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2025屆山西省臨汾一中高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.2.為了得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度3.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,若數(shù)列是遞增數(shù)列,則的取值范圍為()A. B. C. D.4.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),則f(x)的最小值為()A. B. C. D.5.如圖,在中,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),若,,且滿足,則等于()A.2 B. C. D.6.己知全集為實(shí)數(shù)集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},則等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)7.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則內(nèi)角()A. B. C. D.8.已知函數(shù),且),則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則()A. B. C. D.10.如圖,某幾何體的三視圖是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點(diǎn)O的位置有關(guān)11.已知直線和平面,若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.不充分不必要12.在一個(gè)數(shù)列中,如果,都有(為常數(shù)),那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列,且,,公積為,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,若,則________.14.已知集合U={1,3,5,9},A={1,3,9},B={1,9},則?U(A∪B)=________.15.某校高三年級(jí)共有名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)(滿分分),已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)均不低于分,將這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)分組如下:,,,,,,得到的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說(shuō)法中正確的是________(填序號(hào)).①;②這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜忠韵碌娜藬?shù)為;③這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)約為;④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為.16.在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,若,,則的取值范圍是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)證明:.18.(12分)已知函數(shù)(I)若討論的單調(diào)性;(Ⅱ)若,且對(duì)于函數(shù)的圖象上兩點(diǎn),存在,使得函數(shù)的圖象在處的切線.求證:.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時(shí),若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求證:.20.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.21.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)最小值為,且,求的最小值.22.(10分)如圖,正方體的棱長(zhǎng)為2,為棱的中點(diǎn).(1)面出過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面,標(biāo)出該平面與正方體各個(gè)面的交線(不必說(shuō)明畫(huà)法及理由);(2)求與該平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】
通過(guò)變形,通過(guò)“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象,故答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換,難度不大.3、D【解析】
先根據(jù)已知條件求解出的通項(xiàng)公式,然后根據(jù)的單調(diào)性以及得到滿足的不等關(guān)系,由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得,則.因?yàn)?,?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,所以,則,化簡(jiǎn)得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍,難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性,可根據(jù)之間的大小關(guān)系分析問(wèn)題.4、A【解析】
先通過(guò)降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再求最值.【詳解】已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因?yàn)椋詅(x)的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.5、D【解析】
選取為基底,其他向量都用基底表示后進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】由題意是的重心,,∴,,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積,解題關(guān)鍵是選取兩個(gè)不共線向量作為基底,其他向量都用基底表示參與運(yùn)算,這樣做目標(biāo)明確,易于操作.6、D【解析】
求解一元二次不等式化簡(jiǎn)A,求解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)B,然后利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算得答案.【詳解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,
∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},
由log2x<1,x>0,得0<x<2,
∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},
則,
∴.
故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算,考查了對(duì)數(shù)不等式,二次不等式的求法,是基礎(chǔ)題.7、C【解析】
由正弦定理化邊為角,由三角函數(shù)恒等變換可得.【詳解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理,考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式,掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.8、C【解析】
先求出復(fù)合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件,再看其和的包含關(guān)系,利用集合間包含關(guān)系與充要條件之間的關(guān)系,判斷正確答案.【詳解】,且),由得或,即的定義域?yàn)榛?,(且)令,其在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,在上是單調(diào)函數(shù),其充要條件為即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問(wèn)題,充要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列,求得其通項(xiàng)公式,由此求得.【詳解】由于,所以數(shù)列是等比數(shù)列,其首項(xiàng)為,第二項(xiàng)為,所以公比為.所以,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的證明,考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)四棱錐構(gòu)成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,頂點(diǎn)O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
