浙江省越崎中學(xué)2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

浙江省越崎中學(xué)2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則的值域為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，將的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)保持不變；再把所得圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．3．設(shè)非零向量，，，滿足，，且與的夾角為，則“”是“”的（）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．某市政府決定派遣名干部（男女）分成兩個小組，到該市甲、乙兩個縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少人，且女干部不能單獨成組，則不同的派遣方案共有（）種A． B． C． D．5．已知函數(shù)（），若函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．6．某工廠利用隨機(jī)數(shù)表示對生產(chǎn)的600個零件進(jìn)行抽樣測試，先將600個零件進(jìn)行編號，編號分別為001，002，……，599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（）A．324 B．522 C．535 D．5787．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（）A． B． C．4 D．58．已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點，若函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗?，得到的函?shù)在有且僅有5個零點，則的取值范圍是()A． B．C． D．9．函數(shù)，，則“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．下列函數(shù)中，值域為R且為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．11．已知中，，則（）A．1 B． C． D．12．已知等差數(shù)列的前n項和為，，則A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量=（1，2），=（-3，1），則=______．14．在三棱錐P-ABC中，，，，三個側(cè)面與底面所成的角均為，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為_________.15．從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項活動，要求男生中的甲和乙不能同時參加，女生中的丙和丁至少有一名參加，則不同的選法種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）16．已知a，b均為正數(shù)，且，的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過點，設(shè)橢圓的上頂點為，右頂點和右焦點分別為，，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線交橢圓于，兩點，設(shè)直線與直線的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．18．（12分）如圖，四棱錐中，底面，，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，，求二面角的正弦值.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面是矩形，面底面，且是邊長為的等邊三角形，在上，且面.（1）求證:是的中點；（2）在上是否存在點，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.20．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．（1）若不等式f（x）﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實數(shù)a的值；（2）證明：f（x）．21．（12分）已知函數(shù)，.（1）證明：函數(shù)的極小值點為1；（2）若函數(shù)在有兩個零點，證明：.22．（10分）已知矩陣的一個特征值為4，求矩陣A的逆矩陣.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先求出集合，化簡=，令，得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由，得，，令，，，所以得，在上遞增，在上遞減，，所以，即的值域為故選A【點睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題2、C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為，可得函數(shù)的值域為，結(jié)合條件，可得出、均為函數(shù)的最大值，于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍，由此可得出正確選項.【詳解】函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個單位，得函數(shù)的圖象，易知函數(shù)的值域為.若，則且，均為函數(shù)的最大值，由，解得；其中、是三角函數(shù)最高點的橫坐標(biāo)，的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，且．故選C．【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換，同時也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題，解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3、C【解析】

利用數(shù)量積的定義可得，即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：，，，解得，，，解得，“”是“”的充分必要條件．故選：C．【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨成一組的情況，再將這兩組分配，利用分步乘法計數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】兩組至少都是人，則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、，

又因為名女干部不能單獨成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為.故選：C.【點睛】本題考查排列組合的綜合問題，涉及分組分配問題，考查計算能力，屬于中等題.5、A【解析】

分段求解函數(shù)零點，數(shù)形結(jié)合，分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和，的圖像如下所示：函數(shù)有三個零點，等價于與有三個交點，又因為，且由圖可知，當(dāng)時與有兩個交點，故只需當(dāng)時，與有一個交點即可.若當(dāng)時，時，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??，故滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點，故不滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點，故不滿足題意；時，顯然與有一個交點，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【點睛】本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.6、D【解析】

因為要對600個零件進(jìn)行編號，所以編號必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的，重復(fù)出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:，因為535重復(fù)出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為，故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機(jī)數(shù)表表的應(yīng)用，正確掌握隨機(jī)數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.7、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則先求出復(fù)數(shù)z，再計算它的模長．【詳解】解：復(fù)數(shù)z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故選D．【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計算問題，要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)長度的計算公式，是基礎(chǔ)題．8、A【解析】

