2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷專題：一元二次方程根的判別式(含答案)-

2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷專題：一元二次方程根的判別式(含答案)-2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷專題：一元二次方程根的判別式(含答案)-專題：一元二次方程根的判別式◆課前預習1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況可用b2－4ac來判定，b2－4ac叫做________，通常用符號“△”為表示．（1）b2－4ac>0方程_________；（2）b2－4ac=0方程_________；（3）b2－4ac<0方程_________．2．使用根的判別式之前應先把方程化為一元二次方程的________形式．◆互動課堂（一）基礎熱點【例1】不解方程，判別下列方程根的情況：（1）x2－5x+3=0；（2）x2+2x+2=0；（3）3x2+2=4x；（4）mx2+（m+n）x+n=0（m≠0，m≠n）．解析：從根的判別式入手．答案：（1）有兩個不相等的實數(shù)根；（2）有兩個相等的實數(shù)根；（3）沒有實數(shù)根；（4）有兩個不相等的實數(shù)根．【例2】若關(guān)于x的方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有實數(shù)根，求m的取值范圍．解析：由于x2的系數(shù)含字母，且題目中并未指明方程是否是一元二次方程，因此要分兩種情況討論：（1）m2－1=0；（2）m2－1≠0．答案：m≥－．（二）易錯疑難【例3】已知關(guān)于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+4（k－）=0．（1）求證：無論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；（2）如果等腰△ABC有一邊長a=4，另兩條邊長b，c恰好是這個方程的兩個實數(shù)根，求△ABC的周長．解析：（1）考慮根的判別式；（2）分a為底和腰兩種情況討論：若a為底，則b=c，那么方程有兩個相等的實數(shù)根；若a為腰，則b，c中有一個與a相等，那么方程必有一根為4．答案：（1）△=（2k－3）2≥0；（2）10．點撥：分類討論是一種常用的解題思想與方法．（三）中考鏈接【例4】已知關(guān)于x的方程x－2（m+1）x+m2=0．（1）當m取何值時，方程有兩個實數(shù)根？（2）為m選取一個合適的整數(shù)，使方程有兩個不相等的實數(shù)根，并求這兩個根．答案：（1）m≥－；（2）如取m=0，得x1=0，x2=2．名師點撥1．使用判別式之前一定要先把方程變?yōu)橐辉畏匠痰囊话阈问剑?．如果說方程有實數(shù)根，那么應包括有兩個不等實根或有兩個相等實根兩種情況，此時b2－4ac≥0，注意不要忽略等號．3．△=b2－4ac是指一元二次方程的根的判別式，只有當所研究的方程為一元二次方程時方能使用．◆跟進課堂1．方程2x2+3x－4=0的根的判別式△=________．2．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2－10x+5=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是______．3．如果方程x2－2x－m+3=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為_______，此時方程的根為________．4．若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x－1=0沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是______．5．若關(guān)于x的一元二次方程mx2－2（3m－1）x+9m－1=0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是_______．6．下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）．A．x2+2x－1=0B．x2+2x+3=0C．x2+x+1=0D．－x2+x+2=07．如果方程2x（kx－4）－x2－6=0有實數(shù)根，則k的最小整數(shù)是（）．A．－1B．0C．1D．28．下列一元二次方程中，有實數(shù)根的方程是（）．A．x2－x+1=0B．x2－2x+3=0C．x2+x－1=0D．x2+4=09．