湖南省長沙市長郡教育集團(tuán)聯(lián)考2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

湖南省長沙市長郡教育集團(tuán)聯(lián)考2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分，在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的，請?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)）1．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，屬于軸對稱的是（）A． B． C． D．2．下列計(jì)算正確的是（）A．b3?b3=2b3 B．3．根據(jù)攜程發(fā)布的《2024年元旦跨年旅游報(bào)告》顯示：星城長沙上榜2024年元旦跨年熱門旅游目的地.元旦假期，長沙市接待游客超過6000000人次.6000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．0.6×107 B．6×1074．下列屬于最簡二次根式的是（）A．9 B．10 C．0.5 5．如果x2+6x+m是一個(gè)完全平方式，則A．3 B．9 C．6 D．-96．把分式xyx+y中的x和yA．?dāng)U大10倍 B．?dāng)U大100倍 C．縮小為110 7．等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的腰長為（）A．5cm B．3cm C．5cm或3cm D．7cm8．如圖，在△ABC中，∠ACB為直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，則AB的長度是（）A．4 B．3 C．2 D．19．某地開展建設(shè)綠色家園活動(dòng)，活動(dòng)期間，計(jì)劃每天種植相同數(shù)量的樹木，該活動(dòng)開始后，實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多植樹50棵，實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹300棵所需時(shí)間相同，設(shè)原計(jì)劃每天植樹x棵．則下列方程正確的是（）A．400x?50=300C．400x+50=30010．如圖，已知∠AOB=120°，點(diǎn)D是∠AOB的平分線上的一上定點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線OA和射線OB上，且∠EDF=60°.下列結(jié)論：①△DEF是等邊三角形；②四邊形DEOF的面積是一個(gè)定值；①當(dāng)DE⊥OA時(shí)，△DEF的周長最??；④當(dāng)DE∥OB時(shí)，DF也平行于OA.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．計(jì)算：50?812．若代數(shù)式2x?3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為.13．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(3，?6)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，DE垂直平分AB，分別交BC，AB于點(diǎn)D，E，若AD=2，則BC=15．如圖，在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，若AB=5，AC=3，DF=1，則△ABC的面積為.16．若代數(shù)式2a2+3a+1的值為6，則代數(shù)式6三、解答題（本題共9個(gè)小題，共72分）17．分解因式：（1）x2（2）3a18．計(jì)算下列各式：（1）1a?2（2）(x19．解下列分式方程：（1）1x?2（2）xx?120．先化簡，再求值：xx2?2x+121．如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，且點(diǎn)D在線段BC上，連CE.（1）求證：△ABD?△ACE；（2）若∠EAC=60°，求∠CED的度數(shù).22．如圖，在△ABC中，已知AB=AC，D是AB邊上的一點(diǎn)，CD=3，BC=10，BD=1（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面積.23．某商店購進(jìn)A，B兩種商品，購進(jìn)一個(gè)A商品比購買一個(gè)B商品少10元，并且花費(fèi)100元購買的A商品和花費(fèi)300元購進(jìn)的B商品的數(shù)量相等.（1）求購買一個(gè)A商品和B商品各需要多少元；（2）商店準(zhǔn)備購進(jìn)A，B兩種商品共80件，若B商品的數(shù)量不少于A商品的4倍，并且購買A，B商品的總費(fèi)用不低于1000且不高于1100，那么商店有幾種購買方案？24．我們規(guī)定：在最簡分式中，分子、分母都是各項(xiàng)系數(shù)為整數(shù)的整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式.例如，分式4x+2，3x2x3?4x是真分式.如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式.例如，分式x+1x?1，x2x+1（1）已知：下列分式與假分式P=2x?7x?3互為“和整分式”的是①1x+3；②1x?3；③（2）若假分式M=2x2?3x?4x?1①求真分式N；②當(dāng)M+N=0時(shí)，求M的值.（3）若A與B均與真分式2x?2互為“和整分式”，直接寫出當(dāng)整數(shù)x為何值時(shí)，分式A+B25．如圖1，點(diǎn)P為△ABC的外角∠BCD的平分線上一點(diǎn)，PA=PB，PE⊥BC于E.（1）求證：∠PAC=∠PBC；（2）若∠APB=90°，連接AE，S△ACP=2S△AEP，（3）如圖2，若M，N分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，且2∠MPN=∠APB，求證：BN=AM+MN.

