銅仁市石阡縣2023年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

6/24銅仁市石阡縣2023年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列各數(shù)比﹣2小的是（）A．﹣5 B．﹣ C．0 D．2【分析】把各數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．解：如圖所示，由數(shù)軸上各點(diǎn)的位置可知，﹣5在﹣2的左側(cè)，所以﹣5比﹣2?。蔬x：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，熟知數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大是解題的關(guān)鍵．2．下列圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．解：A，C，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；B選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．已知長(zhǎng)為a，b，c的三條線段首尾順次相接組成一個(gè)三角形．若a＝7，b＝9，則c的取值范圍是（）A．c＞2 B．c＜16 C．2≤c≤16 D．2＜c＜16【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式，計(jì)算即可．解：由題意得：9﹣7＜c＜9+7，所以2＜c＜16，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊．4．葉綠體是植物進(jìn)行光合作用的場(chǎng)所，葉綠體DNA最早發(fā)現(xiàn)于衣藻葉綠體，長(zhǎng)約0.00005米．?dāng)?shù)0.00005用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．5×10﹣5 B．0.5×10﹣5 C．5×10﹣4 D．0.5×10﹣4【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．解：0.00005＝5×10﹣5．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．5．如圖，△ACE≌△DBF，若AD＝11cm，BC＝5cm，則AB長(zhǎng)為（）A．6cm B．7cm C．4cm D．3cm【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝BD，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．解：因?yàn)椤鰽CE≌△DBF，所以AC＝BD，所以AC﹣BC＝BD﹣BC，即AB＝CD，因?yàn)锳D＝11cm，BC＝5cm，所以AB＝（11﹣5）÷2＝3（cm），故選：D．6．下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣a3）2＝a6 B．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2 C．＝ D．（a4﹣4a）÷a＝a3【分析】根據(jù)分式的乘除運(yùn)算法則、整式的除法運(yùn)算、完全平方公式以及積的乘方運(yùn)算即可求出答案．解：A、原式＝a6，故A符合題意．B、原式＝a2﹣2ab+b2，故B不符合題意．C、原式＝﹣，故C不符合題意．D、原式＝a2﹣4，故D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的乘除運(yùn)算法則、整式的除法運(yùn)算、完全平方公式以及積的乘方運(yùn)算，本題屬于基礎(chǔ)題型．7．如圖，直線a∥b，將含30°角的三角板的直角頂點(diǎn)放在直線a上，若∠1＝50°，則∠2＝（）A．50° B．80°C．60° D．75°【分析】由平行線的性質(zhì)可知，∠1＝∠3＝50°，由三角形外角的性質(zhì)可知∠2＝∠3+30°，由此可得出結(jié)論．解：如圖，因?yàn)閍∥b，所以∠1＝∠3＝50°．所以∠2＝∠1+30°＝80°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等．8．對(duì)于分式下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)x＝0時(shí)分式無(wú)意義 B．當(dāng)x＝2時(shí)分式的值為零 C．當(dāng)x＝±2時(shí)分式的值為零 D．當(dāng)x＝﹣2時(shí)分式有意義【分析】根據(jù)分式有意義，無(wú)意義以及分式值為零的條件解答即可．解：因?yàn)閷?duì)于分式，當(dāng)x+2＝0，即x＝﹣2時(shí)無(wú)意義，當(dāng)x+2≠0，即x≠﹣2是有意義，當(dāng)|x|﹣2＝0且x+2≠0，即x＝2時(shí)值為零．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式有意義，無(wú)意義以及分式值為零的條件，分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．9．如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD于點(diǎn)D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，則AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】延長(zhǎng)BD交AC于E，如圖，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判斷△BCE為等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再證明EA＝EB＝2，然后計(jì)算AE+CE即可．