2024全國(guó)新課標(biāo)I數(shù)學(xué)(理)試題及答案

2024全國(guó)新課標(biāo)I數(shù)學(xué)（理）試題及解析

滿分：

班級(jí)：姓名：考號(hào)：

一、單選題（共12小題）

1.設(shè)得數(shù)z滿意---=1,則憶|二（）

1-Z

A.1

B.顯

C.也

D.2

2.sin20°cos10°-cos160°sm10°=（）

A&

2

B.一

2

c.」

2

D.1

2

3.設(shè)命題p立wN^>2*,則為（）

A.

B.njeN.Js不

c.辦wN,/s2?

D.hwN.Jn不

4.投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試，已知某同學(xué)每次投籃投中的概率

為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)能過(guò)測(cè)試的概率為（）

A.0.648

B.0.432

C.0.36

D.0.312

5.已知外）是雙曲線C：土-/=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)v鳥(niǎo)是。的兩個(gè)焦點(diǎn)。若

2

國(guó)?逅＜0,則此的取值范圍是（）

6.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐需的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依恒內(nèi)

角，下周八尺，高五尺.問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：?'在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆

為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，間米堆的體積和堆放

的米各為多少？''已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放斛的米約有

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

7.設(shè)D為A4SC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=3OT*則（）

A.AD=-AB—AC

33

B.J4D=—AB--AC

33

C.AT）=—AB—AC

33

D.—AB—AC

33

8.函數(shù)/（x）=C03（ox+8）的部分圖像如圖所示，則/（］）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

11.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為10組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的

正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為16+20打，則廣二（）

A.1

B.2

C.4

D.8

12.設(shè)函數(shù)/（>）=/（2彳-1）-以+。,其中a〈l,若存在唯一的整數(shù)%,使得f（%）<0,

則。的取值范圍是（）

二、填空題（共4小題）

13.若函數(shù)/“）=xln（彳+&+X2）為偶函數(shù)，則。=

14.一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓二十匕=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

164

為?

x-1^0,

15.若x,y滿意約束條件,x-y￡O,則^的最大值為.

x+y-4^0,

-

16.在平面四邊形ABCD中，Zi4=Z5=ZC=75?BC=2,

則AB的取值范圍是.

三、解答題(共8小題)

17.&為數(shù)列(%)的前〃項(xiàng)和.已知4>0,a；+2a.=4g+3.

(I)求(aj的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)4=」一，求數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

18.如圖，四邊形ABCD為菱形，N/5C=12CT，E、F是平面ABC。同一側(cè)的兩點(diǎn),

3E1平面ABCD,091平面人1^^>，BE=2DF，AELEC-

(I)證明：平面ASTJL平面RFC；

(II)求直線AE與直線CF所成角的余弦

19.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣揚(yáng)費(fèi)，需了解年宣揚(yáng)費(fèi)工（單位：千元）對(duì)年銷

售量），（單位：I）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響.對(duì)近8年的年宣揚(yáng)費(fèi)玉和年銷售量

X（J=L2,…,8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

年

520

銷

售600

。

建580

r560

540

520

500

480

34363840424445485。525456

年宣傳費(fèi)/千元

e_

XywZ（嗎-w），Z（W]-w）3-＞）

znzl

46.656.36.8289.81.61469108.8

（I）依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，＞二0+bx與＞=c+d石哪一個(gè)相宜作為年銷售量）,關(guān)于年宣揚(yáng)費(fèi)

x的回來(lái)方程類型？（給出推斷即可，不必說(shuō)明理由）

（H）依據(jù)（D的推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立），關(guān)于工的回來(lái)方程；

（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與尤淵關(guān)系為z=02尸"依據(jù)（］［）的結(jié)果回答下列問(wèn)

題：

（i）年宣揚(yáng)費(fèi)彳=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？

（ii）年宣揚(yáng)費(fèi)工為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（%?）*（%，為），…（4，匕），

6=J~=—

其回來(lái)直線,二a十a(chǎn)的斜率和截距的最小二來(lái)估計(jì)分別為

■

a=v一產(chǎn)〃

20.在直角坐標(biāo)系；rQy中，曲線。：尸=土與直線/〉=匕+。(。＞0)交于乂加兩點(diǎn)

4

(I)當(dāng)k=o時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程。

(II)y軸上是否存在點(diǎn)戶，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有NOPM=N。尸N說(shuō)明理由。

21.已知函數(shù)/(x)=/+ax+-,g(x)=?lnx

4

(I)當(dāng)a為何值時(shí)，X軸為曲線y二/(1)的切線;

(II)用min(m,n)表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)A(x)=min{/(初g(x)[*>0),探討

方(X)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

22.如圖，上。洲直徑，力建。洲切線，8位。行點(diǎn)E.

