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2025屆平煤高級(jí)中學(xué)高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測(cè)試(滿分100分)中得分情況的莖葉圖,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.甲得分的平均數(shù)比乙大 B.甲得分的極差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位數(shù)和乙相等2.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.3.已知雙曲線:(,)的焦距為.點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn),若點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的離心率是()A. B. C.2 D.34.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形,則該幾何體的各個(gè)面中,最大面的面積為()A.2 B.5 C. D.5.已知雙曲線(,)的左、右頂點(diǎn)分別為,,虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為,,若四邊形的內(nèi)切圓面積為,則雙曲線焦距的最小值為()A.8 B.16 C. D.6.在中,為上異于,的任一點(diǎn),為的中點(diǎn),若,則等于()A. B. C. D.7.將一張邊長(zhǎng)為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.8.已知集合A={y|y},B={x|y=lg(x﹣2x2)},則?R(A∩B)=()A.[0,) B.(﹣∞,0)∪[,+∞)C.(0,) D.(﹣∞,0]∪[,+∞)9.已知向量,,若,則()A. B. C.-8 D.810.小王因上班繁忙,來(lái)不及做午飯,所以叫了外賣(mài).假設(shè)小王和外賣(mài)小哥都在12:00~12:10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣(mài)小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是()A. B. C. D.11.劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家,他在《九章算術(shù)》中對(duì)勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補(bǔ),各從其類,因就其余不移動(dòng)也.合成弦方之冪,開(kāi)方除之,即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,其中“正方形為朱方,正方形為青方”,則在五邊形內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),此點(diǎn)取自朱方的概率為()A. B. C. D.12.某地區(qū)教育主管部門(mén)為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績(jī),并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績(jī)畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖,如圖所示,則成績(jī)?cè)?,?nèi)的學(xué)生人數(shù)為()A.800 B.1000 C.1200 D.1600二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某地區(qū)教育主管部門(mén)為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成績(jī)進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取了150分到450分之間的1000名學(xué)生的成績(jī),并根據(jù)這1000名學(xué)生的成績(jī)畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖(如圖),則成績(jī)?cè)赱250,400)內(nèi)的學(xué)生共有____人.14.已知,為正實(shí)數(shù),且,則的最小值為_(kāi)_______________.15.直線過(guò)圓的圓心,則的最小值是_____.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A,B為x軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),P(異于原點(diǎn)O)為y軸上的一個(gè)定點(diǎn).若以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒為定值,則線段OP的長(zhǎng)為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B,以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點(diǎn)M在橢圓C上,求直線l的方程.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)曲線與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.19.(12分)設(shè)橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點(diǎn),圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn),試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)設(shè)直線與曲線交于,兩點(diǎn),求;(Ⅱ)若點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn),求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),求證:.22.(10分)已知橢圓,直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸,與有兩個(gè)交點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為.(Ⅰ)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn),延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn),四邊形能否為平行四邊形?若能,求此時(shí)的斜率,若不能,說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念,可得所求結(jié)論.【詳解】對(duì)于甲,;對(duì)于乙,,故正確;甲的極差為,乙的極差為,故錯(cuò)誤;對(duì)于甲,方差.5,對(duì)于乙,方差,故正確;甲得分的中位數(shù)為,乙得分的中位數(shù)為,故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,考查平均數(shù)和方差等概念,培養(yǎng)計(jì)算能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入,排除掉C,D;再由判斷A選項(xiàng)正確.【詳解】,排除掉C,D;,,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問(wèn)題,代入特殊點(diǎn),采用排除法求解是解決這類問(wèn)題的一種常用方法,屬于中檔題.3、A【解析】
由點(diǎn)到直線距離公式建立的等式,變形后可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,,即,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,掌握漸近線方程與點(diǎn)到直線距離公式是解題基礎(chǔ).4、D【解析】
根據(jù)三視圖還原出幾何體,找到最大面,再求面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示,將其放在一個(gè)長(zhǎng)方體中,并記為三棱錐.,,,故最大面的面積為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時(shí),一般借助長(zhǎng)方體來(lái)實(shí)現(xiàn).5、D【解析】
根據(jù)題意畫(huà)出幾何關(guān)系,由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑,結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系,再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍,即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意,畫(huà)出幾何關(guān)系如下圖所示:設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為,雙曲線半焦距為,則所以,四邊形的內(nèi)切圓面積為,則,解得,則,即故由基本不等式可得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故焦距的最小值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用,屬于中檔題.6、A【解析】
根據(jù)題意,用表示出與,求出的值即可.【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè),則,又,,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量,是基礎(chǔ)題.7、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為,則,故由題設(shè)可得,所以四棱錐的體積,應(yīng)選答案B.8、D【解析】
求函數(shù)的值域得集合,求定義域得集合,根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義寫(xiě)出運(yùn)算結(jié)果.【詳解】集合A={y|y}={y|y≥0}=[0,+∞);B={x|y=lg(x﹣2x2)}={x|x﹣2x2>0}={x|0<x}=(0,),∴A∩B=(0,),∴?R(A∩B)=(﹣∞,0]∪[,+∞).故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的定義域,函數(shù)的值域,集合的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.9、B【解析】
