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文檔簡介
上海長寧區(qū)2025屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的關(guān)于直線對稱的點(diǎn)在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是A. B.C. D.3.某市政府決定派遣名干部(男女)分成兩個(gè)小組,到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作,若要求每組至少人,且女干部不能單獨(dú)成組,則不同的派遣方案共有()種A. B. C. D.4.已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面積是()A. B.2C. D.5.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為;②函數(shù)的圖象是軸對稱圖形;③函數(shù)的極大值為;④函數(shù)的最小值為.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④6.為雙曲線的左焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn),(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.設(shè)為非零實(shí)數(shù),且,則()A. B. C. D.8.?dāng)?shù)列滿足:,則數(shù)列前項(xiàng)的和為A. B. C. D.9.下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A. B. C. D.10.如圖是國家統(tǒng)計(jì)局于2020年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況折線圖.(注:同比是指本期與同期作對比;環(huán)比是指本期與上期作對比.如:2019年2月與2018年2月相比較稱同比,2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比)根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.2019年12月份,全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比持平B.2018年12月至2019年12月全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比均上漲C.2018年12月至2019年12月全國居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲D.2018年11月的全國居民消費(fèi)價(jià)格高于2017年12月的全國居民消費(fèi)價(jià)格11.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說法錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的對稱中心是D.函數(shù)的對稱軸是12.已知滿足,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.定義在上的偶函數(shù)滿足,且,當(dāng)時(shí),.已知方程在區(qū)間上所有的實(shí)數(shù)根之和為.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,則__________,__________.14.展開式中的系數(shù)為________.15.滿足線性的約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值為________16.某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品,制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制,當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制,再次燒制過程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平,經(jīng)過第一次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4,經(jīng)過第二次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6、0.5、0.75;則第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為________;經(jīng)過前后兩次燒制后,合格工藝品的件數(shù)為,則隨機(jī)變量的期望為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐V﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,對角線AC與BD交于點(diǎn)O,VO⊥平面ABCD,E是棱VC的中點(diǎn).(1)求證:VA∥平面BDE;(2)求證:平面VAC⊥平面BDE.18.(12分)設(shè),,,.(1)若的最小值為4,求的值;(2)若,證明:或.19.(12分)已知,分別是橢圓:的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).(1)求,的值:(2)過點(diǎn)作不與軸重合的直線,設(shè)與圓相交于A,B兩點(diǎn),且與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求△的面積.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程:(2)求與交點(diǎn)的極坐標(biāo).21.(12分)已知中,角,,的對邊分別為,,,已知向量,且.(1)求角的大??;(2)若的面積為,,求.22.(10分)在平面四邊形(圖①)中,與均為直角三角形且有公共斜邊,設(shè),∠,∠,將沿折起,構(gòu)成如圖②所示的三棱錐,且使=.(1)求證:平面⊥平面;(2)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)對稱關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn);利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象;由直線恒過定點(diǎn),通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定;利用過某一點(diǎn)曲線切線斜率的求解方法可求得和,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對稱的直線方程為:原題等價(jià)于與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)由可知,直線恒過點(diǎn)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過點(diǎn)的曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為由圖象可知,當(dāng)時(shí),與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè),,則,解得:設(shè),,則,解得:,則本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的問題;涉及到過某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問題;解題關(guān)鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題,通過確定直線恒過的定點(diǎn),采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.2、B【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.故選B.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得,故選B.3、C【解析】
在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨(dú)成一組的情況,再將這兩組分配,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】兩組至少都是人,則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、,
又因?yàn)槊刹坎荒軉为?dú)成一組,則不同的派遣方案種數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合問題,涉及分組分配問題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.4、A【解析】
先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO=,再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案為A【點(diǎn)睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計(jì)算,意在考察學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.5、D【解析】
因?yàn)?,所以①不正確;因?yàn)?,所以,,所以,所以函?shù)的圖象是軸對稱圖形,②正確;易知函數(shù)的最小正周期為,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱,所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可.當(dāng)時(shí),,且,令,得,可知函數(shù)在處取得極大值為,③正確;因?yàn)椋?,所以函?shù)的最小值為,④正確.故選D.6、D【解析】
過點(diǎn)作,可得出點(diǎn)為的中點(diǎn),由可求得的值,可計(jì)算出的值,進(jìn)而可得出,結(jié)合可知點(diǎn)為的中點(diǎn),可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點(diǎn)),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點(diǎn)作,設(shè)該雙曲線的右焦點(diǎn)為,連接.,.,,,為的中點(diǎn),,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時(shí)要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.7、C【解析】
