2024年高考數(shù)學(xué)(北師大版)必修三概率專題復(fù)習(xí)講義

知識(shí)點(diǎn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求層次要求領(lǐng)域目標(biāo)要求隨機(jī)事件的概率①了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別②了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義,加強(qiáng)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系,以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)身邊的一些隨機(jī)現(xiàn)象.教師應(yīng)通過日常生活中的大量實(shí)例,鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn),正確理解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性.讓學(xué)生體驗(yàn)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、推斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)在概率學(xué)習(xí)中的重要性,提高直覺思維能力.增加學(xué)生合作學(xué)習(xí)交流的機(jī)會(huì),讓學(xué)生積極參與到數(shù)據(jù)的收集、分析、整理與描述的數(shù)學(xué)活動(dòng)中,在體會(huì)概率意義的同時(shí),感受與他人合作的重要性.在數(shù)據(jù)收集和整理的過程中,敢于面對(duì)困難,克服困難,初步形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神古典概型①理解古典概型及其概率計(jì)算公式,會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率②學(xué)會(huì)把一些實(shí)際問題化為古典概型問題③了解整數(shù)型隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法(包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行模擬)估計(jì)概率幾何概型①初步體會(huì)幾何概型的意義②讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)把一些實(shí)際問題化為幾何概型問題③了解連續(xù)型隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法(包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行模擬)估計(jì)概率本章教學(xué)的重點(diǎn)是頻率與概率的意義、古典概型、幾何概型、事件的關(guān)系和運(yùn)算.在教學(xué)時(shí)要注意以下幾點(diǎn):.鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作和主動(dòng)參與,讓他們?cè)谠囼?yàn)、觀察、交流等活動(dòng)中體會(huì)和理解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性等相關(guān)內(nèi)容.鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作、主動(dòng)參與統(tǒng)計(jì)試驗(yàn),不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的興趣,而且在反復(fù)的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)中可以更好地體會(huì)和理解統(tǒng)計(jì)思想.在引出概率的統(tǒng)計(jì)定義時(shí),盡管學(xué)生在初中已經(jīng)做過擲硬幣的試驗(yàn),但對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的整理和分析是比較初步的,如果學(xué)生能動(dòng)手畫出條形圖和折線圖等,通過觀察與交流的方式,可以對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性有更深入的理解.在概率的正確理解的部分,教學(xué)中可以讓學(xué)生動(dòng)手做兩個(gè)試驗(yàn),連續(xù)擲兩個(gè)硬幣的試驗(yàn)與邊框中有放回的摸球試驗(yàn),通過觀察與分析、交流等方式幫助學(xué)生澄清日常生活中遇到的一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)..注意與初中概率統(tǒng)計(jì)的銜接.這一章的知識(shí)與初中內(nèi)容聯(lián)系密切,一些內(nèi)容在初中都接觸過,要與初中內(nèi)容銜接,就必須深入了解初中概率部分的內(nèi)容、要求,了解它們與這一部分內(nèi)容的聯(lián)系與區(qū)別.從小學(xué)到初中再到高中,概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容是采用逐步滲透、螺旋上升的方式.在初中,介紹了隨機(jī)事件的概念,要求會(huì)運(yùn)用列舉法計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率,通過試驗(yàn),獲得隨機(jī)事件發(fā)生的頻率,知道大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率可作為隨機(jī)事件發(fā)生概率的估計(jì)值.由此可以看到,高中有些內(nèi)容是與初中相同的.在教學(xué)中可以用回憶復(fù)習(xí)等方式先回顧初中相應(yīng)的內(nèi)容,在此基礎(chǔ)上要有更深層次的理解.比如,在頻率與概率部分,不但知道頻率可以作為概率的近似,而且要知道頻率與概率的區(qū)別在于頻率是隨機(jī)的,每次試驗(yàn)得到的頻率可能是不同的,而隨機(jī)事件的概率是一個(gè)常數(shù),是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量,它不隨每次試驗(yàn)的結(jié)果改變.在初中要求會(huì)運(yùn)用列舉法計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率,而高中提高到理解古典概型的特征,在古典概型中運(yùn)用古典概型求概率的公式計(jì)算隨機(jī)事件的概率.隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算、概率的性質(zhì)、幾何概型、隨機(jī)模擬方法等是高中的新內(nèi)容,初中沒有涉及..教學(xué)中要注重統(tǒng)計(jì)思想和概率的意義的解釋,而不能把重點(diǎn)放在復(fù)雜的計(jì)算上.一種統(tǒng)計(jì)方法只能解決部分實(shí)際問題,在面臨新的問題時(shí),需要的是新思想.教學(xué)的目的不僅是為了讓學(xué)生掌握現(xiàn)有的知識(shí),而且還要培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神,所以統(tǒng)計(jì)思想的解釋就顯得尤為重要.在用頻率近似概率時(shí)利用的是樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征的統(tǒng)計(jì)思想.同樣隨機(jī)模擬的理論依據(jù)仍然是用樣本估計(jì)總體的思想.在古典概型的教學(xué)中,讓學(xué)生學(xué)會(huì)把一些實(shí)際問題化為古典概型,而不是把重點(diǎn)放在“如何計(jì)數(shù)”上..重視現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用.現(xiàn)代信息技術(shù)對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的發(fā)展起到了決定性的作用.隨機(jī)模擬試驗(yàn)需要產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù),同時(shí)又要統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果,如果離開計(jì)算機(jī)的幫助,需要花費(fèi)大量的時(shí)間,統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果的困難是可想而知的.用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬試驗(yàn)的另一個(gè)好處是相同的試驗(yàn)可以在短時(shí)間內(nèi)多次重復(fù),可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識(shí).現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用使統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)變得十分方便,而且可以通過大量重復(fù)試驗(yàn)比較結(jié)果的穩(wěn)定性.本章對(duì)學(xué)生的最低要求是會(huì)用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的模擬試驗(yàn),并統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果.有條件的學(xué)?？梢宰寣W(xué)生學(xué)會(huì)用一種統(tǒng)計(jì)軟件,例如軟件,多次重復(fù)模擬試驗(yàn),并統(tǒng)計(jì)模擬的結(jié)果,畫出頻率折線圖等統(tǒng)計(jì)圖.第課時(shí)隨機(jī)事件的概率.了解隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件、等可能性事件、確定事件等基本概念..了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的定義..理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系.重點(diǎn):一是事件、隨機(jī)事件、頻數(shù)、頻率、概率的概念;二是頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系.難點(diǎn):理解頻率與概率的關(guān)系.在一些賭王爭(zhēng)霸的影片中,我們經(jīng)?？吹絻蓚€(gè)新老賭王擲骰子或梭哈來定輸贏,在擲骰子時(shí)會(huì)存在千術(shù),比如在骰子中灌入鉛.請(qǐng)指出下面三個(gè)事件分別是什么事件.①當(dāng)不灌鉛時(shí),出現(xiàn)六點(diǎn)向上.②當(dāng)在六點(diǎn)灌鉛時(shí),出現(xiàn)六點(diǎn)向上.③當(dāng)在六點(diǎn)灌鉛時(shí),出現(xiàn)一點(diǎn)向上(注:六點(diǎn)的對(duì)面為一點(diǎn)).問題:()在上面的問題中,分別對(duì)應(yīng)著隨機(jī)事件、不可能事件、必然事件.

()必然事件:在條件下(條件可以是一個(gè)條件也可以是一組條件),一定會(huì)發(fā)生的事件叫作相對(duì)于條件的必然事件,簡(jiǎn)稱必然事件.

()不可能事件:在條件下,一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為相對(duì)于條件的不可能事件,簡(jiǎn)稱不可能事件.

()確定事件:必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)于的確定事件,簡(jiǎn)稱確定事件.

()隨機(jī)事件:在條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為相對(duì)于條件的隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱隨機(jī)事件.問題:()隨機(jī)事件的頻率:在相同的條件下重復(fù)次試驗(yàn),觀察某一事件是否出現(xiàn),稱次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件出現(xiàn)的比例()

為事件出現(xiàn)的頻率.

()隨機(jī)事件的概率:一般來說,隨機(jī)事件在每次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不能預(yù)知的,但是在大量重復(fù)試驗(yàn)后,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定在區(qū)間[]中的某個(gè)常數(shù)上,這個(gè)常數(shù)可以用來度量事件發(fā)生的可能性的大小,稱為事件的概率,記作().

問題:頻率和概率的區(qū)別與聯(lián)系()區(qū)別:頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變,即頻率是隨機(jī)的,且試驗(yàn)前是不確定的,而概率是一個(gè)確定的常數(shù),是客觀存在的,與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān),是隨機(jī)事件自身的一個(gè)屬性.

()聯(lián)系:在相同的條件下,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定,所以可用頻率作為概率的近似值,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)頻率向概率靠近,概率是頻率的近似值.

問題:不可能事件、必然事件、隨機(jī)事件的概率若事件是不可能事件,則();若事件是必然事件,則();若事件是隨機(jī)事件,則()∈[].不可能事件、必然事件和隨機(jī)事件這三個(gè)概念既有區(qū)別又有聯(lián)系.在具體的每次試驗(yàn)中,根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果可以區(qū)分三種事件.但在一般情況下,隨機(jī)事件也包含不可能事件和必然事件,并且將它們作為隨機(jī)事件的特例.