先求出向量,的坐標(biāo),然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量,,則,,又,則,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長(zhǎng)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間,根據(jù)題意列出不等式組,利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣(mài)小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為,以12:00點(diǎn)為開(kāi)始算起,則有,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,所以小王在樓下等候外賣(mài)小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率為:.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區(qū)域,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11、C【解析】
首先明確這是一個(gè)幾何概型面積類型,然后求得總事件的面積和所研究事件的面積,代入概率公式求解.【詳解】因?yàn)檎叫螢橹旆剑涿娣e為9,五邊形的面積為,所以此點(diǎn)取自朱方的概率為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
由圖可列方程算得a,然后求出成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率,最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率和為1,得,解得,所以成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率,所以成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù).故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、750【解析】因?yàn)?.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003×50=1,得a=0.006所以1000×0.004+0.006+0.00514、【解析】
由,為正實(shí)數(shù),且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】解:,為正實(shí)數(shù),且,可知,,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用,恰當(dāng)變形是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.15、【解析】
直線mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)經(jīng)過(guò)圓x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圓心(1,﹣1),可得m+n=1,再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】∵mx﹣ny﹣1=0(m>0,n>0)經(jīng)過(guò)圓x2+y2﹣2x+2y﹣1=0的圓心(1,﹣1),∴m+n﹣1=0,即m+n=1.∴()(m+n)=22+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào).∴則的最小值是4.故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】分析:設(shè)O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),利用差角的正切公式,結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒為定值,即可求出線段OP的長(zhǎng).詳解:設(shè)O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),則∵∠APB的大小恒為定值,
∴t=,∴|OP|=.故答案為點(diǎn)睛:本題考查圓與圓的位置關(guān)系,考查差角的正切公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)以及列方程,由此求得,進(jìn)而求得橢圓的方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫(xiě)出韋達(dá)定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何意義得到,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo),將的坐標(biāo)代入橢圓方程,化簡(jiǎn)后可求得直線的斜率,由此求得直線的方程.【詳解】(1)由橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上,所以,且解得,所以橢圓的方程為.(2)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,設(shè),由消去得,所以,由已知得,所以,由于點(diǎn)都在橢圓上,所以,展開(kāi)有,又,所以,經(jīng)檢驗(yàn)滿足,故直線的方程為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)消去參數(shù)方程中的參數(shù),求得的普通方程,利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式,求得的直角坐標(biāo)方程.(2)求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,代入的直角坐標(biāo)方程,寫(xiě)出韋達(dá)定理,根據(jù)直線參數(shù)中參數(shù)的幾何意義,求得的值.【詳解】(1)由的參數(shù)方程(為參數(shù)),消去參數(shù)可得,由曲線的極坐標(biāo)方程為,得,所以的直角坐方程為,即.(2)因?yàn)樵谇€上,故可設(shè)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入化簡(jiǎn)可得.設(shè),對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,則,,所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,考查利用利用和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義進(jìn)行計(jì)算,屬于中檔題.19、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】
(I)結(jié)合離心率,得到a,b,c的關(guān)系,計(jì)算A的坐標(biāo),計(jì)算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,計(jì)算參數(shù),即可.(II)分切線斜率存在與不存在討論,設(shè)出M,N的坐標(biāo),設(shè)出切線方程,結(jié)合圓心到切線距離公式,得到m,k的關(guān)系式,將直線方程代入橢圓方程,利用根與系數(shù)關(guān)系,表示,結(jié)合三角形相似,證明結(jié)論,即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為,由橢圓的離心率為知,,∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得,∴點(diǎn)在橢圓上,∴,解得,∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí),不妨設(shè)切線方程為,由(Ⅰ)知,,,∴.當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí),可設(shè)切線的方程為,,∴,即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得,∴,得.∵,∴,,∴.綜上所述,圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn),都有.在中,由與相似得,為定值.【點(diǎn)睛】本道題考查了橢圓方程的求解,考查了直線與橢圓位置關(guān)系,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,難度偏難.20、(Ⅰ)6(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)化簡(jiǎn)得到直線的普通方程化為,,是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,利用垂徑定理計(jì)算得到答案.(Ⅱ)設(shè),則,得到范圍.【詳解】(Ⅰ)由題意可知,直線的普通方程化為,曲線的極坐標(biāo)方程變形為,所以的普通方程分別為,是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則,所以.(Ⅱ)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè),,因?yàn)?,所以,所?【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.21、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論單調(diào)性(2)欲證,只需證,構(gòu)造函數(shù),證明,這時(shí)需研究的單調(diào)性,求其最大值即可【詳解】解:(1)的定義域?yàn)?,,①?dāng)時(shí),由得,由,得,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;②當(dāng)時(shí),由得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;③當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;④當(dāng)時(shí),由,得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí),欲證,只需證,令,,則,因存在,使得成立,即有,使得成立.當(dāng)
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