如果關(guān)于x的一元二次方程kx2－6x+9=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是（）．A．k<1B．k≠0C．k<1且k≠0D．k>110．關(guān)于x的方程x2+（3m－1）x+2m2－m=0的根的情況是（）．A．有兩個實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根D．沒有實數(shù)根◆漫步課外11．關(guān)于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x+2m－1=0，其根的判別式的值為1，求m的值及該方程的解．12．已知a、b、c分別是△ABC的三邊長，當m>0時，關(guān)于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2－m）－2ax=0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀．13．等腰△ABC中，BC=8，AB、AC的長是關(guān)于x的方程x2－10x+m=0的兩根，求m的值．14．如果關(guān)于x的方程mx2－2（m+2）x+m+5=0沒有實數(shù)根，試判斷關(guān)于x的方程（m－5）x2－2（m－1）x+m=0的根的情況．◆挑戰(zhàn)極限15．已知關(guān)于x的方程（n－1）x2+mx+1=0①有兩個相等的實數(shù)根．（1）求證：關(guān)于y的方程m2y2－2my－m2－2n2+3=0②必有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果方程①的一個根是－，求方程②的根．答案:1．412．m≤5且m≠03．2，x1=x2=14．k<－15．m≤且m≠06．C7．B8．C9．C10．A11．m=2，x1=1，x2=12．Rt△13．m=25或1614．當m=5時方程有一個實根；當m>4且m≠5時，方程有兩個不等實根．15．略專題：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系◆課前預習1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．2．如果方程x2+px+q=0的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是__________．◆互動課堂（一）基礎熱點【例1】設方程4x2－7x－3=0的兩根為x1，x2，不解方程，求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）（x1－3）（x2－3）；（3）；（4）│x1－x2│．解析：由根與系數(shù)的關(guān)系可知，x1+x2=，x1x2=－，將所求代數(shù)式變形為用x1+x2，x1x2表示的形式．答案：（1）．（二）易錯疑難【例2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+4k－3=0。（1）求證：無論x取什么實數(shù)值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當Rt△ABC的斜邊長a=，且兩條直角邊長b和c恰好是這個方程的兩個根時，求△ABC的周長．解析：對于（1）應證明△恒為正，對于（2）由條件可得方程兩根的平方和為31，可考慮用根系關(guān)系來解．答案：（1）△=（2k－3）2+4>0，（2）7+．點撥：根系關(guān)系在很多方面（包括幾何方面）均有廣泛的應用，值得認真體會．名師點撥學習和使用根與系數(shù)的關(guān)系時，要注意定理的前提條件：

1．是在一元二次方程的條件下，即注意二次項系數(shù)a≠0．2．是在有實數(shù)根的條件下，即△≥0．◆跟進課堂1．如果方程x2+px+q=0的兩根分別為－1，+1，那么p=_____，q=_____．2．已知一元二次方程x2－5x－6=0的兩個根分別為x1，x2，則x12+x22=_______．3．已知x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程a2x2－（2a－3）x+1=0的兩個實數(shù)根，如果=－2，那么a的值是_______．4．已知關(guān)于x的方程x2－3x+m=0的一個根是另一個根的2倍，則m的值為______．5．已知方程x2+3x－1=0的兩個根為α、β，那么=_______．6．設方程x2+x－1=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，則的值為（）．A．1B．－1C．D．7．對于方程x2+bx－2=0，以下觀點正確的是（）．A．方程有無實數(shù)根，要根據(jù)b的取值而定B．無論b取何值，方程必有一正根，一負根C．