新教材2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章計數(shù)原理6.3二項式定理6.3.1二項式定理分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊

第六章6.3二項式定理6.3.1二項式定理A級必備學(xué)問基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一](x+2)n的綻開式共有12項,則n=()A.9 B.10 C.11 D.82.[探究點(diǎn)二]在(1-x)5-(1-x)6的綻開式中,含x3的項的系數(shù)是()A.-5 B.5 C.-10 D.103.[探究點(diǎn)二]使得3x+1xxn(n∈N*)的綻開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A.4 B.5 C.6 D.74.[探究點(diǎn)一](多選題)對于1x+x3n(n∈N*),下列推斷正確的有()A.存在n∈N*,綻開式中有常數(shù)項B.對隨意n∈N*,綻開式中沒有常數(shù)項C.對隨意n∈N*,綻開式中沒有x的一次項D.存在n∈N*,綻開式中有x的一次項5.[探究點(diǎn)二]若(x+a)10的綻開式中,x7的系數(shù)為15,則a=.(用數(shù)字填寫答案)

6.[探究點(diǎn)一]若(1+3)4=a+b3(a,b為有理數(shù)),則a+b=.

7.[探究點(diǎn)二]已知x+23xn的綻開式中的第9項與第10項二項式系數(shù)相等,求x8.[探究點(diǎn)三]求證:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.B級關(guān)鍵實力提升練9.在(1-x3)(1+x)10的綻開式中,x5的系數(shù)是()A.-297 B.-252 C.297 D.20710.對隨意實數(shù)x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,則a2的值為()A.3 B.6 C.9 D.2111.(x2+2)1x2-15的綻開式中的常數(shù)項是()A.-3 B.-2 C.2 D.312.-2Cn1+4Cn2-8Cn3+…+(-2)A.(-1)n-1 B.(-1)nC.3n D.3n-113.在3x2-12x3n的綻開式中含有常數(shù)項,則正整數(shù)n的最小值為(A.4 B.5 C.6 D.714.已知在12x2-1xn的綻開式中,第9項為常數(shù)項,則:(1)n的值為;

(2)含x的整數(shù)次冪的項有個.

15.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的綻開式中,含x3的項的系數(shù)是.

16.已知(xcosθ+1)5的綻開式中x2的系數(shù)與x+544的綻開式中x3的系數(shù)相等,則cosθ=.

17.已知x-124x(1)證明:綻開式中沒有常數(shù)項;(2)求綻開式中全部的有理項.C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練18.已知xx+13xn(1)求含x的整數(shù)次冪的項;(2)綻開式中第幾項的二項式系數(shù)大于相鄰兩項的二項式系數(shù),并證明你的結(jié)論.

參考答案6.3二項式定理6.3.1二項式定理1.C∵(a+b)n的綻開式共有n+1項,而(x+2)n的綻開式共有12項,∴n=11.2.D(1-x)5中x3的系數(shù)為-C53=-10,-(1-x)6中x3的系數(shù)為-C63×(-1)3=20,故(1-x)5-(1-x)6的綻開式中3.B3x+1xxn綻開式中的第k+1項為Cnk(3x)n-kx-32k=Cnk3n-kxn-4.AD1x+x3n的綻開式的通項為Tk+1=Cnkx4k-n,由通項可知,當(dāng)n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)時,綻開式中分別存在常數(shù)項和x的一次項,故選AD5.12二項綻開式的通項為Tk+1=C10kx10-kak,當(dāng)10-k=7時,k=3,T4=C103a3x7,則C1036.44∵(1+3)4=1+C41×(3)1+C42×(3)2+C43×(3)3+C44×(3)4=1+43+18+123∴a=28,b=16,∴a+b=28+16=44.7.解∵Cn∴n=17,Tk+1=C17kx17令17-k2-k∴T10=C179x4×29x-3=C17故x的系數(shù)為29C178.證明∵1+2+22+…+25n-1=25n-12-1=25n-1=32n-1=(31+1)n-1=Cn0·31n+Cn1·31n-1+…+Cnn-1·31+Cnn-1=31(C∴原式能被31整除.9.D(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5的系數(shù)為C105-10.B∵x3=(x-2+2)3=C30(x-2)3+C31(x-2)2·2+C32(x-2)·22+C33·23=8+12(x-2)+6(x-∴a2=6.11.D1x2-15綻開式的通項為Tk+1=C5k·1x2令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5.故(x2+2)·1x(-1)4×C54+2×(-1)5×C512.A∵-2Cn1+4Cn2-8Cn3+…+(-2)nCnn=1-2Cn1+4Cn2-8Cn3+…+(-2)nCnn-13.BTk+1=Cnk(3x2)n-k-12x3k=Cnk3n-k·-12kx2n-5k,令2∴n=52∴正整數(shù)n的最小值為5.14.(1)10(2)6二項綻開式的通項為Tk+1=Cnk12x2n-k·-1xk=(-1)k12n-kC(1)因為第9項為常數(shù)項,所以當(dāng)k=8時,2n-52k=解得n=10.(2)要使20-52k為整數(shù),則k為偶數(shù),由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的項有6個,分別為綻開式的第1,3,5,7,9,11項15.-121綻開式中含x3的項的系數(shù)為C53(-1)3+C63(-1)3+C73(-1)3+C816.±22(xcosθ+1)5的綻開式中x2的系數(shù)為C53cosx+544的綻開式中x3的系數(shù)為54×由題意可知C53cos2θ=∴cos2θ=12∴cosθ=±2217.(1)證明由題意得2Cn1·12即n2-9n+8=0,∴n=8(n=1舍去).∴Tk+1=C8k(x)8-k·-124xk=-12k若Tk+1是常數(shù)項,則16-3即16-3k=0,∵k∈Z,∴等式不行能成立,∴綻開式中沒有常數(shù)項.(2)解由(1)知,若Tk+1是有理項,當(dāng)且僅當(dāng)16-3k4為整數(shù).∵0≤k≤8,k∈Z,∴k=0,4,8,即綻開式中有三項有理項,分別是T1=x4,T5=358x,T9=18.解(1)xx+13xn的綻開式的前三項的二項式系數(shù)之和為Cn0+Cn所以xx+13xn=xx+13x8的綻開式的通項為Tk+1=C8k(xx)8-k1又0≤k≤8,k∈Z,所以當(dāng)k