根據(jù)題意，，求出，所以，根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮，即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點，則，，，，，若函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，則，所以當(dāng)時，，在有且僅有5個零點，，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點個數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.9、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】設(shè)，若函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以，“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對稱”；若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以，“的圖象關(guān)于軸對稱”“是奇函數(shù)”.因此，“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.10、C【解析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.，值域為，非奇非偶函數(shù)，排除；B.，值域為，奇函數(shù)，排除；C.，值域為，奇函數(shù)，滿足；D.，值域為，非奇非偶函數(shù)，排除；故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.11、C【解析】

以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點睛】本題考查向量的線性運算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運算，屬于中檔題.12、C【解析】

方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以.故選C．方法二：因為，所以，則.故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-6【解析】

由可求，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求.【詳解】∵=（1，2），=（-3，1），∴=（-4，-1），則=1×（-4）+2×（-1）=-6故答案為-6【點睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)試題．14、【解析】

先確定頂點在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【詳解】設(shè)頂點在底面上的射影為H，H是三角形ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑.三個側(cè)面與底面所成的角均為，，，的高，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，∴，內(nèi)切球表面積.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題，考查學(xué)生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.15、1【解析】

由排列組合及分類討論思想分別討論：①設(shè)甲參加，乙不參加，②設(shè)乙參加，甲不參加，③設(shè)甲，乙都不參加，可得不同的選法種數(shù)為9+9+5＝1，得解．【詳解】①設(shè)甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，②設(shè)乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，③設(shè)甲，乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為5，綜合①②③得：不同的選法種數(shù)為9+9+5＝1，故答案為：1．【點睛】本題考查了排列組合及分類討論思想，準(zhǔn)確分類及計算是關(guān)鍵，屬中檔題．16、【解析】

本題首先可以根據(jù)將化簡為，然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，故答案為：.【點睛】本題考查根據(jù)基本不等式求最值，基本不等式公式為，在使用基本不等式的時候要注意“”成立的情況，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）直線過定點，該定點的坐標(biāo)為．【解析】

（1）因為橢圓過點，所以①，設(shè)為坐標(biāo)原點，因為，所以，又，所以②，將①②聯(lián)立解得（負(fù)值舍去），所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知，設(shè)，．將代入，消去可得，則，，，所以，所以，此時，所以，此時直線的方程為，即，令，可得，所以直線過定點，該定點的坐標(biāo)為．18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）要證明平面，只需證明，，即可求得答案；（2）先根據(jù)已知證明四邊形為矩形，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，，即可求得答案.【詳解】（1）平面，平面，.，，.又，平面.（2）由（1）可知.在中，，..又，，四邊形為矩形.以為原點，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，如圖：則：，，，，：，設(shè)平面的法向量為，即，令，則，由題平面，即平面的法向量為由二面角的平面角為銳角，設(shè)二面角的平面角為即二面角的正弦值為：.【點睛】本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.19、(1)見解析;(2).【解析】試題分析：(1)連交于可得是中點，再根據(jù)面可得進(jìn)而根據(jù)中位線定理可得結(jié)果；(2)取中點，由（1）知兩兩垂直.以為原點，所在直線分別為軸,軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的一個法向量，用表示面的一個法向量，由可得結(jié)果.試題解析：(1)證明：連交于，連是矩形，是中點.又面，且是面與面的交線，是的中點.(2)取中點，由（1）知兩兩垂直.以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則各點坐標(biāo)為.設(shè)存在滿足要求，且，則由得：，面的一個法向量為，面的一個法向量為，由，得，解得，故存在，使二面角為直角，此時.20、（1）a＝1；（2）見解析【解析】

（1）由題意可得|x﹣a|≥4x，分類討論去掉絕對值，分別求得x的范圍即可求出a的值．（2）由條件利用絕對值三角不等式，基本不等式證得f（x）≥2．．【詳解】（1）由f（x）﹣|x|≥4x，