當b>0時，方程兩根為正；b<0時，方程兩根為負D．∵－2<0，∴方程兩根肯定為負8．已知一個直角三角形兩條直角邊的長恰好是方程x2－8x+7=0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是（）．A．5B．3C．5D．99．已知α、β滿足α+β=5，且αβ=6，則以α、β為兩根的一元二次方程是（）．A．x2+5x+6=0B．x2－5x+6=0C．x2－5x－6=0D．x2+5x－6=010．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩異號實數(shù)根的條件是（）．A．>0B．<0C．>0D．<0◆漫步課外11．設x1，x2是方程2x2+4x－3=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；（3）；（4）（x1－x2）2．12．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m－3）x+m2=0的兩個不相等的實數(shù)根α，β，滿足=1，求m的值．13．已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的兩根，x1+1，x2+1是關(guān)于x的方程x2+nx+m=0的兩根，求m，n的值．14．已知關(guān)于x的方程x2－2kx+k－=0的一個根大于1，另一個根小于1，求實數(shù)k的取值范圍．◆挑戰(zhàn)極限15．已知x1，x2是一元二次方程2x2－2x+m+1=0的兩個實數(shù)根．（1）求實數(shù)m的取值范圍．（2）如果x1，x2滿足不等式7+4x1x2>x12+x22，且m為整數(shù)，求m的值．答案:1．－2，12．373．4．25．－116．A7．B8．C9．B10．D11．（1）－（2）3（3）－（4）1012．m=－313．m=－1，n=－314．k>15．（1）m≤－（2）m=－2或m=－1專題訓練1一元二次方程的解法1．按指定的方法解下列方程．（1）（2x-1）2-32=0（直接開平方法）；（2）3x2+4x+1=0（配方法）；（3）6x2-5x-2=0（公式法）；（4）x2-1=3x-3（因式分解法）．2．用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2+x-6=0；（2）49（x-3）2=16（x+6）2；（3）（x-2）（x+3）=66；（4）（x+1）2=3x+2．3．用三種不同的方法解方程3x2-5x=2．4．若方程3x2-5x+k=0的一個根是-1，求k的值及另一個根．5．如果方程x2-6x-k-1=0與x2-kx-7=0僅有一個相同的實數(shù)根，試求k的值和相同的根．6．若α是方程x2+x-1=0的根，求代數(shù)式2000α3+4000α2的值．7．如果m是介于12與60之間的整數(shù)，并且關(guān)于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0的兩個根也是整數(shù)，求m的值及這兩個整數(shù)根．8．已知：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有一個相同的實數(shù)根，且a·b·c≠0，求a+b+c的值．9．已知x2+x-6是多項式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的一個因式，求a、b的值．答案:1．解：（1）（2x-1）2-32=0，整理，得（2x-1）2=64，開平方，得2x-1=±8，2x=1±8，x=．所以x1=，x2=．（2）3x2+4x+1=0，移項，得3x2+4x=-1．方程兩邊同時除以3，得x2+x=-．配方，得x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=±，x+=±，x=-±所以x1=-+=-，x2=--=-1．（3）6x2-5x-2=0，因為a=6，b=-5，c=-2．b2-4ac=（-5）2-4×6×（-2）=25+48=73．所以x==．即x1=，x2=．（4）原方程可化為：x2-1-3x+3=0（x+1）（x-1）-3（x-1）=0，（x-1）（x+1-3）=0，即x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2．點撥：注意每一種解法的步驟和格式，必要的文字敘述絕不能少．2．解：（1）方程兩邊同時乘以4，得x2+10x-24=0，即（x+12）（x-2）=0，x+12=0或x-2=0，所以x1=-12，x2=2．（2）原方程可化為[7（x-3）]2=[4（x+6）]2，所以7（x-3）=±4（x+6），即7（x-3）=4（x+6）或7（x-3）=-4（x+6），所以x1=15，x2=-．