宿遷市沭陽縣2023年八年級上學期《數(shù)學》期中試題與參考答案

9/30宿遷市沭陽縣2023年八年級上學期《數(shù)學》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共有8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，恰有一項符合題目要求，請將正確選項前的字母代號填涂在答題紙相應位置上。1．下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，進行判定即可得出答案．解：A．是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B．不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C．不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D．不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查了軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形的定義進行求解是解決本題的關鍵．2．在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，補充條件后，仍不一定能保證△ABC≌△A'B'C'，這個補充條件是（）A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A' C．∠C＝∠C' D．AC＝A'C'【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進行判斷．解：因為AB＝A'B'，∠B＝∠B'，所以當BC＝B′C′時，根據(jù)“SAS”可判斷△ABC≌△A'B'C'，所以A選項不符合題意；當∠A＝∠A′時，根據(jù)“ASA”可判斷△ABC≌△A'B'C'，所以B選項不符合題意；當∠C＝∠C′時，根據(jù)“AAS”可判斷△ABC≌△A'B'C'，所以C選項不符合題意；當AC＝A′C′時，不一定能保證△ABC≌△A'B'C'．所以D選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．3．在下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的一組是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．24，25，7 D．5，12，13【分析】根據(jù)勾股數(shù)的概念判斷即可．解：A、因為32+42＝52，所以3，4，5是一組勾股數(shù)，本選項不符合題意；B、因為42+52≠62，所以4，5，6不是一組勾股數(shù)，本選項符合題意；C、因為72+242＝252，所以24，25，7是一組勾股數(shù)，本選項不符合題意；D、因為52+122＝132，所以5，12，13是一組勾股數(shù)，本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查的是勾股數(shù)，滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．4．如圖，已知△ABC和△ADC關于直線AC成軸對稱，∠B＝30°，∠BAD＝46°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．120° B．116° C．106° D．96°【分析】連接BD，求出∠CDB+∠CBD可得結論．解：如圖，連接BD．因為△ABC和△ADC關于直線AC成軸對稱，所以△ABC≌△ADC，所以∠ABC＝∠ADC＝30°，因為∠BAD＝46°，所以∠ABD+∠ADB＝134°，所以∠CDB+∠CBD＝134°﹣30°﹣30°＝74°，所以∠BCD＝180°﹣74°＝106°，故選：C．【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．5．到△ABC的三邊距離相等的點是△ABC的（）A．三邊中線的交點 B．三條角平分線的交點 C．三邊上高的交點 D．三邊垂直平分線的交點【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可以到△ABC的三邊距離相等的點是△ABC的三條角平分線的交點，本題得以解決．解：到△ABC的三邊距離相等的點是△ABC的三條角平分線的交點，故選：B．【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心，解答本題的關鍵是明確角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)心．6．如圖，已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°．在邊AB，AC上分別截取AG，AF，使AG＝AF；分別以G，F(xiàn)為圓心，以大于GF的長為半徑畫弧，兩弧在△ABC內(nèi)相交于點H；作射線AH交BC于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E．若CE＝3，DE＝4，CD＝5，則△ACD與△ABD的周長差為（）A．2 B．3 C．4 D．7【分析】由作法得AD平分∠BAC，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DB＝DE，再證明Rt△ABD≌Rt△AED得到AE＝AB，然后利用等線段代換得到△ACD的周長﹣△ABD的周長＝CE+CD﹣BD．解：由作法得AD平分∠BAC，因為DB⊥AB，DE⊥AC，所以DB＝DE，在Rt△ABD和Rt△AED中，，所以Rt△ABD≌Rt△AED（HL），所以AE＝AB，所以△ACD的周長﹣△ABD的周長＝AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）＝AE+CE+AD+CD﹣AB﹣BD﹣AD＝CE+CD﹣BD＝3+5﹣4＝4．故選：C．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)．7．為加強疫情防控，云南某中學在校門口區(qū)域進行入校體溫檢測．如圖，入校學生要求沿著直線AB單向單排通過校門口，測溫儀C與直線AB的距離為3m，已知測溫儀的有效測溫距離為5m，則學生沿直線AB行走時測溫的區(qū)域長度為（）A．4m B．5m C．6m D．8m【分析】連接AC、BC，推理出AC＝BC＝5，過點C作CF⊥AB，易知CF＝3，然后在分別求出AF、CF的長，進而可得AB的長．解：連接AC、BC，過點C作CF⊥AB于F，因為測溫儀的有效測溫距離為5m，所以AC＝BC＝5m，又測溫儀C與直線AB的距離為3m，在Rt△ACF中，據(jù)勾股定理得：AF＝＝＝4（m），同理得BF＝4m，所以AB＝8m，即學生沿直線AB行走時測溫的區(qū)域長度為8m．故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．