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文檔簡介
福建省石獅市永寧中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個陶瓷圓盤的半徑為,中間有一個邊長為的正方形花紋,向盤中投入1000粒米后,發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒,據(jù)此估計圓周率的值為(精確到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.1472.若實數(shù)x,y滿足條件,目標(biāo)函數(shù),則z的最大值為()A. B.1 C.2 D.03.五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶,每個單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),若函數(shù)的極大值點從小到大依次記為,并記相應(yīng)的極大值為,則的值為()A. B. C. D.5.已知拋物線和點,直線與拋物線交于不同兩點,,直線與拋物線交于另一點.給出以下判斷:①直線與直線的斜率乘積為;②軸;③以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切.其中,所有正確判斷的序號是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③6.已知是雙曲線的左、右焦點,若點關(guān)于雙曲線漸近線的對稱點滿足(為坐標(biāo)原點),則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.7.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為;②函數(shù)的圖象是軸對稱圖形;③函數(shù)的極大值為;④函數(shù)的最小值為.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④8.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.9.在中,點D是線段BC上任意一點,,,則()A. B.-2 C. D.210.已知分別為圓與的直徑,則的取值范圍為()A. B. C. D.11.如圖,在中,點是的中點,過點的直線分別交直線,于不同的兩點,若,,則()A.1 B. C.2 D.312.已知中,,則()A.1 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.正方形的邊長為2,圓內(nèi)切于正方形,為圓的一條動直徑,點為正方形邊界上任一點,則的取值范圍是______.14.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的模為____.15.如圖是一個算法偽代碼,則輸出的的值為_______________.16.已知圓,直線與圓交于兩點,,若,則弦的長度的最大值為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知關(guān)于的不等式解集為().(1)求正數(shù)的值;(2)設(shè),且,求證:.18.(12分)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,,已知,(1)求數(shù)列的首項和公比;(2)求數(shù)列的通項公式.19.(12分)已知函數(shù),函數(shù).(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若時,對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的最小值.20.(12分)已知曲線,直線:(為參數(shù)).(I)寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;(II)過曲線上任意一點作與夾角為的直線,交于點,的最大值與最小值.21.(12分)如圖,焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓都過點,中心都在坐標(biāo)原點,且橢圓與的離心率均為.(Ⅰ)求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過點M的互相垂直的兩直線分別與,交于點A,B(點A、B不同于點M),當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時,求兩直線MA,MB斜率的比值.22.(10分)已知雙曲線及直線.(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點,O是原點,且,求實數(shù)k的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
結(jié)合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【詳解】如圖,由幾何概型公式可知:.故選:B【點睛】本題考查隨機模擬的概念和幾何概型,屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實數(shù)x,y滿足條件,目標(biāo)函數(shù)如圖:當(dāng)時函數(shù)取最大值為故答案選C【點睛】求線性目標(biāo)函數(shù)的最值:當(dāng)時,直線過可行域且在軸上截距最大時,值最大,在軸截距最小時,z值最??;當(dāng)時,直線過可行域且在軸上截距最大時,值最小,在軸上截距最小時,值最大.3、D【解析】
三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率,利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選:D.【點睛】本題考查古典概型的概率公式的計算,涉及到排列與組合的應(yīng)用,在正面情況較多時,可以先求其對立事件,即甲、乙兩人在同一個單位的概率,本題有一定難度.4、C【解析】
對此分段函數(shù)的第一部分進行求導(dǎo)分析可知,當(dāng)時有極大值,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍,故此得到極大值點的通項公式,且相應(yīng)極大值,分組求和即得【詳解】當(dāng)時,,顯然當(dāng)時有,,∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個極值點又∵時,∴,,,…,均為其極值點∵函數(shù)不能在端點處取得極值∴,,∴對應(yīng)極值,,∴故選:C【點睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解,從函數(shù)表達式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列,最后分組求和,要求學(xué)生對數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高,為中檔題5、B【解析】
由題意,可設(shè)直線的方程為,利用韋達定理判斷第一個結(jié)論;將代入拋物線的方程可得,,從而,,進而判斷第二個結(jié)論;設(shè)為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點不共線,進而判斷第三個結(jié)論.【詳解】解:由題意,可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點,的坐標(biāo)分別為,,則,.所.則直線與直線的斜率乘積為.所以①正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,,根據(jù)拋物線的對稱性可知,,兩點關(guān)于軸對稱,所以直線軸.所以②正確.如圖,設(shè)為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點不共線,則.所以③不正確.故選:B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.6、B【解析】
先利用對稱得,根據(jù)可得,由幾何性質(zhì)可得,即,從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示:由對稱性可得:為的中點,且,所以,因為,所以,故而由幾何性質(zhì)可得,即,故漸近線方程為,故選B.【點睛】本題考查了點關(guān)于直線對稱點的知識,考查了雙曲線漸近線方程,由題意得出是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7、D【解析】