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、屬于軸對稱，A不符合題意；

B、不屬于軸對稱，B不符合題意；

C、不屬于軸對稱，C不符合題意；

D、不屬于軸對稱，D不符合題意；

故答案為：A

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義結(jié)合題意對選項(xiàng)逐一分析即可求解。2．【答案】B【解析】【解答】解：

A、b3?b3=b6，A不符合題意；

B、(ab2)3=a3．【答案】C【解析】【解答】解：由題意得6000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為6×106，

故答案為：C4．【答案】B【解析】【解答】解：由題意得9=3，10=10，0.5=12=225．【答案】B【解析】【解答】解：∵x2+6x+m是一個(gè)完全平方式，

∴m=9，

故答案為：B6．【答案】A【解析】【解答】解：由題意得把分式xyx+y中的x和y都擴(kuò)大10倍得10x·10y10x+y=10·x·yx+y，

7．【答案】A【解析】【解答】解：當(dāng)長是3cm的邊是底邊時(shí)，三邊為3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；

當(dāng)長是3cm的邊是腰時(shí)，底邊長是：13-3-3=7cm，而3+3＜7，不滿足三角形的三邊關(guān)系．∴腰長是5cm故答案為：D【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊并結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)分3cm長的邊是腰和底邊兩種情況進(jìn)行分類討論即可求解。8．【答案】A【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB是直角，∠A=30°，∴∠DCB=30°，∴sin∠DCB=DBCB∴CB=2DB，AB=2CB，∴AB=4DB=4×1=4，故答案為：A【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠DCB=∠A=30°，再根據(jù)正弦定理可得CB=2DB，AB=2CB，依據(jù)相等關(guān)系列出方程即可求解。9．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天植樹x棵，由題意得400x+50=300x，

故答案為：C10．【答案】C【解析】【解答】解：如圖1所示，連接OD，作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，∵點(diǎn)D是∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，∴DM=DN，∴∠MDN=360°?∠DMO?∠MON?∠DNO=60°=∠EDF，∴∠MDN?∠EDN=∠EDF?∠EDN，即∠MDE=∠NDF，∵∠MDE=∠NDF，DM=DN，∠DME=90°=∠DNF，∴△MDE≌△NDF(ASA)，∴DE=DF，∴△DEF是等邊三角形；①正確；∵△MDE≌△NDF(ASA)，∴S四邊形DEOF∵點(diǎn)D是∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，∴四邊形DEOF的面積是一個(gè)定值，②正確；∵△DEF的周長為3DE，當(dāng)DE⊥OA時(shí)，DE最短，即等邊△DEF的周長最小，③正確；如圖2所示，當(dāng)DE∴∠E∴△E∵△DEF是等邊三角形，∴F與O重合，DF與OA交于點(diǎn)O；④錯(cuò)誤；故答案為：C【分析】連接OD，作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DM=DN，進(jìn)而進(jìn)行角的運(yùn)算得到∠MDE=∠NDF，再運(yùn)用三角形全等的判定與性質(zhì)證明△MDE≌△NDF(ASA)即可得到DE=DF，進(jìn)而個(gè)等邊三角形的判定即可判斷①；根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到S四邊形DEOF=S四邊形DEON+S△DNF=S四邊形DEON+S△DME11．【答案】3【解析】【解答】解：由題意得50?8=52-2212．【答案】x≥【解析】【解答】解：由題意得2x-3≥0，

∴x≥32，

故答案為：x≥13．【答案】(3【解析】【解答】解：由題意得點(diǎn)(3，?6)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，6)，

14．【答案】3【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，AD=2，∴DA=DB=2，

∵∠B=30°，∴∠EAD=∠B=30°，∴∠CDA=60°，∴∠DAC=180°?90°?60°=30°，∴CD=1∴BC=CD+BD=3．故答案為：3．【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB=2，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAD=∠B=30°，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可得到∠DAC的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得到CD，從而即可求出CB。15．【答案】4【解析】【解答】解：∵AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=1，∵AB=5，AC=3，∴S===4．故答案為：4．【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)并結(jié)合題意可得DE=DF=1，然后根據(jù)三角形面積公式即可求解。16．【答案】20【解析】【解答】解：由題意得2a2+3a+1=6，

∴2a2+3a=5，

∴6a2+9a+5=317．【答案】（1）解：原式=x2（2）解：原式=3(a2+2ab+b2)=3(a+b)2.【解析】【分析】（1）根據(jù)平方差公式因式分解即可求解；

（2）先提出公因式3，進(jìn)而根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解即可求解。18．【答案】（1）解：1====1（2）(===?x．【解析】【分析】（1）根據(jù)分式的混合運(yùn)算結(jié)合題意進(jìn)行化簡即可求解；

