《畫(huà)法幾何與建筑制圖》課件-3直線(xiàn)與平面、平面與平面的相對(duì)位置

直線(xiàn)與平面、平面與平面的平行

直線(xiàn)與平面、平面與平面的相交

直線(xiàn)與平面、平面與平面的垂直

換面法第3章直線(xiàn)與平面、平面與平面的相對(duì)位置3.13.23.33.43.1直線(xiàn)與平面、平面與平面的平行直線(xiàn)與平面、平面與平面的相對(duì)位置有：平行、相交和垂直3.1.1直線(xiàn)與平面的平行若一直線(xiàn)與某平面內(nèi)的任一直線(xiàn)平行，那么此直線(xiàn)與該平面平行，反之亦然。例：過(guò)點(diǎn)M作一正平線(xiàn)MN與平面△ABC平行。

dd'nn'

分析：

過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作某一平面的平行線(xiàn)可以有無(wú)數(shù)條，但本題要作的是正平線(xiàn)，因此在△ABC平面內(nèi)只要作一條正平線(xiàn)AD，使MN平行于該正平線(xiàn)即可。

過(guò)點(diǎn)作與已知平面平行的正平線(xiàn)

作圖：

①在△ABC的水平投影△abc中，由點(diǎn)a作X軸平行線(xiàn)與bc邊相交于d，并由ad得a′d′

。

②過(guò)點(diǎn)m、m′分別作直線(xiàn)mn、m′n′平行于ad、a′d′

，MN

（mn、m′n′）即為所求。例：判斷直線(xiàn)AB是否與平面△DEF平行。

gg'b'OXafedf'a'e'd'b

分析：假設(shè)直線(xiàn)AB與平面△DEF平行，則在平面△DEF內(nèi)一定能作一條與AB平行的直線(xiàn)。否則，直線(xiàn)與平面不平行。作圖：過(guò)點(diǎn)e

作一條與a

b

平行的直線(xiàn)e

g

，作出其水平投影eg，判斷平面與直線(xiàn)是否平行的作圖從圖中看出，eg不平行ab。結(jié)論：直線(xiàn)AB與平面△DEF不平行。3.1.2平面與平面的平行由幾何學(xué)可知：若一平面內(nèi)的兩相交直線(xiàn)與另一平面內(nèi)的兩相交直線(xiàn)對(duì)應(yīng)平行，則該兩平面互相平行。例：過(guò)點(diǎn)K作一平面與平面△ABC平行。

ff'e'eOkk'Xbcac'b'a'

分析：過(guò)點(diǎn)K作平面平行于△ABC平面時(shí)，只要過(guò)點(diǎn)K作兩相交直線(xiàn)與△ABC的任意兩邊平行即可。作圖：過(guò)k作ke∥bc、

kf∥ac，過(guò)k

作k

e

∥b

c

，k

f

∥a

c

，則KEF組成的平面即為所求。

過(guò)點(diǎn)作平行平面

若兩投影面的垂直面互相平行，則它們積聚性的同面投影也互相平行，反之亦然。

兩鉛垂面互相平行3.2直線(xiàn)與平面、平面與平面的相交直線(xiàn)與平面相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn)。直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)既在直線(xiàn)上，又在平面上，是直線(xiàn)與平面的共有點(diǎn)，也是直線(xiàn)可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界點(diǎn)。求直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上就是求直線(xiàn)與平面的共有點(diǎn)并判別可見(jiàn)性的問(wèn)題。平面與平面相交，其交線(xiàn)是兩平面的一條共有線(xiàn)，也是平面可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線(xiàn)。求出交線(xiàn)上的兩個(gè)共有點(diǎn)，連接起來(lái)就得到兩平面的交線(xiàn)。求平面與平面的交線(xiàn)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上就是求兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題。3.2.1一般位置直線(xiàn)與特殊位置平面相交直線(xiàn)與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)，是直線(xiàn)和平面的共有點(diǎn)，既在直線(xiàn)上，又在平面上。當(dāng)平面垂直于投影面時(shí)，平面在該投影面上的投影具有積聚性。利用積聚性可以找出交點(diǎn)的一個(gè)投影，然后利用直線(xiàn)上取點(diǎn)的作圖方法求出交點(diǎn)的另一投影，再利用相對(duì)位置判別可見(jiàn)性。1'(2')kk'a'b'c'acbXOe'f'ef

