東東營·九年級?？计谥校┤鐖D是一個三棱柱的三視圖，其俯視圖為等邊三角形，則其側(cè)面積為．【答案】【分析】根據(jù)主視圖可知等邊三角形的邊長為，進(jìn)而可得其邊長即側(cè)面長方形的長為，列式計算可得側(cè)面積．本題主要考查由三視圖確定幾何體和求幾何體的面積等相關(guān)知識，考查學(xué)生的空間想象能力．【詳解】解：根據(jù)主視圖可知等邊三角形的邊長為，進(jìn)而可得其邊長即側(cè)面長方形的長為，∴該幾何體的側(cè)面面積是：，故答案為：．3．（2023上·陜西榆林·九年級校考階段練習(xí)）如圖是一個幾何體的三視圖（單位：）．(1)這個幾何體的名稱是；(2)求這個幾何體的所有側(cè)面的面積之和．【答案】(1)三棱柱(2)這個幾何體的所有側(cè)面的面積之和為【分析】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，熟練掌握基本幾何體的三視圖及其計算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三棱柱的三視圖即可得出答案；（2）根據(jù)側(cè)面積公式進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：由三視圖知該幾何體為三棱柱；故答案為：三棱柱．（2）解：該圓柱體的表面積為：．答：這個幾何體的所有側(cè)面的面積之和為．題型03求小立方體堆砌圖形的表面積1．（2023上·福建廈門·七年級廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將20個棱長為的小正方體擺放成如圖的形狀，則這個圖形的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了求幾何體的表面積，分別找到該幾何體六個方向露在外面的面，再根據(jù)每個面的面積為即可得到答案．【詳解】解：從上面看，露在外面的小正方體的面一共有10個，從下面看露在外面的小正方體的面一共有10個，從左面看，露在外面的小正方體的面一共有10個，從右面看，露在外面的小正方體的面一共有10個，從正面看，露在外面的小正方體的面一共有10個，從后面看，露在外面的小正方體的面一共有10個，∴該幾何體露在外面的面一共有60個，∵小立方體的棱長為，∴這個幾何體的表面積為，故選：B．2．（2023上·廣東廣州·七年級廣東實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在一次數(shù)學(xué)活動課上，張明用個邊長為的小正方體搭成一個幾何體，然后他請王亮用其他同樣的小正方體在旁邊再搭一個幾何體，使王亮所搭幾何體恰好可以和張明所搭幾何體拼成一個無縫隙的大長方體（不改變張明所搭幾何體的形狀），那么王亮至少還需要____個小正方體，王亮所搭幾何體的表面積為____．

【答案】19，48【分析】首先明確張明所搭幾何體所需正方體個數(shù)，然后確定兩人共同搭建長方體所需的小正方體個數(shù)，求差即可；再根據(jù)王亮所搭幾何體的形狀即可求出它的表面積．【詳解】解：張明所搭幾何體所需正方體個數(shù)是17個，兩人共同搭建長方體是一個長、寬、高分別為3、3、4的長方體，至少要36個小正方體才能搭成一個長方體，王亮所需的小正方體個數(shù)為（個）；此時王亮所搭幾何體的表面積為：．故答案為：19，48．【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，確定兩人所搭幾何體的形狀是關(guān)鍵．3．（2023上·山東威?！ち昙壭Ｂ?lián)考期中）如圖，在平整的地面上，用多個棱長都為的小正方體堆成一個幾何體．

(1)共有個小正方體；(2)求這個幾何體的表面積，并畫出從三個方向看的圖形．(3)如果現(xiàn)在你還有一些棱長都為的小正方體，要求保持俯視圖和左視圖都不變，最多可以再添加個小正方體．【答案】(1)10(2)，圖見解析(3)5【分析】本題主要考查了小正方體堆砌成的幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的畫法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)幾何體的構(gòu)成，即可得到小正方體的個數(shù)；（2）數(shù)出這個幾何體露在外面的面，根據(jù)小正方形的面的面積為求出表面積即可，再畫出主視圖和俯視圖以及左視圖；（3）在保持俯視圖和左視圖都不變的條件下，添加小正方體即可．【詳解】（1）解：根據(jù)拼圖可知，堆成如圖所示的幾何體需要個小正方體，故答案為：；（2）解：這個組合體的三視圖如圖所示：

