《振動(dòng)力學(xué)（第三版）》課件 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

振

動(dòng)

力

學(xué)

電子課件第二章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)往往是很復(fù)雜的，在研究某些感興趣的物理量時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)需要簡(jiǎn)化為某種理想模型。例如簡(jiǎn)化為若干個(gè)“無(wú)質(zhì)量”的彈簧和“無(wú)彈性”的質(zhì)量所組成的“質(zhì)量－彈簧”系統(tǒng)。僅有一個(gè)“質(zhì)量－彈簧”的系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的振動(dòng)模型，如圖2-1所示。如質(zhì)量塊在豎直方向上作上下運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的位置可用一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)y來(lái)確定，稱(chēng)為單自由度系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)單度系統(tǒng)。工程上許多問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為這種模型。圖2－1(a)(b)圖2－2圖2－2（a)所示一發(fā)動(dòng)機(jī)固定在混凝土基礎(chǔ)上，在只研究發(fā)動(dòng)機(jī)和基礎(chǔ)的豎直振動(dòng)時(shí)，將基礎(chǔ)、發(fā)動(dòng)機(jī)一塊看作質(zhì)量塊，參與振動(dòng)的土壤當(dāng)作一個(gè)無(wú)質(zhì)量的彈簧和阻尼器，于是就簡(jiǎn)化為圖2-2（b）所示的質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)?！?－1運(yùn)動(dòng)方程的建立例2－1彈簧質(zhì)量系統(tǒng)圖2－3解：這是最簡(jiǎn)單的單自由度系統(tǒng)。圖2－3中，我們考慮彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿鉛垂方向的自由振動(dòng)。彈簧剛度為k，其質(zhì)量忽略不及，方向向下為正，由牛頓第二定律，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：如設(shè)偏離平衡位置的位移為x，則因故此上式變?yōu)橐虼耍?dāng)像重力一類(lèi)的不變力作用時(shí)，可只考慮偏離系統(tǒng)靜平衡位置的位移，那么運(yùn)動(dòng)方程中不會(huì)出現(xiàn)重力這類(lèi)常力，使方程形式簡(jiǎn)潔。現(xiàn)約定，若如特殊說(shuō)明，一律以系統(tǒng)穩(wěn)定的靜平衡位置為運(yùn)動(dòng)（或廣義）坐標(biāo)原點(diǎn)。例2－2扭擺的振動(dòng)解：如圖所示，相對(duì)于固定軸x，建立系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程。僅有兩力作用在圓盤(pán)上，即恢復(fù)力矩：慣性力矩:由動(dòng)靜法原理得其中為軸得扭轉(zhuǎn)剛度k，故例2－3

帶重物m的簡(jiǎn)支梁的橫向振動(dòng)解：梁的質(zhì)量與m相比可略去。彈簧常數(shù)k取決于質(zhì)量m在梁上的位置。對(duì)（a）所示的簡(jiǎn)支梁，由材料力學(xué)得從而因矩形橫截面慣性矩，所以由圖（c）所示得當(dāng)量系統(tǒng)，慣性力與彈性恢復(fù)力相平衡，所以有或如果梁的兩端不是簡(jiǎn)支，那么應(yīng)改變?yōu)椴煌瑪?shù)值?！?－2

等效質(zhì)量、等效剛度、等效阻尼一、等效質(zhì)量（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）依據(jù)動(dòng)能等效原則獲得等效質(zhì)量。

如一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)需考慮彈簧質(zhì)量時(shí)，則求存在著如何簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)中附加在原質(zhì)量塊上的質(zhì)量問(wèn)題。彈簧的質(zhì)量為均布質(zhì)量，它要參與振動(dòng)原質(zhì)量塊上去（是全部還是按多少比例集中）簡(jiǎn)化設(shè)彈簧原長(zhǎng)為，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為取段其質(zhì)量：取段處的彈簧位移為：速度為：此微段的動(dòng)能彈簧的動(dòng)能令所以，彈簧的等效質(zhì)量是1/3的彈簧質(zhì)量附加到原質(zhì)量塊上。例2－4

