2025年機械振動課題簡支梁振動特性深度解析與應用研究

專業(yè)：航空宇航推進理論與工程12月簡支梁的振動特性分析題目：針對簡支梁、分別用單、雙、三、十個自由度以及持續(xù)體模型，計算其固有頻率、固有振型。單、雙、三自由度模型規(guī)定雅可比法、子空間迭代法求解基頻；持續(xù)體規(guī)定推導理論解，并通過有限元軟件進行數(shù)值計算。一、單自由度簡支梁的振動特性因此質(zhì)量為m的簡支梁，等效到中間位置的所有質(zhì)量為：故單自由度簡支梁橫向振動的固有頻率為：mk圖1簡支梁的單自由度模型二、雙自由度簡支梁的振動特性如圖2,將簡支梁簡化為雙自由度模型，仍假設在簡支梁中間位置作用載荷，根據(jù)對稱性，等效質(zhì)量相等，因此只規(guī)定出在1/3處的等效質(zhì)量即可。在1/6至1/2之間積分，運用最大動能進行質(zhì)量等效，略去小量得：因此，質(zhì)量矩陣為：雙自由度簡支梁的柔度矩陣：在b=21/3處作用單位力，撓曲線方程為：因此，柔度矩陣為：動力矩陣：令特性行列式為零，得到頻率方程為：將上式整頓得：其中，解上述方程的根為：其中1圖2簡支梁的雙自由度模型22三、三自由度簡支梁的振動特性將上式整頓得：其中圖3簡支梁的三自由度模型將簡支梁簡化為十自由度模型(如圖4)。圖4簡支梁的十自由度模型通過在一點施加單位力，計算其他點的撓度，可得柔度矩陣：表1十自由度撓度變形矩陣y十自由度簡支梁為十個集中質(zhì)量的振動模型，每個質(zhì)量都近似等于因此，質(zhì)量矩陣為：動力矩陣為：下面，用如下幾種措施計算十自由度簡支梁的固有頻率與振型。運用鄧克萊法求基頻(比精確值小):因此，將柔度矩陣主對角線上各元素相加并乘以,可求得：(1)瑞利第一商柔度矩陣求逆得剛度矩陣：,其中，三矩陣見表2。假設力作用在簡支梁中間位置而得到各點的靜變形，可以表達為：A=x[1.9332.7333.3313.6633.6633.3312.7331因此，可以假設振型：A=[11.9332.7333.3313.6633.6633.3312.7331.(2)瑞利第二商3、李茲法y?=[-1-1.8-2.5-1-0.20.212.51因此系統(tǒng)的前三階主振型的近似為：A2)=vA32)≈-1.39×(11.891.820.53-0.37-1.05-1.04-0.97-0.13-0.12)A3=vA3)≈-0.28×(12.40-2.02-2.11-3.57-5.79-1.197.819.484.93)4、矩陣迭代法單位力作用在簡支梁中間位置得到各點的撓度變形，將首項化一，得：μ=k[11.9332.7333.3313.6633.6633其中，A,=[11.9332.7333.3313.6633.6633.3312.7331.運用矩陣迭代求第一階固有頻率和主振型：=0.0633mδ×[11.92092.68553.23333.51753.51753.23332.68551A=[11.92092.68553.23333.51753.51753.23332.68551.92=0.0616mδ×[11.92062.68463.23183.51553.51553.23182.68461.92061A=[11.92062.68463.23183.51553.51553.23182.68461.92=0.0616mδ×[11.92072.68473.23183.51553.51553.23182.68471.92071]A?=[11.92072.68473.23183.5155A與A基本相等，因此可以認為系統(tǒng)的第一階主振型為：A①=[11.92072.68473.23183.51553.51553.23182.68471.92071]第一階固有頻率為：根據(jù)雅可比法原理，依次找出上三角非對角線上(考慮對稱性)的最大元素，運用公式得到θ值，代入旋轉(zhuǎn)矩陣，可得：00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000由此得到系統(tǒng)的固有頻率：對應各特性值的特性向量即為振型，即R的列向量為各階振型。6、子空間迭代法由動力矩陣迭代得到：將各列分別歸一化得：求得M;和；分別為：再由李茲法得特性值問題為：a?=0.00147,a?=0.0236,a?=0.1yAi=各列分別歸一化后，得：1111反復上述過程進行第二次迭代。由：0.36990.62250.62250.36990.1926-0.002-0.007-0.0070.00080.00250.0022-0.0422-0.0120.01210.04220.0388歸一化后得：11 -0.653850.9615380.576923-0.384620.32950.41680.00240.00830.000600.17580.02290.00090.00041.91860.0023a?=0.00147,a?=0.0236,a?=0.對應的主振型為：0.5457各列分別歸一化后，得： -0.5197-0.96410.5368740.70850.43450.99070.3556-0.25114111ym=0.62250.6225110.28444800-0.0020.988372 -0.23256-0.81395-0.81395-0.2209310 -0.00260.0013 0.0009 -0.653850.9615380.576923-0.38462-0.92308-0.269230.8461541 0 0.0424 0.0121