說起概率論起源的故事,就要提到法國(guó)的兩個(gè)數(shù)學(xué)家.一個(gè)叫帕斯卡,一個(gè)叫費(fèi)馬.帕斯卡認(rèn)識(shí)的朋友中有兩個(gè)是賭徒年,法國(guó)一位貴族梅累向帕斯卡提出了一個(gè)十分有趣的“分賭注”問題.這兩個(gè)賭徒說,他倆下賭金之后,約定誰先贏滿局,誰就獲得全部賭金.賭了半天贏了局贏了局,時(shí)間很晚了,他們都不想再賭下去了.那么,這個(gè)錢應(yīng)該怎么分?是不是把錢分成份,贏了局的就拿份,贏了局的就拿份呢?或者,因?yàn)樽钤缯f的是滿局,而誰也沒達(dá)到,所以就一人分一半呢?通過兩人對(duì)這個(gè)問題的討論,概率論從此就發(fā)展起來了..下列現(xiàn)象中,是隨機(jī)現(xiàn)象的有().①在一條公路上,交警記錄某一小時(shí)通過的汽車超過輛;②若為整數(shù),則為整數(shù);③發(fā)射一顆炮彈,命中目標(biāo);④檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品.個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)【解析】當(dāng)為整數(shù)時(shí)一定為整數(shù),是必然現(xiàn)象,其余個(gè)均為隨機(jī)現(xiàn)象.【答案】.從一批準(zhǔn)備出廠的電視機(jī)中隨機(jī)抽取臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查,其中有臺(tái)是次品.若用表示抽到次品這一事件,則對(duì)這一事件發(fā)生的說法正確的是()..概率為.頻率為.概率接近.每抽臺(tái)電視機(jī),必有臺(tái)次品【解析】臺(tái)電視機(jī)中有臺(tái)次品,連續(xù)從這臺(tái)中抽取,每次抽取一臺(tái)次試驗(yàn)中必會(huì)抽到這臺(tái)次品一次,故發(fā)生的頻率為.【答案】.某人拋出一枚硬幣次,結(jié)果正面朝上有次,設(shè)正面朝上為事件,則事件出現(xiàn)的頻數(shù)為,事件出現(xiàn)的頻率為.

【解析】在次試驗(yàn)中,隨機(jī)事件出現(xiàn)了次,所以事件的頻數(shù)是,頻率為.【答案】.盒中僅有只白球只黑球,從中任意取出一只球.()“取出的球是黃球”是什么事件?它的概率是多少?()“取出的球是白球”是什么事件?它的概率是多少?()“取出的球是白球或黑球”是什么事件?它的概率是多少?【解析】()“取出的球是黃球”在題設(shè)條件下根本不可能發(fā)生,因此它是不可能事件,其概率為.()“取出的球是白球”是隨機(jī)事件,它的概率是.()“取出的球是白球或黑球”在題設(shè)條件下必然發(fā)生,因此它是必然事件,它的概率是.隨機(jī)事件、不可能事件、必然事件的判斷指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件.()明年春天雨水將會(huì)比較充沛;()出租車司機(jī)小李駕車通過幾個(gè)十字路口都將遇到綠燈;()若∈,則≥;()拋一枚骰子兩次,朝上面的數(shù)字之和大于.【方法指導(dǎo)】先回顧事件的分類,再判斷事件的類型,進(jìn)而得出結(jié)論.【解析】由題意知:()()中事件可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,所以是隨機(jī)事件;()中事件一定會(huì)發(fā)生,是必然事件;()中由于骰子朝上面的數(shù)字最大是,兩次朝上面的數(shù)字之和最大是,不可能大于,所以該事件不可能發(fā)生,是不可能事件.【小結(jié)】事件的分類主要是根據(jù)事件發(fā)生可能性的大小來確定,有些事件需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)赝评?用頻率估計(jì)概率某射手在同一條件下進(jìn)行射擊,結(jié)果如下表所示:射擊次數(shù)擊中靶心次數(shù)擊中靶心的頻率()填寫表中擊中靶心的頻率.()這個(gè)射手射擊一次,擊中靶心的概率大約是多少?()若該射手在一次射擊訓(xùn)練中射中靶心的次數(shù)為次,你估計(jì)該射手這次訓(xùn)練射擊了多少次?【方法指導(dǎo)】()頻率;()概率可用頻率來估計(jì);()射擊次數(shù)≈.【解析】()表中依次填入的數(shù)據(jù).()由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)附近,所以射手射擊一次,擊中靶心的概率約是.()設(shè)射擊了次,則≈≈次.【小結(jié)】隨機(jī)事件發(fā)生的概率是大量試驗(yàn)下的頻率的近似值,是一個(gè)確定的數(shù),故可用大量試驗(yàn)下的頻率來估計(jì).隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果判斷指出下列試驗(yàn)的結(jié)果:()從裝有紅、白、黑三種顏色的小球各個(gè)的袋子中任取個(gè)小球;()從四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)(不重復(fù))作差.【方法指導(dǎo)】按照順序列出所有抽取小球的結(jié)果;根據(jù)抽取兩數(shù)作差是有順序的,因此列出抽取的所有結(jié)果作差.【解析】()結(jié)果:紅球,白球;紅球,黑球;白球,黑球.()結(jié)果,,,,,.即試驗(yàn)的結(jié)果為.【小結(jié)】在解答本題的過程中,易出現(xiàn)結(jié)果重復(fù)或遺漏的錯(cuò)誤,導(dǎo)致這種錯(cuò)誤的原因是沒有按一定的順序列出結(jié)果.判斷下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是隨機(jī)事件?()“拋一石塊,下落”;()“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于℃時(shí),冰融化”;()“某人射擊一次,中靶”;()“如果>,那么>”;()“從分別標(biāo)有號(hào)數(shù)的張標(biāo)簽中任取一張,得到號(hào)簽”;()“某電話機(jī)在分鐘內(nèi)收到次呼叫”.【解析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的定義可知,事件()、()是必然事件;事件()是不可能事件;事件()、()、()是隨機(jī)事件.口袋里有個(gè)黑球和若干白球,現(xiàn)不許將球倒出來數(shù),王蘭從口袋里隨機(jī)摸出一個(gè)球,記下其顏色,再把它放回口袋中,不斷重復(fù)上述過程,她總共摸了次,其中有次摸到黑球,你估計(jì)口袋中的白球個(gè)數(shù)為多少?【解析】設(shè)口袋里有白球個(gè),則口袋里共有球()個(gè),于是王蘭每次摸一球,記下顏色放回,均勻后再摸一個(gè)記顏色,這樣摸到黑球的概率,實(shí)驗(yàn)中摸到黑球的頻率為,∵≈,∴≈,解得≈,∴估計(jì)口袋中有白球個(gè).袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑個(gè)球,分別寫出以下隨機(jī)試驗(yàn)的條件和結(jié)果.()從中任取球;()從中任取球.【解析】()條件為從袋中任取球.結(jié)果為紅、白、黃、黑,共種.()條件為從袋中任取球.若記(紅,白)表示一次試驗(yàn)中,取出的是紅球與白球.結(jié)果為(紅,白),(紅,黃),(紅,黑),(白,黃),(白,黑),(黃,黑),共種..下列說法正確的是()..任何事件的概率總是在()之間.頻率是客觀的,與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān).隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率一般會(huì)越來越接近概率.概率是隨機(jī)的,在試驗(yàn)前不能確定【解析】中應(yīng)是[]中()為試驗(yàn)次數(shù)中概率不受試驗(yàn)的影響.【答案】個(gè)同類產(chǎn)品中含有個(gè)次品,現(xiàn)從中任意抽出個(gè),必然事件是().個(gè)都是正品.至少有一個(gè)是次品個(gè)都是次品.至少有一個(gè)是正品【解析】都是隨機(jī)事件;因?yàn)橹挥袀€(gè)次品,所以“抽出的個(gè)全是次品”是不可能事件;“至少有一個(gè)是正品”是必然事件.【答案】.將一枚硬幣連續(xù)拋擲次記錄朝上一面的正反情形,可能出現(xiàn)的結(jié)果共有個(gè).

【解析】分別為(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,反,正),(反,正,反),(反,反,反),共種結(jié)果.【答案】.對(duì)某廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢查,數(shù)據(jù)如下:調(diào)查件數(shù)合格件數(shù)根據(jù)上表所提供的數(shù)據(jù),若要從該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中抽到件合格產(chǎn)品,大約需要抽取多少件產(chǎn)品?【解析】次抽查的合格頻率分別為,則合格概率估計(jì)為.設(shè)若想抽到件合格品,大約抽件產(chǎn)品,則,所以.(年·重慶卷)下圖是某公司個(gè)銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位:臺(tái))的莖葉圖,則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[)內(nèi)的頻率為().A.0.2.0.4【解析】由莖葉圖可知數(shù)據(jù)落在區(qū)間[)的頻數(shù)為,所以數(shù)據(jù)落在區(qū)間[)的頻率為.【答案】

.先從一副撲克牌中抽取張紅桃張梅花張黑桃,再?gòu)某槿〉倪@張牌中隨機(jī)抽出張,恰好紅桃、梅花、黑桃種牌都抽到,這個(gè)事件()..可能發(fā)生.不可能發(fā)生.必然發(fā)生 .無法判斷【解析】因?yàn)閺埮浦?紅桃、梅花、黑桃中任兩種的張數(shù)之和都小于,故從張撲克中抽取張,三種牌一定都有.【答案】.下列說法正確的是()..任一事件的概率總在()內(nèi).不可能事件的概率不一定為.必然事件的概率一定為.以上均不對(duì)【解析】任一事件的概率總在[]內(nèi),不可能事件的概率為,必然事件的概率為.【答案】.在件瓷器中,有件一級(jí)品件二級(jí)品,從中任取件.()“件都是二級(jí)品”是事件.

()“件都是一級(jí)品”是事件.

()“至少有一件是一級(jí)品”是事件.

【解析】()因?yàn)榧善髦?只有件二級(jí)品,取出件都是二級(jí)品是不可能發(fā)生的,故是不可能事件.()“件都是一級(jí)品”在題設(shè)條件下是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的,故是隨機(jī)事件.()“至少有一件是一級(jí)品”是必然事件,因?yàn)榧善髦兄挥屑?jí)品,取件必有一級(jí)品.【答案】不可能隨機(jī)必然.某校舉辦年元旦聯(lián)歡晚會(huì),為了吸引廣大同學(xué)積極參加活動(dòng),特舉辦一次摸獎(jiǎng)活動(dòng).凡是參加晚會(huì)者,進(jìn)門時(shí)均可參加摸獎(jiǎng),摸獎(jiǎng)的器具是黃、白兩色的乒乓球,這些乒乓球的大小和質(zhì)地完全相同.另有一只密封良好且不透光的立方體木箱(木箱的上方可容一只手伸入).擬按中獎(jiǎng)率為設(shè)大獎(jiǎng),其余則為小獎(jiǎng),大獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的價(jià)值為元,小獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的價(jià)值為元.請(qǐng)你運(yùn)用概率的有關(guān)知識(shí)設(shè)計(jì)一個(gè)摸獎(jiǎng)方案以滿足校方的要求.【解析】在箱子里放個(gè)乒乓球,其中個(gè)黃色的個(gè)白色的.摸到黃球時(shí)為大獎(jiǎng),摸到白球時(shí)為小獎(jiǎng)..從名學(xué)生中選取名組成參觀團(tuán),若采用下面的方法選取,先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法從人中剔除人,剩下的人按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行,則每人入選的概率()..不全相等 .均不相等.都相等且為 .都相等且為【解析】每人入選的概率相等,故選.【答案】.給出關(guān)于滿足?的非空集合、的四個(gè)命題:①若任取∈,則∈是必然事件;②若任取?,則∈是不可能事件;③若任取∈,則∈是隨機(jī)事件;④若任取?,則?是必然事件.其中正確的命題有().個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)【解析】∵?,∴中的任一個(gè)元素都是中的元素,而中至少有一個(gè)元素不在中,因此①正確,②錯(cuò)誤,③正確,④正確.【答案】.某人撿到一塊不規(guī)則形狀的五面體石塊,他在每個(gè)面上作了記號(hào),投擲了次,并且記錄了每個(gè)面落在桌面上的次數(shù)(如表).如果再投擲一次,請(qǐng)估計(jì)石塊的第面落在桌面上的概率是.

