第01講 直線與圓的位置關系（12類題型）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊同步學與練（浙教版）（解析版）

第01講直線與圓的位置關系（12類題型）課程標準學習目標1.直線與圓的維護關系；2.切線的判定與性質；1.掌握直線與圓的位置關系；2.掌握切線的判定與性質；知識點01、直線和圓的位置關系1.設的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關系如下表：位置關系圖形定義性質及判定相離直線與圓沒有公共點直線與相離相切直線與圓有唯一公共點，直線叫做圓的切線，公共點叫做切點直線與相切相交直線與圓有兩個公共點，直線叫做圓的割線直線與相交從另一個角度，直線和圓的位置關系還可以如下表示：直線和圓的位置關系相交相切相離公共點個數(shù)圓心到直線的距離與半徑的關系公共點名稱交點切點—直線名稱割線切線—【即學即練1】1．（2023上·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期中）已知的半徑為5，直線是的切線，則點到直線的距離是（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．5【答案】D【分析】根據(jù)圓與直線的位置關系進行解答即可．【詳解】解：的半徑是5，直線l是的切線，那么點O到直線l的距離是5．故選：D．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，解題的關鍵是熟練掌握當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑；當直線與圓相交時，圓心到直線的距離小于半徑；當直線與圓相離時，圓心到直線的距離大于半徑．【即學即練2】2．（2022上·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標為，以點P為圓心，2為半徑的以每秒2個單位的速度沿x軸正方向移動，移動時間為t，當與y軸相切時，t的值為（

）A． B．1 C．或 D．1或3【答案】C【分析】當圓的圓心到直線的距離等于圓半徑時，直線與圓相切，即可求解．【詳解】解：（1）當?shù)膱A心P在y軸左側時，P到y(tǒng)軸距離時，⊙P與y軸相切，∴移動時間（秒）；（2）當?shù)膱A心P在y軸右側時，P到y(tǒng)軸距離時，與y軸相切，∴移動時間（秒）．故選C．【點睛】本題考查直線和圓位置關系的判定，關鍵是掌握判定方法：圓心到直線的距離等于圓的半徑．知識點02.切線的判定與性質（1）判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。點撥：切線必須滿足兩個條件：（1）經(jīng)過半徑的外端；（2）垂直于這條半徑，兩個條件缺一不可。（2）性質定理：圓的切線垂直于過點的半徑。拓展推論：①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；②經(jīng)過切點且垂直到切線的直線必經(jīng)過圓心。圓的切線性質定理與它的兩個推論涉及一條直線滿足的三個條件：（1）垂直于切線；（2）過切點；（3）過圓心，如果一條直線滿足于以上三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足另外一個條件，也可理解為“二推一”。【即學即練3】3．（2023上·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期中）下列命題中正確的是（

）A．半圓不是弧 B．經(jīng)過半徑一端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線C．平面內三點確定一個圓 D．三角形的外心到三角形的各個頂點的距離相等．【答案】D【分析】本題考查圓的基本知識，圓的切線的定義，確定圓的條件，三角形的外心等，根據(jù)相關定義或性質逐項判斷即可．【詳解】解：半圓是弧，故A選項命題不正確；B，經(jīng)過半徑的非圓心一端，并且垂直于這條半徑的直線，是圓的一條切線，故B選項命題不正確；C，平面內不在同一直線上的三點確定一個圓，故C選項命題不正確；D，三角形的外心到三角形的各個頂點的距離相等，故D選項命題正確；故選D．【即學即練4】4．（2023上·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期中）如圖，與相切于點，，，則長為(

)