這個幾何體的表面積為（3）在俯視圖的相應(yīng)位置擺放相應(yīng)數(shù)量的小正方體，使其俯視圖和左視圖都不變，如圖所示，所以最多可以添加5個，

故答案為：5．題型04求圓錐側(cè)面積1．（2023上·福建莆田·九年級校考階段練習(xí)）如圖，用一個圓心角為的扇形紙片圍成一個底面半徑為2，側(cè)面積為的圓錐體，則該扇形的母線的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題考查了圓錐側(cè)面積的計算，根據(jù)圓錐側(cè)面積的計算公式進(jìn)行求解即可，熟練掌握圓錐側(cè)面積公式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為，由題意得：，解得：，故選：D．2．（2023上·山東淄博·九年級期末）已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則這個圓錐的側(cè)面積為．【答案】【分析】本題考查了圓錐的計算，根據(jù)圓錐的側(cè)面積底面周長母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：圓錐的側(cè)面積．故答案為：．3．（2023上·陜西延安·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，冰激凌的外殼（不計厚度）可近似的看作圓錐，其母線長為12cm，底面圓直徑長為8cm，當(dāng)冰激凌被吃掉一部分后，其外殼仍可近似的看作圓錐，如圖2，此時其母線長為9cm，求此時冰激凌外殼的側(cè)面積（結(jié)果保留）【答案】【分析】本題考查的是求解圓錐的側(cè)面積，展開圖的圓心角的大小，熟記公式是解本題的關(guān)鍵；本題先求解展開圖的圓心角，再求解扇形的面積即可．【詳解】解：設(shè)該圓錐展開后所得扇形的圓心的度數(shù)為，由題意得，冰激凌的底面圓的周長為：．∵母線長為12cm，∴，解得，即展開后所得扇形的圓心角的度數(shù)是．∵吃掉一部分后母線長為9cm，∴此時冰激凌外殼的側(cè)面積為：．題型05求圓錐底面半徑1．（2023上·山東德州·九年級校聯(lián)考期中）已知扇形的半徑為，圓心角的度數(shù)為，若將此扇形圍成一個圓錐，則圍成的圓錐的底面半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查求圓錐的底面半徑，根據(jù)扇形的半徑是圓錐的母線長，扇形的弧長是圓錐底面圓的周長，即可求解．【詳解】解：依題意，，解得故選：A．2．（2023上·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）用一個半徑為，面積為的扇形鐵皮，制作一個無底的圓錐（不計損耗），則圓錐的底面半徑r為．【答案】15【分析】本題主要考查了扇形的面積公式和弧長公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的面積公式．先求出扇形的弧長，然后再根據(jù)圓的周長公式求出圓錐的底面半徑即可．【詳解】解：∵扇形的半徑為，面積為，∴扇形的弧長為：，∴圓錐的底面半徑，故答案為：15．3．（2023上·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一段圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A、B、C．（網(wǎng)格小正方形的邊長為1）．

