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文檔簡介
2025屆福建省莆田市第一中學(xué)高考仿真卷數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知平面向量,滿足,,且,則()A.3 B. C. D.52.設(shè)P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},則A.PQ B.QPC.Q D.Q3.如圖示,三棱錐的底面是等腰直角三角形,,且,,則與面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.4.已知半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱,若圓柱的高為2,則球的體積與圓柱的體積的比為()A. B. C. D.5.為了研究國民收入在國民之間的分配,避免貧富過分懸殊,美國統(tǒng)計學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示.勞倫茨曲線為直線時,表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時,表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域,表示其面積,為的面積,將稱為基尼系數(shù).對于下列說法:①越小,則國民分配越公平;②設(shè)勞倫茨曲線對應(yīng)的函數(shù)為,則對,均有;③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則;④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則.其中正確的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④6.已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為,將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度后得到函數(shù)圖象,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.7.已知拋物線的焦點為,若拋物線上的點關(guān)于直線對稱的點恰好在射線上,則直線被截得的弦長為()A. B. C. D.8.設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的,則輸出的()A.9 B.31 C.15 D.6310.集合,則()A. B. C. D.11.中國鐵路總公司相關(guān)負責人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程與年價正相關(guān)C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列12.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為的共軛復(fù)數(shù)),則的值為()A.1 B.2 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)全集,,,則______.14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2,點P是上底面15.已知拋物線的焦點為,斜率為2的直線與的交點為,若,則直線的方程為___________.16.已知函數(shù)在處的切線與直線平行,則為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)時,若,,求證:.18.(12分)古人云:“腹有詩書氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀,建設(shè)書香中國,校園讀書活動的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計學(xué)生一周課外讀書的時間,從全校學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生進行問卷調(diào)査,統(tǒng)計了他們一周課外讀書時間(單位:)的數(shù)據(jù)如下:一周課外讀書時間/合計頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù),求,,的值并估算一周課外讀書時間的中位數(shù).(2)如果讀書時間按,,分組,用分層抽樣的方法從名學(xué)生中抽取20人.①求每層應(yīng)抽取的人數(shù);②若從,中抽出的學(xué)生中再隨機選取2人,求這2人不在同一層的概率.19.(12分)隨著時代的發(fā)展,A城市的競爭力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日,某報社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷,參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計自然環(huán)境1.森林城市,空氣清新2003002.降水充足,氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人;(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表,并判斷是否有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)?自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820.(12分)如圖,為等腰直角三角形,,D為AC上一點,將沿BD折起,得到三棱錐,且使得在底面BCD的投影E在線段BC上,連接AE.(1)證明:;(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)設(shè)拋物線的焦點為,準線為,為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦,已知以為直徑的圓經(jīng)過點.(1)求的值及該圓的方程;(2)設(shè)為上任意一點,過點作的切線,切點為,證明:.22.(10分)已知關(guān)于的不等式有解.(1)求實數(shù)的最大值;(2)若,,均為正實數(shù),且滿足.證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
先求出,再利用求出,再求.【詳解】解:由,所以,,,故選:B【點睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運算,是基礎(chǔ)題.2、C【解析】
解:因為P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},因此選C3、A【解析】
首先找出與面所成角,根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且,是等邊三角形,設(shè)中點為,連接,,可知,,同時易知,,所以面,故即為與面所成角,有,故.故選:A.【點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
分別求出球和圓柱的體積,然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為,則,所以圓柱的體積.又球的體積,所以球的體積與圓柱的體積的比,故選D.【點睛】本題主要考查幾何體的體積求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).5、A【解析】
對于①,根據(jù)基尼系數(shù)公式,可得基尼系數(shù)越小,不平等區(qū)域的面積越小,國民分配越公平,所以①正確.對于②,根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線,由圖得,均有,可得,所以②錯誤.對于③,因為,所以,所以③錯誤.對于④,因為,所以,所以④正確.故選A.6、C【解析】
根據(jù)輔助角公式化簡三角函數(shù)式,結(jié)合為函數(shù)的一條對稱軸可求得,代入輔助角公式得的解析式.根據(jù)三角函數(shù)圖像平移變換,即可求得函數(shù)的解析式.【詳解】函數(shù),由輔助角公式化簡可得,因為為函數(shù)圖象的一條對稱軸,代入可得,即,化簡可解得,即,所以將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度可得,則,故選:C.【點睛】本題考查了輔助角化簡三角函數(shù)式的應(yīng)用,三角函數(shù)對稱軸的應(yīng)用,三角函數(shù)圖像平移變換的應(yīng)用,屬于中檔題.7、B【解析】
由焦點得拋物線方程,設(shè)點的坐標為,根據(jù)對稱可求出點的坐標,寫出直線方程,聯(lián)立拋物線求交點,計算弦長即可.【詳解】拋物線的焦點為,則,即,設(shè)點的坐標為,點的坐標為,如圖:∴,解得,或(舍去),∴∴直線的方程為,設(shè)直線與拋物線的另一個交點為,由,解得或,∴,∴,故直線被截得的弦長為.故選:B.【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程,簡單幾何性質(zhì),點關(guān)于直線對稱,屬于中檔題.8、B【解析】
易得,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,所以.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.9、B【解析】
根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運算,直至滿足條件退出循環(huán)體,即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框;;;;;,滿足,退出循環(huán),因此輸出,故選:B.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果,模擬程序運行是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
利用交集的定義直接計算即可.【詳解】,故,故選:D.【點睛】本題考查集合的交運算,注意常見集合的符號表示,本題屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項,顯然正確;對于,,選項正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯.故選:D【點睛】本題考查統(tǒng)計的知識,考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識,是基礎(chǔ)題12、D【解析】
按照復(fù)數(shù)的運算法則先求出,再寫出,進而求出.【詳解】,,.故選:D【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模,考查基本運算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出集合,,然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可.【詳解】解:,或;∴;∴.故答案為:.【點睛】本題主要考查集合的交集、補集運算,屬于基礎(chǔ)題.14、π.【解析】
設(shè)三棱錐P-ABC的外接球為球O',分別取AC、A1C1的中點O、O1,先確定球心O'在線段AC和A1C1中點的連線上,先求出球O【詳解】如圖所示,設(shè)三棱錐P-ABC的外接球為球O'分別取AC、A1C1的中點O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設(shè)球O的半徑為R,則4πR2=所以,OO則O而點P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此,點P所構(gòu)成的圖形的面積為π×O【點睛】本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問題,根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動點的軌跡,屬于中檔題.15、【解析】
設(shè)直線l的方程為,,聯(lián)立直線l與拋物線C的方程,得到A,B點橫坐標的關(guān)系式,代入到中,解出t的值,即可求得直線l的方程【詳解】設(shè)直線.由題設(shè)得,故,由題設(shè)可得.