A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】本題考查了切線的性質，含度角的直角三角形的性質，根據(jù)題意可得，進而根據(jù)含度角的直角三角形的性質，即可求解．【詳解】解：與相切于點，，，．，．故選：A．考查題型一判斷直線和圓的位置關系1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知的直徑為4，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)的半徑和圓心O到直線l的距離的大小，相交：；相切：；相離：；即可選出答案．【詳解】解：∵的直徑為4，∴的半徑為2，∵圓心O到直線l的距離為2，∴，∴直線l與的位置關系是相切，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查對直線與圓的位置關系的性質的理解和掌握，能熟練地運用性質進行判斷是解此題的關鍵．2．（2023下·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）已知的半徑是一元二次方程的一個根，圓心O到直線l的距離，則直線l與的位置關系是．【答案】相離【分析】先解一元二次方程得到的半徑，再根據(jù)圓與直線的位置關系與半徑關系即可得到結論．【詳解】解：解方程得：，（舍去），∴的半徑為3，∵圓心O到直線l的距離，，∴直線l與的位置關系是相離，故答案為：相離．【點睛】本題考查解一元二次方程、圓與直線的位置關系，解答的關鍵是熟練掌握直線與圓的位置關系：設圓半徑為r，圓心與直線的距離為d，當時，相交；當時，相切；當時，相離．考查題型二已知直線和圓的位置關系求半徑的取值1．（2023·上海浦東新·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，以點為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別根據(jù)原點O在圓A的外部，圓A與x軸相交，可得半徑R的取值范圍．【詳解】解：，∴，∵原點O在圓A的外部，∴，即，∵圓A與x軸相交，∴，∴，故選C．【點睛】本題考查了坐標與圖形性質，勾股定理，直線、點與圓的位置關系等知識點，能熟記直線、點與圓的位置關系是解此題的關鍵．2．（2023上·九年級課時練習）已知在矩形中，，，以點為圓心，為半徑作，(1)當半徑為何值時，與直線相切；(2)當半徑為何值時，與直線相切；(3)當半徑的取值范圍為何值時，與直線相交且與直線相離．【答案】(1)當半徑為3時，與直線相切(2)當半徑為2.4時，與直線相切(3)當半徑的取值范圍為時，與直線相交且與直線相離【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑時，圓與直線相切，結合矩形的性質進行求解即可；（2）連接，過點作，等積法求出的長，即為所求；（3）根據(jù)圓心到直線的距離和圓的半徑之間的關系，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，∴，∴，，∵圓心到邊的距離為，與直線相切，∴，則當半徑為3時，與直線相切；（2）連接，過作，交于點，∵在中，，，∴，又∵，∴圓心到邊的距離，又與直線相切，∴，則當半徑為2.4時，與直線相切；（3）∵與直線相交，圓心到邊的距離為，∴，又與直線相離，圓心到的距離為，∴，則當半徑的取值范圍為時，與直線相交且與直線相離．【點睛】本題考查直線與圓之間的位置關系．熟練掌握圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切，小于半徑時，直線與圓相交，大于半徑時，直線與圓相離，是解題的關鍵．考查題型三已知直線和圓的位置關系求圓心到直線的距離1．（2022上·九年級單元測試）已知和直線相交，圓心到直線的距離為，則的直徑可能為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設的半徑為，圓心到直線的距離為，然后根據(jù)和直線相交，確定r和d的關系，然后再確定r的取值范圍，進而確定直徑的取值范圍即可解答．【詳解】解：設的半徑為，圓心到直線的距離為，和直線相交，，又圓心到直線的距離為，，直徑大于．故選A．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系、圓的基本概念等知識點，根據(jù)和直線相交得到是解答本題的關鍵．2．（2021上·廣東韶關·九年級校考期中）已知的半徑為7，直線l與相交，點O到直線l的距離為4，則上到直線l的距離為3的點的個數(shù)為個．【答案】3【分析】根據(jù)平行線間的距離處處相等，先過點D作，即可求得上到直線l的距離為3的點的個數(shù)．【詳解】解：如圖，∵的半徑為7，點O到直線l的距離為4，即，∴，在上截取，過點D作，交于A、B兩點，∴上到直線l的距離為3的點為A、B、C，故答案為：3．

