第01講 直線與圓的位置關(guān)系（12類題型）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步學(xué)與練（浙教版）（解析版）

第01講直線與圓的位置關(guān)系（12類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.直線與圓的維護(hù)關(guān)系；2.切線的判定與性質(zhì)；1.掌握直線與圓的位置關(guān)系；2.掌握切線的判定與性質(zhì)；知識(shí)點(diǎn)01、直線和圓的位置關(guān)系1.設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)直線與相切相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線直線與相交從另一個(gè)角度，直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表示：直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系公共點(diǎn)名稱交點(diǎn)切點(diǎn)—直線名稱割線切線—【即學(xué)即練1】1．（2023上·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知的半徑為5，直線是的切線，則點(diǎn)到直線的距離是（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．5【答案】D【分析】根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：的半徑是5，直線l是的切線，那么點(diǎn)O到直線l的距離是5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑；當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓心到直線的距離小于半徑；當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓心到直線的距離大于半徑．【即學(xué)即練2】2．（2022上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸正方向移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)與y軸相切時(shí)，t的值為（

）A． B．1 C．或 D．1或3【答案】C【分析】當(dāng)圓的圓心到直線的距離等于圓半徑時(shí)，直線與圓相切，即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)?shù)膱A心P在y軸左側(cè)時(shí)，P到y(tǒng)軸距離時(shí)，⊙P與y軸相切，∴移動(dòng)時(shí)間（秒）；（2）當(dāng)?shù)膱A心P在y軸右側(cè)時(shí)，P到y(tǒng)軸距離時(shí)，與y軸相切，∴移動(dòng)時(shí)間（秒）．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是掌握判定方法：圓心到直線的距離等于圓的半徑．知識(shí)點(diǎn)02.切線的判定與性質(zhì)（1）判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。點(diǎn)撥：切線必須滿足兩個(gè)條件：（1）經(jīng)過(guò)半徑的外端；（2）垂直于這條半徑，兩個(gè)條件缺一不可。（2）性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)點(diǎn)的半徑。拓展推論：①經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；②經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直到切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。圓的切線性質(zhì)定理與它的兩個(gè)推論涉及一條直線滿足的三個(gè)條件：（1）垂直于切線；（2）過(guò)切點(diǎn)；（3）過(guò)圓心，如果一條直線滿足于以上三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足另外一個(gè)條件，也可理解為“二推一”。【即學(xué)即練3】3．（2023上·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中正確的是（

）A．半圓不是弧 B．經(jīng)過(guò)半徑一端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線C．平面內(nèi)三點(diǎn)確定一個(gè)圓 D．三角形的外心到三角形的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．【答案】D【分析】本題考查圓的基本知識(shí)，圓的切線的定義，確定圓的條件，三角形的外心等，根據(jù)相關(guān)定義或性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：半圓是弧，故A選項(xiàng)命題不正確；B，經(jīng)過(guò)半徑的非圓心一端，并且垂直于這條半徑的直線，是圓的一條切線，故B選項(xiàng)命題不正確；C，平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故C選項(xiàng)命題不正確；D，三角形的外心到三角形的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故D選項(xiàng)命題正確；故選D．【即學(xué)即練4】4．（2023上·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，與相切于點(diǎn)，，，則長(zhǎng)為(

)