（3）原方程可化為：x2+x-72=0，（x+9）（x-8）=0，即x+9=0或x-8=0，所以x1=-9，x2=8．（4）原方程可化為：x2-x-1=0，因為a=1，b=-1，c=-1，b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5，所以x=，所以x1=，x2=．點撥：對于方程（1），出現(xiàn)了分數(shù)系數(shù)，分解因式的話不容易觀察，套用公式計算量太大，因此，先把分數(shù)系數(shù)化為整數(shù)，即在方程兩邊同時乘以4后，用因式分解法就比較方便．方程（2）可采用直接開平方法，也可采用因式分解法．方程（3）是十分容易出錯的一個方程，一定要先整理成一般形式再求解，方程（4）與方程（3）相同，也要先化成一般形式后，再選擇方法．3．解法一：配方法：方程兩邊同時除以3，得x2-x=，配方，得x2-x+（）2=+（）2，即（x-）2=，x-=±，x=±．所以x1=+=2，x2=-=-．解法二：公式法：移項，得3x2-5x-2=0因為a=3，b=-5，c=-2，b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=25+24=49，所以x=，即x1=2，x2=-．解法三：因式分解法：移項，得3x2-5x-2=0．（x-2）（3x+1）=0，即x-2=0或3x+1=0，所以x1=2，x2=-．點撥：通過對同一道題的不同解法的比較，我們發(fā)現(xiàn)因式分解法是比較簡便的方法，一個方程若能用因式分解法求解，就不要再選擇其他解法了．公式法是解一元二次方程的最后一法．在其他方法失效的情況下，可選用此法．配方法是一種重要的數(shù)學方法，但是用這種方法解方程，過程太復雜，一般情況下不采用．4．解：依題意：3×（-1）2-5×（-1）+k=0，k=-8．當k=-8時，3x2-5x-8=0，（x+1）（3x-8）=0，x+1=0或3x-8=0，所以x1=-1，x2=．所以k的值是-8，方程的另一個根是．點撥：利用方程根的定義，把-1代入方程求出k的值，然后把k的值代入方程，求出方程的另一個根．拓展：此題也可應用本章第三節(jié)探究到的知識求解．設方程的另一個根是x，則-1+x1=，所以x1=．又因為-1·x1=，所以-1×=，k=-8．所以方程的另一個根是，k的值是-8．5．解：設相同的根為x，則有：x2-6x-k-1=0①，x2-kx-7=0②．①-②得（k-6）x-k+6=0．（k-6）（x-1）=0，所以k=6或x=1．當k=6時，原來的兩個方程是同解方程，它們的解完全相同．不合題意，故k=6舍去；當x=1時，代入①，得k=-6，所以k的值為-6，相同的根為1．點撥：設出相同的根，代入后解方程即可．6．解：依題意：α2+α-1=0，所以α2+α=1，α2=1-α．所以2000α3+4000α2=2000α（α2+2α）=2000α（α2+α+α）=2000α（1+α）=2000（α+α2）=2000．點撥：把條件等式適當變形，整體代入求值．7．解：x==m+1±，因為x1，x2都是整數(shù)，所以（2m+1）必是完全平方數(shù)，由于12<m<60，所以25<2m+1<121．因為（2m+1）是奇數(shù)，所以只能是2m+1=72或2m+1=92．解之得m1=24，m2=40．當m=24時，x1=32，x2=18；當m=40時，x1=50，x2=32．點撥：先用公式法求出方程的根，再利用整數(shù)的性質(zhì)及m的取值范圍進行討論．8．解：設相同的根為x，則：ax2+bx+c=0①，bx2+cx+a=0②，cx2+ax+b=0③，①+②+③，得（a+b+c）（x2+x+1）=0．又因為x2+x+1=（x+）2+>0，所以a+b+c=0．點撥：類似于第5題，請作比較，找到解這一類題的規(guī)律．9．解：依題意：當x2+x-6=0時多項式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1=0．即：當x1=-3，x2=2時，上述多項式的值為0．把x1=-3，x2=2代入，可得關(guān)于a、b的方程組解得a=16，b=3．點撥：欲求a、b的值，關(guān)鍵在于列出關(guān)于a、b的方程組．因此，根據(jù)因式分解的意義可使問題得以解決．