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系、平行線間的距離處處相等的性質，正確畫出符合題意的圖形、數(shù)形結合是解題的關鍵．考查題型四求圓平移到與直線相切時圓心經(jīng)過的距離1．（2023·全國·九年級專題練習）如圖,直線a⊥b,垂足為H,點P在直線b上,PH=4cm,O為直線b上一動點,若以1cm為半徑的☉O與直線a相切,則OP的長為.【答案】3cm或5cm【詳解】∵直線a⊥b,O為直線b上一動點,∴☉O與直線a相切時,切點為H,∴OH=1cm.當點O在點H的左側,☉O與直線a相切時,如圖1所示,圖1圖2則OP=PH-OH=4-1=3(cm);當點O在點H的右側,☉O與直線a相切時,如圖2所示,則OP=PH+OH=4+1=5(cm);∴☉O與直線a相切,OP的長為3cm或5cm.2．（2022下·九年級單元測試）如圖，半圓O的直徑DE＝12cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm.半圓O以2cm/s的速度自左向右運動，在運動過程中，點D，E始終在直線BC上．設運動時間為ts，當t＝0時，半圓O在△ABC的左側，OC＝8cm.(1)當t＝________s時，半圓O與AC所在直線第一次相切；點C到直線AB的距離為________．(2)當t為何值時，直線AB與半圓O所在的圓相切？【答案】（1）1，6cm；（2）當t為4或16時，直線AB與半圓O所在的圓相切．【分析】（1）求出路程EC的長，即可以求時間t=1，作C到AB的距離CF，利用直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半可以得：CF=6；（2）根據(jù)C到AB的距離為6cm，圓的半徑為6cm，所以O與C重合，即當O點運動到C點時，半圓O與△ABC的邊AB相切，t=8÷2=4秒.【詳解】(1)∵DE＝12cm，∴OE＝OD＝6cm.∵OC＝8cm，∴EC＝8－6＝2(cm)，∴t＝2÷2＝1(s)，故當t＝1時，半圓O與AC所在直線第一次相切．如圖①，過點C作CF⊥AB于點F.在Rt△BCF中，∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，∴CF＝BC＝6cm.故答案為1，6cm.(2)如圖②，當半圓O在直線AB的左側，與直線AB相切時，過點O作OM⊥AB于點M，則OM＝6cm.∵∠ABC＝30°，∴OB＝2OM＝12cm.又∵BC＝12cm，∴當點O與點C重合，即當點O運動到點C時，半圓O與△ABC的邊AB相切，此時，點O運動了8cm，運動時間t＝8÷2＝4.如圖③，當半圓O所在的圓在直線AB的右側與直線AB相切時，設切點為Q，則OQ⊥AB，OQ＝6cm.在Rt△QOB中，∠OBQ＝∠ABC＝30°，則OB＝2OQ＝12cm，此時點O運動了12＋12＋8＝32(cm)，運動時間t＝32÷2＝16.綜上所述，當t為4或16時，直線AB與半圓O所在的圓相切．【點睛】考查了直線與圓的位置關系和點與圓的位置關系．利用時間t來表示線段之間的關系是動點問題中是常用的方法之一，要會靈活運用．并能根據(jù)圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系．考查題型五求直線平移到與圓相切時運動的距離1．（2022上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，半徑，直線，垂足為H，且l交于A，B兩點，，將直線l沿所在直線向下平移，若l恰好與相切時，則平移的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由垂徑定理和勾股定理得，當點H平移到點C時，直線與圓相切，求得．【詳解】解：連接，∵，∴，∴，∵將直線l沿所在直線向下平移，若l恰好與相切時，∴，即直線在原有位置向下移動后與圓相切．故選：B．【點睛】本題利用了垂徑定理，勾股定理，及切線的概念求解，正確掌握各定理并應用是解題的關鍵．2．（2022上·福建南平·九年級順昌縣第一中學?？茧A段練習）如圖，直線、相交于點，，半徑為的圓的圓心P在直線上，且與點的距離為，若點以的速度由A向B的方向運動，當運動時間為時，與直線相切．【答案】或【分析】在射線上或在射線上，設對應的圓的圓心分別在M，根據(jù)切線的性質，在中，根據(jù)30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得的長，進而求得的長，從而求得由P到M移動的時間；根據(jù)，即可求得，也可以求得由P到M移動的時間．【詳解】解：當在射線上，設與相切于點E，P移動到M時，連接．∵與直線相切，∴，∵在中，，，∴，則，∵以的速度沿由A向B的方向移動，∴移動時與直線相切．當在射線上時，同理可求移動時與直線相切．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了切線的性質和直角三角形的性質，注意已知圓的切線時，常用的輔助線是連接圓心與切點，本題中注意到分兩種情況討論是解題的關鍵．考查題型六切線的應用1．（2022·四川樂山·統(tǒng)考模擬預測）如圖，點P在拋物線y＝x2﹣3x+1上運動，若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切，則符合上述條件的所有的點P共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切，則點P的橫縱坐標的絕對值相等，即x＝y(tǒng)或x＝﹣y，再判斷一元二次方程解的情況即可求解．【詳解】解：∵若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切，∴x＝y(tǒng)或x＝﹣y，當x＝y(tǒng)時，即x2﹣3x+1＝x，∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)解；當x＝﹣y時，即x2﹣3x+1＝﹣x，∵Δ＝b2﹣4ac＝0，∴方程有兩個相等的實數(shù)解；綜上可知符合上述條件的所有的點P共有3個，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的性質以及切線的性質，根據(jù)題意得到x＝y(tǒng)或x＝﹣y是解題的關鍵．2．（2020上·河北滄州·九年級?？计谥校┤鐖D，已知⊙O是以數(shù)軸上原點O為圓心，半徑為2的圓，∠AOB＝45°，點P在x正半軸上運動，若過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，設P點對應的數(shù)為x，則x的取值范圍是．【答案】0＜x≤2【分析】根據(jù)題意可知，直線和圓有公共點，則直線與圓相交或相切．如圖，當直線與圓相切時，x值最大，設切點為C，連接OC，根據(jù)∠AOB＝45°，OA∥PC，可知為等腰直角三角形，進而求出斜邊的長度，即可得到x的取值范圍．【詳解】解：設切點為C，連接OC，則圓的半徑OC＝2，OC⊥PC，∵∠AOB＝45°，OA∥PC，∴∠OPC＝45°，∴PC＝OC＝2，∴OP＝，∵P在x正半軸上運動，∴x的取值范圍是0＜x≤，故答案為：0＜x≤．【點睛】此題主要考查了直線與圓的位置關系，根據(jù)題目已知條件，作出切線找出直線與圓有交點的分界點是解決問題的關鍵．考查題型七有關切線的說法辨析1．（2023上·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期中）下列命題中正確的是（