8．已知△ABC是邊長為9的等邊三角形，D為AC的中點，∠EDF＝120°，DE交線段AB于E，DF交BC的延長線于F．若AE＝2BE，則CF的長為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【分析】過點D作DK∥BC交AB于K，先證明三角形AKD是等邊三角形，再結合D是AC的中點得出CD＝DK，再由ASA證明△DKE≌△DCF得出CF＝KE，再根據(jù)AE＝2BE，AB＝9得出AE的長即可推出結果．解：如圖，過點D作DK∥BC交AB于K，因為△ABC是等邊三角形，所以∠B＝∠ACB＝60°，因為DK∥BC，所以∠ADK＝∠ACB＝60°，∠AKD＝∠B＝60°，所以△AKD是等邊三角形，所以AD＝KD，因為D為AC的中點，所以AD＝CD，所以CD＝KD，因為∠ADK＝∠AKD＝60°，所以∠CDK＝∠DKE＝120°，因為∠EDF＝120°，所以∠EDF＝∠CDK，所以∠KDE＝∠CDF，因為∠DCF＝∠180°﹣∠ACB＝120°，所以∠DCF＝∠DKE＝120°，所以△DKE≌△DCF（ASA），所以CF＝KE，因為AE＝2BE，AB＝AE+BE＝9，即2BE+BE＝9，所以BE＝3，所以AE＝6，因為AK＝AD＝，所以CF＝KE＝AE﹣AK＝6﹣＝1.5，故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，證明△DKE≌△DCF是解題的關鍵．二、填空題本大題共有10小題，每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接寫在答題紙相應位置上。9．如圖，已知∠ACB＝∠ACD，要用“ASA”說明△ABC≌△ADC，則需添加的一個條件是∠BAC＝∠DAC．【分析】題目中已經(jīng)有∠ACB＝∠ACD，再有公共邊AC＝AC，可以添加∠BAC＝∠DAC即可利用“ASA”證明△ABC≌△ADC．解：添加條件∠BAC＝∠DAC．在△ABC和△ADC中，，所以△ABC≌△ADC（ASA）．故答案為：∠BAC＝∠DAC．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．10．已知等腰三角形的一個底角為80°，則頂角的度數(shù)是20°．【分析】由已知底角為80°，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，即可求出頂角的度數(shù)．解：因為等腰三角形的底角為80°，所以頂角的度數(shù)為：180°﹣80°﹣80°＝20°．故答案為：20°．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的底角相等是解題的關鍵．11．如圖，如果將其中1個白色方格涂上陰影，使整個陰影部分成為一個軸對稱圖形，一共有4種不同的涂法．【分析】利用網(wǎng)格根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可解決問題．解：如圖所示：一共有4種不同的涂法．故答案為：4．【點評】本題考查了利用軸對稱設計圖案，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．12．已知a、b、c是一個三角形的三邊長，如果滿足（a﹣3）2+|b﹣4|+（c﹣5）2＝0，則這個三角形的面積為6．【分析】由非負數(shù)的性質(zhì)，求得a、b、c的值，再勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，進一步求得該三角形的面積．解：由題意知a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，所以a＝3，b＝4，c＝5，所以a2+b2＝c2，所以三角形的形狀是直角三角形，則該三角形的面積是3×4÷2＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：有限個非負數(shù)的和為零，當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據(jù)這個結論可以求解這類題目．還運用了勾股定理的逆定理．13．如圖，在△ABC中，AD為△ABC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．若△ABC的面積是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，則DF＝4cm．【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝DF，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結論．解：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以DE＝DF，所以S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB?DE+AC?DF，因為△ABC面積是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，所以×6DE+×4DF＝3DE+2DF＝5DE＝20，解得DE＝4cm．故答案為：4．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關鍵．14．如圖，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝5，AC＝7，則△AMN的周長為12．【分析】利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△MBO和△NCO是等腰三角形，從而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根據(jù)等量代換可得△AMN的周長＝AB+AC，進行計算即可解答．解：因為BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，因為MN∥BC，所以∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，所以∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，所以MO＝MB，NO＝NC，因為AB＝5，AC＝7，所以△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC＝5+7＝12，故答案為：12．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關鍵．15．如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝105°，EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線，點E、N在BC上，則∠EAN＝30°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B+∠C＝75°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，NA＝NC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，結合圖形計算，得到答案．