(I)若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是。。的切線；

(n)若。二五8求乙4(:曲大小

23.在直角坐標(biāo)系X。中，直線G：K=-2,圓G：(X-l)2+(y-2)2=l,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極

點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(I)求。］,。2的極坐標(biāo)方程；

（II）若直線Q的極坐標(biāo)方程為夕=XswR）,設(shè)g與C3的交點(diǎn)為M,N,求AQMN的面

4

積.

24.已知函數(shù)/（X）=|x+l|-2|x-d|,a>0

（1）當(dāng)4=1時(shí)，求不等式/（外>1的解集：

（II）若/（X）的圖像與X軸圍成的三角形面積大于6,求4的取值范圍。

答案部分

1.考點(diǎn):復(fù)數(shù)綜合運(yùn)算

試題解析：

由gi得,-1+z_(T+i)(lT)

=z,故|z|=1,選

Hi-(l+i)(l-i)A

答案:A

2.考點(diǎn):恒等變換綜合

試題解析：

原式=sin2（fcoslO0-cos20^sin10°=sin30°=1選D

2

答案:D

3.考點(diǎn):全稱量詞與存在性量詞

試題解析:十

:辦故選c.

答案:c

4.考點(diǎn):古典概型

試題解析：

依據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為中。6?xO4+06?

=0.648,故選A.

答案:A

5.考點(diǎn):雙曲線

試題解析:由題意得：區(qū)（-石,0）,8（石,0），竽+療=1，

所以麗,麗=（-g-4,一%）（3-%「％）=%，+y/-3=3/2?】＜0

，解得■立＜必（且，選A

3°3

答案:A

6.考點(diǎn):空間幾何體的表面積與體積

試題解析:設(shè)圓錐底面半徑為r,則Ix2x3r=8=〃=改

43

所以米堆的體積為l/x3x（"尸X5=型

4339

故堆放的米約為上320+1.62之22,選B

9

答案:B

7.考點(diǎn):線性運(yùn)算

試題解析:由題意得，

與=而+而=而+?交=而￡（而_麗=-萍（而

,選A

答案:A

8.考點(diǎn):三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1n

-OH"0=一

4,2

試題解析:由五點(diǎn)作圖知,,解得0=%，8=x,

5一3”4

T二

所以/(x)=co$(^x+—),令2E</ri+—V2^r?兀teZ,

44

解得2左一1vx<24+之，keZ，

4A

故單調(diào)減區(qū)間為(2k-L2上+之)，*wZ，選D.

44

答案:D

9.考點(diǎn):算法和程序框圖

試題解?析:輸入初值，f=001,S=l,〃=。,冽=」=0,5，

2

執(zhí)行第1次：S-S-m-0.5w=^=O25^=l

2

,滿意條件S〉7,進(jìn)入循環(huán)；

執(zhí)行第2次：S=S-/w=O25w=y=O125,?=2

,滿意條件6)，，進(jìn)入循環(huán)；

執(zhí)行第3次：S?S-席?0125切=?=00625,〃=3

,滿意條件6)/,進(jìn)入循環(huán)；

執(zhí)行第4次：S?S-w?00625稼=-=003125/二4

2

,滿意條件S〉7,進(jìn)入循環(huán)；

執(zhí)行第5次：6?5-用?003125用=5=0015625/=5

,滿意條件￡>%進(jìn)入循環(huán)；

執(zhí)行第6次：s?s-麻?0015625掰=拼=00078125/=6

，滿意條件S>f,進(jìn)入循環(huán)；

執(zhí)行第7次：S?5-■,0.0078125川,三?000390625M=7

2

,不滿意條件

跳出循環(huán)；輸出〃=7,結(jié)束，選C

答案:c

10.考點(diǎn):二項(xiàng)式定理與性質(zhì)

試題解析：

在(/+x+y)5的5個(gè)因式中，

2個(gè)取因式中汗2,剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取X,

其余因式取丁，故一丁的系數(shù)為點(diǎn)CjC；=30,故選C

答案:C

11.考點(diǎn):空間幾何體的三視圖與直觀圖

試題解析:由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體,

圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r,其表面枳為

m*x2r+2rx2r

2

=5開(kāi)/+4/=16+20%,

解得r=2,選B.

