2024-2025學(xué)年上學(xué)期深圳高二數(shù)學(xué)期末典型卷1

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期深圳高二數(shù)學(xué)期末典型卷1一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023秋?昌平區(qū)校級(jí)期中）直線的傾斜角為（）A．45° B．60° C．120° D．135°2．（5分）（2023秋?東臺(tái)市期末）在等比數(shù)列{an}中，若a5a7a9a11＝36，則a2a14＝（）A．6 B．9 C．±6 D．±93．（5分）設(shè)，若，則k＝（）A．2 B．1 C．﹣1 D．34．（5分）給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″（x）＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱(chēng)點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)y＝f（x）的“拐點(diǎn)”．已知函數(shù)f（x）＝4x+3sinx﹣4cosx的拐點(diǎn)是M（x0，f（x0）），則點(diǎn)M（）A．在直線y＝﹣3x上 B．在直線y＝3x上 C．在直線y＝﹣4x上 D．在直線y＝4x上5．（5分）點(diǎn)P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px（p＞0）上任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，A是線段PF上的點(diǎn)，且|PA|＝3|AF|，則直線OA的斜率的最小值為（）A． B． C． D．6．（5分）（2021秋?天津期中）已知點(diǎn)P在圓（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，點(diǎn)A（0，4），B（2，0），則（）A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于8 B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2 C．當(dāng)∠PBA最小時(shí)， D．當(dāng)∠PBA最大時(shí)，7．（5分）（2024春?湖北月考）記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a5+a9＝a8+5，a11＝7，則S16＝（）A．64 B．80 C．96 D．1208．（5分）（2023秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是橢圓C上的點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），∠F1MF2的平分線交OF2于N，且ON＝2，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2022?湖南二模）已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），過(guò)點(diǎn)F2作直線與雙曲線E的右支相交于P，Q兩點(diǎn)，在點(diǎn)P處作雙曲線E的切線，與E的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，則（）A．若|PF1|?|PF2|＝2，則 B．若，則雙曲線的離心率 C．△F1PQ周長(zhǎng)的最小值為8 D．△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為定值（多選）10．（5分）（2023秋?鹽田區(qū)校級(jí)期末）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S2023＜0，S2024＞0，則（）A．使an＞0的n的最小值為2024 B．|a1012|＜|a1013| C．當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n＝1012 D．為單調(diào)遞減的數(shù)列（多選）11．（5分）（2023秋?仁壽縣校級(jí)期末）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段B1D1上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．則以下結(jié)論正確的為（）A．三棱錐P﹣A1BD體積為定值 B．異面直線A1D，B1D1成角為45° C．直線AA1與面A1BD所成角的正弦值 D．存在點(diǎn)P使得CP∥面A1BD（多選）12．（5分）（2024?南寧模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1、l2，l1與C交于P、Q兩點(diǎn)，l2與C交于M、N兩點(diǎn)，PQ的中點(diǎn)為G，MN的中點(diǎn)為H，則（）A．當(dāng)|PF|＝2|QF|時(shí)，|MN|＝36 B．|PQ|+|MN|的最小值為18 C．直線GH過(guò)定點(diǎn)（4，0） D．△FGH的面積的最小值為4三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023秋?浙江期中）已知雙曲線的兩條漸近線方程為，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．14．（5分）（2022秋?內(nèi)江期末）已知E是正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，過(guò)A、C、E三點(diǎn)作平面α與平面A1B1C1D1相交，交線為l，則直線l與BC1所成角的余弦值為．15．（5分）一個(gè)小球自12米高的地方自由落下，觸地面后的回彈高度是下落高度的．假設(shè)這個(gè)小球能無(wú)限次反彈，則這個(gè)小球在這次運(yùn)動(dòng)中所經(jīng)過(guò)的總路程為米．16．（5分）（2023?東陽(yáng)市校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，已知兩矩形ABCD與ADEF所在平面互相垂直，AB＝1時(shí)，若將△DEF沿著直線FD翻折，使得點(diǎn)E落在邊BC上（即點(diǎn)P），則當(dāng)AD取最小值時(shí)，邊AF的長(zhǎng)是．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023秋?紹興期末）已知函數(shù)f（x）＝﹣x3+x+1，g（x）＝e﹣2x+1．（1）分別求出f（x）和g（x）的導(dǎo)數(shù)；（2）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線與曲線y＝g（x）在x＝t（t∈R）處的切線平行，求t的值．18．（12分）（2023秋?巴彥淖爾期末）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且（a1+3）an＝S2+Sn．（1）求a1，a2；（2）若a1＞0，數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，當(dāng)n為何值時(shí)，Tn最大？并求Tn的最大值．19．（12分）（2024秋?金鳳區(qū)校級(jí)月考）已知圓C：x2+y2﹣8y＝0，過(guò)點(diǎn)P（2，2）的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿足，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若△CMP的面積為2，求|AB|．20．（12分）（2024?寧化縣校級(jí)一模）如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，∠ABM＝60°．（1）證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；（2）求二面角S﹣AM﹣B的正弦值．21．（12分）（2023秋?邵東市校級(jí)期末）已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，，n∈N*．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；（2）記，求證：對(duì)任意n∈N*，．22．（12分）（2023秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中e為橢圓C的離心率．（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′，直線AB′交x軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作l的垂線l′，垂足為H，求證：點(diǎn)H在定圓上．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期深圳高二數(shù)學(xué)期末典型卷1參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023秋?