專題訓練2一元二次方程在平面圖形中的應用1．在直角三角形中，兩條直角邊的差為7，斜邊長為13，求它的周長和面積．2．一個梯形的上度與高相等，下底比上底的2倍多1，面積是40，求梯形的中位線的長．3．在△ABC中，AB=AC，周長為20，且（BC+1）2=AB，求△ABC的腰長和底邊長．4．一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m．（1）若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑動1m，梯子的頂端滑動多少米？（3）如果梯子頂端向下滑動的距離等于底端向外滑動的距離，那么滑動的距離是多少米？5．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發(fā)沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動．（1）如果P、Q同時出發(fā)，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米？（2）點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由．6．如圖所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標B，在B的正東方向200海里處有一重要目標C，小島D恰好位于AC的中點，島上有一補給碼頭；小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航．一艘補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦．（1）小島D和小島F相距多少海里？（2）已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處，那么相遇時補給船航行了多少海里？（精確到0.1海里）7．東西和南北街道交于點O，甲沿東西道由西向東走，速度為4m/s，乙沿南北道由南向北走，速度是3m/s，當乙通過O點后，又繼續(xù)前進50m，甲剛好通過O點，當甲、乙相距85m，求兩人的位置（假設街道足夠長）．8．如圖所示，若把邊長為1的正方形ABCD的四個角（陰影部分）剪掉，得四邊形A1B1C1D1，試問怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形，且剩下圖形的面積為原正方形面積的，請說明理由．（寫出證明及計算過程）答案:1．解：設較短的直角邊長為x，則較長的直角邊長為（x+7）．根據(jù)勾股定理，列方程x2+（x+7）2=132整理，得x2+7x-60=0，解得x1=5，x2=-12．由于三角形的邊長不能為負數(shù)，故將x2=-12舍去．所以三角形的三邊長分別為5，12，13．則周長為5+12+13=30，面積為×5×12=30．點撥：設出適當?shù)奈粗獢?shù)，根據(jù)勾股定理可列出方程．2．解：設梯形的上底為x，則下底為2x+1，高為x．根據(jù)梯形的面積公式，可列方程：（2x+1+x）·x=40整理，得3x2+x-80=0，解得x1=5，x2=-．由于梯形的上底不能為負數(shù)，故將x2=-舍去．所以梯形的上底為5，下底為11，則中位線長為×（5+11）=8．點撥：欲求梯形的中位線，由梯形的中位線定理，需先求出它的上底和下底，依題意設上底為x，則由梯形的面積可列方程．3．解：設底邊BC為x，則腰長AB=．因為（BC+1）2=AB，所以（x+1）2=．整理，得2x2+5x-18=0，解得x1=2，x2=-，由于三角形的邊長不能為負數(shù)，故舍去x2=-．所以△ABC的底邊BC=2，腰長AB=AC=9．點撥：題目中已經(jīng)給出了等量關(guān)系式，只需設出一個恰當?shù)奈粗獢?shù)即可，既可以設出底邊，也可以設出腰長．4．解：依題意，梯子的頂端距墻角=8（m）（1）若梯子頂端下滑1m，則頂端距地面7m．設梯子底端滑動xm，根據(jù)勾股定理，列方程：72+（6+x）2=102，整理，得x2+12x-15=0，解得x1≈1.14，x2≈-13.14（舍去），所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動約1.14m．（2）當梯子底端水平向外滑動1m時，設梯子頂端向下滑動xm，根據(jù)勾股定理，列方程，得（8-x）2+（6+1）2=100．整理，得x2-16x+13=0．解得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）所以若梯子底端水平向外滑動1m，則頂端下滑約0.86m．（3）設梯子頂端向下滑動xm時，底端向外也滑動xm．根據(jù)勾股定理，列方程，得（8-x）2+（6+x）2=102整理，得2x2-4x=0，解得x1=0（舍去），x2=2．所以梯子頂端向下滑動2m時，底端向外也滑動2m．點撥：解決這類實際生活問題，首先要依據(jù)題目敘述的生活環(huán)境，畫出準確的圖形．其次，找準與題意適應的數(shù)學模型和相應的知識點．最后解出的結(jié)果要同實際情況相吻合，否則應舍去．本題中，把梯子本身看作一條線段，直立的墻面與水平的地面三者構(gòu)成一個直角三角形，根據(jù)勾股定理，建立起數(shù)學模型，通過解一元二次方程，使問題得以順利解決．