）A．半圓不是弧 B．經(jīng)過半徑一端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線C．平面內三點確定一個圓 D．三角形的外心到三角形的各個頂點的距離相等．【答案】D【分析】本題考查圓的基本知識，圓的切線的定義，確定圓的條件，三角形的外心等，根據(jù)相關定義或性質逐項判斷即可．【詳解】解：半圓是弧，故A選項命題不正確；B，經(jīng)過半徑的非圓心一端，并且垂直于這條半徑的直線，是圓的一條切線，故B選項命題不正確；C，平面內不在同一直線上的三點確定一個圓，故C選項命題不正確；D，三角形的外心到三角形的各個頂點的距離相等，故D選項命題正確；故選D．2．（2023上·九年級課時練習）下列直線中可以判定為圓的切線的是（）A．與圓有公共點的直線 B．經(jīng)過半徑外端的直線C．垂直于圓的半徑的直線 D．與圓心的距離等于半徑的直線【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定方法逐項分析即可．【詳解】解：A．與圓有且僅有一個公共點的直線是圓的切線，故該選項不正確，不符合題意；

B．經(jīng)過半徑外端的直線且垂直于半徑的直線是圓的切線，故該選項不正確，不符合題意；C．經(jīng)過半徑外端的直線且與半徑垂直的直線是圓的切線，故不正確；

D．與圓心的距離等于半徑的直線，故該選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了切線的判定方法，如果直線與圓只有一個公共點，這時直線與圓的位置關系叫做相切，這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點；經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．考查題型八判斷或補全使直線為切線的條件1．（2020上·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C畫圓弧，則點B與下列格點連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點坐標是()A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2)【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定在網(wǎng)格中作圖即可得結論．【詳解】解：如圖，過格點A，B，C畫圓弧，則點B與下列格點連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點坐標是(6，2)．故選：D．【點睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定定理是解題的關鍵.2．（2022上·北京·九年級統(tǒng)考期末）在下圖中，是的直徑，要使得直線是的切線，需要添加的一個條件是．（寫一個條件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根據(jù)切線的判定條件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加條件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【詳解】解：添加條件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圓O的直徑，∴AT是圓O的切線，故答案為：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關鍵．考查題型九證明某直線是圓的切線1．（2022上·全國·九年級專題練習）如圖，P是的直徑的延長線上一點，，則當（