答案:B

12.考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用

試題解析:設(shè)g(x)=/(2xT)，y=ax-a,

由題意得存在唯一的整數(shù)%,使得g(%)在直線>二ax-a的下方。

因?yàn)間'(x)=e'(2x+】)，

所以當(dāng)xv-l時(shí)，g'(x)<0，當(dāng)時(shí)，g'(x)>0，

j2

1_i

當(dāng)"-g時(shí)，口(磯「_2/；

當(dāng)彳=0時(shí),g(0)=-bg(l)=%>0,

直線y二ax-。恒過(guò)(1,0)斜率為a,

故_q>g(O)=_l,且且(-1)=_爻」之_<1-0,

答案:D

13.考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性

試題解析：

由題知,=[n(x+Ja+x2)是奇函數(shù)，

所以ln(x+Ja+x2)+ln(-x+Ja+x?)

=ln(a+x2-x2)=lna=O,解得a=i.

答案：1

14.考點(diǎn):圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

試題解析:設(shè)圓心為(a,0),則半徑為4一|a|,

3

則(4-|a/=|非+*解得。=±-，

2

3

因?yàn)閳A心在X軸正半軸，所以4=三

2

325

故圓的方程為(4一二)'+>,：=—

24

>/3、2225

答案：(％—二)2+>一=一

24

15.考點(diǎn):線性規(guī)劃

試題解析:

作出可行域如圖中陰影部分所示,

由斜率的意義知，丫是可行域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，

由圖可知，點(diǎn)A（1,3）與原點(diǎn)連線的斜率最大，故^的最大值為3.

X

答案：3

16.考點(diǎn):解斜三角形

試題解析:如圖所示，延長(zhǎng)朋，CD交于點(diǎn)、E，

則可知在UZ）E中，乙DAE=105°，乙4D￡=45°，NE=30°，

所以設(shè)M=AE=—^DE=?%,CD=m，BC=2,

224

所以=厭事舊

44

所以0。＜4,而忿=色或下+冽-玄；r=￡或x?制+0■避x

4242

所以的取值范圍是（質(zhì)-企,小+力）

答案：（小-0,找+M）

17.考點(diǎn):數(shù)列綜合應(yīng)用

試題解析：

(I)由a；+2an=4S*+3,可知a；.】+2a=4sz+3

可得+2(%-?.)=4%“，即2(%“-%)==圖】+4)(—■%)

由于。.>0,可得/?】?&=2

乂+2%=4j[+3，解得為=-1（舍去），%=3

所以是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為4=2?+1

11.11」1(______________

(II)由=%+1可矢口4=

Wz(2n+l)(2n+3)5%+12+3

設(shè)數(shù)列｛4｝的前界項(xiàng)和為7；,則

1111rii、n

7\=瓦+與+…+瓦=z

2[35572+12"3X2n+3)

答案：(I)4.=2月+1(H)

3(2n+3)

18.考點(diǎn):立體幾何綜合

試題解析：（【）連結(jié)3D，設(shè)3Z）n4C=G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，EF

在菱形RBC。中，不妨設(shè)GB=1,

由乙43（7=120°，可得AG=GC=J

由平面45c。，AB=BC，可知愈=EC，

乂AELEC，所以￡G=后，且￡G_LRC

在RtMBG中,可得38=0，故。尸=受

2

在RlAFDG中，可得產(chǎn)G=^

2

在直角梯形BDEF中，由3。=2，3E=0，。下=乎，

可得EF=逑,從而E（f+FG'=EC，所以HG工FG

2

又4Cn5G=G,可得EG_L平面/FC

因?yàn)镋Gu平而AEC，所以平面/&C平面"C

（II）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以豆，配的方向

為/軸，y軸正方向，以|而|為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系,

由(I)可得40.-4.0),E(1,O.右)，F(xiàn)(-1.0,—)?C(0.4.0)，

所以屈=(1.也.&),CF=(-1,-73.