解：因為∠BAC＝105°，所以∠B+∠C＝180°﹣105°＝75°，因為EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線，所以EA＝EB，NA＝NC，所以∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，所以∠EAB+∠NAC＝75°，所以∠EAN＝105°﹣75°＝30°，故答案為：30°．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．16．已知等腰三角形一腰上的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角是40°，則底角的度數(shù)為65°或25°．【分析】作出圖形，分①三角形是銳角三角形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出頂角，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解；②三角形是鈍角三角形，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出頂角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．解：①如圖1，三角形是銳角三角形時，∠A＝90°﹣40°＝50°，底角為：×（180°﹣50°）＝65°，②如圖2，三角形是鈍角三角形時，∠BAC＝90°+40°＝130°，底角為：×（180°﹣130°）＝25°，綜上所述，底角為65°或25°．故答案為：65°或25°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的性質(zhì)，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．17．如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為2，圖3中陰影部分的面積為S，那么S的值為21．【分析】利用勾股定理，求出空白部分面積，通過間接作差得出陰影部分面積．解：如圖，由題意得AC＝＝，AB＝CD＝2，△ABD是直角三角形，則大正方形面積＝AC2＝29，所以△ADC面積＝CD?AB＝×2×2＝2，所以陰影部分的面積S＝29﹣4×2＝21，故答案為：21．【點評】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型，關鍵在于正確找出勾股關系，利用轉(zhuǎn)換面積作差求解．18．如圖，長方形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E為BC邊上的動點，F(xiàn)為CD的中點，連接AE，EF，則AE+EF的最小值為15．【分析】作F關于BC的對稱點F'，連接AF'，交BC于點E，則AF'的長即為AE+EF的最小值．解：作F關于BC的對稱點F'，連接AF'，交BC于點E，則FE＝F'E，AF'的長即為AE+EF的最小值．長方形ABCD中，AB＝6，F(xiàn)為CD的中點，所以F′C＝FC＝CD＝AB＝3，所以F'D＝CD+CF'＝6+3＝9，所以A'F＝＝＝15，即AE+EF的最小值為15．故答案為：15．三、解答題本大題共有9小題，共96分.請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.畫圖或作圖痕跡用黑色簽字筆加粗加黑。19．如圖，點A，F(xiàn)，E，D在一條直線上，AE＝DF，∠CFD＝∠BEA，AB∥CD．求證△ABE≌△DCF．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠D，進而利用ASA證明△ABE≌△DCF即可．【解答】證明：因為AB∥CD，所以∠A＝∠D，在△ABE與△DCF中，所以△ABE≌△DCF（ASA）．【點評】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目．20．如圖，AC、BD相交于點O，AB＝AD，BC＝CD．求證：AC⊥BD．【分析】證明△ABC≌△ADC（SSS），可得∠BAC＝∠DAC，然后根據(jù)等腰三角形三線合一即可解決問題．【解答】證明：在△ABC和△ADC中，，所以△ABC≌△ADC（SSS），所以∠BAC＝∠DAC，因為AB＝AD，所以AC⊥BD．【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．21．如圖，已知C、B、D在同一條直線上，且∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，AB＝BE．（1）求證：△CAB≌△DBE；（2）若設BC＝a，AC＝b，AB＝c，試利用這個圖形驗證勾股定理．【分析】（1）根據(jù)AAS即可得出結論；（2）根據(jù)梯形的面積公式，以及梯形ACDE的面積＝S△ABC+S△EBD+S△ABE即可得出結論．【解答】（1）證明：因為∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，所以∠ABC+∠BAC＝∠ABC+∠EBD＝90°，所以∠BAC＝∠EBD，又因為AB＝BE，所以△CAB≌△DBE（AAS）；（2）解：因為△CAB≌△DBE，所以DE＝BC＝a，BD＝AC＝b，AB＝BE＝c，因為梯形ACDE的面積＝＝＝，梯形ACDE的面積＝S△ABC+S△EBD+S△ABE＝＝ab+，所以，即a2+b2＝c2．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．22．如圖，某地有三個村莊A、B、C，它們之間的距離分別是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，為助力“鄉(xiāng)村振興”，規(guī)劃部門計劃要從B村修一條公路BD，使得BD⊥AC，已知公路的造價為39萬元/km，請問修這條公路BD的造價是多少萬元？【分析】首先得出BC2+AB2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，然后利用其逆定理得到∠ABC＝90°，然后利用面積相等求得BD的長，即可得到結論．解：因為BC2+AB2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，所以BC2+AB2＝AC2，所以∠ABC＝90°，因為BD⊥AC，所以S△ABC＝AB?BC＝AC?BD，所以BD＝＝（km）．×39＝180（萬元）．答：修這條公路BD的造價是180萬元．【點評】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．