江蘇省蘇北四市2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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江蘇省蘇北四市2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.對(duì)于函數(shù),若滿足,則稱(chēng)為函數(shù)的一對(duì)“線性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”.若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,則的最大值為()A. B. C. D.2.某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān),且已證得“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”.現(xiàn)已知當(dāng)時(shí),該命題不成立,那么()A.當(dāng)時(shí),該命題不成立 B.當(dāng)時(shí),該命題成立C.當(dāng)時(shí),該命題不成立 D.當(dāng)時(shí),該命題成立3.已知集合,,,則集合()A. B. C. D.4.?dāng)?shù)列滿足,且,,則()A. B.9 C. D.75.已知,,,則()A. B. C. D.6.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).若,則直線的斜率為()A. B. C. D.7.過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線,若與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為()A. B. C. D.8.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,29.雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.10.已知向量,,,若,則()A. B. C. D.11.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:()①是偶函數(shù);②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù);③在上的最大值為2;④在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④12.已知函數(shù)為奇函數(shù),且,則()A.2 B.5 C.1 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知△的三個(gè)內(nèi)角為,,,且,,成等差數(shù)列,則的最小值為_(kāi)_________,最大值為_(kāi)__________.14.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積是______.15.直線是曲線的一條切線為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則實(shí)數(shù)__________.16.如果橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸,短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形,焦點(diǎn)在x軸上,且=,那么橢圓的方程是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且滿足.(1)求角的大??;(2)若的面積為,求的周長(zhǎng)的最小值.18.(12分)已知,,函數(shù)的最小值為.(1)求證:;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.19.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)證明:點(diǎn)在軸的右側(cè);(2)設(shè)線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點(diǎn).若與的面積相等,求直線的斜率20.(12分)某精密儀器生產(chǎn)車(chē)間每天生產(chǎn)個(gè)零件,質(zhì)檢員小張每天都會(huì)隨機(jī)地從中抽取50個(gè)零件進(jìn)行檢查是否合格,若較多零件不合格,則需對(duì)其余所有零件進(jìn)行檢查.根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn),這些零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布(單位:微米),且相互獨(dú)立.若零件的長(zhǎng)度滿足,則認(rèn)為該零件是合格的,否則該零件不合格.(1)假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為,求及的數(shù)學(xué)期望;(2)小張某天恰好從50個(gè)零件中檢查出2個(gè)不合格的零件,若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率.已知檢查一個(gè)零件的成本為10元,而每個(gè)不合格零件流入市場(chǎng)帶來(lái)的損失為260元.假設(shè)充分大,為了使損失盡量小,小張是否需要檢查其余所有零件,試說(shuō)明理由.附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),求證:.22.(10分)如圖,四棱錐中,底面是菱形,對(duì)角線交于點(diǎn)為棱的中點(diǎn),.求證:(1)平面;(2)平面平面.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,所以,故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).又與為函數(shù)的“線性對(duì)稱(chēng)點(diǎn),所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.2、C【解析】

寫(xiě)出命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題,結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【詳解】由逆否命題可知,命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時(shí)該命題不成立,則當(dāng)時(shí)該命題也不成立”,由于當(dāng)時(shí),該命題不成立,則當(dāng)時(shí),該命題也不成立,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查逆否命題與原命題等價(jià)性的應(yīng)用,解題時(shí)要寫(xiě)出原命題的逆否命題,結(jié)合逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷,考查邏輯推理能力,屬于中等題.3、D【解析】

根據(jù)集合的混合運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】,故可得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】

先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列,再根據(jù),,可求出公差,即可求出.【詳解】數(shù)列滿足,則數(shù)列為等差數(shù)列,,,,,,,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將數(shù)據(jù)和做對(duì)比,即可判斷.【詳解】由于,,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合,求出的坐標(biāo),然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,設(shè),則,故,此時(shí),即.則直線的斜率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.7、A【解析】

直線的方程為,令,得,得到a,b的關(guān)系,結(jié)合選項(xiàng)求解即可【詳解】直線的方程為,令,得.因?yàn)椋?,只有選項(xiàng)滿足條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查運(yùn)算求解能力.8、C【解析】