①求交點(diǎn)。交點(diǎn)K的水平投影k必在abc上。因?yàn)辄c(diǎn)K又在EF上，所以點(diǎn)k必在ef上，ef與cde的交點(diǎn)即為交點(diǎn)K的水平投影k，據(jù)點(diǎn)k可求出K的正面投影點(diǎn)k

。

②判別可見(jiàn)性。

EF與AB是一對(duì)交叉直線(xiàn)，Ⅰ在AB上，Ⅱ在EF上，點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ在V面有重影點(diǎn)，由于yⅠ＞yⅡ，對(duì)V面而言，點(diǎn)Ⅰ的投影可見(jiàn)，點(diǎn)Ⅱ的投影不可見(jiàn)，即線(xiàn)段a

b

可見(jiàn)，而e

f

上被平面遮住的部分k

2

不可見(jiàn)，畫(huà)為細(xì)虛線(xiàn)。

一般位置直線(xiàn)與鉛垂面相交分析與作圖步驟:12例：求直線(xiàn)EF與平面ABC的交點(diǎn)。

3.2.2特殊位置直線(xiàn)與一般位置平面相交當(dāng)直線(xiàn)垂直于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影具有積聚性。利用積聚性可以找出交點(diǎn)的一個(gè)投影，然后利用平面上取點(diǎn)和線(xiàn)的作圖方法求出交點(diǎn)的另一投影，利用相對(duì)位置判別可見(jiàn)性。例：求直線(xiàn)AB與平面CDE的交點(diǎn)。

c'k′kOXee'cdd'b'ba'(a)①

求交點(diǎn)。由于直線(xiàn)AB的水平投影積聚成一點(diǎn)，因此交點(diǎn)K的水平投影k必與之重合。又由于交點(diǎn)K屬于△CDE，故可利用平面上取點(diǎn)的方法，求出點(diǎn)K的正面投影k′。

②判別可見(jiàn)性。由水平投影可知，平面上的DE邊與AB是交叉直線(xiàn)，由于DE在后，AB在前，所以在正面投影中，k′a′可見(jiàn)，為實(shí)線(xiàn)，k′b′與d′e′重疊的部分不可見(jiàn)，則用虛線(xiàn)表示。一般位置平面與正垂線(xiàn)相交分析與作圖步驟:3.2.3一般位置平面與特殊位置平面相交兩平面的交線(xiàn)是一條直線(xiàn)，這一交線(xiàn)為兩平面的共有線(xiàn)。要確定這一直線(xiàn)的位置，只要找出屬于直線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)即可。例：求平面ABCD與平面GEF的交點(diǎn)。

①求交線(xiàn)K1K2。利用平面ABCD在水平面上具有積聚性，可直接求出K1、K2的水平投影k1、k2。利用表面取點(diǎn)的方法，求出K1、K2的正面投影k1′、k2′，并連接其同面投影，則線(xiàn)段K1K2為所求。

②判別可見(jiàn)性。由H面投影可知，AB與EF

交叉，其正面重影點(diǎn)AB在EF的前方，故V面投影中e′k2′與a′b′

c′d′重合部分為不可見(jiàn)，f′k2′為可見(jiàn)，其余部分的可見(jiàn)性可由此進(jìn)一步確定。（因?yàn)閒在e之前，所以f′k2′為可見(jiàn)）a

b

c'd

a(b)d(c)e

f

g

efgk2'k1

k1k2一般位置平面與鉛垂面相交XO分析與作圖步驟:ee'ff'dd'aa'c'b'cm'n'm(n)