由可得,
則,從而,得,所以l的方程為,故答案為:【點睛】本題主要考查了直線的方程,拋物線的定義,拋物線的簡單幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.16、【解析】
根據(jù)題意得出,由此可得出實數(shù)的值.【詳解】,,直線的斜率為,由于函數(shù)在處的切線與直線平行,則.故答案為:.【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù),解題時要結(jié)合兩直線的位置關(guān)系得出兩直線斜率之間的關(guān)系,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1)首先對函數(shù)求導(dǎo),再根據(jù)參數(shù)的取值,討論的正負,即可求出關(guān)于的單調(diào)性即可;(2)首先通過構(gòu)造新函數(shù),討論新函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】(1),令,則,令得,當時,則在單調(diào)遞減,當時,則在單調(diào)遞增,所以,當時,,即,則在上單調(diào)遞增,當時,,易知當時,,當時,,由零點存在性定理知,,不妨設(shè),使得,當時,,即,當時,,即,當時,,即,所以在和上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;(2)證明:構(gòu)造函數(shù),,,,整理得,,(當時等號成立),所以在上單調(diào)遞增,則,所以在上單調(diào)遞增,,這里不妨設(shè),欲證,即證由(1)知時,在上單調(diào)遞增,則需證,由已知有,只需證,即證,由在上單調(diào)遞增,且時,有,故成立,從而得證.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)含參分類討論單調(diào)性,借助構(gòu)造函數(shù)和單調(diào)性證明不等式,屬于難題.18、(1),,,中位數(shù);(2)①三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13;②【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì),即可求得,得到,,再結(jié)合中位數(shù)的計算方法,即可求解.(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,根據(jù)抽樣比,求得在三層中抽取的人數(shù);②由①知,設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,利用列舉法得到基本事件的總數(shù),利用古典概型的概率計算公式,即可求解.【詳解】(1)由題意,可得,所以,.設(shè)一周課外讀書時間的中位數(shù)為小時,則,解得,即一周課外讀書時間的中位數(shù)約為小時.(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,抽樣比為,又因為,,的頻數(shù)分別為20,50,130,所以從,,三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13.②由①知,在,兩層中共抽取7人,設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,若從這7人中隨機抽取2人,則所有情況為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有21種,其中2人不在同一層的情況為,,,,,,,,,,共有10種.設(shè)事件為“這2人不在同一層”,由古典概型的概率計算公式,可得概率為.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方表的性質(zhì),中位數(shù)的求解,以及古典概型的概率計算等知識的綜合應(yīng)用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(萬)(2)(3)填表見解析;有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)【解析】
(1)在1000個樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有300個,根據(jù)頻率公式即可求得結(jié)果.(2)由分層抽樣的知識可得,抽取6人中,4人選擇“森林城市,空氣清新”,2人選擇“降水充足,氣候怡人”求出對應(yīng)的基本事件數(shù),即可求得結(jié)果.(3)計算的值,對照臨界值表可得答案.【詳解】(1)(萬)(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,其中4人是選擇“森林城市,空氣清新”,2人是選擇“降水充足,氣候怡人”.記事件A為選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”,則,.(3)列聯(lián)表如下自然環(huán)境人文環(huán)境合計男100400500女200300500合計3007001000,所以有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān).【點睛】本題主要考查獨立性檢測的相關(guān)知識、分層抽樣與古典概念計算概率、考查學(xué)生的綜合分析與計算能力,難度較易.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)由折疊過程知與平面垂直,得,再取中點,可證與平面垂直,得,從而可得線面垂直,再得線線垂直;(2)由已知得為中點,以為原點,所在直線為軸,在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標系,由已知求出線段長,得出各點坐標,用平面的法向量計算二面角的余弦.【詳解】(1)易知與平面垂直,∴,連接,取中點,連接,由得,,∴平面,平面,∴,又,∴平面,∴;(2)由,知是中點,令,則,由,,∴,解得,故.以為原點,所在直線為軸,在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標系,如圖,則,,,設(shè)
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