宿遷市沭陽(yáng)縣2023年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

9/30宿遷市沭陽(yáng)縣2023年八年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共有8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題紙相應(yīng)位置上。1．下列圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，進(jìn)行判定即可得出答案．解：A．是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．2．在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，補(bǔ)充條件后，仍不一定能保證△ABC≌△A'B'C'，這個(gè)補(bǔ)充條件是（）A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A' C．∠C＝∠C' D．AC＝A'C'【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．解：因?yàn)锳B＝A'B'，∠B＝∠B'，所以當(dāng)BC＝B′C′時(shí)，根據(jù)“SAS”可判斷△ABC≌△A'B'C'，所以A選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)∠A＝∠A′時(shí)，根據(jù)“ASA”可判斷△ABC≌△A'B'C'，所以B選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)∠C＝∠C′時(shí)，根據(jù)“AAS”可判斷△ABC≌△A'B'C'，所以C選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)AC＝A′C′時(shí)，不一定能保證△ABC≌△A'B'C'．所以D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．3．在下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的一組是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．24，25，7 D．5，12，13【分析】根據(jù)勾股數(shù)的概念判斷即可．解：A、因?yàn)?2+42＝52，所以3，4，5是一組勾股數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；B、因?yàn)?2+52≠62，所以4，5，6不是一組勾股數(shù)，本選項(xiàng)符合題意；C、因?yàn)?2+242＝252，所以24，25，7是一組勾股數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；D、因?yàn)?2+122＝132，所以5，12，13是一組勾股數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股數(shù)，滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．4．如圖，已知△ABC和△ADC關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，∠B＝30°，∠BAD＝46°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．120° B．116° C．106° D．96°【分析】連接BD，求出∠CDB+∠CBD可得結(jié)論．解：如圖，連接BD．因?yàn)椤鰽BC和△ADC關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，所以△ABC≌△ADC，所以∠ABC＝∠ADC＝30°，因?yàn)椤螧AD＝46°，所以∠ABD+∠ADB＝134°，所以∠CDB+∠CBD＝134°﹣30°﹣30°＝74°，所以∠BCD＝180°﹣74°＝106°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．5．到△ABC的三邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的（）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三邊上高的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可以到△ABC的三邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，本題得以解決．解：到△ABC的三邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心，解答本題的關(guān)鍵是明確角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)心．6．如圖，已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°．在邊AB，AC上分別截取AG，AF，使AG＝AF；分別以G，F(xiàn)為圓心，以大于GF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在△ABC內(nèi)相交于點(diǎn)H；作射線AH交BC于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥AC，垂足為E．若CE＝3，DE＝4，CD＝5，則△ACD與△ABD的周長(zhǎng)差為（）A．2 B．3 C．4 D．7【分析】由作法得AD平分∠BAC，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DB＝DE，再證明Rt△ABD≌Rt△AED得到AE＝AB，然后利用等線段代換得到△ACD的周長(zhǎng)﹣△ABD的周長(zhǎng)＝CE+CD﹣BD．解：由作法得AD平分∠BAC，因?yàn)镈B⊥AB，DE⊥AC，所以DB＝DE，在Rt△ABD和Rt△AED中，，所以Rt△ABD≌Rt△AED（HL），所以AE＝AB，所以△ACD的周長(zhǎng)﹣△ABD的周長(zhǎng)＝AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）＝AE+CE+AD+CD﹣AB﹣BD﹣AD＝CE+CD﹣BD＝3+5﹣4＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)．7．為加強(qiáng)疫情防控，云南某中學(xué)在校門口區(qū)域進(jìn)行入校體溫檢測(cè)．如圖，入校學(xué)生要求沿著直線AB單向單排通過(guò)校門口，測(cè)溫儀C與直線AB的距離為3m，已知測(cè)溫儀的有效測(cè)溫距離為5m，則學(xué)生沿直線AB行走時(shí)測(cè)溫的區(qū)域長(zhǎng)度為（）A．4m B．5m C．6m D．8m【分析】連接AC、BC，推理出AC＝BC＝5，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，易知CF＝3，然后在分別求出AF、CF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AB的長(zhǎng)．解：連接AC、BC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，因?yàn)闇y(cè)溫儀的有效測(cè)溫距離為5m，所以AC＝BC＝5m，又測(cè)溫儀C與直線AB的距離為3m，在Rt△ACF中，據(jù)勾股定理得：AF＝＝＝4（m），同理得BF＝4m，所以AB＝8m，即學(xué)生沿直線AB行走時(shí)測(cè)溫的區(qū)域長(zhǎng)度為8m．