取,計(jì)算知錯(cuò)誤,根據(jù)不等式性質(zhì)知正確,得到答案.【詳解】,故,,故正確;取,計(jì)算知錯(cuò)誤;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì),意在考查學(xué)生對于不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.8、A【解析】分析:通過對an﹣an+1=2anan+1變形可知,進(jìn)而可知,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項(xiàng)的和為,故選A.點(diǎn)睛:裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見的裂項(xiàng)技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.9、C【解析】
由每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和在遞增,而在遞減.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查常見簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】
先對圖表數(shù)據(jù)的分析處理,再結(jié)簡單的合情推理一一檢驗(yàn)即可【詳解】由折線圖易知A、C正確;2019年3月份及6月份的全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比是負(fù)的,所以B錯(cuò)誤;設(shè)2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全國居民消費(fèi)價(jià)格分別為,由題意可知,,,則有,所以D正確.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查了對圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進(jìn)行簡單的合情推理,屬于中檔題.11、B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對稱性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的周期,所以.將點(diǎn)代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,故B錯(cuò)誤;令,得,故函數(shù)的對稱中心是,故C正確;令,得,故函數(shù)的對稱軸是,故D正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式,同時(shí)也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對稱性的判斷,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.12、A【解析】
利用兩角和與差的余弦公式展開計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角求值,涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、24【解析】
根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)且,所以的周期為,的實(shí)數(shù)根是函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象,根據(jù)函數(shù)的對稱性可得所有實(shí)數(shù)根的和為,從而可得參數(shù)的值,最后求出函數(shù)的解析式,代入求值即可.【詳解】解:因?yàn)闉榕己瘮?shù)且,所以的周期為.因?yàn)闀r(shí),,所以可作出在區(qū)間上的圖象,而方程的實(shí)數(shù)根是函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),結(jié)合函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的簡圖,可知兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間上有六個(gè)交點(diǎn).由圖象的對稱性可知,此六個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為,所以,故.因?yàn)椋?故.故答案為:;【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的應(yīng)用,函數(shù)方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.14、30【解析】
先將問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的系數(shù)問題,利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的第項(xiàng),令的指數(shù)分別等于2,4,求出特定項(xiàng)的系數(shù).【詳解】由題可得:展開式中的系數(shù)等于二項(xiàng)式展開式中的指數(shù)為2和4時(shí)的系數(shù)之和,由于二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為,令,得展開式的的系數(shù)為,令,得展開式的的系數(shù)為,所以展開式中的系數(shù),故答案為30.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的問題,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】
作出不等式組表示的平面區(qū)域,將直線進(jìn)行平移,利用的幾何意義,可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值?!驹斀狻坑?,得,作出可行域,如圖所示:平移直線,由圖像知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),截距最小,此時(shí)取得最大值。由,解得,代入直線,得。【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題的解法——平移法。16、0.380.9【解析】
考慮恰有一件的三種情況直接計(jì)算得到概率,隨機(jī)變量的可能取值為,計(jì)算得到概率,再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為:.甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為:,,.故隨機(jī)變量的可能取值為,故;;;.故.故答案為:0.38;0.9.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)連結(jié)OE,證明VA∥OE得到答案.(2)證明VO⊥BD,BD⊥AC,得到BD⊥平面VAC,得到證明.【詳解】(1)連結(jié)OE.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以O(shè)為AC的中點(diǎn),又因?yàn)镋是棱VC的中點(diǎn),所以VA∥OE,又因?yàn)镺E?平面BDE,VA?平面BDE,所以VA∥平面BDE;(2)因?yàn)閂O⊥平面ABCD,又BD?平面ABCD,所以VO⊥BD,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以BD⊥AC,又VO∩AC=O,VO,AC?平面VAC,所以BD⊥平面VAC.又因?yàn)锽D?平面BDE,所以平面VAC⊥平面BDE.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行,面面垂直,意在考查學(xué)生的推斷能力和空間想象能力.18、(1)2;(2)見解析【解析】
(1)將化簡為,再利用基本不等式即可求出最小值為4,便可得出的值;(2)根據(jù),即,得出,利用基本不等式求出最值,便可得出的取值范圍.【詳解】解:(1)由題可知,,,,,∴.(2)∵,∴,∴,∴,即:或.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,利用基本不等式和放縮法求最值,考查化簡計(jì)算能力.19、(1);(2).【解析】
(1)由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì),可求出,;(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與圓的方程可以求出,再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡,由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論,繼而求出面積.【詳解】(1)焦點(diǎn)為F(1,0),則F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),,解得,=1,=1,(Ⅱ)由已知,可設(shè)直線方程為,,聯(lián)立得,易知△>0,則===因?yàn)椋裕?,解得聯(lián)立,得,△=8>0設(shè),則【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用,同時(shí)考查利用根與系數(shù)的關(guān)系,解決直線與圓,直線與橢圓的位置關(guān)系問題.意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、(1)(2)與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為,和【解析】
(1)先把曲線化成直角坐標(biāo)方程,再化簡成極坐標(biāo)方程;(2)聯(lián)立曲線和曲線的方程解得即可.【詳解】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為:,即.的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程為;(2)聯(lián)立可得:,與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為,和.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,直角坐標(biāo)方程,極坐標(biāo)方程的互化,也考查了極坐標(biāo)方程的聯(lián)立,屬于基礎(chǔ)題.21、(1);(2).【解析】試題分析:(1)利用已知及平
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