先求出集合U,再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出結(jié)果即可.【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合補(bǔ)集的運(yùn)算,求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補(bǔ)集的定義,屬于簡(jiǎn)單題.9、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可寫(xiě)出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于容易題.10、A【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得,由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】,,解得:故選:【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問(wèn)題,涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算;關(guān)鍵是明確若兩向量平行,則.11、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析,由此得出正確結(jié)論的編號(hào).【詳解】的定義域?yàn)?由于,所以為偶函數(shù),故①正確.由于,,所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù),所以②錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí),,且存在,使.所以當(dāng)時(shí),;由于為偶函數(shù),所以時(shí),所以的最大值為,所以③錯(cuò)誤.依題意,,當(dāng)時(shí),,所以令,解得,令,解得.所以在區(qū)間,有兩個(gè)零點(diǎn).由于為偶函數(shù),所以在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn).故在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).所以④正確.綜上所述,正確的結(jié)論序號(hào)為①④.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.12、B【解析】

由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)正弦定理可得,利用余弦定理以及均值不等式,可得角的范圍,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)性質(zhì),可得結(jié)果.【詳解】由,,成等差數(shù)列所以所以又化簡(jiǎn)可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)又,所以令,則當(dāng),即時(shí),當(dāng),即時(shí),則在遞增,在遞減所以由,所以所以的最小值為最大值為故答案為:,【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理,還考查了不等式、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,難點(diǎn)在于根據(jù)余弦定理以及不等式求出,考驗(yàn)分析能力以及邏輯思維能力,屬難題.14、【解析】

先由三視圖在長(zhǎng)方體中將其還原成直觀圖,再利用球的直徑是長(zhǎng)方體體對(duì)角線即可解決.【詳解】由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)為,所以三棱錐外接球半徑為,故所求外接球的表面積.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積,考查學(xué)生空間想象能力以及基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)切線的斜率為,利用導(dǎo)數(shù)列方程,由此求得切點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得切線方程,通過(guò)對(duì)比系數(shù)求得的值.【詳解】,則,所以切點(diǎn)為,故切線為,即,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程有關(guān)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題意可設(shè)橢圓方程為:∵短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形,焦點(diǎn)在軸上∴又,∴,∴橢圓的方程為,故答案為.考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解三角形以及解方程組的相關(guān)知識(shí).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)因?yàn)椋?,由余弦定理得,化?jiǎn)得,可得,解得,又因?yàn)?,所?(6分)(2)因?yàn)?,所以,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)).由(1)得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)),解得.所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)),所以的周長(zhǎng)的最小值為.18、(1)見(jiàn)解析;(2)最大值為.【解析】

(1)將函數(shù)表示為分段函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論成立;(2)由可得出,并將代數(shù)式與相乘,展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值,進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】(1).當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,則;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則.綜上所述,,所以;(2)因?yàn)楹愠闪ⅲ?,,所以恒成立,?因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,實(shí)數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值函數(shù)最值的求解,同時(shí)也考查了利用基本不等式恒成立求參數(shù),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可證出;(2)根據(jù)線段的垂直平分線求出點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出的面積,再表示出的面積,由與的面積相等列式,即可解出直線的斜率.【詳解】(1)由題意,得,直線()設(shè),,聯(lián)立消去,得,顯然,,則點(diǎn)的橫坐標(biāo),因?yàn)?,所以點(diǎn)在軸的右側(cè).(2)由(1)得點(diǎn)的縱坐標(biāo).即.所以線段的垂直平分線方程為:.令,得;令,得.所以的面積,的面積.因?yàn)榕c的面積相等,所以,解得.所以當(dāng)與的面積相等時(shí),直線的斜率.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用、根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用,以及三角形的面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.20、(1)見(jiàn)解析(2)需要,見(jiàn)解析【解析】

(1)由零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立,零件的長(zhǎng)度滿足即為合格,則每一個(gè)零件的長(zhǎng)度合格的概率為,滿足二項(xiàng)分布,利用補(bǔ)集的思想求得,再根據(jù)公式求得;(2)由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時(shí)損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【詳解】(1),由于滿足二項(xiàng)分布,故.(2)由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為;若檢查,成本為,由于,當(dāng)充分大時(shí),,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用,考查二項(xiàng)分布的期望,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,考查分析能力與數(shù)據(jù)處理能力.21、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論單調(diào)性(2)欲證,只需證,構(gòu)造函數(shù),證明,這時(shí)需研究的單調(diào)性,求其最大值即可【詳解】解:(1)的定義域?yàn)椋?,①?dāng)時(shí),由得,由,得,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;②當(dāng)時(shí),由得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;③當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;④當(dāng)時(shí),由,得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞

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