已知，求該系統(tǒng)的等效質(zhì)量。解：例2－5圖示系統(tǒng)，一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0的桿件AB，有質(zhì)量塊距AB轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)O的距離分別為a和b?，F(xiàn)將質(zhì)量簡(jiǎn)化到A點(diǎn)的等效質(zhì)量。解：等效質(zhì)量的動(dòng)能總系統(tǒng)的動(dòng)能又結(jié)論：離散分布的各集中質(zhì)量，其等效質(zhì)量為例2－6

均質(zhì)等截面梁，在梁中央放置一集中質(zhì)量m1，考慮梁本身的質(zhì)量m2，試將梁本身質(zhì)量簡(jiǎn)化到梁的中央的等效質(zhì)量。為靜擾度為振動(dòng)的位移解：已知梁中央處的靜荷載m1g，在其作用下梁的擾度曲線為：注意：皆為時(shí)間函數(shù)設(shè)梁的單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為，它的動(dòng)能二、等效剛度（1）彈簧并聯(lián)組合彈簧的剛度＝等效彈簧的剛度（2）彈簧串聯(lián)例2－7

已知求：等效剛度。解：由知由知

由幾何條件得到

故此得：將代入上式有：

將式和式代入式有：

例2－8習(xí)題：三、阻尼理論等效粘性阻尼這是計(jì)算非粘性阻尼的近似方法。解決問(wèn)日的依據(jù)是：

一個(gè)周期內(nèi)非粘性阻尼所消耗的能量＝等效粘性所消耗的能量。設(shè)等效粘性阻尼系數(shù)，則阻尼力的大小為，系統(tǒng)在振動(dòng)一個(gè)周期里所消耗的能量為（一周期內(nèi)阻尼力所做的功）當(dāng)激勵(lì)力為系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)，有等效粘性阻尼系數(shù)－－實(shí)際的阻力R在一個(gè)周期里所消耗的能量例2－9

干摩擦阻尼特點(diǎn)：

F為常力，大小不變，方向改變。共四個(gè)過(guò)程都是消耗能量摩擦力所做的功（1/4周期）全過(guò)程摩擦力所做的功（1周期）等效粘性阻尼例2－10

流體阻尼特點(diǎn)：當(dāng)物體以較大的速度在粘性較小的流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其阻尼為其在1周期內(nèi)所做的功例2－11

結(jié)構(gòu)阻尼雙向

應(yīng)變幅值加載卸載滯后回線由于材料本身內(nèi)摩擦造成的阻尼。陰影面積表示了材料在一循環(huán)中單位體積釋放的能量（熱能）說(shuō)明結(jié)構(gòu)材料實(shí)際上不是完全彈性的，在振動(dòng)過(guò)程中也就是處在加載卸載過(guò)程中，每一個(gè)振動(dòng)周期引成一次滯后曲線，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)振動(dòng)。由實(shí)驗(yàn)知，對(duì)大多數(shù)金屬而言，結(jié)構(gòu)阻尼在一周期內(nèi)所消耗的能量與振動(dòng)的振幅平方成正比，而且在很大一個(gè)頻率范圍內(nèi)與頻率無(wú)關(guān)。在一周期內(nèi):§2－3

單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)無(wú)阻尼有阻尼力學(xué)模型數(shù)學(xué)模型由初始條件t＝0時(shí)決定減幅系數(shù)對(duì)數(shù)系數(shù)臨界阻尼響應(yīng)實(shí)驗(yàn)x-t曲線§2－4單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼有阻尼力學(xué)模型數(shù)學(xué)模型共振區(qū)0.50.25注意：阻尼的影響：當(dāng)λ＝1時(shí)，阻尼越小，β↑，阻尼越大，β↓當(dāng)阻尼↑0.5以后，共振現(xiàn)象不再出現(xiàn)。離共振區(qū)稍遠(yuǎn)的范圍，阻尼對(duì)減少振幅的作用不大。最大振幅不在當(dāng)λ＝1處，而在λ＝1的附近；品質(zhì)因子－－在共振時(shí)的放大因子。以Q符號(hào)表示。當(dāng)λ＝1時(shí)取的兩點(diǎn)稱(chēng)為半功率點(diǎn)，對(duì)于和的激振頻率分別為