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．8．已知△ABC是邊長(zhǎng)為9的等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，∠EDF＝120°，DE交線段AB于E，DF交BC的延長(zhǎng)線于F．若AE＝2BE，則CF的長(zhǎng)為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【分析】過(guò)點(diǎn)D作DK∥BC交AB于K，先證明三角形AKD是等邊三角形，再結(jié)合D是AC的中點(diǎn)得出CD＝DK，再由ASA證明△DKE≌△DCF得出CF＝KE，再根據(jù)AE＝2BE，AB＝9得出AE的長(zhǎng)即可推出結(jié)果．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DK∥BC交AB于K，因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠B＝∠ACB＝60°，因?yàn)镈K∥BC，所以∠ADK＝∠ACB＝60°，∠AKD＝∠B＝60°，所以△AKD是等邊三角形，所以AD＝KD，因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以AD＝CD，所以CD＝KD，因?yàn)椤螦DK＝∠AKD＝60°，所以∠CDK＝∠DKE＝120°，因?yàn)椤螮DF＝120°，所以∠EDF＝∠CDK，所以∠KDE＝∠CDF，因?yàn)椤螪CF＝∠180°﹣∠ACB＝120°，所以∠DCF＝∠DKE＝120°，所以△DKE≌△DCF（ASA），所以CF＝KE，因?yàn)锳E＝2BE，AB＝AE+BE＝9，即2BE+BE＝9，所以BE＝3，所以AE＝6，因?yàn)锳K＝AD＝，所以CF＝KE＝AE﹣AK＝6﹣＝1.5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，證明△DKE≌△DCF是解題的關(guān)鍵．二、填空題本大題共有10小題，每小題3分，共30分.不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接寫在答題紙相應(yīng)位置上。9．如圖，已知∠ACB＝∠ACD，要用“ASA”說(shuō)明△ABC≌△ADC，則需添加的一個(gè)條件是∠BAC＝∠DAC．【分析】題目中已經(jīng)有∠ACB＝∠ACD，再有公共邊AC＝AC，可以添加∠BAC＝∠DAC即可利用“ASA”證明△ABC≌△ADC．解：添加條件∠BAC＝∠DAC．在△ABC和△ADC中，，所以△ABC≌△ADC（ASA）．故答案為：∠BAC＝∠DAC．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．10．已知等腰三角形的一個(gè)底角為80°，則頂角的度數(shù)是20°．【分析】由已知底角為80°，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，即可求出頂角的度數(shù)．解：因?yàn)榈妊切蔚牡捉菫?0°，所以頂角的度數(shù)為：180°﹣80°﹣80°＝20°．故答案為：20°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的底角相等是解題的關(guān)鍵．11．如圖，如果將其中1個(gè)白色方格涂上陰影，使整個(gè)陰影部分成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形，一共有4種不同的涂法．【分析】利用網(wǎng)格根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．解：如圖所示：一共有4種不同的涂法．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．12．已知a、b、c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，如果滿足（a﹣3）2+|b﹣4|+（c﹣5）2＝0，則這個(gè)三角形的面積為6．【分析】由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求得a、b、c的值，再勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，進(jìn)一步求得該三角形的面積．解：由題意知a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，所以a＝3，b＝4，c＝5，所以a2+b2＝c2，所以三角形的形狀是直角三角形，則該三角形的面積是3×4÷2＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，當(dāng)它們相加和為0時(shí)，必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求解這類題目．還運(yùn)用了勾股定理的逆定理．13．如圖，在△ABC中，AD為△ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．若△ABC的面積是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，則DF＝4cm．【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝DF，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．解：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以DE＝DF，所以S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB?DE+AC?DF，因?yàn)椤鰽BC面積是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，所以×6DE+×4DF＝3DE+2DF＝5DE＝20，解得DE＝4cm．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．14．如圖，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝5，AC＝7，則△AMN的周長(zhǎng)為12．【分析】利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△MBO和△NCO是等腰三角形，從而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根據(jù)等量代換可得△AMN的周長(zhǎng)＝AB+AC，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：因?yàn)锽O平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，因?yàn)镸N∥BC，所以∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，所以∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，所以MO＝MB，NO＝NC，因?yàn)锳B＝5，AC＝7，所以△AMN的周長(zhǎng)＝AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC＝5+7＝12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．15．