2024學(xué)年度第一學(xué)期徐匯區(qū)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力診斷試卷

2024學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷高三數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）2024.12填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果．1.不等式的解集為.2.已知函數(shù)，其中，則.3.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則正整數(shù)的值為.4.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為.5.設(shè)，.若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則.6.已知為空間中兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，若，，則是的條件.（填：“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一個(gè)）7.某景點(diǎn)對(duì)天內(nèi)每天的游客人數(shù)（單位：萬(wàn)人）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖（如右圖所示），則該樣本的第百分位數(shù)是.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則________.設(shè)，，若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________.10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且，若此橢圓的離心率為，則的大小為_(kāi)_______.11.徐匯濱江作為2024年上海國(guó)際鮮花展的三個(gè)主會(huì)場(chǎng)之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見(jiàn)容器，它可視作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，上面圓臺(tái)的上?下底面直徑分別為和，下面圓臺(tái)的上?下底面直徑分別為和，且兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖的圓弧所對(duì)的圓心角相等．若上面圓臺(tái)的高為，則該花盆上、下兩部分母線長(zhǎng)的總和為_(kāi)_________．

12.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的值域也是,所有這樣的函數(shù)形成全集.設(shè)非空集合且中的每一個(gè)函數(shù)都是中的兩個(gè)函數(shù)(可以相同)的復(fù)合函數(shù),則集合的元素個(gè)數(shù)的最小值為_(kāi)_________.選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.下列拋物線中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為的是（）A.B.C. D.14.一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同．每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸出個(gè)球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過(guò)重復(fù)摸球足夠多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，則據(jù)此估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為（）A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè) D.個(gè)15.已知函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)的定義域均為.若函數(shù)是偶函數(shù)且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則下列各表中，可能成為取值的是（）A.12.818821.000030.364440.2468B.10.758021.000031.318841.7979C.12.413221.000031.588544.1116D.10.866421.000031.118841.224016.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)（為正整數(shù)）.若存在常數(shù)，使得任意兩兩不相等的正整數(shù)，都有，則稱(chēng)數(shù)列為“輪換均值數(shù)列”.現(xiàn)有下列兩個(gè)命題：①任意等差數(shù)列都是“輪換均值數(shù)列”.②存在公比不為1的等比數(shù)列是“輪換均值數(shù)列”.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題 D.①、②都是假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知，若定義在上的函數(shù)的最小正周期為，且對(duì)任意的，都有.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，求的值.18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，在四棱錐中，，，.為棱的中點(diǎn)，異面直線與所成角的大小為．（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．19.（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）某企業(yè)招聘員工，指定“英語(yǔ)聽(tīng)說(shuō)”、“信息技術(shù)”、“邏輯推理”作為三門(mén)考試課程，有兩種考試方案.方案一：參加三門(mén)課程的考試，至少有兩門(mén)及格為通過(guò)；方案二：在三門(mén)課程中，隨機(jī)選取兩門(mén)，并參加這兩門(mén)課程的考試，兩門(mén)都及格為通過(guò).假設(shè)某應(yīng)聘者參加三門(mén)指定課程考試及格的概率分別是（），且三門(mén)課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.（1）分別求該應(yīng)聘者選方案一考試通過(guò)的概率和選方案二考試通過(guò)的概率；（2）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小，并說(shuō)明理由.20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知過(guò)點(diǎn)的雙曲線的漸近線方程為.如圖所示，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線交的右支于，兩點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，求證：；（3）若以為直徑的圓被直線截得的劣弧為，則所對(duì)圓心角的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若點(diǎn)在導(dǎo)函數(shù)圖像上，且滿足，則稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)“類(lèi)數(shù)”