故品質(zhì)因子反映了系統(tǒng)阻尼得強(qiáng)弱性質(zhì)和共振峰的陡峭程度，可由實(shí)驗(yàn)估算Q和ζ（實(shí)驗(yàn)中量出p，固有頻率Qζ）反映阻尼的強(qiáng)弱：Q大、ζ小；Q小、ζ大；反映共振峰的陡峭：Q大，陡峭；Q大，平緩§諧波響應(yīng)的復(fù)變量描述H(p）－復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅§思考與討論例1如右圖所示的是長(zhǎng)度為的剛性桿件，在O點(diǎn)鉸支，自由端固定一質(zhì)量為m的小球。在距離鉸支端a處，由兩個(gè)剛度系數(shù)為k/2的彈簧將剛性桿件支持在鉛垂面內(nèi)。求該系統(tǒng)的固有頻率和在鉛垂面內(nèi)作穩(wěn)定微幅振動(dòng)的條件。忽略剛性桿件和彈簧的質(zhì)量。解：這是一個(gè)單自由度系統(tǒng)，可以選用桿件的擺角θ作為廣義坐標(biāo)來(lái)描述系統(tǒng)的位形。過(guò)O點(diǎn)的鉛垂線是θ＝0的位置。由于系統(tǒng)作微幅振動(dòng)，因此小球偏離平衡位置的水平距離為彈簧的伸長(zhǎng)量為根據(jù)動(dòng)量距定律，對(duì)于O點(diǎn)取矩得系統(tǒng)的振動(dòng)的微分方程為則系統(tǒng)的固有角頻率為：為了維持系統(tǒng)在平衡位置作穩(wěn)定的微幅振動(dòng)，要求系統(tǒng)的固有角頻率ω0必須為實(shí)數(shù)，因此有由于系統(tǒng)沒(méi)有阻尼，因此還可以用機(jī)械能守恒定律來(lái)建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，小球的動(dòng)能為小球下降的距離為：故此系統(tǒng)的勢(shì)能為：由機(jī)械能守恒定律有：由于不恒等于零，因此可以得到系統(tǒng)的微分方程為當(dāng)然，也可以使用拉格朗日方程來(lái)建立系統(tǒng)振動(dòng)微分方程。例2如圖所示的是一個(gè)在自由端附有集中質(zhì)量m的懸臂梁，梁的長(zhǎng)度為，抗彎剛度為EI。梁的質(zhì)量與m相比可以忽略不計(jì)。求系統(tǒng)的固有頻率。解：梁的質(zhì)量不計(jì)，可把梁看成是沒(méi)有質(zhì)量的彈簧，因此系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)。該彈簧的剛度也就是懸臂梁自由端的剛度系數(shù)，可有材料力學(xué)方法求出為：這是一個(gè)單自由度系統(tǒng)，于是可以得到該系統(tǒng)的固有頻率為：根據(jù)上述方法，可以確定類(lèi)似連續(xù)系統(tǒng)如桿、軸振動(dòng)的固有頻率。例3如圖所示系統(tǒng)由質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均勻桿及彈簧K、阻尼器C組成。試導(dǎo)出系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程，并求出其衰減振動(dòng)時(shí)的頻率。解：設(shè)θ為從靜平衡位置擺動(dòng)的角度，對(duì)鉸支點(diǎn)o取矩，用動(dòng)量距定理導(dǎo)出振動(dòng)微分方程：例4一彈簧k與阻尼器并聯(lián)于無(wú)質(zhì)量的水平板上，今將一質(zhì)量m輕放在板上后立即釋手，系統(tǒng)即作衰減振動(dòng)。問(wèn)質(zhì)量m的最大振幅是多少？發(fā)生在何時(shí)？最大速度是多少？發(fā)生在何時(shí)？設(shè)解：系統(tǒng)自由振動(dòng)的微分方程為對(duì)（1）式取一次導(dǎo)數(shù)應(yīng)該注意：最大速度并不發(fā)生在質(zhì)量m過(guò)靜平衡位置時(shí)，這是和無(wú)阻尼自由振動(dòng)不同之處?！鞆?qiáng)迫振動(dòng)：穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)由外界持續(xù)激振所引起的振動(dòng)，稱(chēng)為強(qiáng)迫振動(dòng)。外界激振的來(lái)源是持續(xù)的激振力或持續(xù)的支承運(yùn)動(dòng)。最簡(jiǎn)單的情況是簡(jiǎn)諧激振力或支承點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)。1.諧和施力函數(shù)Psinω0t作用于塊體W上方程中前兩項(xiàng)代表自由振動(dòng)，第三項(xiàng)取決于干擾力，代表該系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)，若只考慮第三項(xiàng)，則得到穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)：2.