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上海市五校聯(lián)考2025屆高考仿真模擬數(shù)學試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在正方體中,球同時與以為公共頂點的三個面相切,球同時與以為公共頂點的三個面相切,且兩球相切于點.若以為焦點,為準線的拋物線經(jīng)過,設(shè)球的半徑分別為,則()A. B. C. D.2.在直角中,,,,若,則()A. B. C. D.3.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某多面體的三視圖,則該幾何體的各個面中最大面的面積為()A. B. C. D.4.已知雙曲線的左,右焦點分別為、,過的直線l交雙曲線的右支于點P,以雙曲線的實軸為直徑的圓與直線l相切,切點為H,若,則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.5.已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A. B. C.4 D.6.已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為()A. B. C. D.7.一場考試需要2小時,在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A. B. C. D.8.若x,y滿足約束條件且的最大值為,則a的取值范圍是()A. B. C. D.9.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為,圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為,則在此圓柱側(cè)面上,從到的路徑中,最短路徑的長度為()A. B. C. D.210.已知各項都為正的等差數(shù)列中,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.11.已知集合A,B=,則A∩B=A. B. C. D.12.已知,滿足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某四棱錐的三視圖如圖所示,那么此四棱錐的體積為______.14.已知數(shù)列的前項和為且滿足,則數(shù)列的通項_______.15.如圖,在菱形ABCD中,AB=3,,E,F(xiàn)分別為BC,CD上的點,,若線段EF上存在一點M,使得,則____________,____________.(本題第1空2分,第2空3分)16.如圖所示,邊長為1的正三角形中,點,分別在線段,上,將沿線段進行翻折,得到右圖所示的圖形,翻折后的點在線段上,則線段的最小值為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點,點在第一象限,為左頂點,為下頂點,交軸于點,交軸于點.(1)求橢圓的標準方程;(2)若,求點的坐標.18.(12分)如圖,四棱錐的底面ABCD是正方形,為等邊三角形,M,N分別是AB,AD的中點,且平面平面ABCD.(1)證明:平面PNB;(2)問棱PA上是否存在一點E,使平面DEM,求的值19.(12分)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,其前項和為,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:.20.(12分)已知函數(shù)(1)當時,若恒成立,求的最大值;(2)記的解集為集合A,若,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)在平面直角坐標系中,以為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為;直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線分別交于兩點.(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;(2)若點的極坐標為,,求的值.22.(10分)在平面四邊形(圖①)中,與均為直角三角形且有公共斜邊,設(shè),∠,∠,將沿折起,構(gòu)成如圖②所示的三棱錐,且使=.(1)求證:平面⊥平面;(2)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由題先畫出立體圖,再畫出平面處的截面圖,由拋物線第一定義可知,點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離因此球內(nèi)切于正方體,設(shè),兩球球心和公切點都在體對角線上,通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出,進而求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義,點到點的距離與到直線的距離相等,其中點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離,因此球內(nèi)切于正方體,不妨設(shè),兩個球心和兩球的切點均在體對角線上,兩個球在平面處的截面如圖所示,則,所以.又因為,因此,得,所以.故選:D【點睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化,拋物線幾何性質(zhì)的使用,內(nèi)切球的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化思想,直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)2、C【解析】
在直角三角形ABC中,求得,再由向量的加減運算,運用平面向量基本定理,結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì):向量的平方即為模的平方,化簡計算即可得到所求值.【詳解】在直角中,,,,,
,
若,則故選C.【點睛】本題考查向量的加減運算和數(shù)量積的定義和性質(zhì),主要是向量的平方即為模的平方,考查運算能力,屬于中檔題.3、B【解析】
根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐,且是有三條棱互相垂直的三棱錐,根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積.【詳解】解:分析題意可知,如下圖所示,該幾何體為一個正方體中的三棱錐,最大面的表面邊長為的等邊三角形,故其面積為,故選B.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體,從而解決問題.4、A【解析】
在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【詳解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故選:A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算問題,處理雙曲線離心率問題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系,本題是一道中檔題.5、B【解析】由,可得,所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以,則,則,故選B.點睛:本題考查了等比數(shù)列的概念,等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,試題有一定的技巧,屬于中檔試題,解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用,尤其需要注意的是,等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時,應(yīng)該要分類討論,有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.6、C【解析】
如圖所示,當點C位于垂直于面的直徑端點時,三棱錐的體積最大,設(shè)球的半徑為,此時,故,則球的表面積為,故選C.考點:外接球表面積和椎體的體積.7、B【解析】