拓展：此題可與函數(shù)知識聯(lián)系起來，不妨假設梯子頂端向下滑動xm，底端相應地向外滑動ym，怎樣求出y與x的函數(shù)關(guān)系呢？能否利用這個關(guān)系式解決題目中的問題呢？請同學們探究一下．5．解：因為∠C=90°，所以AB===10（cm）．（1）設xs后，可使△PCQ的面積為8cm2．依題意，AP=xcm，PC=（6-x）cm．CQ=2xcm，則·（6-x）·2x=8．整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4．所以P、Q同時出發(fā)，2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2．（2）設點P出發(fā)x秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的一半，依題意：（6-x）·2x=××6×8．整理，得x2-6x+12=0．由于此方程沒有實數(shù)根，所以不存在使△PCQ的面積等于ABC面積一半的時刻．點撥：題目中出現(xiàn)了運動的點，并且不止一個．因此，分析這些點的運動情況變成解決問題的關(guān)鍵，在根據(jù)題意求出第一個問題的解后，發(fā)現(xiàn)這兩個解都符合題意，需要特別指出的是當x=4時，點Q即運動到了B點，它的運動也就隨之停止了．第二個問題以探究的形式出現(xiàn)，我們解決這類問題的方法一般都是先假設符合條件的值存在，在條件的指引下去求值，若能求出值并且符合題意，則存在；若求不出值，或求出的值不符合題意，則不存在．本題求不出x的值，故不存在．6．解：（1）F位于D的正南方向，則DF⊥BC．因為AB⊥BC，D為AC的中點，所以DF=AB=100海里，所以，小島D與小島F相距100海里．（2）設相遇時補給船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里，在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x2=1002+（300-2x）2，整理，得3x2-1200x+100000=0，解得x1=200-≈118.4，x2=200+（不合題意，舍去）．所以，相遇時補給船大約航行了118.4海里．點撥：題目綜合性較強，涉及到了等腰三角形中各邊之間的關(guān)系．7．解：設甲通過O點后t秒時，甲、乙的位置分別是A、B，則OA=4t，OB=50+3t，依題意，有（4t）2+（50+3t）2=852．整理，得t2+12t-189=0，解得t1=9，t2=-21．當t=9時，OA=36，OB=77，當t=-21時，OA=-84，OB=-13．所以甲、乙分別在通過O點后又前進36m，77m或者兩人未通過O點，分別在距O點84m，13m的位置時，兩人的距離是85m．點撥：欲求兩人的位置，就需求出兩人運動的時間，所以，可以通過設出間接的未知數(shù)即運動時間來解決，需要特別注意的是，題目中的負解不能舍去．8．解：剪法為：當AA1=BB1=CC1=DD1=或時，四邊形A1B1C1D1為正方形，且其面積S=，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，因為AA1=BB1=CC1=DD1，所以A1B=B1C=C1D=D1A，所以△D1AA1≌△A1BB1≌△B1CC1≌△C1DD1，所以D1A1=A1B1=B1C1=C1D1，所以∠AD1A1=∠BA1B1=∠CB1C1=∠DC1D1，所以∠AA1D1+∠BA1B1=90°，即∠D1A1B1=90°．所以四邊形A1B1C1D1為正方形，設AA1=x，則AD1=1-x，因為正方形A1B1C1D1的面積S=，所以S△AA1D1=，即x（1-x）=，解得x1=，x2=．當AA1=時，AD1=，當AA1=時，AD1=，所以當AA1=BB1=CC1=DD1=或時，四邊形A1B1C1D1仍為正方形且其面積是原正方形面積的．點撥：解題的關(guān)鍵在于說明陰影部分和原正方形面積之間的關(guān)系，所以，首先去證明四個陰影部分的三角形全等，然后，通過設出相應的未知數(shù)，列出方程，即可求解．專題訓練3一元二次方程在實際生活中的應用1．將進價為40元的商品按50元售出時，能賣出500個，經(jīng)市場調(diào)查得知，該商品每漲價1元，其銷售量就減少10個，為了賺取8000元的利潤，售價應定為多少，這時進貨量應為多少元？2．王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率．（假設不計利息稅）3．農(nóng)民李大爺響應中央發(fā)出的退耕還林還草的號召，主動在承包的荒山上種植了44棵蘋果樹，2005年采摘時，先隨意采摘5棵樹上的蘋果．稱得每棵樹上的蘋果的質(zhì)量如下：（單位：kg）3534393537（1）估計李大爺2005年的蘋果產(chǎn)量為多少kg？