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文檔簡介
2025屆浙江省臺州市高考數學四模試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.集合中含有的元素個數為()A.4 B.6 C.8 D.122.2019年10月1日,中華人民共和國成立70周年,舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個數字按照任意次序排成一行,拼成一個6位數,則產生的不同的6位數的個數為A.96 B.84 C.120 D.3603.“是函數在區(qū)間內單調遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知集合,集合,則A. B.或C. D.5.拋物線的準線方程是,則實數()A. B. C. D.6.已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為,則()A.3 B. C. D.7.已知.給出下列判斷:①若,且,則;②存在使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關于軸對稱;③若在上恰有7個零點,則的取值范圍為;④若在上單調遞增,則的取值范圍為.其中,判斷正確的個數為()A.1 B.2 C.3 D.48.已知函數的導函數為,記,,…,N.若,則()A. B. C. D.9.已知雙曲線:(,)的焦距為.點為雙曲線的右頂點,若點到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的離心率是()A. B. C.2 D.310.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的表面積為()A.8 B. C. D.11.已知與函數和都相切,則不等式組所確定的平面區(qū)域在內的面積為()A. B. C. D.12.如圖所示,已知某幾何體的三視圖及其尺寸(單位:),則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在直角三角形中,為直角,,點在線段上,且,若,則的正切值為_____.14.已知函數,若函數有個不同的零點,則的取值范圍是___________.15.(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數為________.16.已知一個正四棱錐的側棱與底面所成的角為,側面積為,則該棱錐的體積為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)一張邊長為的正方形薄鋁板(圖甲),點,分別在,上,且(單位:).現將該薄鋁板沿裁開,再將沿折疊,沿折疊,使,重合,且重合于點,制作成一個無蓋的三棱錐形容器(圖乙),記該容器的容積為(單位:),(注:薄鋁板的厚度忽略不計)(1)若裁開的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋,求,的值;(2)試確定的值,使得無蓋三棱錐容器的容積最大.18.(12分)如圖,在四棱錐中,是邊長為的正方形的中心,平面,為的中點.(Ⅰ)求證:平面平面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.19.(12分)記為數列的前項和,N.(1)求;(2)令,證明數列是等比數列,并求其前項和.20.(12分)已知函數.(1)當時,解不等式;(2)設不等式的解集為,若,求實數的取值范圍.21.(12分)在中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且向量與向量共線.(1)求B;(2)若,,且,求BD的長度.22.(10分)已知中,,,是上一點.(1)若,求的長;(2)若,,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】解:因為集合中的元素表示的是被12整除的正整數,那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B2、B【解析】
2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0開頭的排列數共個,其中含有2個10的排列數共個,所以產生的不同的6位數的個數為.故選B.3、C【解析】,令解得當,的圖像如下圖當,的圖像如下圖由上兩圖可知,是充要條件【考點定位】考查充分條件和必要條件的概念,以及函數圖像的畫法.4、C【解析】
由可得,解得或,所以或,又,所以,故選C.5、C【解析】
根據準線的方程寫出拋物線的標準方程,再對照系數求解即可.【詳解】因為準線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【點睛】本題考查拋物線與準線的方程.屬于基礎題.6、D【解析】
由雙曲線方程可得漸近線方程,根據傾斜角可得漸近線斜率,由此構造方程求得結果.【詳解】由雙曲線方程可知:,漸近線方程為:,一條漸近線的傾斜角為,,解得:.故選:.【點睛】本題考查根據雙曲線漸近線傾斜角求解參數值的問題,關鍵是明確直線傾斜角與斜率的關系;易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.7、B【解析】
對函數化簡可得,進而結合三角函數的最值、周期性、單調性、零點、對稱性及平移變換,對四個命題逐個分析,可選出答案.【詳解】因為,所以周期.對于①,因為,所以,即,故①錯誤;對于②,函數的圖象向右平移個單位長度后得到的函數為,其圖象關于軸對稱,則,解得,故對任意整數,,所以②錯誤;對于③,令,可得,則,因為,所以在上第1個零點,且,所以第7個零點,若存在第8個零點,則,所以,即,解得,故③正確;對于④,因為,且,所以,解得,又,所以,故④正確.故選:B.【點睛】本題考查三角函數的恒等變換,考查三角函數的平移變換、最值、周期性、單調性、零點、對稱性,考查學生的計算求解能力與推理能力,屬于中檔題.8、D【解析】
通過計算,可得,最后計算可得結果.【詳解】由題可知:所以所以猜想可知:由所以所以故選:D【點睛】本題考查導數的計算以及不完全歸納法的應用,選擇題、填空題可以使用取特殊值,歸納猜想等方法的使用,屬中檔題.9、A【解析】
由點到直線距離公式建立的等式,變形后可求得離心率.【詳解】由題意,一條漸近線方程為,即,∴,,即,,.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,掌握漸近線方程與點到直線距離公式是解題基礎.10、D【解析】
根據三視圖還原幾何體為四棱錐,即可求出幾何體的表面積.【詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐,如圖,且四棱錐的一條側棱與底面垂直,四棱錐的底面是正方形,邊長為2,棱錐的高為2,所以,故選:【點睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體,棱錐表面積的計算,考查了學生的運算能力,屬于中檔題.11、B【解析】