(1)請在圖中標(biāo)出圓心P點(diǎn)位置，點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________；的半徑為___________；(2)判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系；(3)若扇形是一個圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐底面半徑．【答案】(1)，；(2)圓內(nèi)；(3)．【分析】本題考查了圓錐的計算，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)和垂徑定理．（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)畫出和的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為P點(diǎn)，再寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后計算長得到的半徑；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式計算出，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法求解；（3）先利用勾股定理的逆定理證明為直角三角形，，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為r，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，則利用弧長公式得到，求出r即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)P為所作，P點(diǎn)坐標(biāo)為，，即的半徑為；故答案為：，；（2）解：∵P，，∴，∵，∴的長小于圓的半徑，∴點(diǎn)在內(nèi)；（3）解：∵，，∴，∴為直角三角形，，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得，解得．題型06求圓錐的高1．（2023下·山東德州·九年級德州市第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用圓心角為，半徑為的扇形紙片卷成一個圓錐形無底紙帽（如圖所示），則這個紙帽的高是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知，扇形的弧長等于圓錐的底面周長，得到，即可求出底面半徑，設(shè)紙帽的高為，利用勾股定理求出紙帽的高即可．【詳解】解：由題意可知，扇形的弧長等于圓錐的底面周長，又扇形的圓心角為，半徑為，設(shè)底面半徑為，，解得：，設(shè)紙帽的高為，則，解得：或（舍去），故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計算，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，扇形的半徑等干圓錐的母線長，也考查了弧長公式和勾股定理，求出底面半徑是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023上·九年級課時練習(xí)）如圖，有一塊半徑為，圓心角為的扇形鐵皮，要把它圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫處忽略不計），那么這個圓錐的高為m．

【答案】【分析】根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出扇形的弧長，根據(jù)扇形的弧長等于圓錐地面的周長求出圓錐的半徑，然后在圓錐的高，母線和底面半徑構(gòu)造的直角三角形中求圓錐的高．【詳解】扇形的弧長為：，∵扇形的弧長等于圓錐的底面周長，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則，解得，∴圓錐的高為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的底面周長等于側(cè)面展開扇形的弧長．3．（2023上·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期中）如圖，圓錐側(cè)面展開得到扇形，此扇形的半徑，圓心角，求此圓錐的高的長．

【答案】【分析】本題考查了圓錐的計算，設(shè)這個圓錐的底面半徑為，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，由弧長公式得到方程，解方程求出，然后利用勾股定理即可計算出正確理解圓錐的側(cè)面展開圖的弧長與其底面圓的周長關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：設(shè)這個圓錐的底面半徑為，根據(jù)題意得，，解得，∴，答：此圓錐高的的長為．題型07求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角1．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為，側(cè)面積為，則這個扇形的圓心角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了扇形面積公式，根據(jù)題意得出圓錐的底面圓周長即為側(cè)面展開圖弧長，再根據(jù)，求出扇形半徑，最后根據(jù)，即可求出圓心角度數(shù)．【詳解】解：∵該圓錐的底面圓周長為，∴側(cè)面展開圖弧長，∵側(cè)面積為，，∴，解得：，∵，∴，解得：，∴這個扇形的圓心角的度數(shù)是，故選：D．2．（2023上·廣東廣州·九年級廣州六中?？茧A段練習(xí)）一個圓錐的底面半徑是2，母線長是6，若將該圓錐側(cè)面沿著母線剪開得到一個扇形，則該扇形的圓心角的度數(shù)是．【答案】/120度【分析】本題考查了圓錐的有關(guān)計算；設(shè)該圓錐展開后所得到的扇形的圓心角的度數(shù)是，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據(jù)弧長公式得到方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)該圓錐展開后所得到的扇形的圓心角的度數(shù)是，根據(jù)題意得：，解得：，即該扇形的圓心角的度數(shù)是．故答案為：．3．（2023上·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖是一個幾何體的三視圖．(1)寫出這個幾何體的名稱；(2)求這個幾何體側(cè)面展開圖的圓心角；(3)求這個幾何體的全面積．【答案】(1)圓錐(2)(3)【分析】（1）由常見幾何體的三視圖可得該幾何體為圓錐；（2）由三視圖數(shù)據(jù)知圓錐的底面圓的直徑為4、半徑為2，母線長為6，再根據(jù)展開圖扇形的弧長公式得到圓心角的度數(shù)；（3）根據(jù)三視圖知圓錐的底面圓的直徑為4、半徑為2，母線長為6，再根據(jù)面積公式可得答案．【詳解】（1）解：由三視圖可知，該幾何體為圓錐；（2）解：由三視圖數(shù)據(jù)知圓錐的底面圓的直徑為4、半徑為2，母線長為6，則展開圖扇形的弧長為，又弧長為，，解得展開圖扇形的圓心角度數(shù)為；（3）解：由三視圖數(shù)據(jù)知圓錐的底面圓的直徑為4、半徑為2，母線長為6，展開圖扇形的面積為，底面面積為，圓錐的全面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是掌握常見幾何體的三視圖及扇形的弧長、面積計算．題型08圓錐的實際問題1．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為，側(cè)面積為，則這個扇形的圓心角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了扇形面積公式，根據(jù)題意得出圓錐的底面圓周長即為側(cè)面展開圖弧長，再根據(jù)，求出扇形半徑，最后根據(jù)，即可求出圓心角度數(shù)．【詳解】解：∵該圓錐的底面圓周長為，∴側(cè)面展開圖弧長，∵側(cè)面積為，，∴，解得：，∵，∴，解得：，∴這個扇形的圓心角的度數(shù)是，故選：D．2．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）《九章算術(shù)》中有如下問題：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有斛．