解：延長(zhǎng)BD交AC于E，如圖，因?yàn)镃D平分∠ACB，BD⊥CD，所以△BCE為等腰三角形，所以DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，因?yàn)椤螦＝∠ABD，所以EA＝EB＝2，所以AC＝AE+CE＝2+3＝5．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．某超市用2000元購(gòu)進(jìn)普羅旺斯西紅柿，面市后供不應(yīng)求，超市又用5000元購(gòu)進(jìn)第二批這種西紅柿，所購(gòu)數(shù)量是第一批進(jìn)貨量的2倍，但進(jìn)貨單價(jià)漲了0.5元．設(shè)第一批西紅柿的進(jìn)貨單價(jià)為x元，則根據(jù)題意可列方程為（）A．＝2× B．＝2× C．＝2× D．＝2×【分析】設(shè)第一批西紅柿的進(jìn)貨單價(jià)為x元，則西紅柿的進(jìn)貨單價(jià)是（x+0.5）元，根據(jù)第二批所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍，列出方程即可．解：設(shè)第一批西紅柿的進(jìn)貨單價(jià)為x元，則西紅柿的進(jìn)貨單價(jià)是（x+0.5）元，依題意有：＝2×．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，弄清題意并找出題中的數(shù)量關(guān)系并列出方程是解題的關(guān)鍵．11．下列命題：①經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線；②線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等；③有兩邊及其一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④等腰三角形底邊上的高線和中線重合．其中是真命題的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．解：①經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；②線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等，正確，是真命題，符合題意；③有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；④等腰三角形底邊上的高線和中線重合，正確，是真命題，符合題意，真命題有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及性質(zhì)，難度不大．12．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為10的等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，E是邊AB上一點(diǎn)，連接DE，作∠EDF＝120°，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若AE＝4BE，則CF的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】過(guò)點(diǎn)D作DK∥BC交AB于K．證明△EDK≌△FDC（SAS），由全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．解：過(guò)點(diǎn)D作DK∥BC交AB于K．設(shè)BE＝a，則AE＝4a，AK＝BK＝a，△ADK是等邊三角形，所以∠ADK＝60°，∠EDF＝∠KDC，所以∠KDE＝∠CDF，在△EDK和△FDC中，，所以△EDK≌△FDC（SAS），所以EK＝CF＝a，因?yàn)锽C＝5a＝10，所以a＝2，所以CF＝3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．二、填空題本大題共4小題，每小題4分，共16分。13．因式分解：x2y﹣9y＝y(tǒng)（x+3）（x﹣3）．【分析】先提取公因式y(tǒng)，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解．解：x2y﹣9y，＝y(tǒng)（x2﹣9），＝y(tǒng)（x+3）（x﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解的能力，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．14．某書(shū)店與一所中學(xué)建立幫扶關(guān)系，連續(xù)6個(gè)月向該中學(xué)贈(zèng)送書(shū)籍的數(shù)量（單位：本）分別為：200，300，400，200，500，550，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是350本．【分析】根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可．解：將數(shù)據(jù)200，300，400，200，500，550按照從小到大的順序排列為：200，200，300，400，500，550．則其中位數(shù)為：＝350．故答案為：350．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查中位數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．15．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線MN，分別交邊AB，BC于點(diǎn)D和E，連接CD．若∠BCA＝90°，AB＝8，則CD的長(zhǎng)為4．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：連接CD，由作圖可知：點(diǎn)M、點(diǎn)N在線段BC的垂直平分線上，所以MN垂直平分線段BC所以CD＝BD，所以∠DCB＝∠B，因?yàn)椤螧CA＝90°，所以∠A+∠B＝∠BCD+∠ACD＝90°，所以∠A＝∠ACD，所以CD＝AD，所以CD＝AB，因?yàn)锳B＝8，所以CD＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)等、等腰三角形的性質(zhì)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．