（2）李大爺說這44棵樹2003年共收蘋果1100kg，若近幾年蘋果產(chǎn)量的增長率相同，試預測到2008年蘋果的產(chǎn)量是多少kg？4．某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)每戶居民如果一個月的用電量不超過A度，那么這戶居民這個月只需交10元用電費；如果超過A度，則這個月除了仍要交10元用電費外，超過部分還要按每度元交費．（1）該廠某戶居民2月份用電90度，超過了規(guī)定的A度，則應交電費_________元（用A表示）；（2）下表是這戶居民3月，4月的用電情況和交費情況：月份用電量（度）電費（元）3802544510根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的A是多少？5．某商場A型冰箱的售價是2190元，每天耗電量為1千瓦時，最近商場又進回一批B型冰箱，其售價比A型冰箱高出10%，但每天耗電量卻為0.55千瓦時，為了減少庫存，商場決定對A型冰箱降價銷售，請解答下列問題：（1）已知A型冰箱的進價為1700元，商場為保證利潤率不低于3%，試確定A型冰箱的降價范圍（利潤率=×100%）．（2）如果只考慮價格和耗電量，那么商場將A型冰箱的售價打幾折時，消費者購買兩種冰箱才一樣合算（兩種冰箱的使用期均為10年，每年365天，每千瓦時電費按0.4元計算）？6．有三個梯子，分別是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步階梯上升的高度是一致的．每個梯子的扶桿長（即梯長）、頂檔寬、底檔寬如圖22-4所示并把橫檔與扶桿榫合處稱作聯(lián)結(jié)點（如點A）．（1）通過計算，補充填寫下表：梯子種類兩扶桿總長（m）橫檔總長（m）聯(lián)結(jié)點（個）五步梯42.010七步梯九步梯（2）一個梯子的成本由材料費和加工費組成，假定加工費以每個聯(lián)結(jié)點1元計算，而材料費中扶桿的單價與橫檔的單價不相等（材料損耗及其他因素忽略不計）．現(xiàn)已知一個五步梯、七步梯的成本分別是26元、36元，試求出一個九步梯的成本．7．據(jù)《鎮(zhèn)江日報》報道，我市在全面建設小康社會的25項指標中，有15項完成了序時進度，其中10項已達到小康指標值．（1）完成序時進度的指標占全部指標的_______%；已達小康指標值的指標占全部指標的________%．（2）某校研究性學習小組，對我市居民家庭年收入及人均住房建筑面積進行調(diào)查，并將數(shù)據(jù)繪制成圖1、圖2．①圖1中，家庭年收入的眾數(shù)為______美元；家庭年收入的平均數(shù)為_______美元．②小康指標規(guī)定城鎮(zhèn)、農(nóng)村居民人均住房建筑面積應分別在35m2和40m2以上．觀察圖形，從2002年到2004年城鎮(zhèn)、農(nóng)村居民人均住房建筑面積的年平均增長率分別為（）A．0.1和0.2B．0.2和0.3C．0.2和0.4D．0.3和0.4③若人均住房建筑面積的年平均增長率不變，那么到2007年城鎮(zhèn)居民人均住房建筑面積能否達到小康指標值？請計算說明．(1)(2)8．下表數(shù)據(jù)來源于國家統(tǒng)計局《國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》．2001～2004年國內(nèi)汽車年產(chǎn)量統(tǒng)計表2001年2002年2003年2004年汽車/萬輛233325.1444.39507.41其中轎車/萬輛70.4109.2202.01231.4（1）根據(jù)上表將圖補充完整；（2）請你寫出三條從統(tǒng)計圖中獲得的信息．（3）根據(jù)2004年汽車的年產(chǎn)量和目前銷售情況，有人預測2006年國內(nèi)汽車年產(chǎn)量應上升至650萬輛．根據(jù)這一預測，假設這兩年汽車年產(chǎn)量平均年增長率為x，則可列出方程_____________．2001～2004年國內(nèi)汽車年產(chǎn)量統(tǒng)計圖答案:1．解：設應漲價x元，依題意，列方程，得（50+x-40）（500-10x）=8000．整理，得x2-40x+300=0，解得x1=10，x2=30．當x=10時，500-10x=500-10×10=400（個）當x=30時，500-10x=500-10×30=200（個）答：當售價為60元時，應進貨400個，或售價定為80元，進貨200個．2．解：設第一次存款時的年利率為x，依題意，可列方程：[1000（1+x）-500]（1+0．9x）=530．整理，得90x2+145x-3=0．解得x1≈0.0204=2.04%，x2≈-1.63．由于存款利率不能為負數(shù)，所以將x2≈-1.63舍去所以第一次存款的年利率約是2.04%．點撥：弄清兩個問題，一是第二次存款時的本金，二是第二次存款時的利率．3．解：（1）200