石塊的面頻數(shù)【解析】我們從表格中可知,總共投擲了石塊次,其中第面落在桌面上的次數(shù)為次,故我們可利用它落在桌面上的頻率估計(jì)其概率值為.【答案】.下面是某批乒乓球質(zhì)量檢查結(jié)果表:抽取球數(shù)優(yōu)等品數(shù)優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率

()在上表中填上優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率;()估計(jì)該批乒乓球優(yōu)等品的概率.【解析】()依次填上的頻率是.()從表中數(shù)據(jù)可以看出,這批乒乓球優(yōu)等品的概率大約是..擲一顆骰子,骰子落地時(shí),記“向上的點(diǎn)數(shù)是”的概率為,“向上的點(diǎn)數(shù)大于”的概率為,則.

【解析】根據(jù)題意得,則,故.【答案】.某教授為了測(cè)試貧困地區(qū)和發(fā)達(dá)地區(qū)的同齡兒童的智力,出了個(gè)智力題,每題分.然后作了統(tǒng)計(jì),表中是統(tǒng)計(jì)結(jié)果:貧困地區(qū):參加測(cè)試的人數(shù)得分以上的人數(shù)得分以上的頻率發(fā)達(dá)地區(qū):參加測(cè)試的人數(shù)得分以上的人數(shù)得分以上的頻率()利用計(jì)算器計(jì)算兩地區(qū)參加測(cè)試的兒童中得分以上的頻率;()估計(jì)兩個(gè)地區(qū)參加測(cè)試的兒童得分以上的概率;()分析貧富差距為什么會(huì)帶來人的智力的差別.【解析】()貧困地區(qū):參加測(cè)試的人數(shù)得分以上的人數(shù)得分以上的頻率發(fā)達(dá)地區(qū):參加測(cè)試的人數(shù)得分以上的人數(shù)得分以上的頻率()概率大約分別為和.()經(jīng)濟(jì)上的貧困導(dǎo)致該地區(qū)生活水平落后,兒童的健康和發(fā)育會(huì)受到一定的影響;另外經(jīng)濟(jì)落后也會(huì)使教育事業(yè)發(fā)展落后,導(dǎo)致智力出現(xiàn)差別.第課時(shí)古典概型的特征和概率計(jì)算公式.了解基本事件的特點(diǎn),會(huì)用列舉法把一次試驗(yàn)的所有基本事件列舉出來..理解古典概型的概念及其特點(diǎn),會(huì)判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型..會(huì)應(yīng)用古典概型的概率公式計(jì)算隨機(jī)事件的概率.重點(diǎn):會(huì)利用古典概型求隨機(jī)事件的概率.難點(diǎn):熟練地應(yīng)用互斥事件和對(duì)立事件概率公式,將所求事件分解為概率更易于計(jì)算的彼此互斥事件的和,化整為零,化難為易,也可采取逆向思維,求其對(duì)立事件的概率.一位魔術(shù)師要表演紙牌魔術(shù),他要邀請(qǐng)一位觀眾從他準(zhǔn)備的一副有張牌的撲克中任意抽取一張牌,如果你是被邀請(qǐng)的觀眾,那么你抽到大王的概率是多少?抽到一張紅心牌的概率是多少?問題:在上面的情境中,抽到的牌的可能結(jié)果總共有種,每張牌抽到的可能性是相等的,大王只有張,紅心牌有張,所以抽到大王的概率為

,抽到紅心牌的概率為

,這種概率的求法其實(shí)就是我們這節(jié)課所學(xué)的古典概型.

問題:基本事件()基本事件:在試驗(yàn)中,能夠描繪其他事件且不能再分的最簡(jiǎn)單事件是基本事件.()基本事件的特點(diǎn):①任何兩個(gè)基本事件是互斥的.

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.如擲骰子的試驗(yàn)中,隨機(jī)事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”是由個(gè)基本事件組成的,分別是“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是點(diǎn)”“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是點(diǎn)”“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是點(diǎn)”.

問題:古典概型()古典概型的定義:①有限性:試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè);②等可能性:每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

我們把具有上述兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型.()古典概型的概率計(jì)算公式:對(duì)于古典概型,如果實(shí)驗(yàn)的所有可能的結(jié)果(基本事件)的個(gè)數(shù)為,那么每一個(gè)基本事件的概率都是

,若隨機(jī)事件包含的基本事件數(shù)為(≤),則隨機(jī)事件的概率為

.

問題:古典概型的計(jì)算步驟()求出基本事件的總個(gè)數(shù),基本個(gè)數(shù)較少時(shí),通常用列舉法把所有的基本事件列舉出.()求出事件包含的基本事件個(gè)數(shù)(≤).()求出事件的概率()

.

概率論是從研究古典概型開始的,早在原始社會(huì),那時(shí)的占卜師們使用動(dòng)物的趾骨作為占卜工具,將一個(gè)或多個(gè)趾骨投擲出去,趾骨落地后的不同形狀指示神對(duì)人事的不同意見.由于投擲趾骨這個(gè)過程所產(chǎn)生的結(jié)果具有不可預(yù)測(cè)性,而每次投擲的結(jié)果也互不影響,這與我們今天投擲骰子的基本原理有點(diǎn)相似,因此趾骨可以被看作是骰子的雛形.但是由于趾骨形狀的規(guī)則性較差,各種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)率不完全相同(即不具備等可能性),所以趾骨產(chǎn)生的隨機(jī)過程還不是我們今天意義上的獨(dú)立隨機(jī)過程..一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩,則所有可能的基本事件有()..(男,女),(男,男),(女,女).(男,女),(女,男).(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).(男,男),(女,女)【解析】由于兩個(gè)孩子出生有先后之分.【答案】.下列試驗(yàn)是古典概型的是()..任意拋擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件.為求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是的概率,將取出的正整數(shù)作為基本事件.從甲地到乙地共條路線,求某人正好選中最短路線的概率.拋擲一枚均勻的硬幣至首次出現(xiàn)正面為止【解析】選項(xiàng),若以所得的點(diǎn)數(shù)之和為基本事件,則和為的有一種(),和為的有兩種()、(),…,顯然,每個(gè)基本事件對(duì)應(yīng)的概率不相等,故不為古典概型.選項(xiàng),以正整數(shù)集為基礎(chǔ)研究,結(jié)果有無窮多個(gè),故不為古典概型.選項(xiàng),有種試驗(yàn)結(jié)果,選擇每條路的可能性相等,故為古典概型.選項(xiàng),拋擲硬幣出現(xiàn)正面的試驗(yàn)次數(shù)是不確定的,故不為古典概型.【答案】.學(xué)校為了研究男女同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的差異情況,對(duì)某班名同學(xué)(其中男生人,女生人)采取分層抽樣的方法,抽取一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行研究,某女同學(xué)甲被抽到的概率是.

【解析】這是一個(gè)古典概型,每個(gè)人被抽到的機(jī)會(huì)均等,都為.【答案】.盒子里共有大小相同的只白球只黑球.若從中隨機(jī)摸出兩只球,求它們顏色不同的概率.【解析】設(shè)只白球?yàn)橹缓谇驗(yàn)?則從中隨機(jī)摸出兩只球的情形有,共種,其中兩只球顏色不同的有種,故所求概率為.古典概型的判斷下列試驗(yàn)中,是古典概型的有.