A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意可得，進(jìn)而根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：與相切于點(diǎn)，，，．，．故選：A．考查題型一判斷直線和圓的位置關(guān)系1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知的直徑為4，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】根據(jù)的半徑和圓心O到直線l的距離的大小，相交：；相切：；相離：；即可選出答案．【詳解】解：∵的直徑為4，∴的半徑為2，∵圓心O到直線l的距離為2，∴，∴直線l與的位置關(guān)系是相切，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵．2．（2023下·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知的半徑是一元二次方程的一個(gè)根，圓心O到直線l的距離，則直線l與的位置關(guān)系是．【答案】相離【分析】先解一元二次方程得到的半徑，再根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系與半徑關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：解方程得：，（舍去），∴的半徑為3，∵圓心O到直線l的距離，，∴直線l與的位置關(guān)系是相離，故答案為：相離．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程、圓與直線的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵是熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓半徑為r，圓心與直線的距離為d，當(dāng)時(shí)，相交；當(dāng)時(shí)，相切；當(dāng)時(shí)，相離．考查題型二已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值1．（2023·上海浦東新·校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點(diǎn)O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別根據(jù)原點(diǎn)O在圓A的外部，圓A與x軸相交，可得半徑R的取值范圍．【詳解】解：，∴，∵原點(diǎn)O在圓A的外部，∴，即，∵圓A與x軸相交，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，直線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，能熟記直線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．2．（2023上·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知在矩形中，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，(1)當(dāng)半徑為何值時(shí)，與直線相切；(2)當(dāng)半徑為何值時(shí)，與直線相切；(3)當(dāng)半徑的取值范圍為何值時(shí)，與直線相交且與直線相離．【答案】(1)當(dāng)半徑為3時(shí)，與直線相切(2)當(dāng)半徑為2.4時(shí)，與直線相切(3)當(dāng)半徑的取值范圍為時(shí)，與直線相交且與直線相離【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，圓與直線相切，結(jié)合矩形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作，等積法求出的長(zhǎng)，即為所求；（3）根據(jù)圓心到直線的距離和圓的半徑之間的關(guān)系，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，∴，∴，，∵圓心到邊的距離為，與直線相切，∴，則當(dāng)半徑為3時(shí)，與直線相切；（2）連接，過(guò)作，交于點(diǎn)，∵在中，，，∴，又∵，∴圓心到邊的距離，又與直線相切，∴，則當(dāng)半徑為2.4時(shí)，與直線相切；（3）∵與直線相交，圓心到邊的距離為，∴，又與直線相離，圓心到的距離為，∴，則當(dāng)半徑的取值范圍為時(shí)，與直線相交且與直線相離．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓之間的位置關(guān)系．熟練掌握?qǐng)A心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線與圓相切，小于半徑時(shí)，直線與圓相交，大于半徑時(shí)，直線與圓相離，是解題的關(guān)鍵．考查題型三已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離1．（2022上·九年級(jí)單元測(cè)試）已知和直線相交，圓心到直線的距離為，則的直徑可能為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，然后根據(jù)和直線相交，確定r和d的關(guān)系，然后再確定r的取值范圍，進(jìn)而確定直徑的取值范圍即可解答．【詳解】解：設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，和直線相交，，又圓心到直線的距離為，，直徑大于．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系、圓的基本概念等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)和直線相交得到是解答本題的關(guān)鍵．2．（2021上·廣東韶關(guān)·九年級(jí)?？计谥校┮阎陌霃綖?，直線l與相交，點(diǎn)O到直線l的距離為4，則上到直線l的距離為3的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)．【答案】3【分析】根據(jù)平行線間的距離處處相等，先過(guò)點(diǎn)D作，即可求得上到直線l的距離為3的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：如圖，∵的半徑為7，點(diǎn)O到直線l的距離為4，即，∴，在上截取，過(guò)點(diǎn)D作，交于A、B兩點(diǎn)，∴上到直線l的距離為3的點(diǎn)為A、B、C，故答案為：3．

