初升高數(shù)學(xué)最值專題PA+PB型 將軍飲馬問題 【學(xué)生版】

第X節(jié)兩條線段的最值

課中講解

PA+PB型

內(nèi)容講解

(1)兩條線段和最小

已知平面內(nèi)兩點A、B，在直線!上找一點尸，使得PA+PB最小。

同側(cè)異側(cè)

例1.(2017春?錦江區(qū)校級期末)如圖，正方形48co的面積為20,AABE是等邊三角形,

點E在正方形A6CO內(nèi)，在對角線AC上有一點尸，使尸力+莊的和最小，則這個最小值為

A.4B.V20C.25/5D.不

例2.（2011?金牛區(qū)校級自主招生）如圖，已知0。的半徑為R,C、D是直徑的同側(cè)圓

周上的兩點，AC的發(fā)數(shù)為100。，BC=2BD,動點P在線段AB上，則PC+P力的最小值

為（）

RB.41RC.D.—R

A.2

例3.（2016秋?宜興市校級期中）如圖，平面直角坐標系中，已知點”（2,3）、以點8（3,4）為

圓心，3為半徑作08,N是06上的動點，尸為工軸上的動點，則尸A/+PN的最小值

過關(guān)檢測

1.（2020春?成華區(qū)期末）如圖，菱形的周長為12,點E,尸分別在C￡＞，C8上,

CE=2,CF=1,點尸為對角線3。上一動點，則EP+口的最小值為.

'B

2.（2020?成都模擬）在菱形ASCQ中，AB-4,4短。一120°，點E是45的中點，點P是

對角線上一個動點，則Q4+PE的最小值是

3.如圖，平面直角坐標系中，分別以點4（2,3）、點B（3,4）為圓心，1、3為半徑作04、OB,

M,N分別是04、G加上的動點，尸為“軸上的動點，則+的最小值為（）

A.5a-4B.717-1C.6-2&D.>/17

4.（2019?成都）如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，ZABC=60°，將A48O沿射線8。的方

向平移得到△AB77,分別連接4。，AfD,B'C,則4。+夕。的最小值為

（2）兩條線段差的絕對值最大

同側(cè)異側(cè)

例1.如圖，A、B兩點在直線/的兩側(cè)，點A到直線/的距離AC=4,點8到直線/的距離

BD=2,且CD=6,2為直線CD上的動點，則IPA-P8|的最大值是（）

A.672B.2y/lC.2而D.6

例2.如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點8在y軸的正半

軸上，點人在反比例函數(shù)〉二4?！?,左＞（））的圖象上，點。的坐標為（4,3）.

x

（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）若將菱形口。沿x軸正方向平移，當菱形的頂點。落在函數(shù)y二A。＞0,攵＞0）的圖

x

象上時，求菱形A3CO沿X軸正方向平移的距離.

（3）在x軸上是否存在一點尸，使|PA-尸8|有最大值，若存在，請求出點尸坐標；若不

存在，請說明理由.

例3.已知：如圖，在平面直角坐標系X。)，中，直線)，=-[x+6與X軸、y軸的交點分別為

A、8,將NO8A對折，使點。的對應(yīng)點月落在直線上，折痕交X軸于點C.

(1)直接寫出點C的坐標，并求過4、3、C三點的拋物線的解析式；

(2)若拋物線的頂點為力，在直線BC上是否存在點尸，使得四邊形。D4尸為平行四邊形？

若存在，求出點尸的坐標：若不存在，說明理由；

(3)設(shè)拋物線的對稱軸與直線3。的交點為了，。為線段取上一點，直接寫出|＜矍-。0|

的取值范圍.

過關(guān)檢測

I.如圖，在平面直角坐標系中，點4(-2,3),3(4,5),點尸是;v軸上一動點.求:

①R4+08的最小值及此時點P的坐標；

②|必-「引的最大值及此時點尸的坐標.

JA

B

A

OX

2.如圖，拋物線y=o?+加+3經(jīng)過A(T,O),B(3,0)兩點，且交y軸5點c,對稱軸與拋物

線相交于點?、與直線相交于點M.

(1)求該拋物線的解析式.

(2)在拋物線上是否存在一點N,使得|MN-0N|的值最大？若存在,請求出點N的坐標；

若不存在，請說明理由.

(3)連接尸8,請?zhí)骄浚涸趻佄锞€上是否存在一點Q,使得AQM3與的面積相等？

若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)兩條線段差的絕對值最小

同側(cè)

總結(jié)：不管同側(cè)還是異側(cè)，直接作中垂線即可，可利用中點公式及兩直線互相垂直的結(jié)論

進行解題。

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例1.拋物線十十2與y軸交丁點A,頂點為6.點尸是工軸上的個動點，當

點尸的坐標是時，IPA-PBI取得最小值.

過關(guān)檢測

1.已知拋物線y+區(qū)經(jīng)過點A(4,0).設(shè)點C(l,-3)，請在拋物線的對稱軸上確定一點D,

使得IAD-C0的值最大，則。點的坐標為.

學(xué)習(xí)任務(wù)

1.（2011?叢臺區(qū)校級自主招生）如圖，“N是半徑為1的OO的直徑，點A在0O上，

ZAMV=3O°,3為/W弧的中點，點P是直徑“N上一個動點，則Q4+P8的最小值為（

)

A.272B.V2C.1D.2

2.（2020?雙流區(qū)模擬）如圖，在菱形A3CD中，=y,M,N分別是BC,CD的中點,

尸是對角線比）上的一個動點，則P河+PN的最小值是.

3.（2019?雙流區(qū)模擬）如圖，在矩形A5CD中，AB=3,4）=4,點E是AB邊上一動點，

連接CE,過點8作BG_LCE于點G，點P是45邊上另一動點，連接尸D,PG，則"+PG

的最