）時，直線是的切線．A． B． C． D．【答案】B【分析】當時，直線是的切線．連接OA．結合題意可知，從而得出．再根據(jù)，即得出，從而即可求出，即證明直線是的切線．【詳解】解：當時，直線是的切線．證明：如圖，連接OA．∵，∴．∵，∴，∴，即，∴直線是的切線．故選：B．【點睛】本題考查切線的判定，三角形內角和定理，等腰三角形的判定和性質．連接常用的輔助線是解題關鍵．2．（2021下·九年級課時練習）如圖，是的直徑，交于D，，垂足為E，請你添加一個條件，使是的切線，你所添加的條件是．【答案】或【分析】結合，只需，根據(jù)是的中點，只需即可；要使，則連接，只需，根據(jù)等腰三角形的三線合一即可．【詳解】解：若添加BD=CD，理由如下：如圖，連接OD，∵BD=CD，OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切線；若添加AB=AC，理由如下：如圖，連接AD，∵是的直徑，∴∠ADB=90°，∴點D是BC的中點，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵，∴DE⊥OD，∵交于D，∴是的切線．故答案為：或【點睛】本題主要考查了切線的判定，三角形的中位線定理，熟練掌握切線的判定定理，三角形的中位線定理是解題的關鍵．考查題型十切線的性質定理1．（2023上·福建福州·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，與相切于點A，連接交于點C，點D為上的點，連接．若，則為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．先根據(jù)切線的性質得到，再利用互余計算出，接著根據(jù)圓周角定理得到，然后根據(jù)平行線的性質得到的度數(shù)．【詳解】解：∵與相切于點A，，，，，，，．故選：B．2．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，點在延長線上，與相切點，連，若，則的度數(shù)等于．【答案】/125度【分析】連接，利用切線的性質定理和圓周角定理解答即可得出結論．本題主要考查了切線的性質定理，圓周角定理，連接是解此題的關鍵．【詳解】解：連接如圖，與相切于點故答案為：考查題型十一切線的性質和判定的綜合應用1．（2021上·四川德陽·九年級?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，，E是邊AB上一點，且．已知經(jīng)過點E，與邊CD所在直線相切于點G（為銳角），與邊AB所在直線交于另一點F，且，當邊AD或BC所在的直線與相切時，AB的長是（

）A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或【答案】D【分析】邊BC所在的直線與⊙O相切時，過點G作GN⊥AB，垂足為N，可得EN＝NF，由，依據(jù)勾股定理求出半徑r，根據(jù)計算即可；當邊AD所在的直線與⊙O相切時，同理可求．【詳解】解：邊BC所在的直線與⊙O相切時，如圖，切點為K，連接OK，過點G作GN⊥AB，垂足為N，∴EN＝NF，又∵，∴設⊙O的半徑為r，由OE2＝EN2＋ON2，得：r2＝16＋（8?r）2，∴r＝5，∴OK＝NB＝5，∴EB＝9，又，即，∴AB＝；當邊AD所在的直線與⊙O相切時，切點為H，連接OH，過點G作GN⊥AB，垂足為N，同理，可得OH＝AN＝5，∴AE＝1，又，∴AB＝6，故選：C．【點睛】本題考查了切線的性質、勾股定理和垂徑定理的綜合應用，解答本題的關鍵在于做好輔助線，利用勾股定理求出對應圓的半徑．2．（2022上·江蘇連云港·九年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB經(jīng)過點A(?6，0)，B(0，6)，⊙O的半徑為2（O為坐標原點），點P在直線AB上，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，則切線長PQ的最小值為【答案】【分析】連接OP．根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，當OP⊥AB時，線段OP最短，即線段PQ最短．【詳解】解：連接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∵當PO⊥AB時，線段PQ最短；又∵A（-6，0）、B（0，6），∴OA=OB=6，∴AB=6，∴OP=AB=3，∵OQ=2，∴PQ=，故答案為：．【點睛】本題考查了切線的判定與性質、坐標與圖形性質以及矩形的性質等知識點．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角來解決有關問題．考查題型十二過圓外一點作圓的切線（尺規(guī)作圖）1．（2022上·福建龍巖·九年級?？茧A段練習）（1）已知：如圖，求作內切圓．（2）已知：如圖，過點P求作的切線．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）圓心到各邊的距離相等，所以要作各內角的角平分線的焦點，交點就是內切圓的圓心，圓的半徑是圓心到各邊的距離．（2）利用直徑上的圓周角是直角，構造直角，利用切線的定義判斷即可．【詳解】（1）解：作圖如下：