()種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽;()從直徑為±0.的一批合格產(chǎn)品中任意抽一根,測(cè)量其直徑;()拋一枚硬幣,觀察其出現(xiàn)正面或反面;()某人射擊中靶或不中靶;()兩個(gè)奧運(yùn)會(huì)志愿者相約在中午點(diǎn)到點(diǎn)之間在志愿服務(wù)地點(diǎn)交接班.【方法指導(dǎo)】首先閱讀條件分清事件關(guān)系,其次根據(jù)古典概型的特點(diǎn)進(jìn)行判斷,最后得出結(jié)論.【解析】()有兩個(gè)基本事件“發(fā)芽”“不發(fā)芽”,這兩個(gè)基本事件對(duì)應(yīng)的概率不相等,故不為古典概型.()中的250mm±0.6mm是個(gè)無限集,結(jié)果有無窮多個(gè),故不為古典概型.()有種試驗(yàn)結(jié)果,出現(xiàn)正面和反面的可能性相等,故為古典概型.()中某人射擊中靶或不中靶兩個(gè)基本事件概率不一定相等,故不為古典概型.()兩個(gè)奧運(yùn)會(huì)志愿者相約在中午點(diǎn)到點(diǎn)之間交接班,基本事件是中午點(diǎn)到點(diǎn)之間的任何一個(gè)時(shí)間兩人交接班,基本事件有無窮多個(gè),故不為古典概型.【答案】()【小結(jié)】要判斷古典概型就是判斷:每個(gè)基本事件的發(fā)生是否是等可能;試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果是否為有限個(gè).基本事件個(gè)數(shù)的計(jì)算將一顆均勻的骰子先后拋擲兩次,計(jì)算:()一共有多少種不同的結(jié)果;()其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是質(zhì)數(shù)的結(jié)果有多少種?【方法指導(dǎo)】根據(jù)拋擲骰子順序確定結(jié)果,根據(jù)兩次之和確定“點(diǎn)數(shù)之和是質(zhì)數(shù)”的結(jié)果有多少種.【解析】()將拋擲兩次骰子的所有結(jié)果一一列舉如下:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共有種不同的結(jié)果.()點(diǎn)數(shù)之和是質(zhì)數(shù)的結(jié)果有(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共種.【小結(jié)】()求基本事件的基本方法是列舉法.基本事件具有:①不能或不必分解為更小的隨機(jī)事件;②不同的基本事件不可能同時(shí)發(fā)生.因此,求基本事件時(shí),一定要從可能性入手,對(duì)照基本事件的含義及特征進(jìn)行思考,并將所有可能的基本事件一一列舉出來.()對(duì)較復(fù)雜的問題中基本事件數(shù)的求解還可應(yīng)用列表或樹形圖.應(yīng)用列舉法解古典概型問題袋中有個(gè)球,其中個(gè)白球個(gè)紅球,從袋中任意取出兩個(gè),求下列事件的概率.()取出的兩球都是白球;()取出的兩球一個(gè)是白球,另一個(gè)是紅球.【方法指導(dǎo)】解答本題首先將它們的所有情況一一列出,然后計(jì)算它們的概率.【解析】設(shè)個(gè)白球的編號(hào)為個(gè)紅球的編號(hào)為.從袋中的個(gè)小球中任取兩個(gè)的所有可能結(jié)果如下:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共個(gè).()從袋中的個(gè)球中任取兩個(gè),所取的兩球全是白球的基本事件數(shù),即是從個(gè)白球中任取兩個(gè)的基本事件數(shù),共有個(gè),即為(),(),(),(),(),().∴取出的兩個(gè)球全是白球的概率為.()從袋中的個(gè)球中任取兩個(gè),其中一個(gè)是紅球,而另一個(gè)為白球,其取法包括(),(),(),(),(),(),(),(),共個(gè).∴取出的兩個(gè)球一個(gè)是白球,另一個(gè)是紅球的概率為.【小結(jié)】列舉法可以使我們明確基本事件的構(gòu)成,此法適合于基本事件比較少的情況,列舉時(shí)要按規(guī)律進(jìn)行,通常采用分類方法列舉,這樣可以避免重復(fù)、遺漏,此題是按分別在第一位進(jìn)行列舉的.在兩個(gè)箱子里,各有一個(gè)黑球和一個(gè)白球,所有的球除顏色外完全相同.從兩個(gè)箱子里都摸出一個(gè)球.()若將試驗(yàn)的結(jié)果——“兩個(gè)白球”“兩個(gè)黑球”“一個(gè)白球一個(gè)黑球”視為基本事件,能構(gòu)成古典概型嗎?()求摸出的球是一個(gè)白球與一個(gè)黑球的概率.【解析】()摸出的兩個(gè)球的所有可能結(jié)果可表示為:“黑、黑”“白、白”“黑、白”“白、黑”.這個(gè)結(jié)果是有限的,也是等可能的,這種試驗(yàn)是古典概型.但將“摸出一個(gè)白球與一個(gè)黑球”視為基本事件時(shí),是將“黑、白”與“白、黑”兩個(gè)結(jié)果合為一個(gè)結(jié)果,使得個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性不全相等,故這時(shí)的試驗(yàn)不是古典概型.()由()的分析可知,當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果視為“黑、黑”“白、白”“黑、白”“白、黑”個(gè)結(jié)果時(shí),試驗(yàn)為古典概型,“摸出的球是一個(gè)白球與一個(gè)黑球”所包含的基本事件數(shù)為,故所求概率為.連續(xù)擲枚硬幣,觀察落地后這枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面.()寫出這個(gè)試驗(yàn)的所有基本事件;()求這個(gè)試驗(yàn)的基本事件的總數(shù);()記“恰有兩枚正面向上”這一事件,則包含哪幾個(gè)基本事件?【解析】()這個(gè)試驗(yàn)的基本事件集合為:Ω()基本事件的總數(shù)是.()“恰有兩枚正面向上”包含以下個(gè)基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).先后拋擲兩枚大小相同的骰子.()求點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)點(diǎn)的概率;()求出現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)的概率;()求點(diǎn)數(shù)之和能被整除的概率.【解析】如圖所示,從圖中容易看出基本事件與所描點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),共種.()記“點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)點(diǎn)”為事件,從圖中可以看出,事件包含的基本事件共個(gè):(),(),(),(),(),().故().()記“出現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)”為事件,從圖中可以看出,事件包含的基本事件只有個(gè),即().故().()記“點(diǎn)數(shù)之和能被整除”為事件,則事件包含的基本事件共個(gè):(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),().故()..從集合{}中任取兩個(gè)數(shù)相乘,積是偶數(shù)的概率是().....【解析】任取兩個(gè)數(shù)相乘,共有××××××,共種結(jié)果,其中積為偶數(shù)的有種結(jié)果,故所求概率為.【答案】.下課以后,教室里最后還剩下位男同學(xué)和位女同學(xué).如果沒有同學(xué)一塊兒走,則第位走的是男同學(xué)的概率是().....【解析】已知有位女同學(xué)和位男同學(xué),所有走的可能順序有(女,女,男,男),(女,男,女,男),(女,男,男,女),(男,男,女,女),(男,女,男,女),(男,女,女,男),所以第位走的是男同學(xué)的概率是.【答案】.口袋中有個(gè)大小相同的紅球、白球、黑球,其中紅球個(gè),從口袋中摸出一個(gè)球,摸出白球的概率為,則口袋中黑球的數(shù)目為個(gè).

【解析】摸出紅球的概率為,因?yàn)槊黾t球、白球和黑球是互斥事件,所以摸出黑球的概率為,故黑球的數(shù)目為個(gè).【答案】.某學(xué)?；@球隊(duì)、羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)各有名隊(duì)員,某些隊(duì)員不止參加了一支球隊(duì),具體情況如圖所示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一名隊(duì)員,求:()該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的概率;()該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的概率.【解析】()設(shè)“該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)”為事件,則事件的概率為().()設(shè)“該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)”為事件,則事件的概率為().(年·江西卷)集合{}{},從中各任意取一個(gè)數(shù),則這兩數(shù)之和等于的概率是().. ...【解析】從中各取一數(shù)共有種情況:(),(),(),(),(),(),其中兩數(shù)之和為的有(),()兩種情況,∴.【答案】

.下列對(duì)古典概型的說法中正確的是().①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè);②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等;③每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等;④基本事件總數(shù)為,隨機(jī)事件包含個(gè)基本事件,則()..②④.①③④.①④.③④【答案】人并排坐在一起照相,則甲恰好坐在正中間的概率為().....【解析】人并排照相,中間位置有等可能的種排法,∴甲坐正中間的概率為,故選.【答案】.已知集合{},點(diǎn)的坐標(biāo)為(),其中∈∈.記點(diǎn)落在第一象限為事件,則().

【解析】點(diǎn)的坐標(biāo)可能為(),(),(),(),(),(),(),(),(),共種,其中落在第一象限的點(diǎn)的坐標(biāo)為(),故().【答案】.有一項(xiàng)活動(dòng),需在名教師和名學(xué)生中任意選人參加.()需一人參加,求選到教師的概率;()需兩人參加,求選到的都是學(xué)生的概率.【解析】因?yàn)槿我膺x人參加,所以每個(gè)人被選中的可能性相等,為古典概型.()一共有個(gè)人,故有種選人情況,而選到教師的情況有種,故概率.()用數(shù)字代表教師代表學(xué)生,則有(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共個(gè)基本事件,其中兩個(gè)數(shù)均為到之間的有個(gè),故概率..在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字的五個(gè)小球,這些小球除標(biāo)注數(shù)字外完全相同,現(xiàn)從中隨機(jī)取個(gè)小球,則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為或的概率是().....【解析】隨機(jī)從袋子中取個(gè)小球的基本事件為(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共有種,其中數(shù)字之和為或的有(),(),(),∴數(shù)字之和為或的概率是.【答案】.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個(gè)面分別有點(diǎn)),骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為、,則的概率為().....【解析】由于先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個(gè)面分別有點(diǎn)),出現(xiàn)朝上的面的點(diǎn)數(shù)看成有序?qū)崝?shù)對(duì)(),共有×種,且每一種的可能性都相等,而滿足的有(),(),()這種情況,所以所求的概率為.【答案】.將一枚骰子拋擲兩次,若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為、,則方程有實(shí)根的概率為.

【解析】一枚骰子擲兩次,其基本事件總數(shù)為,方程有實(shí)根的條件為≥.使≥的基本事件個(gè)數(shù)由此可見,使方程有實(shí)根的基本事件個(gè)數(shù)為,于是方程有實(shí)根的概率為.【答案】.設(shè)函數(shù)()從集合{}中任取一個(gè)數(shù)從集合{}中任取一個(gè)數(shù),求使函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)的概率.【解析】∵∈{}∈{},∴()的所有可能為:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共種.而,有≤,即≤,∴滿足定義域?yàn)榈?)的所有可能為:(),(),(),(),(),(),共種,∴函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)的概率..“漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)(如),在二位的“漸升數(shù)”中任取一數(shù)比大的概率是.