【答案】22【分析】根據(jù)米堆的底部的弧度即底面圓周的四分之一為8尺，可求出圓錐的底面半徑，從而計算出米堆的體積，用體積除以每斛的體積即可求得斛數(shù)．【詳解】解：設(shè)米堆所在圓錐的底面半徑為尺，由題意，得：，∴，∴米堆的體積為：，∴米堆的斛數(shù)為：；故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計算及弧長的計算，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出圓錐的知識，難度不大．3．（2023上·全國·七年級專題練習(xí)）一個圓錐的底面周長是18.84厘米，高是4厘米．從圓錐的頂點(diǎn)沿著高將它切成兩半后，表面積比原來的圓錐增加了多少平方厘米？【答案】表面積之和比原來圓錐表面積增加24平方厘米【分析】根據(jù)圓錐的底面周長求出地面直徑，再利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：圓錐的底面直徑為：（厘米），則切割后表面積增加了：（平方厘米），答：表面積之和比原來圓錐表面積增加24平方厘米．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的實際問題，理解從圓錐的頂點(diǎn)沿著高將它切成兩半后的切面是兩個三角形是解題的關(guān)鍵．題型09圓錐側(cè)面上最短路徑問題1．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)C為圓錐母線的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，，，一只螞蟻沿著圓錐的側(cè)面從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程為（

）

A．5 B． C． D．【答案】B【分析】連接，先根據(jù)直徑求出底面周長，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長可求出圓錐的側(cè)面展開后的圓心角，可得是等邊三角形，即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示，

∵為底面圓的直徑，，設(shè)半徑為r,∴底面周長，設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的圓心角為，∵圓錐母線，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長可得：，解得：，∴，∵半徑，∴是等邊三角形，在中，，∴螞蟻爬行的最短路程為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開—最短路徑問題，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形。扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，化曲面為平面，用三角函數(shù)求解．2．（2023上·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知圓錐底面半徑為，母線長為，一只螞蟻從處出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周（回到原來的位置）所爬行的最短路徑為．（結(jié)果保留根號）

【答案】【分析】把圓錐的側(cè)面展開得到圓心角為120°，半徑為60的扇形，求出扇形中120°的圓心角所對的弦長即為最短路徑．【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開如圖：過作,∴