步驟：第一步：作的角平分線，以點為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交、于點和點，再分別以點和點為圓心，以大于的長為相同半徑分別畫弧使其相交于點P，連接；第二步：作的角平分線，以點為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別、于點和點，再分別以點和點為圓心，以大于長為相同半徑分別畫弧使其相交于點，連接；第三步：確定圓心．和的交點就是內切圓的圓心；第四步：確定半徑．過點圓心作的垂線，垂足為點，以點為圓心，以大于的長為半徑畫弧，交于點和點，再分別以點和點為圓心，以大于的長為半徑畫弧，使其相交于點，連接，交于點，點就是垂直于的垂足．第五步：連接，以點為圓心，以的長為半徑畫圓，即為所求．（2）如圖，直線即為所求作．

步驟：第一步：連接，作的垂直平分線l，交于點A；第二步：以A為圓心，為半徑作圓，交于點M；第三步：作直線，則直線即為的切線．【點睛】本題主要考查了三角形的內切圓的尺規(guī)作圖法，明確內切圓圓心是三角形各內角角平分線的交點是解決本題的關鍵．也考查了圓的切線判定，基本作圖，切線的定義．2．（2023上·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考期中）請按下列要求作圖．

(1)如圖1，在方格紙中，點A在圓上，僅用無刻度直尺過點A畫出圓的切線；(2)如圖2，已知，點Q在外，用尺規(guī)作上所有過點Q的切線．（保留作圖痕跡）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了切線的性質，過圓外一點作圓的切線（尺規(guī)作圖）以及方格作圖：（1）根據(jù)方格的特征，因為，，，得是直徑，，即得，據(jù)此作圖即可；（2）連接，再作線段的垂直平分線，交于一點，即為點，以點為圓心，為半徑，相交于點A，點B，連接，，因為為直徑，，即為切線，切線，即可作答．正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求：

（2）解：所有過點Q的切線為切線，切線，如圖所示：

A夯實基礎1．（2023上·廣東廣州·九年級期末）已知,的半徑,若,則直線與位置圖形可能為（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題考查直線與圓的位置關系．通過閱讀本題半徑可知,點E在圓上,圓心到點距離大于半徑可知,點F在圓外．【詳解】根據(jù)直線與圓的位置關系判斷即可．解:∵的半徑,,∴點E在圓上,點F在圓外,∴直線與位置圖形可能為A選項,故選:A．2．（2023上·福建福州·九年級?？计谥校┮阎陌霃綖?0，直線上有一點滿足，則直線與的位置關系是（

）A．相切 B．相離 C．相離或相切 D．相切或相交【答案】D【分析】本題考查直線與圓的位置關系．解決此類問題的關鍵是通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系來完成．根據(jù)直線與圓的位置關系來判定．判斷直線和圓的位置關系：①直線l和相交；②直線l和相切；③直線l和相離.分垂直于直線l,不垂直直線l兩種情況討論．【詳解】解：當垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離,與l相切；當不垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離,與直線l相交．故直線l與的位置關系是相切或相交．故選：D．3．（2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，是以為直徑的圓，則直線與的位置關系是．【答案】相交【分析】此題主要考查了直線與圓的位置關系，本題先求解圓心到直線的距離與圓的半徑，再根據(jù)可得答案；熟記直線和圓的位置關系的判定方法是解題關鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得圓心到直線的距離等于，圓的半徑是，∴圓心到直線的距離小于半徑，得直線和圓相交．故答案為：相交．4．（2023上·北京密云·九年級統(tǒng)考期中）的半徑為，若圓心O到直線l的距離是，則直線l與的位置關系是．【答案】相交【分析】根據(jù)圓心O到直線l的距離小于半徑即可判定直線l與的位置關系為相交．【詳解】解：∵圓心O到直線l的距離是，的半徑為，又∵，∴直線l與相交．故答案為：相交．【點睛】此題考查的是直線與圓的位置關系，根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系解答．若，則直線與圓相交；若，則直線于圓相切；若，則直線與圓相離．5（2022下·江蘇·九年級專題練習）如圖，是的直徑，是上一點，連接、，是的切線，切點為，，、的延長線相交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，記的半徑，求證：．【答案】(1)證明過程見詳解(2)證明過程見詳解【分析】（1）如圖所示（見詳解），連接，是的直徑，是的切線，即，根據(jù)，，可證，則有，由此即可求證；（2）是的直徑，可知，由（1）可知，由此可求出，從而證明，且，由此即可求證．【詳解】（1）證明：連接，是的切線，，，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線．（2）證明：是圓的切線，，是的直徑，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握圓的基本知識，相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．6．（2021上·吉林·九年級統(tǒng)考期末）如圖，OA，OB為⊙O的半徑，AC為⊙O的切線，連接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】65°．【分析】根據(jù)切線的性質得到∠OAC=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質得到∠OAB=∠B=25°，進一步計算即可求解．【詳解】解：∵AC為⊙O的切線，∴∠OAC=90°．∵OA=OB，∠B=25°，∴∠OAB=∠B=25°．∴∠BAC=∠OAC-∠OAB=90°-25°=65°．【點睛】本題考查了切線的性質與等腰三角形的性質．此題比較簡單，注意數(shù)形結合思想的應用．B能力提升1．（2023上·廣東惠州·九年級校考期中）如圖，切于，過圓心點，是弦，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了切線的性質及圓周角定理，利用切線的性質得到，利用圓周角定理得到，解題的關鍵是熟練掌握切線的性質及圓周角定理的應用．【詳解】解：∵切于，∴，∵，∴，∴，故選：A．2．（2023上·河北廊坊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，為的切線，B為切點，交于點C，點D在優(yōu)弧上，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查圓周角定理，切線的性質，直角三角形的兩銳角互余，先利用圓周角定理求出，再根據(jù)切線的性質可以得到．【詳解】解：∵，∴，又∵為的切線，∴，∴，故選B．3．（2023上·福建莆田·九年級福建省莆田市中山中學?？茧A段練習）如圖，是的內切圓，切點分別是、、，已知，，則的度數(shù)是．【答案】/65度【分析】本題考查了切線的性質定理、三角形的內角和定理、圓周角定理，根據(jù)三角形的內角和定理求得，根據(jù)切線的性質定理和四邊形的內角和定理求得，再根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，求得．【詳解】解：，，，是的內切圓，切點分別是、、，，，．故答案為：．4．（2023上·河南漯河·九年級統(tǒng)考期中）如圖，分別與相切于點A，B，為的直徑，若，則的形狀是．