由線面關(guān)系可知,不能確定與平面的關(guān)系,若一定可得,即可求出答案.【詳解】,不能確定還是,,當(dāng)時(shí),存在,,由又可得,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件,線面垂直,線線垂直的判定,屬于中檔題.12、B【解析】
計(jì)算出的值,推導(dǎo)出,再由,結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】由題意可知,則對(duì)任意的,,則,,由,得,,,,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和,考查了數(shù)列的新定義,推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
由題意先求得的值,可得,再令,可得結(jié)論.【詳解】已知,,,,令,可得,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,注意根據(jù)題意,分析所給代數(shù)式的特點(diǎn),通過(guò)給二項(xiàng)式的賦值,求展開(kāi)式的系數(shù)和,可以簡(jiǎn)便的求出答案,屬于基礎(chǔ)題.14、{5}【解析】易得A∪B=A={1,3,9},則?U(A∪B)={5}.15、②③【解析】
由頻率分布直方圖可知,解得,故①不正確;這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜忠韵碌娜藬?shù)為,故②正確;設(shè)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為,則,解得,故③正確;④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為,故④不正確.綜上,說(shuō)法正確的序號(hào)是②③.16、【解析】
計(jì)算出角的取值范圍,結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】,則,所以,,由正弦定理,.因此,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,正弦函數(shù)圖象和性質(zhì),考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ),.(Ⅱ)見(jiàn)解析【解析】
(1)由,分和兩種情況,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由題,得,利用等比數(shù)列求和公式,即可得到本題答案.【詳解】(Ⅰ)解:由題,得當(dāng)時(shí),,得;當(dāng)時(shí),,整理,得.?dāng)?shù)列是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,,;(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,,故.故得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)的關(guān)系式求通項(xiàng)公式以及利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和并證明不等式,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和推理證明能力.18、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)證明【解析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分別討論,以及,即可得出結(jié)果;(2)根據(jù)題意,由導(dǎo)數(shù)幾何意義得到,將證明轉(zhuǎn)化為證明即可,再令,設(shè),用導(dǎo)數(shù)方法判斷出的單調(diào)性,進(jìn)而可得出結(jié)論成立.【詳解】(1)解:易得,函數(shù)的定義域?yàn)?,,令,得?①當(dāng)時(shí),時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增.此時(shí),的減區(qū)間為,增區(qū)間為.②當(dāng)時(shí),時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;或時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增.此時(shí),的減區(qū)間為,增區(qū)間為,.③當(dāng)時(shí),時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;此時(shí),的減區(qū)間為.綜上,當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為,增區(qū)間為:當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為,增區(qū)間為.;當(dāng)時(shí),增區(qū)間為.(2)證明:由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得由(1)中得.易知,導(dǎo)函數(shù)在上為增函數(shù),所以,要證,只要證,即,即證.因?yàn)?,不妨令,則.所以,所以在上為增函數(shù),所以,即,所以,即,即.故有(得證).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)極值等即可,屬于常考題型.19、(1);(2)當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù);(3)證明見(jiàn)解析.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,求得其導(dǎo)函數(shù),,可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)由已知得,得出導(dǎo)函數(shù),并得出導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間,可得出函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時(shí),,,由(2)得的單調(diào)區(qū)間,以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,不妨設(shè),且有,,構(gòu)造函數(shù),分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性,得出其最值,所證的不等式可得證.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以,,所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為,即;(2)由已知得,,令,得,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);(3)當(dāng)時(shí),,,由(2)得在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以,且時(shí),,當(dāng)時(shí),,,所以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,不妨設(shè),且有,,構(gòu)造函數(shù),則,當(dāng)時(shí),所以,在上單調(diào)遞減,且,,由,在上單調(diào)遞增,.所以.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)的切線方程,討論函數(shù)的單調(diào)性,以及證明不等式,關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),得出其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性,屬于難度題.20、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)通過(guò)證明面,即可由線面垂直推證面面垂直;(2)根據(jù)面,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求到面的距離,利用等體積法求點(diǎn)面距離即可.【詳解】(1)因?yàn)槔庵侵比庵?,所以又,所以面又,分別為AB,BC的中點(diǎn)所以//即面又面,所以平面平面(2)由(1)可知////所以//平面即點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離設(shè)點(diǎn)到面的距離為由(1)可知,面且在中,,易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于【點(diǎn)睛】本題考查由線面垂直推證面面垂直,涉及利用等體積法求點(diǎn)面距離,屬綜合中檔題.21、(1)(2)【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法,求得不等式的解集.(2)先求得,即,再根據(jù)“的代換”的方法,結(jié)合基本不等式,求得的最小值.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,即,無(wú)解;當(dāng)時(shí),,即,得;當(dāng)時(shí),,即,得.故所求不等式的解集為.(2)因?yàn)?,所以,則,.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故的最小值
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