上海市浦東區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)試卷考生注意：1、本試卷共21道試題，滿分150分，答題時間120分鐘；2、請在答題紙上規(guī)定的地方解答，否則一律不予評分.一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分．考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分或5分，否則一律得零分．1.函數(shù)的定義域________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)有意義的條件得到不等式求解.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，即，所以函數(shù)的定義域為，故答案為:.2.設(shè)全集，集合，集合，則______．【答案】.【解析】【分析】由已知得，結(jié)合全集即可求.【詳解】由題意有，，而，∴，故答案為：.【點睛】本題考查了集合的基本運算，屬于簡單題.3.已知則______．【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)的形式可求.【詳解】因為故，故答案為：.4.若點在冪函數(shù)的圖象上，則該冪函數(shù)的表達(dá)式為_____.【答案】【解析】【分析】將的坐標(biāo)代入冪函數(shù)的解析式易得結(jié)果.【詳解】將代入，得，解得.所以該冪函數(shù)的表達(dá)式為.故答案為：.5.若角滿足，且，則角屬于第_______象限.【答案】二【解析】【分析】根據(jù)正弦值、正切值符號判斷角所在的象限即可.【詳解】由且，根據(jù)各象限對應(yīng)正弦、正切的函數(shù)值符號，知屬于第二象限.故答案為：二6.不等式的解集為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用分式不等式的解法即可求出結(jié)果.詳解】由，得到，等價于，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.7.已知，．則________．（用及表示）【答案】##【解析】【分析】利用對數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】由可知，所以.故答案為：8.已知集合，且，則實數(shù)的值為___________.【答案】或0.【解析】【分析】根據(jù)題意，考慮到各種可能性，分別解方程，并注意檢驗集合元素的互異性，即可得到答案.【詳解】若，則或當(dāng)時，，符合元素的互異性；當(dāng)時，，不符合元素的互異性，舍去若，則或當(dāng)時，，符合元素的互異性；當(dāng)時，，不符合元素的互異性，舍去；故答案為：或0.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查元素與集合的關(guān)系，檢驗集合元素的互異性排除不符合答案是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.9.展開式中的系數(shù)為______.【答案】15【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理直接求出結(jié)果.【詳解】展開式中令的項為，所以展開式中的系數(shù)為15.故答案為：1510.將5個人排成一排，則甲和乙須排在一起的概率是________.（用數(shù)字作答）【答案】##0.4【解析】【分析】應(yīng)用排列數(shù)求5個人排成一排、甲和乙須排在一起的排法數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.【詳解】由題設(shè)，5個人排成一排有種，甲和乙須排在一起有種，所以甲和乙須排在一起的概率是.故答案為：11.若關(guān)于的一元二次方程有兩個同號實根，則實數(shù)的取值范圍是____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：12.下面有四個命題：①若點為角的終邊上一點，則；②同時滿足，的角有且只有一個；③如果角滿足，那么角是第二象限的角；④滿足條件的角的集合為.其中真命題的序號為________.【答案】④【解析】【分析】①根據(jù)正弦函數(shù)定義求正弦值判斷；②注意任意角定義即可判斷；③直接判斷角所在象限即可；④根據(jù)正切值及任意角定義求角即可判斷.【詳解】①若點為角的終邊上一點，（注意參數(shù)a的符號不確定），假命題；②同時滿足，，只要終邊與相同的角都滿足，假命題；③如果角滿足，那么角是第三象限的角，假命題；④滿足條件的角，，真命題.故答案為：④二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案．考生必須在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．13.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】對四個選項一一驗證：對于A：利用奇偶性的定義進(jìn)行證明；對于B：取特殊值否定結(jié)論；對于C：取特殊值否定結(jié)論；對于D：取特殊值否定結(jié)論.【詳解】對于A：的定義域為R.因為，所以為偶函數(shù).故A正確；對于B：對于，，不滿足，故不是偶函數(shù).故B錯誤；對于C：對于，，不滿足，故不是偶函數(shù).故C錯誤；對于D：對于，，不滿足，故不是偶函數(shù).故D錯誤；故選：A.14.“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】化簡分式不等式，即可根據(jù)充分不必要條件的定義判斷.【詳解】由可得，解得或，“”可以推出“或”，“或”不能推出“”，例如，故“”是“”的充分非必要條件，故選：A15.已知陳述句是的充分非必要條件.若集合滿足，滿足，則與的關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充要條件和集合包含關(guān)系可得.