因為時針經(jīng)過2小時相當于轉(zhuǎn)了一圈的,且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角,綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉(zhuǎn)一周為12小時,轉(zhuǎn)過的角度為,按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角,所以經(jīng)過2小時,時針所轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選:B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的最值,判斷a的范圍即可.【詳解】作出約束條件表示的可行域,如圖所示.因為的最大值為,所以在點處取得最大值,則,即.故選:A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用z的幾何意義,通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.9、B【解析】
首先根據(jù)題中所給的三視圖,得到點M和點N在圓柱上所處的位置,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,點M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點處,根據(jù)平面上兩點間直線段最短,利用勾股定理,求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬,圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處,所以所求的最短路徑的長度為,故選B.點睛:該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題,在解題的過程中,需要明確兩個點在幾何體上所處的位置,再利用平面上兩點間直線段最短,所以處理方法就是將面切開平鋪,利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.10、A【解析】試題分析:設(shè)公差為或(舍),故選A.考點:等差數(shù)列及其性質(zhì).11、A【解析】
先解A、B集合,再取交集。【詳解】,所以B集合與A集合的交集為,故選A【點睛】一般地,把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。12、D【解析】
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價于,作直線,向上平移,易知當直線經(jīng)過點時最大,所以,故選D.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用三視圖判斷幾何體的形狀,然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖:此四棱錐的高為,底面是長為,寬為2的矩形,所以體積.所以本題答案為.【點睛】本題考查幾何體與三視圖的對應(yīng)關(guān)系,幾何體體積的求法,考查空間想象能力與計算能力.解決本類題目的關(guān)鍵是準確理解幾何體的定義,真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在幾何模型中進行判斷.14、【解析】
先求得時;再由可得時,兩式作差可得,進而求解.【詳解】當時,,解得;由,可知當時,,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【點睛】本題考查由與的關(guān)系求通項公式,考查等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用.15、【解析】
根據(jù)題意,設(shè),則,所以,解得,所以,從而有.16、【解析】
設(shè),,在中利用正弦定理得出關(guān)于的函數(shù),從而可得的最小值.【詳解】解:設(shè),,則,,∴,在中,由正弦定理可得,即,∴,∴當即時,取得最小值.故答案為.【點睛】本題考查正弦定理解三角形的應(yīng)用,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)由題意得,求出,進而可得到橢圓的方程;(2)由(1)知點,坐標,設(shè)直線的方程為,易知,可得點的坐標為,聯(lián)立方程,得到關(guān)于的一元二次方程,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系,可用表示的坐標,進而由三點共線,即,可用表示的坐標,再結(jié)合,可建立方程,從而求出的值,即可求得點的坐標.【詳解】(1)由題意得,解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知點,,由題意可設(shè)直線的斜率為,則,所以直線的方程為,則點的坐標為,聯(lián)立方程,消去得:.設(shè),則,所以,所以,所以.設(shè)點的坐標為,因為點三點共線,所以,即,所以,所以.因為,所以,即,所以,解得,又,所以符合題意,計算可得,,故點的坐標為.【點睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查平行線的性質(zhì),考查學生的計算求解能力,屬于難題.18、(1)證明見解析;(2)存在,.【解析】
(1)根據(jù)題意證出,,再由線面垂直的判定定理即可證出.(2)連接AC交DM于點Q,連接EQ,利用線面平行的性質(zhì)定理可得,從而可得,在正方形ABCD中,由即可求解.【詳解】(1)證明:在正方形ABCD中,M,N分別是AB,AD的中點,∴,,.∴.∴.又,∴,∴.∵為等邊三角形,N是AD的中點,∴.又平面平面ABCD,平面PAD,平面平面,∴平面ABCD.又平面ABCD,∴.∵平面PNB,,∴平面PNB.(2)解:存在.如圖,連接AC交DM于點Q,連接EQ.∵平面DEM,平面PAC,平面平面,∴.∴.在正方形ABCD中,,且.∴,∴.故.所以棱PA上存在點E,使平面DEM,此時,E是棱A的靠近點A的三等分點.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理,考查了學生的推理能力以及空間想象能力,屬于空間幾何中的基礎(chǔ)題.19、(1)(2)見解析【解析】
(1)設(shè)數(shù)列的公差為,由,得到,再結(jié)合題干所給數(shù)據(jù)得到公差,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可得,再利用放縮法證明不等式即可;【詳解】解:(1)設(shè)數(shù)列的公差為,∵,∴,∴,∴.(2)∵,∴,∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的計算,放縮法證明數(shù)列不等式,屬于中檔題.20、(1);(2)【解析】
(1)當時,由題意得到,令,分類討論求得函數(shù)的最小值,即可求得的最大值.(2)由時,不等式恒成立,轉(zhuǎn)化為在上恒成立,得到,即可求解.【詳解】(1)由題意,當時,由,可得,令,則只需,當時,;當時,;當時,;故當時,取得最小值,即的最大值為.(2)依題意,當時,不等式恒成立,即在上恒成立,所以,即,即,解得在上恒成立,則,所以,所示實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了含絕對值的不等式的解法,以及不等式的恒成立問題的求解與應(yīng)用,著重考查了轉(zhuǎn)化思想,以及推理與計算能力.21、(1)曲線的直角坐標方程為即,直線的普通方程為;(2).【解析】
(1)利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù),可得直線的普通方程,極坐標方程兩邊同乘以利用即可得曲線的直角坐標方程;(2)直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程,根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,利用韋達定理可得結(jié)果.【詳解】(1)由,得,所以曲線的直角坐標方程為,即,直線的普通方程為.(2)將直線的參數(shù)方程代入并化簡、整理,得.因為直線與曲線交于,兩點.所以,解得.由根與系數(shù)的關(guān)系,得,.因為點的直角坐標為,在直線上.所以,解得,此時滿足.且,故..【點睛】參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去參數(shù)化為普通方程,通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為
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