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、平行線間的距離處處相等的性質(zhì)，正確畫(huà)出符合題意的圖形、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．考查題型四求圓平移到與直線相切時(shí)圓心經(jīng)過(guò)的距離1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖,直線a⊥b,垂足為H,點(diǎn)P在直線b上,PH=4cm,O為直線b上一動(dòng)點(diǎn),若以1cm為半徑的☉O與直線a相切,則OP的長(zhǎng)為.【答案】3cm或5cm【詳解】∵直線a⊥b,O為直線b上一動(dòng)點(diǎn),∴☉O與直線a相切時(shí),切點(diǎn)為H,∴OH=1cm.當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)H的左側(cè),☉O與直線a相切時(shí),如圖1所示,圖1圖2則OP=PH-OH=4-1=3(cm);當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)H的右側(cè),☉O與直線a相切時(shí),如圖2所示,則OP=PH+OH=4+1=5(cm);∴☉O與直線a相切,OP的長(zhǎng)為3cm或5cm.2．（2022下·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，半圓O的直徑DE＝12cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm.半圓O以2cm/s的速度自左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D，E始終在直線BC上．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)t＝0時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC＝8cm.(1)當(dāng)t＝________s時(shí)，半圓O與AC所在直線第一次相切；點(diǎn)C到直線AB的距離為_(kāi)_______．(2)當(dāng)t為何值時(shí)，直線AB與半圓O所在的圓相切？【答案】（1）1，6cm；（2）當(dāng)t為4或16時(shí)，直線AB與半圓O所在的圓相切．【分析】（1）求出路程EC的長(zhǎng)，即可以求時(shí)間t=1，作C到AB的距離CF，利用直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半可以得：CF=6；（2）根據(jù)C到AB的距離為6cm，圓的半徑為6cm，所以O(shè)與C重合，即當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，半圓O與△ABC的邊AB相切，t=8÷2=4秒.【詳解】(1)∵DE＝12cm，∴OE＝OD＝6cm.∵OC＝8cm，∴EC＝8－6＝2(cm)，∴t＝2÷2＝1(s)，故當(dāng)t＝1時(shí)，半圓O與AC所在直線第一次相切．如圖①，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F.在Rt△BCF中，∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，∴CF＝BC＝6cm.故答案為1，6cm.(2)如圖②，當(dāng)半圓O在直線AB的左側(cè)，與直線AB相切時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，則OM＝6cm.∵∠ABC＝30°，∴OB＝2OM＝12cm.又∵BC＝12cm，∴當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)C重合，即當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，半圓O與△ABC的邊AB相切，此時(shí)，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了8cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝8÷2＝4.如圖③，當(dāng)半圓O所在的圓在直線AB的右側(cè)與直線AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為Q，則OQ⊥AB，OQ＝6cm.在Rt△QOB中，∠OBQ＝∠ABC＝30°，則OB＝2OQ＝12cm，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了12＋12＋8＝32(cm)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝32÷2＝16.綜上所述，當(dāng)t為4或16時(shí)，直線AB與半圓O所在的圓相切．【點(diǎn)睛】考查了直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．利用時(shí)間t來(lái)表示線段之間的關(guān)系是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中是常用的方法之一，要會(huì)靈活運(yùn)用．并能根據(jù)圓心到直線的距離來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系．考查題型五求直線平移到與圓相切時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離1．（2022上·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，半徑，直線，垂足為H，且l交于A，B兩點(diǎn)，，將直線l沿所在直線向下平移，若l恰好與相切時(shí)，則平移的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由垂徑定理和勾股定理得，當(dāng)點(diǎn)H平移到點(diǎn)C時(shí)，直線與圓相切，求得．【詳解】解：連接，∵，∴，∴，∵將直線l沿所在直線向下平移，若l恰好與相切時(shí)，∴，即直線在原有位置向下移動(dòng)后與圓相切．故選：B．【點(diǎn)睛】本題利用了垂徑定理，勾股定理，及切線的概念求解，正確掌握各定理并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·福建南平·九年級(jí)順昌縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線、相交于點(diǎn)，，半徑為的圓的圓心P在直線上，且與點(diǎn)的距離為，若點(diǎn)以的速度由A向B的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，與直線相切．【答案】或【分析】在射線上或在射線上，設(shè)對(duì)應(yīng)的圓的圓心分別在M，根據(jù)切線的性質(zhì)，在中，根據(jù)30度的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，從而求得由P到M移動(dòng)的時(shí)間；根據(jù)，即可求得，也可以求得由P到M移動(dòng)的時(shí)間．【詳解】解：當(dāng)在射線上，設(shè)與相切于點(diǎn)E，P移動(dòng)到M時(shí)，連接．∵與直線相切，∴，∵在中，，，∴，則，∵以的速度沿由A向B的方向移動(dòng)，∴移動(dòng)時(shí)與直線相切．當(dāng)在射線上時(shí)，同理可求移動(dòng)時(shí)與直線相切．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，注意已知圓的切線時(shí)，常用的輔助線是連接圓心與切點(diǎn)，本題中注意到分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．考查題型六切線的應(yīng)用1．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P在拋物線y＝x2﹣3x+1上運(yùn)動(dòng)，若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切，則符合上述條件的所有的點(diǎn)P共有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切，則點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，即x＝y(tǒng)或x＝﹣y，再判斷一元二次方程解的情況即可求解．【詳解】解：∵若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切，∴x＝y(tǒng)或x＝﹣y，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，即x2﹣3x+1＝x，∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)x＝﹣y時(shí)，即x2﹣3x+1＝﹣x，∵Δ＝b2﹣4ac＝0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解；綜上可知符合上述條件的所有的點(diǎn)P共有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，根據(jù)題意得到x＝y(tǒng)或x＝﹣y是解題的關(guān)鍵．2．（2020上·河北滄州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知⊙O是以數(shù)軸上原點(diǎn)O為圓心，半徑為2的圓，∠AOB＝45°，點(diǎn)P在x正半軸上運(yùn)動(dòng)，若過(guò)點(diǎn)P且與OA平行的直線與⊙O有公共點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，則x的取值范圍是．【答案】0＜x≤2【分析】根據(jù)題意可知，直線和圓有公共點(diǎn)，則直線與圓相交或相切．如圖，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，x值最大，設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC，根據(jù)∠AOB＝45°，OA∥PC，可知為等腰直角三角形，進(jìn)而求出斜邊的長(zhǎng)度，即可得到x的取值范圍．【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC，則圓的半徑OC＝2，OC⊥PC，∵∠AOB＝45°，OA∥PC，∴∠OPC＝45°，∴PC＝OC＝2，∴OP＝，∵P在x正半軸上運(yùn)動(dòng)，∴x的取值范圍是0＜x≤，故答案為：0＜x≤．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題目已知條件，作出切線找出直線與圓有交點(diǎn)的分界點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．考查題型七有關(guān)切線的說(shuō)法辨析1．（2023上·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中正確的是（