16．已知a+＝6，且＝2，則m＝．【分析】把分式分子與分母同時(shí)除以a2得，即可變?yōu)?，因?yàn)閍+＝6，所以＝2，解得m即可．解：因?yàn)閍+＝6，所以＝＝＝＝2，解得m＝，經(jīng)檢驗(yàn)m＝是方程的解．故答案為：．三、解答題本大題共9小題，共98分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．請(qǐng)你閱讀小明同學(xué)的解題過(guò)程，思考并完成下面的問(wèn)題．先化簡(jiǎn)，再求值：（）?，其中x＝﹣3．解：原式＝[]?……第一步＝……第二步＝……第三步＝……第四步＝x+2……第五步當(dāng)x＝﹣3時(shí)，原式＝﹣3+2＝﹣1．（1）以上解題過(guò)程中，第五步是約分，其變形依據(jù)是等式的基本性質(zhì)；（2）請(qǐng)你用更簡(jiǎn)便的方法，完成化簡(jiǎn)求值．【分析】任務(wù)一：根據(jù)分式的基本性質(zhì)判斷即可；任務(wù)二：根據(jù)乘法分配律、分式的約分法則計(jì)算．解：任務(wù)一：第五步是約分，其變形依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，故答案為：五，分式的基本性質(zhì)；任務(wù)二：原式＝?﹣?＝﹣＝＝x+2，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，原式＝﹣3+2＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值、分式的基本性質(zhì)，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18．（1）計(jì)算：﹣12022+（3﹣π）0﹣×﹣2；（2）解方程：＝1﹣．【分析】（1）先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：（1）﹣12022+（3﹣π）0﹣×﹣2＝﹣1+1﹣×4＝﹣1+1﹣＝﹣；（2）＝1﹣，x＝x﹣3+5﹣2x，解得：x＝1，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，x﹣3≠0，所以x＝1是原方程的根．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解分式方程，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．19．近年來(lái)網(wǎng)約車給人們的出行帶來(lái)了便利．小明和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對(duì)網(wǎng)約車公司司機(jī)的月收入進(jìn)行了抽樣調(diào)查，在甲、乙兩家公司分別調(diào)查了10名司機(jī)的月收入（單位：千元），并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)以上信息，整理分析數(shù)據(jù)如下：10名司機(jī)平均月收入（千元）中位數(shù)眾數(shù)方差甲公司66c1.2乙公司ab47.6（1）填空：a＝6，b＝4.5，c＝6．（2）王樂(lè)的叔叔計(jì)劃從甲、乙兩家公司中選擇一家去應(yīng)聘網(wǎng)約車司機(jī)．如果你是王樂(lè)，你建議他選哪家公司？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義分別計(jì)算后即可確定正確的答案；（2）根據(jù)平均數(shù)一樣，中位數(shù)及眾數(shù)的大小和方差的大小進(jìn)行選擇即可．解：（1）因?yàn)椤?千元”對(duì)應(yīng)的百分比為1﹣（10%+20%+10%+20%）＝40%，所以a＝4×10%+5×20%+6×40%+7×20%+8×10%＝6，c＝6，b＝＝4.5，故答案為：6、4.5、6；（2）選甲公司，理由如下：因?yàn)槠骄鶖?shù)一樣，中位數(shù)、眾數(shù)甲公司大于乙公司，且甲公司方差小，更穩(wěn)定．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠了解有關(guān)的計(jì)算公式．20．“油紙傘”是漢族古老的傳統(tǒng)工藝品之一（如圖1），其制作工藝十分巧妙．如圖2，傘圈D沿著傘柄AP滑動(dòng)時(shí)，總有傘骨AB＝AC，BD＝CD．問(wèn)：傘柄AP是否始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的∠BAC？請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】理由SSS公理證明△ABD≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．解：AP平分∠BAC，理由如下：在△ABD和△ACD中，，所以△ABD≌△ACD（SSS），所以∠BAD＝∠CAD，所以AP平分∠BAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．21．說(shuō)理填空：如圖，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，求證：△BEC為等邊三角形．解：因?yàn)镈F平分∠CDA（已知）所以∠FDC＝∠ADC．角平分線意義因?yàn)椤螩DA＝120°（已知）所以∠FDC＝60°．因?yàn)镈F∥BE（已知）所以∠FDC＝∠BEC．（兩直線平行，同位角相等）所以∠BEC＝60°，又因?yàn)镋C＝EB，（已知）所以△BCE為等邊三角形．（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）【分析】利用角平分線的性質(zhì)得出∠FDC的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)得出∠FDC的度數(shù)，進(jìn)而得出△BEC為等邊三角形．解：因?yàn)镈F平分∠CDA，（已知）所以∠FDC＝∠ADC．