【答案】等邊三角形【分析】本題考查的是切線的性質、圓周角定理，連接，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)切線的性質得到，然后利用四邊形內角和定理即可得是等邊三角形．【詳解】解：如圖，連接，

∵為的直徑，∴，由圓周角定理得：，∵分別與相切于點A，B，∴，∴，∴為等邊三角形．故答案為：等邊三角形．5．（2023上·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知為同心圓中大圓的弦，若，大圓半徑為2，小圓半徑為1．求證：為同心圓中小圓的切線．【答案】見解析【分析】本題主要考查了切線的判定定理，解題關鍵是先過點作，垂足為，根據(jù)垂徑定理和的長，求出，再根據(jù)勾股定理求出的長，然后根據(jù)切線的判定定理進行判斷即可．【詳解】解：證明：如圖所示：過點作，垂足為，，大圓半徑為2，，，在中，由勾股定理得：，的長等于小圓的半徑1，為同心圓中小圓的切線．6．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知△ABC內接于☉O，CO的延長線交AB于點D，交☉O于點E，交☉O的切線AF于點F，且AFBC．(1)求證：AOBE；(2)求證：AO平分∠BAC．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【詳解】證明(1)∵AF是☉O的切線,∴AF⊥OA,即∠OAF=90°.∵CE是☉O的直徑,∴∠CBE=90°,∴∠OAF=∠CBE.∵AF∥BC,∴∠BAF=∠ABC,∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC,即∠OAB=∠ABE,∴AO∥BE.(2)∵∠ABE與∠ACE都是所對的圓周角,∴∠ABE=∠ACE.∵OA=OC,∴∠ACE=∠OAC,∴∠ABE=∠OAC.由(1)知,∠OAB=∠ABE,∴∠OAB=∠OAC,∴AO平分∠BAC.C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，AB是☉O的切線，B為切點，連接AO交☉O于點C，延長AO交☉O于點D，連接BD．若∠A=∠D，且AC=3，則AB的長度是（

）A．3 B．4 C．3 D．4【答案】C【詳解】如圖，連接OB，∵AB是☉O的切線，B為切點，∴OB⊥AB，∴AB2=OA2-OB2．∵OB和OD是半徑，∴∠D=∠OBD．∵∠A=∠D，∴∠A=∠D=∠OBD，∴△OBD∽△BAD，AB=BD，∴OD∶BD=BD∶AD