昌平區(qū)校級(jí)期中）直線的傾斜角為（）A．45° B．60° C．120° D．135°【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】化直線方程為斜截式方程，求出斜率，則傾斜角可求．【解答】解：由x+y0，得y＝﹣x，∴直線x+y﹣3＝0的斜率為﹣1，其傾斜角是135°．故答案為：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角，考查直線傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．2．（5分）（2023秋?東臺(tái)市期末）在等比數(shù)列{an}中，若a5a7a9a11＝36，則a2a14＝（）A．6 B．9 C．±6 D．±9【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專(zhuān)題】方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)直接求解即可．【解答】解：因?yàn)椋裕ㄘ?fù)值舍去），所以．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．（5分）設(shè)，若，則k＝（）A．2 B．1 C．﹣1 D．3【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】直接利用向量垂直的充要條件建立方程，進(jìn)一步求出k的值．【解答】解：由于，若，故：2×3﹣2+4k＝0，解得k＝﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量垂直的充要條件，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″（x）＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱(chēng)點(diǎn)（x0，f（x0））為函數(shù)y＝f（x）的“拐點(diǎn)”．已知函數(shù)f（x）＝4x+3sinx﹣4cosx的拐點(diǎn)是M（x0，f（x0）），則點(diǎn)M（）A．在直線y＝﹣3x上 B．在直線y＝3x上 C．在直線y＝﹣4x上 D．在直線y＝4x上【考點(diǎn)】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出f″（x）的解析式，由“拐點(diǎn)”的定義可得3sinx0＝4cosx0，由函數(shù)的解析式計(jì)算f（x0）的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝4x+3sinx﹣4cosx，則f′（x）＝4+3cosx+4sinx，f″（x）＝﹣3sinx+4cosx，已知函數(shù)f（x）＝4x+3sinx﹣4cosx的拐點(diǎn)是M（x0，f（x0）），則f″（x0）＝﹣3sinx0+4cosx0＝0，變形可得3sinx0＝4cosx0，則f（x0）＝4x0+3sinx0﹣4cosx0＝4x0，故點(diǎn)M在直線y＝4x上．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，涉及三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）點(diǎn)P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px（p＞0）上任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，A是線段PF上的點(diǎn)，且|PA|＝3|AF|，則直線OA的斜率的最小值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為，∵P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px（p＞0）上任意一點(diǎn)，∴設(shè)P（，y0），∵A是線段PF上的點(diǎn)且|PA|＝3|AF|，∴（，0）（（，y0），kOA，當(dāng)y0＞0時(shí)，kOA，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)y0＜0時(shí)，kOA，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)y0＝0時(shí)，kOA＝0，∴直線OA的斜率的范圍為[，]，故直線OM斜率最小值為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線與向量的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔題．6．（5分）（2021秋?天津期中）已知點(diǎn)P在圓（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，點(diǎn)A（0，4），B（2，0），則（）A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于8 B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2 C．當(dāng)∠PBA最小時(shí)， D．當(dāng)∠PBA最大時(shí)，【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；點(diǎn)到直線的距離公式；圓的切線方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】求出圓的圓心與半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求解判斷A、B，求解PB判斷C、D即可．【解答】解：點(diǎn)P在圓（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，圓的圓心（5，5），半徑為4，點(diǎn)A（0，4），B（2，0），直線AB的方程為：，即2x+y﹣4＝0，圓心到直線的距離為：4，∴點(diǎn)P到直線AB的距離的范圍為[，]，∵5，∴4＜1，4＜10，∴點(diǎn)P到直線AB的距離小于10，但不一定大于2，故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；如圖，當(dāng)過(guò)B的直線與圓相切時(shí)，滿足∠PBA最小或最大（P點(diǎn)位于P1時(shí)∠PBA最小，位于P2時(shí)∠PBA最大），此時(shí)|BC|，∴|PB|，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．7．（5分）（2024春?湖北月考）記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a5+a9＝a8+5，a11＝7，則S16＝（）A．64 B．80 C．96 D．120【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)出公差，得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，利用求和公式得到答案．【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則，解得，故．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差的求和公式，涉及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）（2023秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是橢圓C上的點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），∠F1MF2的平分線交OF2于N，且ON＝2，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的焦距為2c（c＞0），可得c＝4，由角平分線的性質(zhì)得3，結(jié)合橢圓的定義，推出|MF1|，再根據(jù)a﹣c＜|MF1|＜a+c，即可得解．【解答】解：設(shè)橢圓的焦距為2c（c＞0），則c2＝a2﹣（a2﹣16）＝16，即c＝4，因?yàn)镸N平分∠F1MF2，且ON＝2，所以3，由橢圓的定義知，|MF1|+|MF2|＝2a，所以|MF1|，|MF2|，因?yàn)閍﹣c＜|MF1|＜a+c，所以a﹣ca+c，解得a＜2c，即，所以離心率e∈（，1）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓離心率的求法，熟練掌握橢圓的定義與幾何性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2022?湖南二模）已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），過(guò)點(diǎn)F2作直線與雙曲線E的右支相交于P，Q兩點(diǎn)，在點(diǎn)P處作雙曲線E的切線，與E的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，則（）A．