設(shè)∠ASB＝n°，即：，得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，特殊角的銳角三角函數(shù)值，將圓錐中的數(shù)據(jù)對應(yīng)到展開圖中是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·江蘇泰州·九年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）如圖所示，已知圓錐底面半徑，母線長為．(1)求它的側(cè)面展開圖的圓心角；(2)若一甲蟲從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓錐側(cè)面繞行到母線的中點(diǎn)B，請你動腦筋想一想它所走的最短路線是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓錐的底面周長就是側(cè)面展開圖（扇形）的弧長求解即可；（2）畫出展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)它的側(cè)面展開圖的圓心角為，根據(jù)圓錐的底面周長就是側(cè)面展開圖（扇形）的弧長得：，又∵．，解得：．∴它的側(cè)面展開圖的圓心角是90°；（2）根據(jù)側(cè)面展開圖的圓心角是90°，畫出展開圖如下：根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知AB為最短路徑，，B為的中點(diǎn)，由（1）知∴∴它所走的最短路線長是．【點(diǎn)睛】本題考查求圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角，圓錐側(cè)面上最短路徑問題，涉及弧長公式，圓的周長公式，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識，掌握圓錐的底面周長就是側(cè)面展開圖（扇形）的弧長和兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．A夯實基礎(chǔ)1．（2023上·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期中）圓錐底面圓的半徑為3，母線長為4，則圓錐的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得圓錐的底面周長，即展開圖中的扇形的弧長，根據(jù)扇形的面積公式，即可求解．【詳解】解：圓錐的底面周長是．則圓錐的側(cè)面積是：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側(cè)面積的計算可以轉(zhuǎn)化為扇形的面積的計算，理解圓錐與展開圖之間的關(guān)系．2．（2022上·河北邯鄲·九年級校考階段練習(xí)）如圖，用圖中所示的扇形紙片圍成一個圓錐，已知扇形的半徑為5，弧長是，那么圍成的圓錐的高度是（