如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝105°，EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線，點(diǎn)E、N在BC上，則∠EAN＝30°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B+∠C＝75°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，NA＝NC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．解：因?yàn)椤螧AC＝105°，所以∠B+∠C＝180°﹣105°＝75°，因?yàn)镋F、MN分別是AB、AC的垂直平分線，所以EA＝EB，NA＝NC，所以∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，所以∠EAB+∠NAC＝75°，所以∠EAN＝105°﹣75°＝30°，故答案為：30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．16．已知等腰三角形一腰上的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角是40°，則底角的度數(shù)為65°或25°．【分析】作出圖形，分①三角形是銳角三角形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出頂角，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解；②三角形是鈍角三角形，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出頂角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解．解：①如圖1，三角形是銳角三角形時(shí)，∠A＝90°﹣40°＝50°，底角為：×（180°﹣50°）＝65°，②如圖2，三角形是鈍角三角形時(shí)，∠BAC＝90°+40°＝130°，底角為：×（180°﹣130°）＝25°，綜上所述，底角為65°或25°．故答案為：65°或25°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．17．如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為5，短直角邊為2，圖3中陰影部分的面積為S，那么S的值為21．【分析】利用勾股定理，求出空白部分面積，通過(guò)間接作差得出陰影部分面積．解：如圖，由題意得AC＝＝，AB＝CD＝2，△ABD是直角三角形，則大正方形面積＝AC2＝29，所以△ADC面積＝CD?AB＝×2×2＝2，所以陰影部分的面積S＝29﹣4×2＝21，故答案為：21．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型，關(guān)鍵在于正確找出勾股關(guān)系，利用轉(zhuǎn)換面積作差求解．18．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接AE，EF，則AE+EF的最小值為15．【分析】作F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F'，連接AF'，交BC于點(diǎn)E，則AF'的長(zhǎng)即為AE+EF的最小值．解：作F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F'，連接AF'，交BC于點(diǎn)E，則FE＝F'E，AF'的長(zhǎng)即為AE+EF的最小值．長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，所以F′C＝FC＝CD＝AB＝3，所以F'D＝CD+CF'＝6+3＝9，所以A'F＝＝＝15，即AE+EF的最小值為15．故答案為：15．三、解答題本大題共有9小題，共96分.請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.畫圖或作圖痕跡用黑色簽字筆加粗加黑。19．如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，E，D在一條直線上，AE＝DF，∠CFD＝∠BEA，AB∥CD．求證△ABE≌△DCF．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠D，進(jìn)而利用ASA證明△ABE≌△DCF即可．【解答】證明：因?yàn)锳B∥CD，所以∠A＝∠D，在△ABE與△DCF中，所以△ABE≌△DCF（ASA）．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無(wú)法證明三角形全等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目．20．如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝AD，BC＝CD．求證：AC⊥BD．【分析】證明△ABC≌△ADC（SSS），可得∠BAC＝∠DAC，然后根據(jù)等腰三角形三線合一即可解決問(wèn)題．【解答】證明：在△ABC和△ADC中，，所以△ABC≌△ADC（SSS），所以∠BAC＝∠DAC，因?yàn)锳B＝AD，所以AC⊥BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．21．如圖，已知C、B、D在同一條直線上，且∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，AB＝BE．（1）求證：△CAB≌△DBE；（2）若設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，試?yán)眠@個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理．【分析】（1）根據(jù)AAS即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)梯形的面積公式，以及梯形ACDE的面積＝S△ABC+S△EBD+S△ABE即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：因?yàn)椤螩＝∠D＝∠ABE＝90°，所以∠ABC+∠BAC＝∠ABC+∠EBD＝90°，所以∠BAC＝∠EBD，又因?yàn)锳B＝BE，所以△CAB≌△DBE（AAS）；（2）解：因?yàn)椤鰿AB≌△DBE，所以DE＝BC＝a，BD＝AC＝b，AB＝BE＝c，因?yàn)樘菪蜛CDE的面積＝＝＝，梯形ACDE的面積＝S△ABC+S△EBD+S△ABE＝＝ab+，所以，即a2+b2＝c2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，某地有三個(gè)村莊A、B、C，它們之間的距離分別是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，為助力“鄉(xiāng)村振興”，規(guī)劃部門計(jì)劃要從B村修一條公路BD，使得BD⊥AC，已知公路的造價(jià)為39萬(wàn)元/km，請(qǐng)問(wèn)修這條公路BD的造價(jià)是多少萬(wàn)元？【分析】首先得出BC2+AB2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，然后利用其逆定理得到∠ABC＝90°，然后利用面積相等求得BD的長(zhǎng)，即可得到結(jié)論．解：因?yàn)锽C2+AB2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，所以BC2+AB2＝AC2，所以∠ABC＝90°，因?yàn)锽D⊥AC，所以S△ABC＝AB?BC＝AC?BD，所以BD＝＝（km）．