若|PF1|?|PF2|＝2，則 B．若，則雙曲線的離心率 C．△F1PQ周長(zhǎng)的最小值為8 D．△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為定值【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征．【專(zhuān)題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，由雙曲線的定義可知，|PF1|﹣|PF2|＝2a，結(jié)合|PF1|+|PF2|＝2，即可判斷A；對(duì)于B，在△PF1F2中，由正弦定理得出，結(jié)合雙曲線的定義求出|PF2|，因?yàn)閨PF2|＞c﹣a，即可判定B．對(duì)于C，由分析知，當(dāng)直線PQ垂直x軸時(shí)，△F1PQ周長(zhǎng)的最小值，代入即可判定C．對(duì)于D，設(shè)P（x0，y0），過(guò)點(diǎn)P的雙曲線E的切線方程為，與兩條漸近線聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，又因?yàn)閤A+xB＝2x0，故點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，所以S△AOB＝2S△AOP，代入計(jì)算，即可判定D．【解答】解：由題意知，則，所以有，從而，故A正確；在△PF1F2中，由正弦定理得，則，解得，又|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以，整理得c2﹣2ac﹣a2＜0，所以e2﹣2e﹣1＜0，解得，故B錯(cuò)誤；當(dāng)直線PQ垂直x軸時(shí)，|PQ|的最小值為，，故C正確；設(shè)P（x0，y0），過(guò)點(diǎn)P的雙曲線E的切線方程為的漸近線方程為，不妨設(shè)切線與漸近線的交點(diǎn)為A，聯(lián)立方程組，解得，即，同理可得，又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線E上，則有，故點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，設(shè)切線與x軸的交點(diǎn)為G，易知，所以，所以S△AOB＝2S△AOP＝a，故D正確；故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)以及直線與雙曲線的綜合，屬于中檔題．（多選）10．（5分）（2023秋?鹽田區(qū)校級(jí)期末）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S2023＜0，S2024＞0，則（）A．使an＞0的n的最小值為2024 B．|a1012|＜|a1013| C．當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n＝1012 D．為單調(diào)遞減的數(shù)列【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，設(shè)其公差為d，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得a1012＜0和a1012+a1013＞0，由此可得B、C正確，進(jìn)而由Sn和的表達(dá)式，分析可得A正確，D錯(cuò)誤，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，設(shè)其公差為d，若S2023＜0，則有S20232023a1012＜0，變形可得a1012＜0，若S2024＞0，則S2024（a1012+a1013）×1012＞0，變形可a1012+a1013＞0，故a1012＜0，a1013＞0，且|a1013|＞|a1012|，B正確；故當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n＝1012，C正確；同時(shí)d＝a1013﹣a1012＞0，Sn＝na1dn2+（a1）n，d＞0，且S2023＜0，S2024＞0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得使an＞0的n的最小值為2024，A正確；同時(shí)，n+（a1），數(shù)列{}為等差數(shù)列，其公差為0，是遞增數(shù)列，D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）（2023秋?仁壽縣校級(jí)期末）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段B1D1上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．則以下結(jié)論正確的為（）A．三棱錐P﹣A1BD體積為定值 B．異面直線A1D，B1D1成角為45° C．直線AA1與面A1BD所成角的正弦值 D．存在點(diǎn)P使得CP∥面A1BD【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；異面直線及其所成的角；直線與平面平行；直線與平面所成的角；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；直觀想象．【答案】ACD【分析】易證B1D1∥平面A1BD，故三棱錐P﹣A1BD體積為定值；易得B1D1∥BD，△A1BD為等邊三角形，故B錯(cuò)誤；由向量法可判斷C正確；當(dāng)P為B1D1中點(diǎn)時(shí)，得CP∥面A1BD．【解答】解：因?yàn)镈D1∥BB1，且DD1＝BB1，所以四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，又因?yàn)锽1D1?平面A1BD，BD?平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD，又P為線段B1D1上動(dòng)點(diǎn)，所以P到平面A1BD距離為定值，故三棱錐P﹣A1BD體積為定值，當(dāng)點(diǎn)P與D1重合時(shí)，，故A正確；因?yàn)锽1D1∥BD，故A1D與B1D1所成角等價(jià)于A1D與BD所成角，△A1BD為等邊三角形，所以異面直線A1DB1D1成角為60°，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；以DA方向?yàn)閤軸，DC方向?yàn)閥軸，DD1方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0）A1（2，0，2），，，，設(shè)平面A1BD的法向量為，則，即，令x＝1，得y＝z＝﹣1，故，設(shè)直線AA1與面A1BD所成角為θ，則，故C項(xiàng)正確；當(dāng)P為B1D1中點(diǎn)時(shí)，得CP∥面A1BD．故D項(xiàng)正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定定理，線線角的求解問(wèn)題，向量法求解線面角問(wèn)題，屬難題．（多選）12．（5分）（2024?南寧模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1、l2，l1與C交于P、Q兩點(diǎn)，l2與C交于M、N兩點(diǎn)，PQ的中點(diǎn)為G，MN的中點(diǎn)為H，則（）A．當(dāng)|PF|＝2|QF|時(shí)，|MN|＝36 B．|PQ|+|MN|的最小值為18 C．直線GH過(guò)定點(diǎn)（4，0） D．△FGH的面積的最小值為4【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．【專(zhuān)題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】設(shè)直線l1方程為x＝my+1，則l2方程為，直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和拋物線的性質(zhì)即可判斷A；利用A選項(xiàng)的結(jié)論和基本不等式即可判斷B；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，即可判斷C；利用直線GH過(guò)定點(diǎn)A（3，0）和三角形的面積公式與基本不等式即可判斷D．【解答】解：A．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1、l2，l1與C交于P、Q兩點(diǎn)，l2與C交于M、N兩點(diǎn)，則F（1，0），設(shè)直線l1方程為x＝my+1，則l2方程為，聯(lián)立x＝my+1與拋物線C：y2＝4x，得y2﹣4my﹣4＝0，易知Δ＞0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4），同理，又|PF|＝2|QF|，所以y1＝﹣2y2，所以，所以，故A正確；B．由A知，，，故B錯(cuò)誤；C．由A知，，所以直線，令y＝0，x＝3，所以直線過(guò)定點(diǎn)（3，0），故C錯(cuò)誤；D．由C知，直線GH過(guò)定點(diǎn)A，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023秋?