分析：兩鉛垂面相交，交線(xiàn)一定是一條鉛垂線(xiàn)，在H面投影積聚為一點(diǎn)，V面投影垂直于OX軸且在兩平面的公共范圍內(nèi)。作圖：

①求交線(xiàn)。

利用鉛垂面的積聚性，可直接求出交線(xiàn)的水平投影為m（n），過(guò)m作OX軸垂線(xiàn)，分別交

d′f

′、d′e

′于m′、n′，得交線(xiàn)的V面投影m′n′。

②判別V面投影可見(jiàn)性。

由H面投影可知，在交線(xiàn)MN左邊，△DEF

中EFMN部分在△

ABC平面的前方，故其V面投影e′f′m′n′部分可見(jiàn)，其余部分可由此進(jìn)一步確定。例:已知兩平面ABC

與DEF相交，試求其交線(xiàn)。兩正垂面相交求交線(xiàn)bXO3.3直線(xiàn)與平面、平面與平面的垂直

3.3.1直線(xiàn)與平面的垂直由幾何學(xué)可知：一條直線(xiàn)如果和一個(gè)平面內(nèi)的任意兩條相交直線(xiàn)垂直，則這條直線(xiàn)就和這個(gè)平面垂直。（1）若一直線(xiàn)垂直于一平面，則直線(xiàn)的水平投影必垂直于該平面水平線(xiàn)的水平投影；直線(xiàn)的正面投影必垂直于該平面正平線(xiàn)的正面投影。（2）若一直線(xiàn)的水平投影垂直于某一平面水平線(xiàn)的水平投影，直線(xiàn)的正面投影垂直于該平面正平線(xiàn)的正面投影，則該直線(xiàn)必垂直于該平面。edd'e'OXbcac'b'a'分析：直線(xiàn)DE垂直于鉛垂面△ABC，則DE一定是水平線(xiàn)。因?yàn)閐e⊥abc，且d′e′∥OX軸，則點(diǎn)E必為垂足。直線(xiàn)與鉛垂面垂直例:過(guò)點(diǎn)D作平面ABC

的垂線(xiàn)DE。

3.3.2平面與平面的垂直由幾何學(xué)可知：若一直線(xiàn)垂直于一定平面，則包含這條直線(xiàn)的所有平面都垂直于該平面。反之，若兩平面互相垂直，則由第一個(gè)平面上任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面所作的垂線(xiàn)一定在第一個(gè)平面上。例:已知鉛垂面ABCD和鉛垂面ABEF相互垂直，求作鉛垂面ABEF的水平投影。

鉛垂面ABCD和鉛垂面ABEF互相垂直，則它們積聚性的水平投影互相垂直。f(e)e'f'(b)ad（c）c'XOb'd'a'兩鉛垂面垂直例：已知點(diǎn)D和平面△ABC的投影，求點(diǎn)D到平面△ABC的距離及投影。e'e

分析：在V投影面中，過(guò)d′作a′b′c′的垂線(xiàn)d′e′，那么DE必定是正平線(xiàn)，過(guò)d作OX軸平行線(xiàn)與過(guò)e′作OX軸的垂線(xiàn)相交，得交點(diǎn)e，de即為DE的水平投影。由于正平線(xiàn)在V面反映實(shí)長(zhǎng)，所以d′e′為點(diǎn)D到平面△ABC的實(shí)際距離。cc'XOa'b'abd'd求點(diǎn)到平面的距離及投影O3.4換面法

3.4.1概述

在原投影面體系中，保持空間幾何元素的位置不動(dòng)，再建立一個(gè)新的投影面，使新建立的投影面相對(duì)于空間幾何元素處于特殊位置以有利于解題。這種方法稱(chēng)為變換投影面法，簡(jiǎn)稱(chēng)換面法。新投影面的選擇，必須符合兩個(gè)基本條件：①新投影面必須和空間幾何元素處于有利于解題的位置。②新投影面必須垂直于原來(lái)投影體系中的一個(gè)投影面。

3.4.2基本變換1.點(diǎn)的投影變換

1）點(diǎn)的一次變換：

變換V面VHXX1a1'ax1V1V1HX1①新投影與不變投影之間的連線(xiàn)垂直于新投影軸；②新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。a1'a'aXVH點(diǎn)的一次投影變換（變換V面）Aaxa'a