×39＝180（萬(wàn)元）．答：修這條公路BD的造價(jià)是180萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．23．如圖，已知點(diǎn)A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點(diǎn)D，連接CD．求證：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．【分析】①由平行線的性質(zhì)得∠ADB＝∠DBC，再由角平分線的定義得∠ABD＝∠DBC，則∠ABD＝∠ADB，然后由等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；②由平行線的性質(zhì)得∠ADC＝∠DCE，再由①知AB＝AD，則AC＝AD，然后由等腰三角形的性質(zhì)得∠ACD＝∠ADC，則∠ACD＝∠DCE，即可得到結(jié)論．【解答】證明：①因?yàn)锳D∥BE，所以∠ADB＝∠DBC，因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC，所以∠ABD＝∠ADB，所以AB＝AD；②因?yàn)锳D∥BE，所以∠ADC＝∠DCE，由①知，AB＝AD，又因?yàn)锳B＝AC，所以AC＝AD，所以∠ACD＝∠ADC，所以∠ACD＝∠DCE，所以CD平分∠ACE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．已知：如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E，BM交CN于點(diǎn)F．（1）求證：AN＝BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形．【分析】（1）由等邊三角形可得其對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而可由SAS得到△ACN≌△MCB，結(jié)論得證；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，進(jìn)而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF為等邊三角形．【解答】證明：（1）因?yàn)椤鰽CM，△CBN是等邊三角形，所以AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，所以∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，因?yàn)?，所以△ACN≌△MCB（SAS），所以AN＝BM．（2）因?yàn)椤鰿AN≌△CMB，所以∠CAN＝∠CMB，又因?yàn)椤螹CF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，所以∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，因?yàn)椋浴鰿AE≌△CMF（ASA），所以CE＝CF，所以△CEF為等腰三角形，又因?yàn)椤螮CF＝60°，所以△CEF為等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問(wèn)題，能夠掌握并熟練運(yùn)用．25．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)E，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N分別是BC，DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD＝ME＝BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD＝ME＝BM＝CM，進(jìn)而得到∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，由三角形外角定理及∠ECB+∠DBC＝45°得到∠EMB+∠DMC＝90°，即∠EMD＝90°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得MN．【解答】（1）證明：連接EM、DM，因?yàn)锽D⊥AC，CE⊥AB，所以∠BDC＝∠BEC＝90°，因?yàn)樵赗t△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中點(diǎn)，所以DM＝BC，EM＝BC，所以DM＝EM，因?yàn)镹是DE的中點(diǎn)，所以MN⊥ED；（2）解：在Rt△DBC中，M是BC的中點(diǎn)，所以DM＝BC＝BM，所以∠DBM＝∠BDM，同理∠MEC＝∠MCE，因?yàn)椤螮CB+∠DBC＝45°，所以∠EMB+∠DMC＝2（∠ECB+∠DBC）＝90°，所以∠EMD＝90°，因?yàn)镹是DE的中點(diǎn)，DE＝10，所以MN＝DE＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．26．在△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，DC，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使得CE＝DC．（1）如圖1，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使得CF＝BC，連接AF，EF．若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；（2）連接AE，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接CH，依題意補(bǔ)全圖2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示線段CD與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）證明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠DBC＝∠EFC，證出BD∥EF，則可得出結(jié)論；（2）由題意畫出圖形，延長(zhǎng)BC到F，使CF＝BC，連接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，證出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：在△BCD和△FCE中，，所以△BCD≌△FCE（SAS），所以∠DBC＝∠EFC，所以BD∥EF，因?yàn)锳F⊥EF，所以BD⊥AF；（2）解：由題意補(bǔ)全圖形如下：CD＝CH．證明：延長(zhǎng)BC到F，使CF＝BC，連接AF，EF，因?yàn)锳C⊥BF，BC＝CF，所以AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，因?yàn)锳B2＝AE2+BD2，所以AF2＝AE2+EF2，所以∠AEF＝90°，所以AE⊥EF，所以BD⊥AE，所以∠DHE＝90°，又因?yàn)镃D＝CE，所以CH＝CD＝CE．27．在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P為BC上一點(diǎn)，將△ABP沿直線AP翻折至△AEP的位置（點(diǎn)B落在點(diǎn)E處）．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)B落在邊CD上時(shí)，利用尺規(guī)作圖，在圖1中作出滿足條件的圖形（即△AEP的位置，不寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出此時(shí)DE＝6．②如圖2，PB與CD相交于點(diǎn)F，AB與CD相交于點(diǎn)G，且FC