浙江期中）已知雙曲線的兩條漸近線方程為，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線的幾何特征．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意設(shè)雙曲線方程為mx2﹣ny2＝1，利用漸近線和過(guò)點(diǎn)解方程組即可求得其標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：由題意可設(shè)雙曲線方程為mx2﹣ny2＝1，m，n＞0；由漸近線方程為可得n＝2m，將點(diǎn)代入可得6m﹣n＝1，解得，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．14．（5分）（2022秋?內(nèi)江期末）已知E是正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，過(guò)A、C、E三點(diǎn)作平面α與平面A1B1C1D1相交，交線為l，則直線l與BC1所成角的余弦值為．【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；轉(zhuǎn)化法；空間角；運(yùn)算求解．【答案】．【分析】由面面平行的性質(zhì)，結(jié)合條件可知直線l與BC1所成的角就是直線A1C1與BC1所成的角，然后求出直線l與BC1所成角的余弦值即可．【解答】解：因?yàn)檫^(guò)A，C，E三點(diǎn)的平面α與平面A1B1C1D1相交于l，平面α與平面ABCD相交于AC，平面A1B1C1D1與平面ABCD平行，所以l∥AC，又A1C1∥AC，故A1C1∥l，所以直線l與BC1所成的角就是直線A1C1與BC1所成的角，也即是∠A1C1B（或補(bǔ)角），又易知△A1C1B為等邊三角形，所以直線l與BC1所成角的余弦值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了異面直線所成的角的求解，考查了面面平行的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（5分）一個(gè)小球自12米高的地方自由落下，觸地面后的回彈高度是下落高度的．假設(shè)這個(gè)小球能無(wú)限次反彈，則這個(gè)小球在這次運(yùn)動(dòng)中所經(jīng)過(guò)的總路程為16米．【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專(zhuān)題】方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】16．【分析】推導(dǎo)出{an}是公比為，首項(xiàng)為12的等比數(shù)列，到球停到地面為止，求運(yùn)動(dòng)的路程是等比數(shù)列之和為：S＝12+3+3???，由此能求出結(jié)果．【解答】解：一個(gè)小球自12米高的地方自由落下，觸地面后的回彈高度是下落高度的，a1＝12，a23，a3．??????∴{an}是公比為，首項(xiàng)為12的等比數(shù)列，到球停到地面為止，求運(yùn)動(dòng)的路程是等比數(shù)列之和為：S＝12+3+3???＝16．故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．（5分）（2023?東陽(yáng)市校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，已知兩矩形ABCD與ADEF所在平面互相垂直，AB＝1時(shí)，若將△DEF沿著直線FD翻折，使得點(diǎn)E落在邊BC上（即點(diǎn)P），則當(dāng)AD取最小值時(shí)，邊AF的長(zhǎng)是．【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】．【分析】先得出線面垂直，再應(yīng)用相似得出邊長(zhǎng)的式子，最后應(yīng)用基本不等式得出最值，求出取等條件即可．【解答】解：如圖，連接AP，由題意可知平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF，所以AF⊥平面ABCD，又DP?平面ABCD，所以AF⊥DP，又DP⊥FP，且AF∩FP＝F，AP，F(xiàn)P?平面AFP，所以DP⊥平面AFP，又AP?平面AFP，所以AP⊥DP，所以△ABP∽△PCD，設(shè)PC＝x，AD＝a，所以，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)AF＝ED＝PD．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中距離的求解，面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023秋?紹興期末）已知函數(shù)f（x）＝﹣x3+x+1，g（x）＝e﹣2x+1．（1）分別求出f（x）和g（x）的導(dǎo)數(shù)；（2）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線與曲線y＝g（x）在x＝t（t∈R）處的切線平行，求t的值．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1））﹣3x2+1，﹣2e﹣2x+1；（2）．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)公式直接求導(dǎo)即可；（2）根據(jù)兩直線平行，斜率相等，即可求出t的值．【解答】解：（1）由導(dǎo)數(shù)公式得f′（x）＝﹣3x2+1，因?yàn)間（x）＝e﹣2x+1．所以g′（x）＝﹣2e﹣2x+1；（2）由f′（x）＝﹣3x2+1可得，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率k＝f′（1）＝﹣3+1＝﹣2，從而切線方程為y﹣1＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+3．由g′（x）＝﹣2e﹣2x+1，可得曲線y＝g（x）在x＝t（t∈R）處的切線斜率為g′（t）＝﹣2e﹣2t+1，由題意可得﹣2e﹣2t+1＝﹣2，從而，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為，曲線y＝g（x）在處的切線方程為，即y＝﹣2x+2，故符合題意．所以t．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與幾何意義，屬于中檔題．18．（12分）（2023秋?巴彥淖爾期末）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且（a1+3）an＝S2+Sn．（1）求a1，a2；（2）若a1＞0，數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，當(dāng)n為何值時(shí)，Tn最大？并求Tn的最大值．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專(zhuān)題】綜合題；方程思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】（1）a1＝0，a2＝0或或；（2）當(dāng)n＝14時(shí)，Tn最大，Tn的最大值為．【分析】（1）賦值法代入條件式分類(lèi)討論解方程即可；（2）根據(jù)第一問(wèn)結(jié)論結(jié)合an，Sn的關(guān)系確定{an}通項(xiàng)公式，再求得bn，利用等差數(shù)列的定義及臨界點(diǎn)法計(jì)算即可．【解答】解：（1）由題意，令n＝1，可得（a1+3）a1＝S2+S1＝2a1+a2，化簡(jiǎn)整理，得，①令n＝2，可得（a1+3）a2＝S2+S2＝2a1+2a2，化簡(jiǎn)整理，得（a1+1）a2＝2a1，②把①代入②，可得，若a1＝0，則a2＝0，若a1≠0，則，此時(shí)或，綜上所述，可得a1＝0，a2＝0或或．（2）由題意a1＞0及（1），可知，則S2＝a1+a21+21，此時(shí)，當(dāng)n≥2時(shí)，，兩式相減，可得，化簡(jiǎn)整理，得，∵a11，∴，n∈N*，令，則bn＝lg＝lg，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，∵，∴當(dāng)n＝14時(shí)，Tn最大，Tn的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和與最值問(wèn)題．考查了方程思想，分類(lèi)討論，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，不等式的運(yùn)算，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．19．（12分）（2024秋?金鳳區(qū)校級(jí)月考）已知圓C：x2+y2﹣8y＝0，過(guò)點(diǎn)P（2，2）的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿足，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若△CMP的面積為2，求|AB|．