）

A． B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】設(shè)底面圓的半徑為r，根據(jù)弧長等于底面圓的周長可求得底面圓的半徑，在利用勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)底面圓的半徑為r，則，解得：，圓錐的高為：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的高及勾股定理，熟練掌握圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·湖南長沙·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若圓錐的底面半徑為5，母線為12，則圓錐的側(cè)面展開圖的面積是．【答案】【分析】本題考查了求圓錐的側(cè)面展開圖的面積，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的面積公式即可求解，熟練掌握圓錐的側(cè)面展開圖的面積公式：“”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開圖的面積是：，故答案為：．4．（2023上·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期中）用一個半徑為10cm半圓紙片圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），則該圓錐的底面圓半徑為．【答案】【分析】本題考查圓錐的展開問題，利用半圓的弧長等于圓錐底面圓的周長即可求得底面圓的半徑．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則，解得：，即圓錐的底面圓半徑為；故答案為：．5．（2022·河南鄭州·九年級?？计谥校┤鐖D，下面的幾何體是由若干棱長為1cm的小立方塊搭成．(1)觀察該幾何體，畫出你所看到的幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖．(2)求這個幾何體的表面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】由圖可知，從正面看有3列，從左往右正方形的數(shù)目為3、1、2；從左面看有3列，從左往右正方形的數(shù)目為3、2、1；從上面看有3列，從上往下正方形的數(shù)目為3、2、1；依次畫出即可．由圖觀察可知，組合幾何圖形六個面的面積均為,將六個面相加即可求解．【詳解】（1）（2）由圖觀察可知，組合幾何圖形六個面的面積均為，即這個組合幾何體的表面積為()，故這個組合幾何體的表面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖的作法，熟練掌握其畫法以及計算表面積的方法是解題的關(guān)鍵．6．（2022上·江西九江·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示的是一個包裝盒的表面展開圖，其底面為正六邊形．(1)請寫出這個包裝盒的幾何體的名稱(2)請根據(jù)圖中所標(biāo)的尺寸計算這個幾何體的側(cè)面積【答案】(1)正六棱柱(2)【分析】（1）由平面圖形的折疊及常見立體圖形的展開圖，即可解答；（2）側(cè)面積為6個長方形的面積之和，即可解答．【詳解】（1）這個包裝盒為正六棱柱．（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開圖，解決本題的關(guān)鍵是熟悉由平面圖形的折疊及常見立體圖形的展開圖．B能力提升1．（2023上·四川德陽·九年級四川省德陽中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，已知圓錐的母線，底面半徑，則該圓錐的側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了求圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角．先求得圓錐底面周長，再根據(jù)此周長即為圓錐側(cè)面展開圖的扇形弧長，根據(jù)弧長公式即可求得結(jié)果．【詳解】解：由題意得，解得．故選：B．2．（2023上·四川達(dá)州·九年級?？计谀┮粋€長方體的三視圖如圖所示，若其俯視圖為正方形，則這個長方體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查三視圖，正方形的性質(zhì)，長方體的表面積，根據(jù)主視圖中的數(shù)據(jù)可得長方體的高和底邊正方形的對角線長，進(jìn)而求出正方形的邊長，即可求解．【詳解】解：由圖可知，俯視圖中正方形的對角線長為，長方體的高為，正方形的邊長為，這個長方體的表面積為，故選D．3．（2023上·湖南長沙·九年級湖南師大附中博才實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓錐的母線長為，底面半徑為，則它的側(cè)面展開扇形的面積為．【答案】【分析】本題考查了圓錐側(cè)面積公式，根據(jù)圓錐側(cè)面積公式進(jìn)行計算即可，熟練掌握圓錐側(cè)面積公式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：圓錐的母線長為，底面半徑為，它的側(cè)面展開扇形的面積為，故答案為：．4．（2024上·福建莆田·九年級?？茧A段練習(xí)）沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的母線長為，扇形的圓心角，則該圓錐的底面圓的半徑長為．【答案】/【分析】本題考查了圓錐的計算，利用圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，列出方程計算即可，熟練掌握圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得；，解得：，該圓錐的底面圓的半徑長為，故答案為：．5．（2023上·廣東廣州·九年級廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，用一個半徑為，面積為的扇形鐵皮，制作一個無底的圓錐（不計損耗）．(1)求扇形的圓心角的度數(shù)；(2)求圓錐的底面半徑．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．（1）先求出半徑為的圓面積，結(jié)合面積為的扇形，即可作答．（2）利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，結(jié)合弧長公式：，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式得到，然后解方程求出r即可．【詳解】（1）解：∵一個半徑為，面積為的扇形鐵皮∴∴扇形的圓心角的度數(shù)為；（2）解：根據(jù)題意得解得．所以圓錐的底面半徑r為6．（2023上·山東青島·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在平整的地面上，有若干個完全相同的棱長為的小正方體堆成一個幾何體，如圖所示：(1)請畫出這個幾何體從正面、左面、上面看到的幾何體的形狀圖；(2)如果在這個幾何體露在外面的表面噴上黃色的漆，每平方厘米用2克，則共需______克漆；(3)若現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小正方體，如果保持從上面看和從左邊看不變，最多可以再添加______個小正方體．【答案】(1)見解析(2)64(3)4【分析】本題考查作圖三視圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會正確作出三視圖．（1）根據(jù)三視圖的畫法，畫出從正面、左面、上面看到的形狀即可；（2）求出表面積，不含底面，即可求出需要漆的質(zhì)量；（3）從俯視圖上相應(yīng)位置增加小立方體，使左視圖不變，確定添加的數(shù)量．【詳解】（1）解：這個幾何體從正面、左面、上面看到的幾何體的形狀圖：（2）解：（克），故答案為：64；（3）解：在俯視圖的相應(yīng)位置上，添加小正方體，使左視圖不變，添加的位置和最多的數(shù)量如圖所示：其中紅色的數(shù)字是相應(yīng)位置添加的最多數(shù)量，因此最多可添加4塊．故答案為：4．C綜合素養(yǎng)1．如圖，將半徑為的圓形紙片沿折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心，用圖中陰影部分的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的高為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了垂徑定理，折疊的性質(zhì)，特殊直角三角形的判斷。關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)得出含的直角三角形；過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可知為半徑的一半，而為半徑，可求，同理可得，在中，由內(nèi)角和定理求，然后求得弧的長，利用弧長公式求得圍成的圓錐的底面半徑，最后利用勾股定理求得其高即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可知，，由此可得，在中，，則同理可得，在中，由內(nèi)角和定理，得，∴弧的長為，設(shè)圍成的圓錐的底面半徑為，則，∴，∴圓錐的高為．故選：A．2．（2023上·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的底面和側(cè)面，則圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：（1）