）A．半圓不是弧 B．經(jīng)過(guò)半徑一端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線C．平面內(nèi)三點(diǎn)確定一個(gè)圓 D．三角形的外心到三角形的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．【答案】D【分析】本題考查圓的基本知識(shí)，圓的切線的定義，確定圓的條件，三角形的外心等，根據(jù)相關(guān)定義或性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：半圓是弧，故A選項(xiàng)命題不正確；B，經(jīng)過(guò)半徑的非圓心一端，并且垂直于這條半徑的直線，是圓的一條切線，故B選項(xiàng)命題不正確；C，平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故C選項(xiàng)命題不正確；D，三角形的外心到三角形的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故D選項(xiàng)命題正確；故選D．2．（2023上·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列直線中可以判定為圓的切線的是（）A．與圓有公共點(diǎn)的直線 B．經(jīng)過(guò)半徑外端的直線C．垂直于圓的半徑的直線 D．與圓心的距離等于半徑的直線【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定方法逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A．與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B．經(jīng)過(guò)半徑外端的直線且垂直于半徑的直線是圓的切線，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．經(jīng)過(guò)半徑外端的直線且與半徑垂直的直線是圓的切線，故不正確；

D．與圓心的距離等于半徑的直線，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定方法，如果直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)直線與圓的位置關(guān)系叫做相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．考查題型八判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件1．（2020上·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)格點(diǎn)A，B，C畫(huà)圓弧，則點(diǎn)B與下列格點(diǎn)連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2)【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定在網(wǎng)格中作圖即可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)格點(diǎn)A，B，C畫(huà)圓弧，則點(diǎn)B與下列格點(diǎn)連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點(diǎn)坐標(biāo)是(6，2)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.2．（2022上·北京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在下圖中，是的直徑，要使得直線是的切線，需要添加的一個(gè)條件是．（寫一個(gè)條件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根據(jù)切線的判定條件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加條件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【詳解】解：添加條件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圓O的直徑，∴AT是圓O的切線，故答案為：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關(guān)鍵．考查題型九證明某直線是圓的切線1．（2022上·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，P是的直徑的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，則當(dāng)（