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣3）2＝2；（2）4．【分析】（1）由，結(jié)合垂徑定理可得，設(shè)出M（x，y），然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解；（2）由（1）可得，又△CMP的面積等于2，然后利用直角三角形的面積公式和勾股定理可得|CM|＝2，再利用垂徑定理即可求解．【解答】解：（1）由圓C：x2+y2﹣8y＝0可知圓心C（0，4），其半徑為R＝4，設(shè)M（x，y），因?yàn)?，所以M為AB的中點(diǎn)，由垂徑定理可得CM⊥AB，所以，所以（x，y﹣4）?（x﹣2，y﹣2）＝0，化簡(jiǎn)得（x﹣1）2+（y﹣3）2＝2，即點(diǎn)M的軌跡方程為（x﹣1）2+（y﹣3）2＝2；（2）由（1）知，M的軌跡是以（1，3）為圓心，為半徑的圓，因?yàn)椋鰿MP的面積等于2，所以，解得：|CM|＝2，從而根據(jù)垂徑定理可得，|AB|24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．20．（12分）（2024?寧化縣校級(jí)一模）如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，∠ABM＝60°．（1）證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；（2）求二面角S﹣AM﹣B的正弦值．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；數(shù)學(xué)建模；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）作ME∥CD，連接AE，作MF⊥AB，則AFME為矩形，由此利用幾何關(guān)系求得，即可證明；（2）解法一：由已知推導(dǎo)出△ABM為等邊三角形，取取AM中點(diǎn)G，連結(jié)BG，取SA中點(diǎn)H，連結(jié)GH，利用二面角定義可得∠BGH為二面角S﹣AM﹣B的平面角，利用余弦定理求得余弦值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得正弦值即可；解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的垂直的條件列方程組求得二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后利用向量的夾角坐標(biāo)運(yùn)算公式求得法向量的夾角余弦值，進(jìn)而利用平方關(guān)系求得正弦值．【解答】（1）證明：作ME∥CD交SD于點(diǎn)E，則ME∥AB，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以DC⊥AD，又SD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以SD⊥DC，因?yàn)锳D，SD?平面SAD，AD∩SD＝D，所以DC⊥平面SAD，又ME∥CD，所以ME⊥平面SAD，連接AE，AE?平面SAD，所以ME⊥AE，則四邊形ABME為直角梯形，作MF⊥AB，足為F，則AFME為矩形，設(shè)ME＝x，則，，由MF＝FB?tan60°，得，解得x＝1，即ME＝1，從而，所以M為側(cè)棱SC的中點(diǎn)；（2）解法一：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以DC⊥BC，又SD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以SD⊥BC．因?yàn)镈C，SD?平面SAD，DC∩SD＝D，所以BC⊥平面SCD，又SC?平面SCD，所以BC⊥SC，則，又∠ABM＝60°，AB＝2，△ABM為等邊三角形，又由（1）知M為SC中點(diǎn)，，所以SA2＝SM2+AM2，∠SMA＝90°，取AM中點(diǎn)G，連結(jié)BG，取SA中點(diǎn)H，連結(jié)GH，則BG⊥AM，GH⊥AM，由此知∠BGH為二面角S﹣AM﹣B的平面角，由（1）知ME⊥平面SAD，又ME∥AB，所以AB⊥平面SAD，AS?平面SAD，所以AB⊥AS，連結(jié)BH，在△BGH中，，所以．所以二面角S﹣AM﹣B的正弦值為．解法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知，，令平面SAM的法向量為，則，即，令z＝1，得，設(shè)平面AMB的法向量為，由，得，化簡(jiǎn)得，令a＝1，得，令二面角S﹣AM﹣B的大小為θ，則，故二面角S﹣AM﹣B的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)為線段中點(diǎn)的證明，考查二面角的正弦值的求法，屬于中檔題．21．（12分）（2023秋?邵東市校級(jí)期末）已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，，n∈N*．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；（2）記，求證：對(duì)任意n∈N*，．【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推式．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；不等式；運(yùn)算求解．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解答．【分析】（1）以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，即可求解；（2），即可求解．【解答】解：（1）∵數(shù)列{an}滿足a1＝3，，n∈N*，∴，∴以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，∴即．證明：（2）∵，∴，又，則，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的遞推式，數(shù)列與不等式的綜合，屬于中檔題．22．（12分）（2023秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中e為橢圓C的離心率．（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′，直線AB′交x軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作l的垂線l′，垂足為H，求證：點(diǎn)H在定圓上．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的幾何特征．【專(zhuān)題】綜合題；分類(lèi)討論；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析．【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，以及橢圓過(guò)的點(diǎn)，求出b的值，即可求得答案；（2）設(shè)l的方程為y＝kx+1，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合AB′的方程可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得l′的方程，并求出其過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合垂直關(guān)系，即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，所以2a＝4，解得a＝2，因?yàn)闄E圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，又，所以，整理得b4﹣6b2+8＝0，解得b2＝2或b2＝4（舍）．則橢圓C的方程為；（2）證明：易知直線l的斜率存在，不妨設(shè)l的方程為y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），可得B′（x2，﹣y2），聯(lián)立，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，此時(shí)Δ＝32k2+8＞0，由韋達(dá)定理得，因?yàn)锳B′的方程為，令y＝0，解得，即Q（0，﹣4k），因?yàn)閘′⊥l，當(dāng)k≠0時(shí)，l′的斜率為，此時(shí)l′的方程為，即，所以l′恒過(guò)點(diǎn)M（0，﹣4），當(dāng)k＝0時(shí)，l的方程為y＝1，Q（0，0），可得l′的方程為x＝0，此時(shí)l′也過(guò)點(diǎn)M（0，﹣4），綜上，l′恒過(guò)定點(diǎn)M（0，﹣4），由題意可知PH⊥MH，故點(diǎn)H在以PM為直徑的定圓上．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理、分類(lèi)討論和運(yùn)算能力．