【解析】十位是的“漸升數(shù)”有個(gè),十位是的“漸升數(shù)”有個(gè),…,十位是的“漸升數(shù)”有個(gè),所以二位的“漸升數(shù)”有個(gè),以為十位比大的“漸升數(shù)”為個(gè),分別以、、、、為十位的“漸升數(shù)”均比大,且共有個(gè),所以比大的“漸升數(shù)”共有個(gè),故在二位的“漸升數(shù)”中任取一數(shù)比大的概率是.【答案】.為了對(duì)某課題進(jìn)行研究,用分層抽樣方法從三所高校的相關(guān)人員中,抽取若干人組成研究小組,有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單位:人).高校相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)()求;()若從高校抽取的人中選人作專題發(fā)言,求這人都來自高校的概率.【解析】()由題意可得,所以.()記從高校抽取的人為,從高校抽取的人為,則從高校抽取的人中選人作專題發(fā)言的基本事件有(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共種.設(shè)選中的人都來自高校的事件為,則包含的基本事件有(),(),(),共種,因此().故選中的人都來自高校的概率為.第課時(shí)建立概率模型.通過實(shí)例,理解古典概型的兩個(gè)基本特征,能判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型,能分清在一個(gè)古典概型中某隨機(jī)事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)..通過實(shí)例,理解古典概型及其概率計(jì)算公式,會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率..通過實(shí)例,能利用樹狀圖法、列表法、坐標(biāo)法建立概率模型來解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.重點(diǎn):建立實(shí)際問題古典概型的方法以及利用樹狀圖法、列表法、坐標(biāo)法計(jì)算基本事件數(shù).難點(diǎn):放回和不放回問題的古典概型的基本事件數(shù)的計(jì)算.在某條人流量較大的街道上,有一中年人吆喝著“送錢嘍”,只見他手拿一只黑色小布袋,袋中只有個(gè)黃色和個(gè)白色的乒乓球(完全相同),旁邊立著一塊黑板,上面寫著:從袋中不放回地摸出個(gè)球,如果摸得同一顏色球個(gè),攤主送給摸球者元錢;如果摸得不是同一顏色球個(gè),摸球者付給攤主元錢.小李想:摸球次,情況有“黃”“黃白”“黃白”和“白”四種情況,摸得個(gè)同一顏色球的概率為,贏的錢多輸?shù)腻X少,穩(wěn)賺!于是他決定摸球次,結(jié)果發(fā)現(xiàn)自己不但沒贏,還輸了不少!同學(xué)們,你們能用概率知識(shí)解釋這一現(xiàn)象嗎?問題:()上述情境中有“黃”“黃白”“黃白”和“白”四種情況,但這四種情況發(fā)生的可能性不相等,故不能作為基本事件求概率.

()若將個(gè)黃球編號(hào)為,將個(gè)白球編號(hào)為,利用列舉法分析可知從這個(gè)球中摸出個(gè)球的基本事件有個(gè),摸出的三個(gè)球顏色全部相同的基本事件有個(gè),顏色不完全相同的基本事件有個(gè),所以小李摸一次球輸?shù)母怕蕿?

問題:古典概型的每次試驗(yàn)有一個(gè)并且只有一個(gè)基本事件發(fā)生.運(yùn)用公式時(shí)必須確定所有可能的基本事件是等可能發(fā)生的.

問題:建立古典概型()一題多解與多題一解:有些實(shí)際問題根據(jù)不同的角度可以建立不同的古典概型來解決,所以有些古典概型存在一題多解的情形,在多解的方法中,再尋求較為“簡(jiǎn)捷”的解法;另一方面,不斷歸納,總結(jié),又可以用同一種模型去解決很多不同的問題,即多題一解思想.

()古典概型角度的選擇:在建立古典概型時(shí),在確定每一個(gè)出現(xiàn)的結(jié)果的可能性相等的前提下,要盡可能地減少基本事件的個(gè)數(shù),同時(shí)也要保證問題中所研究的事件都能輕易地表示成若干個(gè)基本事件的和.

問題:古典概型概率計(jì)算事件的概率().

概率論的起源(一)年,意大利的帕奇歐里在一本有關(guān)計(jì)算技術(shù)的教科書中提出了一個(gè)問題,一場(chǎng)賭賽,勝六局才算贏,當(dāng)兩個(gè)賭徒一個(gè)勝五局,另一個(gè)勝兩局時(shí),中止賭賽,賭金該怎樣分配才合理?柏奇歐里給出的答案是按∶分.后來人們一直對(duì)這種分配原則表示懷疑,但沒有一個(gè)人提得出更合適的辦法來.時(shí)間過去了半個(gè)世紀(jì),另一名意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)()潛心研究賭博不輸?shù)姆椒?出版了一本《賭博之書》.在書里提出了這樣一個(gè)問題:擲兩顆骰子,以兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)和作賭賽,那么押幾點(diǎn)最有利?卡當(dāng)認(rèn)為最好.卡當(dāng)還對(duì)帕奇歐里提出的問題進(jìn)行過研究,提出過疑問,指出需要分析的不是已經(jīng)賭過的次數(shù),而是剩下的次數(shù),卡當(dāng)對(duì)問題的解決,雖然有了正確的思路,但沒有得到正確的答案..下列是古典概型的是()..拋擲兩粒均勻的骰子,所得的點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件.為求任取一個(gè)正整數(shù),該正整數(shù)平方值的個(gè)位數(shù)字是的概率,將取出的正整數(shù)作為基本事件.從甲地到乙地共有條路線,求某人正好選中最短路線的概率.向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn),該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的【解析】對(duì)于,所得點(diǎn)數(shù)之和為基本事件,個(gè)數(shù)雖有限,但不是等可能發(fā)生的;對(duì)于,基本事件的個(gè)數(shù)都是無限的;只有是古典概型.故選.【答案】.甲、乙兩人一起去游“西安世園會(huì)”,他們約定,各自獨(dú)立地從到號(hào)景點(diǎn)中任選個(gè)進(jìn)行游覽,每個(gè)景點(diǎn)參觀小時(shí),則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是().....【解析】若用代表處景點(diǎn),顯然甲、乙兩人最后一小時(shí)的選擇結(jié)果為(),(),(),…,(),共種,其中滿足“最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)”包括(),(),(),…,(),共個(gè)基本事件,所以所求的概率為.【答案】.盒子里共有大小相同的只白球只黑球.若從中隨機(jī)摸出只球,則它們顏色不同的概率是.

【解析】設(shè)只白球?yàn)橹缓谇驗(yàn)?則從中隨機(jī)摸出只球的情形有{},{},{},{},{},{},即試驗(yàn)共包括個(gè)等可能發(fā)生的基本事件,事件“只球顏色不同”包括{},{},{},共個(gè)基本事件,故所求概率為.【答案】.從分別寫有、、、、的張卡片中任取張,則這張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰的概率是多少?【解析】從張卡片中任取張的基本事件為(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共計(jì)個(gè).而恰好是按字母順序相鄰的基本事件為(),(),(),(),共計(jì)個(gè),故此事件的概率為().優(yōu)化概率模型任取一個(gè)正整數(shù),求該數(shù)的平方的末位數(shù)字是的概率.【方法指導(dǎo)】從正整數(shù)的平方的末位數(shù)字是考慮正整數(shù)個(gè)位上數(shù)字的特點(diǎn),由此建立模型.【解析】因?yàn)檎麛?shù)的個(gè)數(shù)是無限的,故不屬于古典概型.但是一個(gè)正整數(shù)的平方的末位數(shù)字只取決于該正整數(shù)的末位數(shù)字,正整數(shù)的末位數(shù)字是,…中的任意一個(gè)數(shù)字.現(xiàn)任取一個(gè)正整數(shù),…這個(gè)數(shù)字在該正整數(shù)的末位是等可能出現(xiàn)的,因此,所有的基本事件為,…,共個(gè).而任取一個(gè)正整數(shù),且該數(shù)的平方的末位數(shù)字是的事件有,共個(gè).故所求概率為.【小結(jié)】同一個(gè)問題由于考慮的角度不同,其解法繁簡(jiǎn)差別較大,因此,在寫試驗(yàn)的所有可能結(jié)果時(shí),務(wù)必抓住欲求事件的本質(zhì),而把其他無關(guān)的因素拋開,以簡(jiǎn)化求解過程.樹狀圖與列表法分析概率模型有、、、四位貴賓,應(yīng)分別坐在、、、四個(gè)席位上,現(xiàn)在這四人均未留意,在四個(gè)席位上隨便就座.()求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率;()求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率;()求這四人恰好有一人坐在自己的席位上的概率.【方法指導(dǎo)】利用樹狀圖列出“四位貴賓就座情況”,根據(jù)樹狀圖確定對(duì)應(yīng)概率.【解析】將、、、四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來:如上圖所示,本題中的等可能基本事件共有個(gè).()設(shè)事件為“這四人恰好都坐在自己的席位上”,則事件只包含個(gè)基本事件,所以().()設(shè)事件為“這四人恰好都沒有坐在自己席位上”,則事件包含個(gè)基本事件,所以().()設(shè)事件為“這四人恰好有一人坐在自己席位上”,則事件包含個(gè)基本事件,所以().【點(diǎn)評(píng)】.當(dāng)事件個(gè)數(shù)沒有很明顯的規(guī)律,并且涉及的基本事件又不是太多時(shí),我們可借助樹狀圖法直觀地將其表示出來,這是進(jìn)行列舉的常用方法.樹狀圖可以清晰準(zhǔn)確地列出所有的基本事件,并且畫出一個(gè)樹枝之后可猜想其余的情況..在求概率時(shí),若事件可以表示成有序數(shù)對(duì)的形式,則可以把全體基本事件用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示,這樣可以準(zhǔn)確地找出基本事件的個(gè)數(shù).故采用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀,給問題的解決帶來方便.古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用先后擲兩枚骰子,設(shè)第一次點(diǎn)數(shù)為,第二次點(diǎn)數(shù)為,兩次點(diǎn)數(shù)用有序數(shù)對(duì)()表示,求:()列出所有的基本事件.()第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),第二次出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的概率.()點(diǎn)數(shù)之和為的倍數(shù)的概率.()點(diǎn)數(shù)之和大于且小于的概率.()至少有一個(gè)點(diǎn)或點(diǎn)的概率.【方法指導(dǎo)】此題用列表的方式較方便,寫基本事件時(shí)可做到不重不漏,求某事件發(fā)生的概率時(shí),只要找準(zhǔn)滿足條件的事件個(gè)數(shù)即可.【解析】()先后拋擲兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)情況如表所示:點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)()()()()()()點(diǎn)()()()()()()點(diǎn)()()()()()()點(diǎn)()()()()()()點(diǎn)()()()()()()點(diǎn)()()()()()()(表)()由表可知,第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),第二次出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)包括的基本事件個(gè)數(shù)為,故其概率為.()點(diǎn)數(shù)和的所有可能情況如表所示:點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)(表)記事件{點(diǎn)數(shù)之和為的倍數(shù)},則由表可知包含的基本事件共個(gè),因此().()記事件{點(diǎn)數(shù)之和大于且小于},則由表可知包含的基本事件共個(gè),因此().()共有種不同的結(jié)果,其中至少有一個(gè)點(diǎn)或點(diǎn)的事件包括個(gè)基本事件,所以至少有一個(gè)點(diǎn)或點(diǎn)的概率為.【小結(jié)】在求概率時(shí),通常把全體基本事件列表或用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示,以方便我們更直接、更準(zhǔn)確地找出某個(gè)事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù),然后再根據(jù)古典概型的概率公式求相應(yīng)的概率.有號(hào)、號(hào)、號(hào)三個(gè)信箱和、、、四封信,若封信可以任意投入信箱,投完為止,則其中信恰好投入號(hào)或號(hào)信箱的概率是多少?【解析】由于每封信可以任意投入信箱,對(duì)于信,投入各個(gè)信箱的可能性是相等的,一共有種不同的結(jié)果,投入號(hào)信箱或號(hào)信箱有種結(jié)果,故信恰好投入號(hào)或號(hào)信箱的概率為.連續(xù)擲三枚硬幣,觀察落地后這三枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面.()基本事件是三正、二正一反、一正二反,三反這個(gè)嗎?若不是,列出這個(gè)試驗(yàn)的基本事件的個(gè)數(shù).()恰有兩枚正面朝上的概率是多少?【解析】不是,上述列舉的種情況并不都是基本事件,基本事件是不能再被分割的,而二正一反和一正二反中包含了多個(gè)事件.基本事件列舉如下:()按每枚出現(xiàn)的正、反情況進(jìn)行列舉.故共有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)個(gè)基本事件.()“恰有兩枚正面朝上”包含了以下個(gè)基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),故概率為.在探究三的條件下,求:()滿足的概率;()滿足<的概率.【解析】所有基本事件共個(gè),2a(續(xù)表)2a()滿足的基本事件有個(gè),故.()滿足<的基本事件有個(gè),故..某天上午要安排語文、數(shù)學(xué)、歷史、體育四節(jié)課,則體育課不排在第一節(jié)的概率為().. . . .【解析】我們不考慮語文、數(shù)學(xué)、歷史排在第幾節(jié),只考慮體育的排法,體育等可能地排在第一節(jié)、第二節(jié)、第三節(jié)、第四節(jié),共個(gè)基本事件,因此,體育課不排在第一節(jié)的概率為.【答案】.在五個(gè)數(shù)字中,若隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字,則剩下的兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率為().. . . .【解析】對(duì)應(yīng)于從五個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字,則剩余的兩個(gè)數(shù)字的所有可能結(jié)果為、、、、、、、、、、,共個(gè)等可能發(fā)生的基本事件,其中剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)包含、、、,共個(gè)基本事件,則所求概率為.【答案】.在大小相同的個(gè)球中個(gè)是紅球個(gè)是白球,若從中任取個(gè),則所取的個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率為.