）時(shí)，直線是的切線．A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，直線是的切線．連接OA．結(jié)合題意可知，從而得出．再根據(jù)，即得出，從而即可求出，即證明直線是的切線．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線是的切線．證明：如圖，連接OA．∵，∴．∵，∴，∴，即，∴直線是的切線．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．2．（2021下·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的直徑，交于D，，垂足為E，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使是的切線，你所添加的條件是．【答案】或【分析】結(jié)合，只需，根據(jù)是的中點(diǎn)，只需即可；要使，則連接，只需，根據(jù)等腰三角形的三線合一即可．【詳解】解：若添加BD=CD，理由如下：如圖，連接OD，∵BD=CD，OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切線；若添加AB=AC，理由如下：如圖，連接AD，∵是的直徑，∴∠ADB=90°，∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切線．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，三角形的中位線定理，熟練掌握切線的判定定理，三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．考查題型十切線的性質(zhì)定理1．（2023上·福建福州·九年級(jí)校考期中）如圖，在中，與相切于點(diǎn)A，連接交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為上的點(diǎn)，連接．若，則為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再利用互余計(jì)算出，接著根據(jù)圓周角定理得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到的度數(shù)．【詳解】解：∵與相切于點(diǎn)A，，，，，，，．故選：B．2．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，與相切點(diǎn)，連，若，則的度數(shù)等于．【答案】/125度【分析】連接，利用切線的性質(zhì)定理和圓周角定理解答即可得出結(jié)論．本題主要考查了切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，連接是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接如圖，與相切于點(diǎn)故答案為：考查題型十一切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用1．（2021上·四川德陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，，E是邊AB上一點(diǎn)，且．已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，與邊CD所在直線相切于點(diǎn)G（為銳角），與邊AB所在直線交于另一點(diǎn)F，且，當(dāng)邊AD或BC所在的直線與相切時(shí)，AB的長(zhǎng)是（

）A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或【答案】D【分析】邊BC所在的直線與⊙O相切時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AB，垂足為N，可得EN＝NF，由，依據(jù)勾股定理求出半徑r，根據(jù)計(jì)算即可；當(dāng)邊AD所在的直線與⊙O相切時(shí)，同理可求．【詳解】解：邊BC所在的直線與⊙O相切時(shí)，如圖，切點(diǎn)為K，連接OK，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AB，垂足為N，∴EN＝NF，又∵，∴設(shè)⊙O的半徑為r，由OE2＝EN2＋ON2，得：r2＝16＋（8?r）2，∴r＝5，∴OK＝NB＝5，∴EB＝9，又，即，∴AB＝；當(dāng)邊AD所在的直線與⊙O相切時(shí)，切點(diǎn)為H，連接OH，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AB，垂足為N，同理，可得OH＝AN＝5，∴AE＝1，又，∴AB＝6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于做好輔助線，利用勾股定理求出對(duì)應(yīng)圓的半徑．2．（2022上·江蘇連云港·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(?6，0)，B(0，6)，⊙O的半徑為2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P在直線AB上，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為【答案】【分析】連接OP．根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，當(dāng)OP⊥AB時(shí)，線段OP最短，即線段PQ最短．【詳解】解：連接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∵當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短；又∵A（-6，0）、B（0，6），∴OA=OB=6，∴AB=6，∴OP=AB=3，∵OQ=2，∴PQ=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題．考查題型十二過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線（尺規(guī)作圖）1．（2022上·福建龍巖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）已知：如圖，求作內(nèi)切圓．（2）已知：如圖，過(guò)點(diǎn)P求作的切線．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）圓心到各邊的距離相等，所以要作各內(nèi)角的角平分線的焦點(diǎn)，交點(diǎn)就是內(nèi)切圓的圓心，圓的半徑是圓心到各邊的距離．（2）利用直徑上的圓周角是直角，構(gòu)造直角，利用切線的定義判斷即可．【詳解】（1）解：作圖如下：