【詳解】因為是的充分非必要條件，所以成立時一定成立所以x滿足時，x一定滿足，所以，又成立時推不出成立，即x滿足時x不一定滿足，所以N不是M的子集.故選：A16.對于函數(shù)：①；②；③；有如下兩個命題：命題：是偶函數(shù)；命題：在上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù).能使命題、均為真所有函數(shù)的序號是（）A.①② B.①③ C.② D.③【答案】C【解析】【分析】根據(jù)常見函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合單調(diào)性的判斷，對函數(shù)進(jìn)行逐一分析，即可容易判斷.【詳解】①是非奇非偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，與題意不符；②是偶函數(shù)，對稱軸為，在上減，在上增，符合，③是偶函數(shù)，但在上不是減函數(shù)，在上不是增函數(shù)，不符，故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和求解，屬綜合基礎(chǔ)題.三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.（1）設(shè)、為實數(shù)，比較與的值的大??；（2）已知，求曲線在點處的切線方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用作差法比較大?。唬?）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以；（2），則，因此，曲線在點處的切線斜率為，于是，所求切線方程為，即.18.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求與單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，若，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最小正周期為，可求，并寫出函數(shù)式進(jìn)而求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由（1）結(jié)論，求角，根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可知角B、C的關(guān)系，進(jìn)而求B的范圍，即可求的取值范圍.【詳解】（1）因為的最小正周期為，即∴，令解得∴的單調(diào)遞增區(qū)間是（2）在中，若，由（1）得，，所以因為所以，即因為，所以；所以所以的取值范圍【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）由最小正周期求參數(shù)，利用整體代入法求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）應(yīng)用三角形內(nèi)角和性質(zhì)可得內(nèi)角B、C的關(guān)系，進(jìn)而用其中一角表示另一角并確定角的范圍，進(jìn)而求函數(shù)值的范圍.19.已知A、B、C為的三個內(nèi)角，a、b、c是其三條邊，﹒（1）若，求b、c；（2）若，求c．【答案】（1）1，；（2）﹒【解析】【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．(2)根據(jù)已知利用兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得、的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可得的值．【小問1詳解】∵，由正弦定理得，又，可得，由于，可得．【小問2詳解】∵，0＜C＜π，∴，C＞＞A，.∵，∴，又，可解得或(舍)，由正弦定理，可得．20.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性（不需要說明理由）；（2）若在上恒成立，求a的取值范圍；（3）若在上的值域是()，求a的取值范圍.【答案】（1）非奇非偶；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱即可判斷；（2）問題化為在上恒成立，求右側(cè)最大值，即可得參數(shù)范圍；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，將問題化為方程有兩個不相等的正根，結(jié)合判別式求參數(shù)范圍.【小問1詳解】由于，即定義域不關(guān)于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)；【小問2詳解】∵在上恒成立，且，∴在上恒成立，令（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），則.故a的取值范圍是.【小問3詳解】函數(shù)在定義域上是增函數(shù).所以，即，故方程有兩個不相等的正根，注意到，故只需要且，則.21.已知函數(shù)，其中，．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；（3）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）在內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．（2）（3）【解析】【分析】（1）先求得導(dǎo)函數(shù),代入的值,根據(jù)零點及自變量、、的變化情況即可求得單調(diào)區(qū)間．（2）根據(jù)極值點的，即可判斷出成立，進(jìn)而利用判別式求得的取值范圍．（3）根據(jù)條件，可知，從而判斷出在上的最大值，進(jìn)而可得關(guān)于的不等式組，根據(jù)的范圍即可求得的取值范圍．【詳解】（1）先求得導(dǎo)函數(shù)為當(dāng)時，．令，解得，當(dāng)變化時，