（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算結(jié)合題意進(jìn)行化簡即可求解。19．【答案】（1）解：1?1=1?x?3(2?x)?1=1?x?6+3x?2x=?4x=2當(dāng)x=2時(shí)，x?2=0，∴x=2是原方程的增根，此方程無解．（2）解：xx(x+1)?(2x?1)=x?x=?2x=2當(dāng)x=2，x?1≠0，x2∴x=2是方程的解．【解析】【分析】（1）根據(jù)分式的混合運(yùn)算結(jié)合題意化簡方程，進(jìn)而即可求出x，最后檢驗(yàn)即可求解；

（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算結(jié)合題意化簡方程，進(jìn)而即可求出x，最后檢驗(yàn)即可求解。20．【答案】解：x====當(dāng)x=2原式=1【解析】【分析】先運(yùn)用分式的混合運(yùn)算結(jié)合題意進(jìn)行化簡，進(jìn)而代入數(shù)值即可求解。21．【答案】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，∴△ABD?△ACE(SAS)（2）解：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴△ABC和△ADE是等腰Rt三角形，∴∠B=∠DEA=45°，由（1）得：∠ACE=∠B=45°，在△ACE中，∠ACE=45°，∠EAC=60°，∴∠AEC=75°，∴∠CED=∠AEC?∠DEA=30°.【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意得到∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，進(jìn)而根據(jù)三角形全等的判定即可求解；

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到∠B=∠DEA=45°，進(jìn)而根據(jù)三角形全等的性質(zhì)∠ACE=∠B=45°，從而進(jìn)行角的運(yùn)算即可求解。22．【答案】（1）證明：∵CD=3，BC=10，BD=1∴C∴△BCD為Rt△（2）解：設(shè)AD=x，則AC=x+1，在Rt△ADC中，(x+1)2解得：x=4.∴S【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理結(jié)合題意即可求解；

（2）設(shè)AD=x，則AC=x+1，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求出x，從而根據(jù)三角形的面積即可求解。23．【答案】（1）解：設(shè)A商品單價(jià)為x元，則B商品單價(jià)為(x+10)元，100x解得：x=5.經(jīng)檢驗(yàn)x=5是原方程的根.答：A商品的單價(jià)為5元，B商品的單價(jià)為15元.（2）解：設(shè)A商品購買m件，B商品購買(80?m)件.80?m≥4m解得：10≤m≤16，又m為正整數(shù).∴m=10、11、12、13、14、15、16，共7種方案.【解析】【分析】（1）設(shè)A商品單價(jià)為x元，則B商品單價(jià)為(x+10)元，進(jìn)而根據(jù)“購進(jìn)一個(gè)A商品比購買一個(gè)B商品少10元，并且花費(fèi)100元購買的A商品和花費(fèi)300元購進(jìn)的B商品的數(shù)量相等”即可列出分式方程，進(jìn)而即可求解；

（2）設(shè)A商品購買m件，B商品購買(80?m)件，進(jìn)而根據(jù)題意即可列出不等式組，從而解不等式組，最后結(jié)合題意即可求解。24．【答案】（1）②（2）解：①∵M(jìn)=(2∴N=②∵M(jìn)+N=2x?1=0，∴x=1當(dāng)x=12（3）解：x=?2，0，1，3，4，6【解析】【解答】】解：（1）①∵1====2(x?4)則該分式與假分式P=2x?7∴該分式與假分式P=2x?7②∵1x?3則該分式與假分式P=2x?7∴該分式與假分式P=2x?7③∵7x?3則該分式與假分式P=2x?7∴該分式與假分式P=2x?7故答案為：②；（2）①∵M(jìn)=(2又∵存在一個(gè)真分式N與M互為“和整分式”，∴N=5②∵M(jìn)+N=2x?1=0，∴x=1當(dāng)x=12時(shí)，（3）∵A與B均與真分式2x?2設(shè)A+2x?2=C∴C，D都是整式，且A+B+4∵A+B的值為整數(shù)，∴4x?2∴4能被(x?2)整除，且x?2≠0即x≠2，∴x?2=±1或±2或±4，解得：x=3或1或4或0或6或?2，∴當(dāng)整數(shù)x為?2或0或1或3或4或6時(shí)，分式A+B的值為整數(shù)．【分析】（1）根據(jù)“和整分式”的定義結(jié)合題意進(jìn)行判斷即可求解；（2）①根據(jù)“和整分式”的定義可得N的值；②根據(jù)M+N=0得到x=12，進(jìn)而代入（3）先根據(jù)“和整分式”的定義