步驟：第一步：作的角平分線，以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交、于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為相同半徑分別畫(huà)弧使其相交于點(diǎn)P，連接；第二步：作的角平分線，以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別、于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，以大于長(zhǎng)為相同半徑分別畫(huà)弧使其相交于點(diǎn)，連接；第三步：確定圓心．和的交點(diǎn)就是內(nèi)切圓的圓心；第四步：確定半徑．過(guò)點(diǎn)圓心作的垂線，垂足為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使其相交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，點(diǎn)就是垂直于的垂足．第五步：連接，以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，即為所求．（2）如圖，直線即為所求作．

步驟：第一步：連接，作的垂直平分線l，交于點(diǎn)A；第二步：以A為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)M；第三步：作直線，則直線即為的切線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓的尺規(guī)作圖法，明確內(nèi)切圓圓心是三角形各內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．也考查了圓的切線判定，基本作圖，切線的定義．2．（2023上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）請(qǐng)按下列要求作圖．

(1)如圖1，在方格紙中，點(diǎn)A在圓上，僅用無(wú)刻度直尺過(guò)點(diǎn)A畫(huà)出圓的切線；(2)如圖2，已知，點(diǎn)Q在外，用尺規(guī)作上所有過(guò)點(diǎn)Q的切線．（保留作圖痕跡）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線（尺規(guī)作圖）以及方格作圖：（1）根據(jù)方格的特征，因?yàn)?，，，得是直徑，，即得，?jù)此作圖即可；（2）連接，再作線段的垂直平分線，交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑，相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，連接，，因?yàn)闉橹睆剑?，即為切線，切線，即可作答．正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求：

（2）解：所有過(guò)點(diǎn)Q的切線為切線，切線，如圖所示：

A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2023上·廣東廣州·九年級(jí)期末）已知,的半徑,若,則直線與位置圖形可能為（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系．通過(guò)閱讀本題半徑可知,點(diǎn)E在圓上,圓心到點(diǎn)距離大于半徑可知,點(diǎn)F在圓外．【詳解】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷即可．解:∵的半徑,,∴點(diǎn)E在圓上,點(diǎn)F在圓外,∴直線與位置圖形可能為A選項(xiàng),故選:A．2．（2023上·福建福州·九年級(jí)校考期中）已知的半徑為10，直線上有一點(diǎn)滿足，則直線與的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相離 C．相離或相切 D．相切或相交【答案】D【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系來(lái)完成．根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來(lái)判定．判斷直線和圓的位置關(guān)系：①直線l和相交；②直線l和相切；③直線l和相離.分垂直于直線l,不垂直直線l兩種情況討論．【詳解】解：當(dāng)垂直于直線l時(shí)，即圓心O到直線l的距離,與l相切；當(dāng)不垂直于直線l時(shí)，即圓心O到直線l的距離,與直線l相交．故直線l與的位置關(guān)系是相切或相交．故選：D．3．（2023上·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，是以為直徑的圓，則直線與的位置關(guān)系是．【答案】相交【分析】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，本題先求解圓心到直線的距離與圓的半徑，再根據(jù)可得答案；熟記直線和圓的位置關(guān)系的判定方法是解題關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得圓心到直線的距離等于，圓的半徑是，∴圓心到直線的距離小于半徑，得直線和圓相交．故答案為：相交．4．（2023上·北京密云·九年級(jí)統(tǒng)考期中）的半徑為，若圓心O到直線l的距離是，則直線l與的位置關(guān)系是．【答案】相交【分析】根據(jù)圓心O到直線l的距離小于半徑即可判定直線l與的位置關(guān)系為相交．【詳解】解：∵圓心O到直線l的距離是，的半徑為，又∵，∴直線l與相交．故答案為：相交．【點(diǎn)睛】此題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系解答．若，則直線與圓相交；若，則直線于圓相切；若，則直線與圓相離．5（2022下·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，連接、，是的切線，切點(diǎn)為，，、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，記的半徑，求證：．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)證明過(guò)程見(jiàn)詳解【分析】（1）如圖所示（見(jiàn)詳解），連接，是的直徑，是的切線，即，根據(jù)，，可證，則有，由此即可求證；（2）是的直徑，可知，由（1）可知，由此可求出，從而證明，且，由此即可求證．【詳解】（1）證明：連接，是的切線，，，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線．（2）證明：是圓的切線，，是的直徑，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握?qǐng)A的基本知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021上·吉林·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，OA，OB為⊙O的半徑，AC為⊙O的切線，連接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】65°．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAC=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB=∠B=25°，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵AC為⊙O的切線，∴∠OAC=90°．∵OA=OB，∠B=25°，∴∠OAB=∠B=25°．∴∠BAC=∠OAC-∠OAB=90°-25°=65°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．B能力提升1．（2023上·廣東惠州·九年級(jí)校考期中）如圖，切于，過(guò)圓心點(diǎn)，是弦，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了切線的性質(zhì)及圓周角定理，利用切線的性質(zhì)得到，利用圓周角定理得到，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的性質(zhì)及圓周角定理的應(yīng)用．【詳解】解：∵切于，∴，∵，∴，∴，故選：A．2．（2023上·河北廊坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，為的切線，B為切點(diǎn)，交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在優(yōu)弧上，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查圓周角定理，切線的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，先利用圓周角定理求出，再根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到．【詳解】解：∵，∴，又∵為的切線，∴，∴，故選B．3．（2023上·福建莆田·九年級(jí)福建省莆田市中山中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是、、，已知，，則的度數(shù)是．【答案】/65度【分析】本題考查了切線的性質(zhì)定理、三角形的內(nèi)角和定理、圓周角定理，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得，根據(jù)切線的性質(zhì)定理和四邊形的內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，求得．【詳解】解：，，，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是、、，，，．故答案為：．4．（2023上·河南漯河·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，分別與相切于點(diǎn)A，B，為的直徑，若，則的形狀是．