因為,所以①不正確;因為,所以,,所以,所以函數(shù)的圖象是軸對稱圖形,②正確;易知函數(shù)的最小正周期為,因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可.當(dāng)時,,且,令,得,可知函數(shù)在處取得極大值為,③正確;因為,所以,所以函數(shù)的最小值為,④正確.故選D.8、D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點:平面向量數(shù)量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點,作為一類既能考查向量的線性運算、坐標(biāo)運算、數(shù)量積及平面幾何知識,又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運算進行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標(biāo)運算,此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.9、A【解析】
設(shè),用表示出,求出的值即可得出答案.【詳解】設(shè)由,,.故選:A【點睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運算,需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
由題先畫出基本圖形,結(jié)合向量加法和點乘運算化簡可得,結(jié)合的范圍即可求解【詳解】如圖,其中,所以.故選:A【點睛】本題考查向量的線性運算在幾何中的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題11、C【解析】
連接AO,因為O為BC中點,可由平行四邊形法則得,再將其用,表示.由M、O、N三點共線可知,其表達式中的系數(shù)和,即可求出的值.【詳解】連接AO,由O為BC中點可得,,、、三點共線,,.故選:C.【點睛】本題考查了向量的線性運算,由三點共線求參數(shù)的問題,熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
以為基底,將用基底表示,根據(jù)向量數(shù)量積的運算律,即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點睛】本題考查向量的線性運算以及向量的基本定理,考查向量數(shù)量積運算,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)向量關(guān)系表示,只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得:,故答案為:【點睛】此題考查求平面向量數(shù)量積的取值范圍,涉及基本運算,關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)貙ο蛄窟M行轉(zhuǎn)換,便于計算解題.14、【解析】,所以.15、5【解析】
執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,即得結(jié)果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖得,結(jié)束循環(huán),輸出.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,考查基本分析與運算能力,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】
設(shè)為的中點,根據(jù)弦長公式,只需最小,在中,根據(jù)余弦定理將表示出來,由,得到,結(jié)合弦長公式得到,求出點的軌跡方程,即可求解.【詳解】設(shè)為的中點,在中,,①在中,,②①②得,即,,.,得.所以,.故答案為:.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、相交弦長的最值,解題的關(guān)鍵求出點的軌跡方程,考查計算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1;(2)證明見解析.【解析】
(1)將不等式化為,求解得出,根據(jù)解集確定正數(shù)的值;(2)利用基本不等式以及不等式的性質(zhì),得出,,,三式相加,即可得證.【詳解】(1)解:不等式,即不等式∴,而,于是依題意得(2)證明:由(1)知,原不等式可化為∵,∴,同理,三式相加得,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號綜上.【點睛】本題主要考查了求絕對值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】
本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的求解,數(shù)列求和的錯位相減求和是數(shù)列求和中的重點與難點,要注意掌握.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1?qn-1=2n-1,結(jié)合數(shù)列的特點,考慮利用錯位相減可求數(shù)列的和解:(1)(2),兩式相減:19、(1)故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2).【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意得到的解析式和定義域,求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷單調(diào)性.(Ⅱ)分析題意可得對任意,恒成立,構(gòu)造函數(shù),則有對任意,恒成立,然后通過求函數(shù)的最值可得所求.試題解析:(I)由題意得,,∴.當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,令,解得;令,解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(II)由題意知.,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增.不妨設(shè),又函數(shù)單調(diào)遞減,所以原問題等價于:當(dāng)時,對任意,不等式恒成立,即對任意,恒成立.記,由題意得在上單調(diào)遞減.所以對任意,恒成立.令,,則在上恒成立.故,而在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上的最大值為.由,解得.故實數(shù)的最小值為.20、(I);(II)最大值為,最小值為.【解析】試題分析:(I)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè),得橢圓的參數(shù)方程為,消去參數(shù)即得直線的普通方程為;(II)關(guān)鍵是處理好與角的關(guān)系.過點作與垂直的直線,垂足為,則在中,,故將的最大值與最小值問題轉(zhuǎn)化為橢圓上的點,到定直線的最大值與最小值問題處理.試題解析:(I)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線的普通方程為.(II)曲線C上任意一點到的距離為.則.其中為銳角,且.當(dāng)時,取到最大值,最大值為.當(dāng)時,取到最小值,最小值為.【考點定位】1、橢圓和直線的參數(shù)方程;2、點到直線的距離公式;3、解直角三角形.21、(1),(2)【解析】分析:(1)根據(jù)題的條件,得到對應(yīng)的橢圓的上頂點,即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù),結(jié)合橢圓的離心率的大小,求得相應(yīng)的參數(shù),從而求得橢圓的方程;(2)設(shè)出一條直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,消元,利用求根公式求得對應(yīng)點的坐標(biāo),進一步求得向量的坐標(biāo),將S表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系,從眼角函數(shù)的角度去求最值,從而求得結(jié)果.詳解:(Ⅰ)依題意得對:,,得:;同理:.(Ⅱ)設(shè)直線的斜率分別為,則MA:,與橢圓方程聯(lián)立得:,得,得,,所以同理可得.所以,從而可以求得因為,所以,不妨設(shè),所以當(dāng)最大時,,此時兩直線MA,MB斜率的比值.點睛:該題考查的是有關(guān)橢圓與直線的綜合題,在解題的過程中,注意橢圓的對稱性,以及其特殊性,與y軸的交點即為橢圓的上頂點,結(jié)合橢圓焦點所在軸,得到相應(yīng)的參數(shù)的值,再者就是應(yīng)用離心率的大小找參數(shù)之間的關(guān)系,在研究直線與橢圓相交的問題時,首先設(shè)出直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,求得
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