【解析】記大小相同的個(gè)球分別為紅、紅、白、白、白,則基本事件為(紅,紅),(紅,白),(紅,白),(紅,白),(紅,白),(紅,白),(紅,白),(白,白),(白,白),(白,白),共個(gè),其中至少有一個(gè)紅球的事件包括個(gè)基本事件,所以所求事件的概率為.【答案】.若連續(xù)擲枚硬幣.()有多少個(gè)基本事件?()求“恰有兩次正面朝上”的概率.【解析】()用樹狀圖列舉如下:故共有個(gè)基本事件.()“恰有兩次正面朝上”共有個(gè)基本事件,故所求概率為.(年·新課標(biāo)全國(guó)卷)從中任取個(gè)不同的數(shù),則取出的個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為的概率是().. . . .【解析】從中任意取出個(gè)數(shù),一共有如下情形:(),(),(),(),(),(),共種.設(shè)事件為:取出的個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為,則事件包含的情形如下:(),(),共種.根據(jù)古典概型,得到事件發(fā)生的概率().【答案】

.從臺(tái)電腦中任抽臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè),每臺(tái)電腦被抽到的概率是().....【解析】把抽到每一臺(tái)電腦都看成一個(gè)基本事件,試驗(yàn)的所有基本事件數(shù)是,且每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生的.“任抽臺(tái)”這一事件含有個(gè)基本事件,故所求概率為.【答案】.袋中共有個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球.從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于().. . . .【解析】袋中的個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球分別記為.從袋中任取兩球有:{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},共個(gè)基本事件,其中滿足兩球顏色為一白一黑的有:{},{},{},{},{},{},共個(gè)基本事件.所以所求事件的概率為.【答案】.據(jù)人口普查統(tǒng)計(jì),育齡婦女生男生女是等可能的,如果允許生育二胎,則某一育齡婦女兩胎均是女孩的概率是.

【解析】該婦女生育兩胎有(男,男)、(男,女)、(女,男)、(女,女)種等可能結(jié)果.故兩胎均是女孩的概率為.【答案】.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),已知點(diǎn)集,在中任取一點(diǎn),則這個(gè)點(diǎn)在軸上方的概率是多少?【解析】集合中共有個(gè)點(diǎn),分別為()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、().其中在軸上方的有個(gè),故所求概率..在瓶飲料中,有瓶已過了保質(zhì)期,從中任取瓶,取到的全是已過保質(zhì)期的飲料的概率為().....【解析】設(shè)過保質(zhì)期的瓶記為,沒過保質(zhì)期的瓶用、、、表示,試驗(yàn)的結(jié)果為:由圖可知試驗(yàn)可能的結(jié)果數(shù)是瓶都過保質(zhì)期的結(jié)果只有個(gè),故.【答案】.有個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為().. . . .【解析】甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組共有種可能,其中兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組有種可能,所以兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為.【答案】.已知正整數(shù)滿足4a,則都是偶數(shù)的概率是.

【解析】正整數(shù)滿足的實(shí)數(shù)對(duì)共有(),(),(),(),(),(),().所以都是偶數(shù)的概率為.【答案】.從中任取兩個(gè)不同的數(shù)字,求()>的概率.【解析】設(shè)()>為事件,則()>?>,所以事件就是從中任取兩個(gè)不同的數(shù)字組成的兩位數(shù)大于.由于的個(gè)位數(shù)字是,所以事件轉(zhuǎn)化為從中任取一個(gè)不小于的數(shù).此時(shí),所有的基本事件為,共個(gè)等可能發(fā)生的基本事件,事件包含,共個(gè)基本事件,所以()..在棱長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)方體上隨機(jī)選取兩個(gè)相異頂點(diǎn),若每個(gè)頂點(diǎn)被選的概率相同,則選到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離大于的概率為.

【解析】從個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)有種取法,其線段長(zhǎng)可以為,,,,,①其中條棱線,長(zhǎng)度都小于等于;②邊長(zhǎng)為的長(zhǎng)方形的對(duì)角線為<,共有條;故長(zhǎng)度大于的有28-12-4條,故兩點(diǎn)距離大于的概率.【答案】.如圖,從()()()()()()這個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取個(gè)點(diǎn).()求這點(diǎn)共線的概率;()求這點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為的概率.【解析】從這個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取個(gè)點(diǎn)的所有可能結(jié)果是:1A1A1A2C1A2C2A2A2C2C1C2A1C2A1C1C1C1C2C2C1C1C2C2C,共種.()選取的這點(diǎn)共線的所有可能結(jié)果有1A2C1A2C1C2A1C2A,共種,因此,這個(gè)點(diǎn)共線的概率為.()選取的這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為的所有可能結(jié)果有2C1C1C2C1C,共種,因此,這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為的概率為.第課時(shí)互斥事件.了解事件間的相互關(guān)系,理解互斥事件、對(duì)立事件的概念..通過實(shí)例,了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式及對(duì)立事件的概率計(jì)算公式..會(huì)用概率的加法公式求某些事件的概率.重點(diǎn):互斥事件的概念及其概率的加法公式,在此基礎(chǔ)上討論對(duì)立事件,以及用古典概型解決實(shí)際應(yīng)用問題.難點(diǎn):互斥事件和對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系.老師把一枚骰子拋擲后,看了下點(diǎn)數(shù),然后蓋住,叫四個(gè)同學(xué)猜,甲說是點(diǎn),乙說點(diǎn)數(shù)是奇數(shù),丙說不超過點(diǎn),丁說點(diǎn)數(shù)是偶數(shù),老師聽后微笑地說,有三人猜對(duì)了.問題:甲和丁的猜測(cè)、乙和丁的猜測(cè)是不可能同時(shí)發(fā)生的,若丁猜對(duì)了,則甲、乙都猜錯(cuò)了,與老師的說法矛盾,所以只能是丁猜錯(cuò)了,其他三人都猜對(duì)了,故點(diǎn)數(shù)為.

問題:()在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中,我們把一次試驗(yàn)下不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件和稱作互斥事件.

()事件事件發(fā)生是指事件和事件至少有一個(gè)發(fā)生.若事件和事件是互斥事件,則().()不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件叫作互為對(duì)立事件.事件的對(duì)立事件記作,可以得出兩事件的概率關(guān)系為()().

問題:互斥事件與對(duì)立事件有何關(guān)系?如何從集合的角度理解對(duì)立事件與互斥事件?對(duì)立事件是特殊的互斥事件,互斥事件不一定是對(duì)立事件.對(duì)立事件只有兩個(gè),互斥事件可能有多個(gè),如在一次試驗(yàn)中,…事件只有個(gè)發(fā)生,則,…互斥.

從集合的角度來看,事件、互斥是指事件所含的結(jié)果組成的集合與事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集;事件與對(duì)立,是指事件所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集,即∩?,且∪.

如圖、互斥∩?,即(∩).

、對(duì)立∩?,且∪,即(∩)且(∪)().

問題:如果,…兩兩互斥,此時(shí),…的概率滿足(…)()()…().