1）點(diǎn)的一次變換：

變換H面VHXH1X1a1ax1a1X1VH1ax1

用正垂面H1來(lái)代替H面，H1面和V面組成新投影體系V/H1，投影體系由V/H變換為V/H1。新舊兩體系具有同一個(gè)V面，因此a1ax1=Aa′

=aax。

a'aXVH點(diǎn)的一次投影變換（變換H面）Aaxa'a

2）點(diǎn)的二次變換a2點(diǎn)的二次投影變換V1HX1a1'a'aXVH

更換一次投影面有時(shí)候不能解決問(wèn)題，而需要更換兩次或多次才行。其原理與點(diǎn)的一次換面相同。2.直線(xiàn)的投影變換

1）將一般位置直線(xiàn)變換為投影面平行線(xiàn)——換V面將一般位置直線(xiàn)變換為投影面平行線(xiàn)為一次換面，新投影軸應(yīng)平行于直線(xiàn)原有的一個(gè)投影。a1'b1'V1HX1

換V面：軸與水平投影平行實(shí)長(zhǎng)平行一般位置直線(xiàn)變換成H1面平行線(xiàn)aa'b'bVXH2.直線(xiàn)的投影變換

1）將一般位置直線(xiàn)變換為投影面平行線(xiàn)——換H面將一般位置直線(xiàn)變換為投影面平行線(xiàn)為一次換面，新投影軸應(yīng)平行于直線(xiàn)原有的一個(gè)投影。換H面：軸與正面投影平行一般位置直線(xiàn)變換成H1面平行線(xiàn)a1b1XVHa'b'baX1VH1

實(shí)長(zhǎng)平行

2）將投影面平行線(xiàn)變換為投影面垂直線(xiàn)將投影面平行線(xiàn)變換為投影面垂直線(xiàn)為一次換面，新投影軸應(yīng)垂直于反映實(shí)長(zhǎng)的投影。1c'(d1')投影面平行線(xiàn)變換成投影面垂直線(xiàn)X1HV1O1新軸與實(shí)長(zhǎng)投影垂直；新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。

3）將一般位置直線(xiàn)變換為投影面垂直線(xiàn)將一般位置直線(xiàn)變換為投影面垂直線(xiàn)為二次換面。具體步驟為：一般位置直線(xiàn)變換為投影面平行線(xiàn)，再將投影面平行線(xiàn)變換為投影面垂直線(xiàn)。V1H2X2垂直a2(b2)一般位置直線(xiàn)變換成垂直線(xiàn)V1HX1aa'b'bVXHa1'

實(shí)長(zhǎng)平行b1'3.平面的投影變換

1）將一般位置平面變換為投影面垂直面將一般位置平面變換為投影面垂直面為一次換面，新投影軸應(yīng)與平面內(nèi)投影面平行線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)投影垂直。一般位置平面變換為投影面垂直面一般位置平面變換為投影面垂直面VHXaxa'b'X1V1c’ck'kBK新投影面應(yīng)垂直于平面內(nèi)的平行線(xiàn)！

一般位置平面變換為垂直面直觀圖ax1cx1bx1abbxACa1'(k1')b1'c1'

k'kb1'c1'

垂直平面有積聚性的投影步驟：①找平面內(nèi)的水平線(xiàn);③平面變成垂直面，有積聚性，反映平面與H面的夾角。②建新軸V1/H垂直于ak，AK變成正垂線(xiàn);作圖:

將一般位置平面變?yōu)檎姑娴耐队皥D。a'aXVHcbc'b'a1'(k1')HV1X1

2）將投影面垂直面變換為投影面平行面將投影面垂直面變換為投影面平行面為一次換面，新投影軸應(yīng)平行于該平面具有積聚性的投影。投影面垂直面變換為投影面平行面

3）將一般位置平面變換為投影面平行面將一般位置平面變換為投影面平行面為二次換面。具體步驟是：首先將一般位置平面變換為投影面垂直面，再將投影面垂直面變換為投影面平行面。V1H2X2b2c2平行實(shí)形一般位置平面變換為水平面a'aXVHcbc'b'k'kb1'c1'

HV1X1a1'(k1'