支持運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)設(shè)y(t)和x(t)分別為基礎(chǔ)和質(zhì)量的位移，它們之間的相對(duì)位移z＝x－y，以質(zhì)量塊為研究對(duì)象，由牛頓第二定律得：以z＝x－y代入上式，并設(shè)支承點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：y=asinωot,則若使用質(zhì)量塊得絕對(duì)運(yùn)動(dòng)x來(lái)表示，則運(yùn)動(dòng)微分方程為假設(shè)其解為：x=Bsin(ωot-φ),則求得例5如圖所示圖中彈簧上端，有振幅d＝2.5cm，角頻率ω＝1801/s的豎直諧和運(yùn)動(dòng)，試求出懸掛重物W強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅。假設(shè)此重物的靜止位移解：例6如圖所示的系統(tǒng)在兩端都有支承運(yùn)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。圖中解：應(yīng)用線性疊加原理，得系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程系統(tǒng)的固有頻率為：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：§強(qiáng)迫振動(dòng)：瞬態(tài)迫振動(dòng)最后一項(xiàng)，實(shí)際的運(yùn)動(dòng)為兩種具有不同振幅和不同頻率的諧和運(yùn)動(dòng)的疊加，若同時(shí)考慮代表自由振動(dòng)的前兩項(xiàng)（一段時(shí)間后逐漸消失）和代表強(qiáng)迫振動(dòng)的最后一項(xiàng)，則為瞬態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)。1.施力函數(shù)Psinω0t的反應(yīng)：2.施力函數(shù)Pcosω0t的反應(yīng)：將以上數(shù)值代入方程得到§2－5幾個(gè)問(wèn)題1.偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)設(shè)機(jī)器的總質(zhì)量為M，其中轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)子質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸距離，即偏心距e，轉(zhuǎn)子以角速度ω0轉(zhuǎn)動(dòng)，機(jī)器通過(guò)彈簧與阻尼器安裝在基礎(chǔ)上。設(shè)由于約束的限制，機(jī)器只能沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)，如右圖所示。2.隔振原理隔振是在物體與支承面之間加入彈性襯墊（如彈簧、橡膠、軟木塊等），以割斷振動(dòng)。它分主動(dòng)隔振和被動(dòng)隔振兩種情況。（1）主動(dòng)隔振機(jī)器本身是根源，使它與地基隔離開(kāi)來(lái)，以減少它對(duì)周?chē)挠绊?，稱(chēng)為主動(dòng)隔振。例如把機(jī)器安裝在較大的基礎(chǔ)上，在基礎(chǔ)與地基之間設(shè)置若干橡膠隔振器就是一種常用的主動(dòng)隔振措施。主動(dòng)隔振效果用主動(dòng)隔振系數(shù)表示。（2）被動(dòng)隔振振源來(lái)自地基的運(yùn)動(dòng)，為了使外界的振動(dòng)少傳到系統(tǒng)中來(lái)，所采取的隔振措施稱(chēng)為被動(dòng)隔振。其隔振效果用被動(dòng)隔振系數(shù)表示。

值得注意的是：無(wú)論是主動(dòng)隔振還是被動(dòng)隔振，含意雖不同，隔振系數(shù)與頻率的變化規(guī)律還是相同的，對(duì)于主動(dòng)隔振的討論也適用于被動(dòng)隔振。3.任意周期激勵(lì)下系統(tǒng)的振動(dòng)的響應(yīng)任意周期激勵(lì)形式任意周期函數(shù)以Fourier級(jí)數(shù)表示Fourier指出，凡是周期函數(shù)皆可以分解為頻率是基頻整數(shù)倍的各種簡(jiǎn)諧函數(shù)。任意周期函數(shù)激勵(lì)下的系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)例2－12求圖示方波激勵(lì)下。無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：激振力4.任意激振的響應(yīng)任意周期激勵(lì)的響應(yīng)，在不考慮初始階段的瞬態(tài)振動(dòng)時(shí)，它是周期性的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。任意非周期性的激勵(lì)（1）任意時(shí)間函數(shù)；（2）在極短時(shí)間間隔內(nèi)的沖擊作用（如沖擊力、地震波等）。在這種激勵(lì)情況