考點(diǎn)卡片1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見(jiàn)數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn【解題方法點(diǎn)撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1d＝5a1+10＝15，即a1＝1，則S10＝10a1d＝10+45＝55．故答案為：55點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項(xiàng)a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項(xiàng)為負(fù)，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時(shí)，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．其實(shí)方法都是一樣的，要么求出首項(xiàng)和公差，要么求出首項(xiàng)和第n項(xiàng)的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見(jiàn)，單獨(dú)考察等差數(shù)列的題也比較簡(jiǎn)單，一般單獨(dú)考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會(huì)結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)考察，特別是錯(cuò)位相減法的運(yùn)用．2．等比數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項(xiàng)公式：①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項(xiàng)，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn)．②求和公式，Sn，表示的是前面n項(xiàng)的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an＝ap?aq．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動(dòng)數(shù)列．【解題方法點(diǎn)撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，這也是一個(gè)常用的方法，即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比，繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng)，求出其余的項(xiàng)．關(guān)鍵是對(duì)公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù)．2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1?qn﹣13．等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．G2＝a?b（ab≠0）4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動(dòng)數(shù)列．4．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn．2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為﹣1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．5．?dāng)?shù)列的求和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來(lái)說(shuō)要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即（）．（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項(xiàng)相消法如：．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Snn2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn，∴Tn，即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．點(diǎn)評(píng)：該題的第二問(wèn)用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個(gè)等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn)，大家要學(xué)會(huì)上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．6．?dāng)?shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an．在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．（6）已知遞推關(guān)系求an，有時(shí)也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)．（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．7．?dāng)?shù)列與不等式的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式基本方法：（1）直接將數(shù)列求和后放縮；（2）先將通項(xiàng)放縮后求和；（3）先將通項(xiàng)放縮后求和再放縮；（4）嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明．常用的放縮方法有：，，，[]（n≥2），（）（n≥2），，2（）2（）．．【解題方法點(diǎn)撥】證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類(lèi)競(jìng)賽試題命題的極好素材．這類(lèi)問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：（1）添加或舍去一些項(xiàng)，如：|a|；n；（2）將分子或分母放大（或縮小）；（3）利用基本不等式；；（4）二項(xiàng)式放縮；（5）利用常用結(jié)論；（6）利用函數(shù)單調(diào)性．（7）常見(jiàn)模型：①等差模型；②等比模型；③錯(cuò)位相減模型；④裂項(xiàng)相消模型；⑤二項(xiàng)式定理模型；⑥基本不等式模型．【命題方向】題型一：等比模型典例1：對(duì)于任意的n∈N*，數(shù)列{an}滿足n+1．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求證：對(duì)于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，當(dāng)n≥2時(shí)，得②，①﹣②得．∴．又，得a1＝7不適合上式．綜上得；（Ⅱ）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，．∴．∴當(dāng)n≥2時(shí)，．題型二：裂項(xiàng)相消模型典例2：數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意n∈N*，總有an，Sn，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：．分析：（1）根據(jù)an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）進(jìn)而可判斷出數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，從而得證．解答：（1）由已知：對(duì)于n∈N*，總有2Sn＝an①成立∴（n≥2）②①﹣②得2an＝anan﹣1，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）∵an，an﹣1均為正數(shù)，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列又n＝1時(shí)，2S1＝a1，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴（1）放縮的方向要一致．（2）放與縮要適度．（3）很多時(shí)候只對(duì)數(shù)列的一部分進(jìn)行放縮法，保留一些項(xiàng)不變（多為前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)）．（4）用放縮法證明極其簡(jiǎn)單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強(qiáng)，稍有不慎，則會(huì)出現(xiàn)放縮失當(dāng)?shù)默F(xiàn)象．所以對(duì)放縮法，只需要了解，不宜深入．8．