（角平分線意義）因?yàn)椤螩DA＝120°，（已知），所以∠FDC＝60°．因?yàn)镈F∥BE，（已知），所以∠FDC＝∠BEC．（兩直線平行，同位角相等），所以∠BEC＝60°，又因?yàn)镋C＝EB，（已知），所以△BCE為等邊三角形．（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）故答案為：ADC；角平分線意義；60；BEC；兩直線平行，同位角相等；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠FDC＝∠BEC是解題關(guān)鍵．22．綠豆粉是石阡的特色美食．某粉店推出兩款經(jīng)典美食綠豆粉，一款是“小黃牛手工綠豆粉”，另一款是“干拌石墨綠豆粉”．已知2份“小黃牛手工綠豆粉”和1份“干拌石墨綠豆粉”需34元；1份“小黃牛手工綠豆粉”和3份“干拌石墨綠豆粉”需42元（1）分別求“小黃牛手工綠豆粉”和“干拌石墨綠豆粉”的單價(jià)；（2）綠豆是制作綠豆粉的原材料之一，該粉店老板發(fā)現(xiàn)今年第三季度平均每千克綠豆的價(jià)格比第二季度漲了50%，第三季度花360元買到的綠豆數(shù)量比第二季度花同樣的錢買到的綠豆數(shù)量少了20千克，求第三季度綠豆的單價(jià)．【分析】（1）設(shè)“小黃牛手工綠豆粉”的單價(jià)為x元，“干拌石墨綠豆粉”的單價(jià)為y元，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)第二季度綠豆的單價(jià)為m元/千克，則第三季度綠豆的單價(jià)為（1+50%）m元/千克，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合第三季度花360元買到的綠豆數(shù)量比第二季度花同樣的錢買到的綠豆數(shù)量少了20千克，即可得出關(guān)于m的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出m的值，再將其代入（1+50%）m中，即可求出第三季度綠豆的單價(jià)．解：（1）設(shè)“小黃牛手工綠豆粉”的單價(jià)為x元，“干拌石墨綠豆粉”的單價(jià)為y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：“小黃牛手工綠豆粉”的單價(jià)為12元，“干拌石墨綠豆粉”的單價(jià)為10元．（2）設(shè)第二季度綠豆的單價(jià)為m元/千克，則第三季度綠豆的單價(jià)為（1+50%）m元/千克，根據(jù)題意得：﹣＝20，解得：m＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝6是所列方程的解，且符合題意，所以（1+50%）m＝（1+50%）×6＝9．答：第三季度綠豆的單價(jià)為9元/千克．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．23．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D．（1）試?yán)贸咭?guī)作圖，求作：線段BM，使得BM⊥AD，垂足為點(diǎn)M（保留作痕跡，不寫(xiě)作法與證明過(guò)程）；（2）在（1）的條件下，若AB＝10，BM＝4，AC＝18，求證：∠ABC＝3∠C．【分析】（1）根據(jù)作垂線的方法作圖即可．（2）延長(zhǎng)BM，交AC于點(diǎn)N，結(jié)合已知條件證明△ABM≌△ANM，可得AB＝AN＝10，BM＝MN＝4，∠ABN＝∠ANB，進(jìn)而可得BN＝CN，則∠C＝∠NBC，由此可證明．【解答】（1）解：如圖，線段BM即為所求．（2）證明：延長(zhǎng)BM，交AC于點(diǎn)N，因?yàn)锽M⊥AD，所以∠AMB＝∠AMN＝90°，因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAM＝∠NAM，因?yàn)锳M＝AM，所以△ABM≌△ANM（ASA），所以AB＝AN＝10，BM＝MN＝4，∠ABN＝∠ANB，所以BN＝BM+MN＝8，NC＝AC﹣AN＝8，所以BN＝CN，所以∠C＝∠NBC，因?yàn)椤螦NB＝∠C+∠NBC，所以∠ANB＝∠ABN＝2∠C，所以∠ABC＝∠ABN+∠NBC＝2∠C+∠C＝3∠C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查尺規(guī)作圖、角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．24．定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)非零整式與一個(gè)分子為非零常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”如：，，則和都是“和諧分式”．（1）下列分式中，屬于“和諧分式”的是：①③（填序號(hào)）；①；②；③．（2）判斷分式是否為和諧分式，并說(shuō)明你的理由．（3）當(dāng)整數(shù)x取﹣3時(shí)，的值為整數(shù)．【分析】（1）根據(jù)給出的“和諧分式”的定義，逐個(gè)判斷得結(jié)論；（2）可仿照定義后的例子，把分式變形為“和諧分式”；（3）先化簡(jiǎn)分式，再把分式化為“和諧分式”的形式，根據(jù)值為整數(shù)，確定x的值．解：（1）＝+＝1+，是“和諧分式”；不能化成一個(gè)非零整式與一個(gè)分子為非零常數(shù)的分式的和的形式，所以這個(gè)分式不是“和諧分式”；＝+＝y(tǒng)+，是“和諧分式”；故答案為：①③；（2）是和諧分式，理由：＝＝x﹣1+，所以是和諧分式；（3）﹣÷＝﹣×＝﹣＝＝+＝2+，當(dāng)x＝﹣3，﹣2，0，1時(shí)，2+的值為整數(shù)．由于x＝﹣1，0，1，﹣2時(shí)，原分式?jīng)]有意義，所以當(dāng)x＝﹣3時(shí)，分式的值為整數(shù)，故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)、分式有意義的條件及分式的混合運(yùn)算．解決本題的關(guān)鍵是弄清楚“和諧分式”的定義．注意（二）（3）x的取值范圍．25．已知△ABC≌△ADE，∠BAC＝∠DAE