【答案】等邊三角形【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，連接，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，然后利用四邊形內(nèi)角和定理即可得是等邊三角形．【詳解】解：如圖，連接，

∵為的直徑，∴，由圓周角定理得：，∵分別與相切于點(diǎn)A，B，∴，∴，∴為等邊三角形．故答案為：等邊三角形．5．（2023上·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知為同心圓中大圓的弦，若，大圓半徑為2，小圓半徑為1．求證：為同心圓中小圓的切線．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了切線的判定定理，解題關(guān)鍵是先過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)垂徑定理和的長(zhǎng)，求出，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)切線的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：證明：如圖所示：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，大圓半徑為2，，，在中，由勾股定理得：，的長(zhǎng)等于小圓的半徑1，為同心圓中小圓的切線．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC內(nèi)接于☉O，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)D，交☉O于點(diǎn)E，交☉O的切線AF于點(diǎn)F，且AFBC．(1)求證：AOBE；(2)求證：AO平分∠BAC．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【詳解】證明(1)∵AF是☉O的切線,∴AF⊥OA,即∠OAF=90°.∵CE是☉O的直徑,∴∠CBE=90°,∴∠OAF=∠CBE.∵AF∥BC,∴∠BAF=∠ABC,∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC,即∠OAB=∠ABE,∴AO∥BE.(2)∵∠ABE與∠ACE都是所對(duì)的圓周角,∴∠ABE=∠ACE.∵OA=OC,∴∠ACE=∠OAC,∴∠ABE=∠OAC.由(1)知,∠OAB=∠ABE,∴∠OAB=∠OAC,∴AO平分∠BAC.C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是☉O的切線，B為切點(diǎn)，連接AO交☉O于點(diǎn)C，延長(zhǎng)AO交☉O于點(diǎn)D，連接BD．若∠A=∠D，且AC=3，則AB的長(zhǎng)度是（

）A．3 B．4 C．3 D．4【答案】C【詳解】如圖，連接OB，∵AB是☉O的切線，B為切點(diǎn)，∴OB⊥AB，∴AB2=OA2-OB2．∵OB和OD是半徑，∴∠D=∠OBD．∵∠A=∠D，∴∠A=∠D=∠OBD，∴△OBD∽△BAD，AB=BD，∴OD∶BD=BD∶AD