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)①C′＝0（C為常數(shù)）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．2、和差積商的導(dǎo)數(shù)①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′．3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y＝u（t），t＝v（x），則y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解題方法點(diǎn)撥】1．由常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運(yùn)算得到的簡(jiǎn)單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類(lèi)簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2．對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用．在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先要注意化簡(jiǎn)的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．【命題方向】題型一：和差積商的導(dǎo)數(shù)典例1：已知函數(shù)f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）為偶函數(shù)；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b?20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故選D．題型二：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)典例2：下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′ln2C．（2sin2x）′＝2cos2xD．（）′解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)于選項(xiàng)A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，成立，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，成立，故D正確．故選C．9．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求曲線某點(diǎn)的切線方程是高考中的一個(gè)?？键c(diǎn)，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因?yàn)榘藥讉€(gè)比較重要的基本點(diǎn)，所以在高考出題時(shí)備受青睞．我們?cè)诮獯疬@類(lèi)題的時(shí)候關(guān)鍵找好兩點(diǎn)，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點(diǎn)其實(shí)也就是直線上的一個(gè)點(diǎn)，在知道斜率的情況下可以用點(diǎn)斜式把直線方程求出來(lái)．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)x＝1處的切線方程．解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1又當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，所以切點(diǎn)為（1，0）∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我們通過(guò)這個(gè)例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點(diǎn)；第二步求斜率，即求曲線上該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點(diǎn)斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認(rèn)真總結(jié)．10．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】向量是有方向的，那么在一個(gè)空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時(shí)候，我們就說(shuō)這兩條向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么與垂直，有?1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它們的乘積為0．【解題方法點(diǎn)撥】例：與向量，垂直的向量可能為（）A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：對(duì)于A：∵，?（3，﹣4）5，∴A不成立；對(duì)于B：∵，?（﹣4，3），∴B不成立；對(duì)于C：∵，?（4，3），∴C成立；對(duì)于D：∵，?（4，﹣3），∴D不成立；故選：C．點(diǎn)評(píng)：分別求出向量，和A，B，C，D四個(gè)備選向量的乘積，如果乘積等于0，則這兩個(gè)向量垂直，否則不垂直．【命題方向】向量垂直是比較喜歡考的一個(gè)點(diǎn)，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個(gè)關(guān)系并靈活運(yùn)用．11．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識(shí)棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形（4）長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和．4．棱柱的分類(lèi)（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱(chēng)為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱(chēng)其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．12．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱＝sh，V錐Sh．13．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱(chēng)兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來(lái)轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：14．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過(guò)已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類(lèi)，一類(lèi)與a平行有無(wú)數(shù)條，另一類(lèi)與a異面，也有無(wú)數(shù)條．15．空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一、空間向量及其有關(guān)概念語(yǔ)言描述共線向量（平行向量）表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量，（≠0），∥?存在λ∈R，使λ．共面向量定理若兩個(gè)向量，不共線，則向量與向量，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使xy．空間向量基本定理（1）定理：如果三個(gè)向量、、c不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得xyz．（2）推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算1．兩個(gè)向量的數(shù)量積（1）?＝||||cos，；（2）⊥??0（，為非零向量）；（3）||22，||．2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算（a1，a2，a3），（b1，b2，b3）向量和（a1+b1，a2+b2，a3+b3）向量差（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）數(shù)量積?a1b1+a2b2+a3b3共線∥?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）垂直⊥?a1b1+a2b2+a3b3＝0夾角公式cos，16．直線與平面所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．