奇怪的選舉假定有張、王、李三個(gè)同學(xué)競(jìng)選學(xué)生會(huì)主席.民意測(cè)驗(yàn)表明,選舉中有愿意選張不愿選王,有愿意選王不愿選李.是否是愿意選張而不愿選李的多?直觀感覺的答案顯然是肯定的.其實(shí)結(jié)果是:不一定!奇怪的選舉使入迷惑的地方是我們以為“好惡”關(guān)系總是可以傳遞的,就像>>,可以推出>那樣.但事實(shí)上,“好惡”關(guān)系是不可以傳遞的.這個(gè)例子說明,在對(duì)兩個(gè)以上事物作兩兩對(duì)比選擇時(shí),有可能產(chǎn)生矛盾..在一批產(chǎn)品中取出三件,設(shè)表示“三件產(chǎn)品全不是次品”表示“三件產(chǎn)品全是次品”表示“三件產(chǎn)品不全是次品”,則下列結(jié)論正確的是().與互斥與互斥.任兩個(gè)均互斥.任兩個(gè)均不互斥【解析】表示三件產(chǎn)品都是正品表示三件產(chǎn)品都是次品表示一件正品兩件次品,兩件正品一件次品和三件正品,即與互斥與互斥與不互斥.【答案】.某校派出甲、乙兩支球隊(duì)參加全市足球冠軍賽,甲、乙兩隊(duì)奪冠的概率分別是和,則該校球隊(duì)奪得全市足球冠軍的概率為().....【解析】由題目可知,兩支球隊(duì)奪冠為互斥事件,且(甲奪冠)(乙奪冠),故(甲奪冠)(乙奪冠).【答案】.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊命中環(huán)的概率是,命中環(huán)的概率是,不夠環(huán)的概率是,則這個(gè)射手在一次射擊中命中環(huán)或環(huán)的概率是.

【解析】.【答案】.在數(shù)學(xué)考試中,小明的成績(jī)?cè)赱]分的概率是,在[)分的概率是,在[)分的概率是,在[)分的概率是,在[)分的概率是,計(jì)算:()小明的考試成績(jī)?cè)诜忠韵碌母怕?()小明的考試成績(jī)?cè)诜旨胺忠陨系母怕?【解析】分別記小明的考試成績(jī)?cè)赱]分、[)分、[)分、[)分、[)分為事件、、、、,這五個(gè)事件彼此互斥.()小明的考試成績(jī)?cè)诜忠韵碌氖录洖?則()()()()().()小明的考試成績(jī)?cè)诜旨胺忠陨系氖录洖?則()()()()()().也可考慮用對(duì)立事件()().互斥事件與對(duì)立事件的判斷一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊,記“命中的環(huán)數(shù)大于”為事件,“命中的環(huán)數(shù)大于”為事件,“命中的環(huán)數(shù)小于”為事件,“命中的環(huán)數(shù)小于”為事件.那么、、、中有多少對(duì)互斥事件?是否有對(duì)立事件?【方法指導(dǎo)】判斷兩個(gè)事件是不是互斥事件,就是考察它們能否同時(shí)發(fā)生.如果不能同時(shí)發(fā)生,則是互斥事件;反之則不是互斥事件.【解析】與與與是互斥事件,但不是對(duì)立事件.因?yàn)榇巳M中的任意兩個(gè)事件都是不可能同時(shí)發(fā)生的,所以是互斥事件.同時(shí),不能保證其中一個(gè)一定發(fā)生,故二者不是對(duì)立事件與既是互斥事件,又是對(duì)立事件.【小結(jié)】要判斷兩個(gè)事件是不是互斥事件、是不是對(duì)立事件,只需要找出各個(gè)事件包含的所有結(jié)果,看它們之間能不能同時(shí)發(fā)生,這樣便可判斷是否互斥,在互斥的前提下判斷是否對(duì)立.事件概率的計(jì)算某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示:年降水量(單位:)[)[)[)[)概率()求年降水量在[)()范圍內(nèi)的概率;()求年降水量在[)()范圍內(nèi)的概率.【方法指導(dǎo)】記這個(gè)地區(qū)的年降水量在[)、[)、[)、[)()范圍內(nèi)分別為事件、、、.這四個(gè)事件是彼此互斥的,根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可得出結(jié)果.【解析】()年降水量在[)()范圍內(nèi)的概率是()()().()年降水量在[)()范圍內(nèi)的概率是()()()().【小結(jié)】注意互斥事件的概念,只有當(dāng)、兩事件互斥時(shí)()()()才成立.互斥事件與對(duì)立事件概率的應(yīng)用做投擲顆骰子的試驗(yàn),用()表示點(diǎn)的坐標(biāo),其中表示第顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)表示第顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).()求點(diǎn)在函數(shù)的圖像上的概率;()求點(diǎn)不在函數(shù)的圖像上的概率;()求點(diǎn)的坐標(biāo)()滿足<≤的概率.【方法指導(dǎo)】投擲兩顆骰子時(shí),可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的情況總數(shù)為個(gè),另外要注意點(diǎn)在函數(shù)圖像或不在函數(shù)圖像上的條件,對(duì)于否定性問題常利用對(duì)立條件求解.【解析】每顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都有種情況,所以基本事件總數(shù)為個(gè).()記“點(diǎn)在函數(shù)的圖像上”為事件,則事件有個(gè)基本事件,即{(),(),(),(),(),()},∴().()記“點(diǎn)不在函數(shù)的圖像上”為事件,則“點(diǎn)在函數(shù)圖像上”為事件,其中事件有個(gè)基本事件.即{(),(),(),(),()},∴()().()記“點(diǎn)坐標(biāo)滿足<≤25”為事件,則事件有個(gè)基本事件.即{(),(),(),(),(),(),()},∴().【小結(jié)】在求解古典概型的概率時(shí),如果事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)較多,情況較為復(fù)雜,可考慮對(duì)事件進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愐郧蟪龌臼录?shù),分成若干彼此互斥的事件,這是分類討論思想的運(yùn)用;在討論時(shí)應(yīng)遵循不重不漏的原則,先根據(jù)問題的需要確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn),然后按照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)把符合要求的各類情況一一列舉出來,并分別進(jìn)行求解.判斷下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是隨機(jī)事件.()“拋一石塊,下落”;()“某人射擊一次,中靶”;()“從分別標(biāo)有號(hào)數(shù)的張標(biāo)簽中任取一張,得到號(hào)簽”;()“沒有水分,種子能發(fā)芽”.【解析】根據(jù)定義,事件()是必然事件;事件()是不可能事件;事件()()是隨機(jī)事件.由經(jīng)驗(yàn)公式知,每天在學(xué)校食堂某窗口排隊(duì)等候就餐的人數(shù)及其概率如下表:排隊(duì)人數(shù)[)[)[)[)[)[∞)概率()求等候就餐人數(shù)為[)的概率;()若等候就餐的人數(shù)大于或等于,則應(yīng)增加一個(gè)新窗口,請(qǐng)問增加新窗口的概率是多少?【解析】()記“等候就餐人數(shù)為[)”為事件,“等候就餐人數(shù)為[)”為事件,“等候就餐人數(shù)為[)”為事件,“等候就餐人數(shù)為[)”為事件,則,且彼此互斥,所以()()()().()要增加新窗口,則等候就餐的人數(shù)大于或等于,包含兩種情況:等候就餐的人數(shù)為[)和[∞),記“等候就餐的人數(shù)大于或等于16”為事件,“等候就餐的人數(shù)為[)”為事件,“等候就餐的人數(shù)為[∞)”為事件,則,且互斥()()().故增加新窗口的概率是.某學(xué)?；@球隊(duì)、羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)的某些隊(duì)員不止參加了一支球隊(duì),具體情況如圖所示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一名隊(duì)員,求:()該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的概率;()該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的概率.【解析】()設(shè)“該隊(duì)員中屬于一支球隊(duì)”為事件,則事件的概率().()設(shè)“該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)”為事件,則事件的概率()..拋擲一枚骰子,向上的點(diǎn)數(shù)是或?yàn)槭录?向上的點(diǎn)數(shù)是或?yàn)槭录?則().? 表示向上的點(diǎn)數(shù)是或或【解析】可知、既不互斥,也不存在包含關(guān)系.【答案】.袋中有紅、黃、白色球各一個(gè),每次任取一個(gè),有放回地抽取次,則下列事件概率為的是()..顏色全相同 .顏色全不相同.顏色不全相同 .顏色無紅色【解析】有放回地抽取次,共有種不同的取法,而顏色全相同的情況有種,顏色全相同的概率為,由對(duì)立事件可知,顏色不全相同的概率為.【答案】.袋內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球各若干個(gè),從中摸出一球,摸出紅球的概率是,摸出黑球的概率是,則摸出白球的概率是.

【解析】摸一球的結(jié)果包含了摸出紅球、摸出黑球、摸出白球這三個(gè)互斥事件,這三個(gè)事件的概率之和為,故摸出白球的概率為.【答案】.某鄉(xiāng)村醫(yī)院一天中派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療的人數(shù)是不確定的,派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下:醫(yī)生人數(shù)人及以上概率計(jì)算:()派出醫(yī)生至多人的概率;()派出醫(yī)生至少人的概率.【解析】().().(年·安徽卷)若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人,這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等,則甲或乙被錄用的概率為().....【解析】五人中選用三人,列舉可得基本事件個(gè)數(shù)是個(gè),“甲或乙被錄用”的對(duì)立事件是“甲乙都沒有被錄用”,即錄用的是其余三人,只含有一個(gè)基本事件,故所求概率是.【答案】

.把紅、藍(lán)、黑、白四張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁個(gè)人,每人分得一張,事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()..對(duì)立事件.互斥但不對(duì)立事件.不可能事件 .以上都不對(duì)【解析】由互斥事件與對(duì)立事件的概念進(jìn)行判斷.【答案】.從,…這個(gè)數(shù)中任取兩數(shù),其中:①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù);②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù);③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù);④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù).上述事件中,對(duì)立事件是()..①.②④.③.①③【解析】由對(duì)立事件的定義可知③為對(duì)立事件;①中,兩事件為同一事件;②中前一事件包含后一事件,可同時(shí)發(fā)生;④中,至少有一個(gè)奇數(shù)即一奇或兩奇,至少有一個(gè)偶數(shù)即一偶或兩偶,兩事件存在交集,可同時(shí)發(fā)生.故選.【答案】.甲、乙兩人下棋,甲獲勝的概率是,甲不輸?shù)母怕蕿?則甲、乙二人下成和棋的概率為.