23．如圖，已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．求證：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．【分析】①由平行線的性質(zhì)得∠ADB＝∠DBC，再由角平分線的定義得∠ABD＝∠DBC，則∠ABD＝∠ADB，然后由等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；②由平行線的性質(zhì)得∠ADC＝∠DCE，再由①知AB＝AD，則AC＝AD，然后由等腰三角形的性質(zhì)得∠ACD＝∠ADC，則∠ACD＝∠DCE，即可得到結論．【解答】證明：①因為AD∥BE，所以∠ADB＝∠DBC，因為BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC，所以∠ABD＝∠ADB，所以AB＝AD；②因為AD∥BE，所以∠ADC＝∠DCE，由①知，AB＝AD，又因為AB＝AC，所以AC＝AD，所以∠ACD＝∠ADC，所以∠ACD＝∠DCE，所以CD平分∠ACE．【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．24．已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F．（1）求證：AN＝BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形．【分析】（1）由等邊三角形可得其對應線段相等，對應角相等，進而可由SAS得到△ACN≌△MCB，結論得證；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，進而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF為等邊三角形．【解答】證明：（1）因為△ACM，△CBN是等邊三角形，所以AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，所以∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，因為，所以△ACN≌△MCB（SAS），所以AN＝BM．（2）因為△CAN≌△CMB，所以∠CAN＝∠CMB，又因為∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，所以∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，因為，所以△CAE≌△CMF（ASA），所以CE＝CF，所以△CEF為等腰三角形，又因為∠ECF＝60°，所以△CEF為等邊三角形．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問題，能夠掌握并熟練運用．25．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點E，CE⊥AB于點E，點M，N分別是BC，DE的中點．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的長．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD＝ME＝BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD＝ME＝BM＝CM，進而得到∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，由三角形外角定理及∠ECB+∠DBC＝45°得到∠EMB+∠DMC＝90°，即∠EMD＝90°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得MN．【解答】（1）證明：連接EM、DM，因為BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠BDC＝∠BEC＝90°，因為在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中點，所以DM＝BC，EM＝BC，所以DM＝EM，因為N是DE的中點，所以MN⊥ED；（2）解：在Rt△DBC中，M是BC的中點，所以DM＝BC＝BM，所以∠DBM＝∠BDM，同理∠MEC＝∠MCE，因為∠ECB+∠DBC＝45°，所以∠EMB+∠DMC＝2（∠ECB+∠DBC）＝90°，所以∠EMD＝90°，因為N是DE的中點，DE＝10，所以MN＝DE＝5．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決問題的關鍵．26．在△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點，連接BD，DC，延長DC到點E，使得CE＝DC．（1）如圖1，延長BC到點F，使得CF＝BC，連接AF，EF．若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；（2）連接AE，交BD的延長線于點H，連接CH，依題意補全圖2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示線段CD與CH的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）證明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠DBC＝∠EFC，證出BD∥EF，則可得出結論；（2）由題意畫出圖形，延長BC到F，使CF＝BC，連接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，證出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可得出結論．【解答】（1）證明：在△BCD和△FCE中，，所以△BCD≌△FCE（SAS），所以∠DBC＝∠EFC，所以BD∥EF，因為AF⊥EF，所以BD⊥AF；（2）解：由題意補全圖形如下：CD＝CH．證明：延長BC到F，使CF＝BC，連接AF，EF，因為AC⊥BF，BC＝CF，所以AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，因為AB2＝AE2+BD2，所以AF2＝AE2+EF2，所以∠AEF＝90°，所以AE⊥EF，所以BD⊥AE，所以∠DHE＝90°，又因為CD＝CE，所以CH＝CD＝CE．27．在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P為BC上一點，將△ABP沿直線AP翻折至△AEP的位置（點B落在點E處）．①如圖1，當點B落在邊CD上時，利用尺規(guī)作圖，在圖1中作出滿足條件的圖形（即△AEP的位置，不寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出此時DE＝6．②如圖2，PB與CD相交于點F，AB與CD相交于點G，且FC