2、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問(wèn)題（空間問(wèn)題）是通過(guò)斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問(wèn)題（平面問(wèn)題）來(lái)解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類(lèi)似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問(wèn)題．在求直線和平面所成的角時(shí)，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來(lái)定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線有無(wú)數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來(lái)定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對(duì)于已知的斜線來(lái)說(shuō)這個(gè)角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．用空間向量直線與平面所成角的求法：（1）傳統(tǒng)求法：可通過(guò)已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過(guò)解直角三角形求得．（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cosφ|．17．二面角的平面角及求法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時(shí)為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，我們可以根據(jù)需要來(lái)選擇棱l上的點(diǎn)O．3、二面角的平面角求法：（1）定義；（2）三垂線定理及其逆定理；①定理內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直．②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個(gè)面上的斜線（或它的射影）與二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜線）也與二面角的棱垂直，從而確定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延長(zhǎng)（展）線（面）法；（5）射影公式；（6）化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角；（7）向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：設(shè)平面α和β的法向量分別為和，若兩個(gè)平面的夾角為θ，則（1）當(dāng)0，，θ，，此時(shí)cosθ＝cos，．（2）當(dāng)，π時(shí)，θ＝π，，cosθ＝﹣cos，．18．點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】19．直線的傾斜角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．2．范圍：[0，π）（特別地：當(dāng)直線l和x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定直線l的傾斜角為0°）3．意義：體現(xiàn)了直線對(duì)x軸正方向的傾斜程度．4．斜率與傾斜角的區(qū)別和聯(lián)系（1）區(qū)別：①每條直線都有傾斜角，范圍是[0，π），但并不是每條直線都有斜率．②傾斜角是從幾何的角度刻畫(huà)直線的方向，而斜率是從代數(shù)的角度刻畫(huà)直線的方向．（2）聯(lián)系：①當(dāng)a時(shí)，k＝tanα；當(dāng)α?xí)r，斜率不存在；②根據(jù)正切函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性：當(dāng)α∈[0，）時(shí)，k＞0且tanα隨α的增大而增大，當(dāng)α∈（，π）時(shí)，k＜0且tanα隨α的增大而增大．【解題方法點(diǎn)撥】直線的傾斜角常結(jié)合直線的斜率進(jìn)行考查．直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫(huà)直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，也是用坐標(biāo)法研究直線性質(zhì)的基礎(chǔ)．在高考中多以選擇填空形式出現(xiàn)，是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題．【命題方向】（1）直接根據(jù)直線斜率求傾斜角例：直線x+y﹣1＝0的傾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角即可．解答：因?yàn)橹本€x+y﹣1＝0的斜率為：，直線的傾斜角為：α．所以tanα，α＝120°故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的傾斜角的求法，基本知識(shí)的應(yīng)用．（2）通過(guò)條件轉(zhuǎn)換求直線傾斜角例：若直線經(jīng)過(guò)A（0，1），B（3，4）兩點(diǎn)，則直線AB的傾斜角為（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直線經(jīng)過(guò)A（0，1），B（3，4）兩點(diǎn)，能求出直線AB的斜率，從而能求出直線AB的傾斜角．解答：∵直線經(jīng)過(guò)A（0，1），B（3，4）兩點(diǎn)，∴直線AB的斜率k1，∴直線AB的傾斜角α＝45°．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的傾斜角的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．20．點(diǎn)到直線的距離公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣點(diǎn)到直線距離：點(diǎn)（x0，y0）到直線Ax+By+C＝0的距離為：【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算距離：1．代入直線方程：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程．2．計(jì)算絕對(duì)值：計(jì)算Ax0+By0+C的絕對(duì)值．3．計(jì)算模：計(jì)算法向量的模．4．求解距離：將絕對(duì)值與模相除，即得距離．【命題方向】﹣距離計(jì)算：考查點(diǎn)到直線的距離計(jì)算，可能涉及多種坐標(biāo)系變換或應(yīng)用．21．圓的切線方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】圓的切線方程一般是指與圓相切的直線方程，特點(diǎn)是與圓只有一個(gè)交點(diǎn)，且過(guò)圓心與切點(diǎn)的直線垂直切線．圓的切線方程的類(lèi)型：（1）過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：對(duì)于這種情況我們可以通過(guò)圓心與切點(diǎn)的連線垂直切線求出切線的斜率，繼而求出直線方程（2）過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程．這種情況可以先設(shè)直線的方程，然后聯(lián)立方程求出他們只有一個(gè)解（交點(diǎn)）時(shí)斜率的值，進(jìn)而求出直線方程．【解題方法點(diǎn)撥】例1：已知圓：（x﹣1）2+y2＝2，則過(guò)點(diǎn)（2，1）作該圓的切線方程為．解：圓：（x﹣1）2+y2＝2，的圓心為C（1，0），半徑r．①當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1）與x軸垂直時(shí)，方程為x＝2，∵圓心到直線x＝2的距離等于1，∴直線l與圓不相切，即x＝2不符合題意；②當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1）與x軸不垂直時(shí)，設(shè)方程為y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．∵直線l與圓：（x﹣1）2+y2＝2相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑，即d，解之得k＝﹣1，因此直線l的方程為y﹣1＝﹣（x﹣2），化簡(jiǎn)得x+y﹣3＝0．綜上所述，可得所求切線方程為x+y﹣3＝0．這里討論第一種情況是因?yàn)閗不一定存在，所以單獨(dú)討論，用的解題思想就是我上面所說(shuō)，大家可以對(duì)照著看就是．例2：從點(diǎn)P（4，5）向圓（x﹣2）2+y2＝4引切線，則圓的切