【解析】甲不輸包含了甲勝或和棋這兩個(gè)互斥事件,∴和棋的概率為.【答案】.在一個(gè)盒中裝有支圓珠筆,其中支一等品支二等品和支三等品,從中任取支,求下列事件的概率.()恰有支一等品;()恰有支一等品;()沒有三等品.【解析】用數(shù)字代表支一等品代表支二等品代表支三等品,從中任取三支,共有個(gè)基本事件,分別為(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),().()恰有支一等品說明在這組數(shù)中,只有一個(gè)的整數(shù),共有個(gè),故概率為.()恰有支一等品說明在這組數(shù)中,有兩個(gè)的整數(shù),共有個(gè),故概率為.()“沒有三等品”與“有三等品”是對(duì)立事件,若有三等品,則說明一定含有,共有個(gè),故概率值為..先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個(gè)面分別有點(diǎn)、、、、、),骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為、,則的概率為().....【解析】由于先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個(gè)面分別有點(diǎn)、、、、、),出現(xiàn)朝上的面的點(diǎn)數(shù)看成有序?qū)崝?shù)對(duì)(),共有×種,且每一種的可能性都相等,而滿足的、有(),(),()這種情況,所以所求的概率為.【答案】.把張卡片分別寫上,…后,任意疊在一起,從中任取一張,設(shè)“抽得大于的奇數(shù)”為事件,“抽得小于的奇數(shù)”為事件,則()是().. .. .以上都不對(duì)【解析】由題可知、互斥,且()(),∴()()().【答案】.一個(gè)學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)和乒乓球隊(duì)分別有名、名和名成員,一些成員參加了不止支球隊(duì),具體情況如圖所示,隨機(jī)選取名成員,則他參加了不止支球隊(duì)的概率為,參加足球或籃球隊(duì)的概率為.

【解析】由圖可知,所有成員有人,其中參加不止支球隊(duì)的成員有人,故.參加足球或籃球隊(duì)的人數(shù)為,故.【答案】.受轎車在保修期內(nèi)的維修費(fèi)等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān),某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車,甲品牌車保修期為年,乙品牌車保修期為年,現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中分別隨機(jī)抽取輛,統(tǒng)計(jì)出在保修期內(nèi)出現(xiàn)故障的車輛數(shù)據(jù)如下:品牌甲首次出現(xiàn)故障的時(shí)間(年)<≤<≤<≤>轎車數(shù)量(輛)品牌乙首次出現(xiàn)故障的時(shí)間(年)<≤<≤>轎車數(shù)量(輛)()從該廠生產(chǎn)的甲種品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛,求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;()從該廠生產(chǎn)的乙種品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛,求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率.(將頻率視為概率)【解析】()設(shè)分別表示甲種品牌轎車首次出現(xiàn)故障在第年,第年和第年之內(nèi),設(shè)表示甲種品牌轎車首次出現(xiàn)故障在保修期內(nèi).因?yàn)楸舜嘶コ?且()()(),所以()()()()(),即首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為.()乙種品牌轎車首次出現(xiàn)故障未發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為,故首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為..在張卡片上分別寫有數(shù)字,然后將它們混合,再任意排列成一行,則得到的數(shù)能被或整除的概率是.

【解析】(法一)用列舉法可知組成四位數(shù),共有種結(jié)果,能被或整除,即只要滿足末位是或或,共有種,∴.(法二)只考慮末位共有種情況,滿足條件的有種,∴.【答案】.某飲料公司對(duì)一名員工進(jìn)行測(cè)試以便確定其考評(píng)級(jí)別.公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共杯,其顏色完全相同,并且其中杯為飲料,另外杯為飲料,公司要求此員工一一品嘗后,從杯飲料中選出杯飲料.若該員工杯都選對(duì),則評(píng)為優(yōu)秀;若杯選對(duì)杯,則評(píng)為良好;否則評(píng)為合格.假設(shè)此人對(duì)和兩種飲料沒有鑒別能力.()求此人被評(píng)為優(yōu)秀的概率;()求此人被評(píng)為良好及以上的概率.【解析】將杯飲料編號(hào)為,編號(hào)表示飲料,編號(hào)表示飲料,則從杯飲料中選出杯的所有可能情況有(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共種.用表示“此人被評(píng)為優(yōu)秀”表示“此人被評(píng)為良好”表示“此人被評(píng)為良好及以上”,()().()∵(),∴()()().第課時(shí)模擬方法——概率的應(yīng)用.注意幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn):試驗(yàn)結(jié)果有無限多個(gè)、每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等..對(duì)于公式的記憶與掌握不可忽視..要看清題目本質(zhì),做題時(shí)選取正確的幾何度量進(jìn)行運(yùn)算.重點(diǎn):幾何概型及其適用范圍與求概率的方法.難點(diǎn):幾何概型幾種類型的辨別.某超市為了吸引顧客,設(shè)立了一個(gè)蒙眼飛鏢投靶有獎(jiǎng)活動(dòng)(靶如圖所示),并規(guī)定:顧客每購(gòu)買元的商品,就能獲得一次投靶的機(jī)會(huì).飛鏢投在紅色區(qū)域,顧客可獲得元購(gòu)物券;飛鏢投在黃色區(qū)域,顧客可獲得元購(gòu)物券;飛鏢投在綠色區(qū)域,顧客可獲得元的購(gòu)物券,靶分成等份.若甲顧客購(gòu)買了元的商品,且假設(shè)他投靶不會(huì)脫靶,不會(huì)投在靶心和等分線上,則他獲得元、元或元購(gòu)物券的概率分別是多少?問題:()在上面的問題中,可以通過幾何概型知識(shí)進(jìn)行解決,他獲得元、元或元購(gòu)物券的概率分別是

,,.

()幾何概率模型:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型.

()幾何概型具有下列兩個(gè)特征:①每次試驗(yàn)的結(jié)果有無限多個(gè),且全體結(jié)果可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域來表示.

②每次試驗(yàn)的各種結(jié)果是等可能的.

問題:幾何概型的計(jì)算公式在幾何概型中,事件的概率的計(jì)算公式:()

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問題:幾種常見的幾何概型()線段型:設(shè)線段是線段的一部分,向線段上任投一點(diǎn).若落在線段上的點(diǎn)數(shù)與線段的長(zhǎng)度成正比,而與線段在線段上的相對(duì)位置無關(guān),則點(diǎn)落在線段上的概率為的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度.

()面積型:設(shè)平面區(qū)域是平面區(qū)域的一部分,向區(qū)域上任投一點(diǎn),若落在區(qū)域上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域的面積成正比,而與區(qū)域在區(qū)域上的相對(duì)位置無關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域上的概率為的面積的面積.

()體積型:設(shè)空間區(qū)域是空間區(qū)域的一部分,向區(qū)域上任投一點(diǎn).若落在區(qū)域上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域的體積成正比,而與區(qū)域在區(qū)域上的相對(duì)位置無關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域上的概率為的體積的體積.

()角度型:設(shè)角度區(qū)域是角度區(qū)域的一部分,向角度區(qū)域上任投一點(diǎn).若落在區(qū)域上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域的角度成正比,而與區(qū)域在區(qū)域上的相對(duì)位置無關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域上的概率為的角度的角度.

問題:古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的,但古典概型要求基本事件是有限個(gè),幾何概型是要求基本事件有無限多個(gè).古典概型利用事件所含基本事件數(shù)的比值求,而幾何概型是利用其幾何度量的比值求.

模擬方法是一種非常有效而且應(yīng)用廣泛的方法.它可以在短時(shí)間內(nèi)完成大量的重復(fù)試驗(yàn),然后估計(jì)某些隨機(jī)事件發(fā)生的概率.我們常用到的幾種模擬方法有:()直接試驗(yàn)法.比如教材中的向正方形中撒芝麻或者豆粒和使用轉(zhuǎn)盤模擬試驗(yàn)過程等.()隨機(jī)數(shù)表法.隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù),并且得到這個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)一樣.()利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn).比如用軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)..關(guān)于幾何概型和古典概型的區(qū)別,下列說法正確的是()..幾何概型中基本事件有有限個(gè),而古典概型中基本事件有無限個(gè).幾何概型中基本事件有無限個(gè),而古典概型中基本事件有有限個(gè).幾何概型中每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性不相等,而古典概型中每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.幾何概型中每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等,而古典概型中每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性不相等【解析】幾何概型中基本事件有無限個(gè),而古典概型中基本事件有有限個(gè),故正確.幾何概型與古典概型中每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都相等,因此、錯(cuò)誤.【答案】.取一個(gè)正方形及其外接圓,隨機(jī)向圓內(nèi)拋一粒豆子,則豆子落入正方形外的概率為().....【解析】所求概率為圓面積與正方形面積的差值除以圓面積.【答案】.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域是到原點(diǎn)的距離不大于的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域,向中隨機(jī)投一點(diǎn),則落入中的概率為.

【解析】如圖,區(qū)域表示邊長(zhǎng)為的正方形的內(nèi)部(含邊界),區(qū)域表示單位圓及其內(nèi)部,因此.【答案】.在長(zhǎng)為的線段上任取一點(diǎn),并以線段為邊作正方形,求這個(gè)正方形的面積介于與之間的概率.【解析】依題意≤≤,∴≤≤,∴在線段上滿足條件的構(gòu)成的線段長(zhǎng)度為.記事件{面積介于與之間},則().幾何概型的概率計(jì)算如圖所示兩盞路燈之間的長(zhǎng)度是米,由于光線較暗,想在其間再隨意安裝兩盞路燈,問與與之間的距離都不小于米的概率是多少?【方法指導(dǎo)】在之間每一個(gè)位置安裝路燈都是一個(gè)基本事件,基本事件有無限多個(gè),且每一個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的,因此事件發(fā)生的概率只與長(zhǎng)度有關(guān),符合幾何概型條件.【解析】記事件為:“與與之間的距離都不小于米”,把三等分.由于中間長(zhǎng)度為×米,所以().【小結(jié)】我們將每個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣,而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn),這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解.幾何概型隨機(jī)模擬應(yīng)用向如圖所示的正方形中隨機(jī)撒一把豆子,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)圓周率的值.【方法指導(dǎo)】可以利用一般的人工隨機(jī)模擬的辦法,如撒一把豆子,也可以考慮利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的方式,借助函數(shù)解決.【解析】(法一)隨機(jī)撒一把豆子,每個(gè)豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)與這個(gè)區(qū)域的面積近似成正比,即≈.假