根據直線與和都相切,求得的值,由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓,由此求得正確選項.【詳解】.設直線與相切于點,斜率為,所以切線方程為,化簡得①.令,解得,,所以切線方程為,化簡得②.由①②對比系數得,化簡得③.構造函數,,所以在上遞減,在上遞增,所以在處取得極小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即,畫出其對應的區(qū)域如下圖所示.圓可化為,圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示,不等式組所確定的平面區(qū)域在內的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為,直線的斜率為.所以,所以,而圓的半徑為,所以陰影部分的面積是.故選:B【點睛】本小題主要考查根據公共切線求參數,考查不等式組表示區(qū)域的畫法,考查圓的方程,考查兩條直線夾角的計算,考查扇形面積公式,考查數形結合的數學思想方法,考查分析思考與解決問題的能力,屬于難題.12、C【解析】
由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,據此可計算出答案.【詳解】由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,該幾何體的表面積.故選:C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識,幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復幾何體是解題的關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3【解析】
在直角三角形中設,,,利用兩角差的正切公式求解.【詳解】設,,則,故.故答案為:3【點睛】此題考查在直角三角形中求角的正切值,關鍵在于合理構造角的和差關系,其本質是利用兩角差的正切公式求解.14、【解析】
作出函數的圖象及直線,如下圖所示,因為函數有個不同的零點,所以由圖象可知,,,所以.15、40【解析】
先求出的展開式的通項,再求出即得解.【詳解】設的展開式的通項為,令r=3,則,令r=2,則,所以展開式中含x3y3的項為.所以x3y3的系數為40.故答案為:40【點睛】本題主要考查二項式定理求指定項的系數,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16、【解析】
如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點為的中點,則,設,根據正四棱錐的側面積求出的值,再利用勾股定理求得正四棱錐的高,代入體積公式,即可得到答案.【詳解】如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點為的中點,則,設,,,,,,.故答案為:.【點睛】本題考查棱錐的側面積和體積,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查運算求解能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)當值為時,無蓋三棱錐容器的容積最大.【解析】
(1)由已知求得,求得三角形的面積,再由已知得到平面,代入三棱錐體積公式求的值;(2)由題意知,在等腰三角形中,,則,,寫出三角形面積,求其平方導數的最值,則答案可求.【詳解】解:(1)由題意,為等腰直角三角形,又,,恰好是該零件的蓋,,則,由圖甲知,,,則在圖乙中,,,,又,平面,平面,;(2)由題意知,在等腰三角形中,,則,,.令,,,.可得:當時,,當,時,,當時,有最大值.由(1)知,平面,該三棱錐容積的最大值為,且.當時,取得最大值,無蓋三棱錐容器的容積最大.答:當值為時,無蓋三棱錐容器的容積最大.【點睛】本題考查棱錐體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,訓練了利用導數求最值,屬于中檔題.18、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由正方形的性質得出,由平面得出,進而可推導出平面,再利用面面垂直的判定定理可證得結論;(Ⅱ)取的中點,連接、,以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系,利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】(Ⅰ)是正方形,,平面,平面,、平面,且,平面,又平面,平面平面;(Ⅱ)取的中點,連接、,是正方形,易知、、兩兩垂直,以點為坐標原點,以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系,在中,,,,、、、,設平面的一個法向量,,,由,得,令,則,,.設平面的一個法向量,,,由,得,取,得,,得.,二面角為鈍二面角,二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明,同時也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.19、(1);(2)證明見詳解,【解析】
(1)根據,可得,然后作差,可得結果.(2)根據(1)的結論,用取代,得到新的式子,然后作差,可得結果,最后根據等比數列的前項和公式,可得結果.【詳解】(1)由①,則②②-①可得:所以(2)由(1)可知:③則④④-③可得:則,且令,則,所以數列是首項為,公比為的等比數列所以【點睛】本題主要考查遞推公式以及之間的關系的應用,考驗觀察能力以及分析能力,屬中檔題.20、(1)或;(2)【解析】
(1)使用零點分段法,討論分段的取值范圍,然后取它們的并集,可得結果.(2)利用等價轉化的思想,可得不等式在恒成立,然后解出解集,根據集合間的包含關系,可得結果.【詳解】(1)當時,原不等式可化為.①當時,則,所以;②當時,則,所以;⑧當時,則,所以.綜上所述:當時,不等式的解集為或.(2)由,則,由題可知:在恒成立,所以,即,即,所以故所求實數的取值范圍是.【點睛】本題考查零點分段求解含絕對值不等式,熟練使用分類討論的方法,以及知識的交叉應用,同時掌握等價轉化的思想,屬中檔題.21、(1)(2)【解析】
(1)根據共線得到,利用正弦定理化簡得到答案.(2)根據余弦定理得到,,再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】(1)∵與共線,∴.即,∴即,∵,∴,∵,∴.(2),,,在中,由余弦定
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