故CQS（屈屈坐

同聲I3

所以直線4E與直線CF所成角的余弦值為立

3

答案：（I）證明見(jiàn)解析（II）迫

3

19.考點(diǎn):變量相關(guān)

試題解析：

（I）由散點(diǎn)圖可以推斷，尸=。十4五適合作為

年銷售了關(guān)于年宣揚(yáng)費(fèi)用X的回來(lái)方程類型。

（11）令3=/；，先建立了關(guān)于的的線性回來(lái)方程，

由于d=『-------------=峭曰=68

ZM-寸16

所以，=7一在=563-68x68=1006

所以了關(guān)于3的線性回來(lái)方程為夕=1006+68w

所以了關(guān)于x的問(wèn)來(lái)方程為夕二10。,6+686

（III）（i）由（1【）知，當(dāng)x?49時(shí)，

年銷售量產(chǎn)的預(yù)報(bào)值?=1006+68屈=5766z-5766x0.2-49-66.32

（ii）依據(jù)（II）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值，

”02（100.6+6砧）_x=_x+13.6石+20.12

所以當(dāng)石二”9二6,8,即彳=46.24時(shí)，2取得最大值。

2

故宣揚(yáng)費(fèi)用為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大。

答案：（I）>=c+dj；適合作為年銷售尸關(guān)于年宣揚(yáng)費(fèi)用X的回來(lái)方程類型（II）

v=1006+685/x（W）46.24

20.考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

試題解析：（I）由題意得N（r2&,a），或NQ&a）

又y=4,故y=《在工=2/處的導(dǎo)數(shù)值為石，C

24

2

在點(diǎn)（2/,a）處的切線方程為y-a=氐（x-2及）?即1y-a=0y=—

4

在x=-26處的導(dǎo)數(shù)值為?/，C

在點(diǎn)（一加5?。）處的切線方程為y-0=-6（工一2及），即指不+^+。=0

故所求切線方程為石彳一了一1二。和gx+y+a=0

（II）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：

設(shè)尸（0石）為符合題意的點(diǎn)，N—,

直線PM，尸N的斜率分別為占，%

將尸二H+。代入C的方程得/-4H-4a=0

故4+電=4七，xl?=-Aa

從而上i+&

七七XjXja

,當(dāng)8=-a時(shí)，有左+&=0,

則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，

故乙OPM=ZX）PN，所以點(diǎn)尸（0.-a）符合題意

答案：（I）及x-y-a=O和gx+y+a=O（II）存在符合題意的點(diǎn)尸（O.-a）

21.考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用

試題解析：

（I）設(shè)曲線y=/（力與X軸相切于點(diǎn)（%,0）,

JIC

,、，、^+%+—=0

則/（勺）=0,/'（%）=0,即（4

2

3x0+a=0

,解得q=—,a=--

24

3

因此，當(dāng)。=一一時(shí)，彳軸為曲線y=/（x）的切線

(II)當(dāng)xw(l,4co)時(shí)，g(x)=-lnx<0,

從而入(X)二皿n{/(x),g(x))Wg(x)<0

故A(x)在X€(L"KO)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)X=1時(shí)，

若<22一；,則/。)=S.220,A(l)=min{/(l),g(l))=g(l)=O

，故X=1是〃(x)的零點(diǎn)；

若°<一；,則A(l)=min{/(l),g(l))=/(l)<0

,故x=l不是力(x)的零點(diǎn)；

當(dāng)x€(0.1)時(shí)，g(x)=-lnx>0?

所以只需考慮了(x)在(0.1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù):

(i)若＞4-3或aNO,則，(彳)=3/在(0.1)五零點(diǎn),

故/卜)在(0」)單調(diào)，而〃Q)=L/(l)=a+-，所以,

44

當(dāng)a=-3時(shí),/卜)在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)aNO時(shí),/卜)在(0.1)沒(méi)有零點(diǎn);

(ii)若一3＜。＜0,則/卜)在(0,f|)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增,

故在(0.1)中，當(dāng)“，/(x)取得最小值，

最小值為/(jg)=勺后+；

①若即-3va〈o,/(x)在(0.1)無(wú)零點(diǎn)；

V34

②若/(后)=0,即a=?1,/(x)在(0.1)有唯一零點(diǎn);

3

③若＜0?即,

4

由于〃0)=L/(l)=a+-,所以

44

當(dāng)—＜a〈■一時(shí)，/(x)在(0.1)有兩個(gè)零點(diǎn)；

44

當(dāng)?3<0<-2時(shí)，〃x）在（0.1）有一個(gè)零點(diǎn)

4

綜上，

35

當(dāng)a>—或a<—時(shí)，方（x）有一個(gè)零點(diǎn);

44

35

當(dāng)a=-1或a=-1時(shí)，方（x）有兩個(gè)零點(diǎn);

53

當(dāng)—時(shí)，以（x）有三個(gè)零點(diǎn)；

44

2254

答案：（I）。=—（II）當(dāng)a>